HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 11 ( PHÂN LOẠI THEO TỪNG CHƯƠNG )

CHƯƠNG I:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I. Phép tònh tiến
•
v
T
r
: M
a
M′ ⇔
'MM v=
uuuuur
r
•
v
T
r
(M) = M′,
v
T
r
(N) = N′ ⇒
' 'M N MN=
uuuuuur uuuur
•
v
T
r
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:

'
'
x x a
y y b

= +

= +

II. Phép đối xứng trục
• Đ
d
: M
a
M′ ⇔
0 0
'M M M M= −
uuuuuur uuuuur
(M
0
là hình chiếu của M trên d)
• Đ
d
(M) = M′ ⇔ Đ
d
(M′) = M
• Đ
d
(M) = M′, Đ
d

(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN
• Đ
Ox
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

=

= −

Đ
Oy
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

=

III. Phép đối xứng tâm

• Đ
I
: M
a
M′ ⇔
'IM IM= −
uuur uuur
• Đ
I
(M) = M′ ⇔ Đ
I
(M′) = M
• Đ
I
(M) = M′, Đ
I
(N) = N′ ⇒
' 'M N MN= −
uuuuuur uuuur
• Cho I(a; b). Đ
I
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
' 2
' 2
x a x
y b y

= −


= −

Đặc biệt: Đ
O
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

= −

IV. Phép quay
• Q
(I,
α
)
: M
a
M′ ⇔
'
( ; ')
IM IM
IM IM


=

= α

• Q
(I,
α
)
(M) = M′, Q
(I,
α
)
(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN
• Q
(I,
α
)
(d) = d′. Khi đó:
·
( )
0
2
, '
2
nếu
d d
nếu

π
α < α ≤


=

π

π− α ≤ α < π

• Q
(O,90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x y
y x

= −

=

Q
(O,–90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:

'
'
x y
y x

=

= −

V. Phép vò tự
• V
(I,k)
: M
a
M′ ⇔
' .IM k IM=
uuur uuur
(k ≠ 0)
• V
(I,k)
(M) = M′, V
(I,k)
(N) = N′ ⇒
' ' .M N k MN=
uuuuuur uuuur
• Cho I(a; b). V
(I,k)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:

' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b

= + −

= + −

Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến
∆
ABC thành
∆
A
′
B
′
C
′
thì nó cũng biến
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
∆
ABC tương ứng thành
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
∆
A
′
B
′
C

′
.
1
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
I. PHÉP TỊNH TIẾN
1. Cho hai điểm cố đònh B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn
đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Vẽ đường kính BB
′
. Xét phép tònh tiến theo
'v B C=
uuuur
r
. Q tích điểm H là đường tròn
(O
′
) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó.
2. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến
với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF
và DEF.
HD: Gọi H là trực tâm
∆
CEF, K là trực tâm
∆
DEF. Xét phép tònh tiến theo vectơ
v BA=
uuur
r
.
Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O

′
) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai
điểm A và A' với
'AA BA=
uuur uuur
).
3. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác đònh bởi
AB DM=
uuur uuuur
và
·
·
CBM CDM=
.
Chứng minh:
·
·
ACD BCM=
.
HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ
AB
uuur
.
4. Cho tứ giác ABCD có
µ
A
= 60
0
,
µ

B
= 150
0
,
µ
D
= 90
0
, AB =
6 3
, CD = 12. Tính độ dài
các cạnh AD và BC.
HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ
BA
uuur
. BC = 6, AD =
6 3
.
5. Cho ∆ABC. Dựng hình vuông BCDE về phía ngoài tam giác. Từ D và E lần lượt dựng
các đường vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng hai đường vuông góc đó với đường
cao AH của ∆ABC đồng qui.
HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ
BE
uuur
,
∆
ABC
→

∆

A
′
ED.
6. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tònh tiến
v
T
r
trong các trường
hợp sau:
a)
v
r
= (1; 1) b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
7. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho

( )
v
A T B=
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
2; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
8. Tìm toạ độ vectơ
v
r
sao cho

( )
/
v
T M M=
r
trong các trường hợp sau:
a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4; 5)
d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –5)
9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng
(d’) là ảnh của (d) qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
10. Trong mpOxy, cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2

1 2 4x y− + + =
. Tìm phương trình của đường
tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
11. Trong mpOxy, cho Elip (E):
2 2
1
9 4
x y
+ =
. Tìm phương trình của elip (E′) là ảnh của (E)
qua phép tònh tiến theo
v
r

trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
2
12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H):
2 2
1
16 9
x y
− =
. Tìm phương trình của Hypebol (H′) là ảnh
của (H) qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −

r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
13. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y
2
= 16x. Tìm phương trình của Parabol (P′) là ảnh của
(P) qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v

r
= (3; –2)
14. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
v
r
= (2; m). Tìm m để phép tònh tiến
v
T
r
biến
d thành chính nó.
II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. Cho hai điểm B, C cố đònh trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn
đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Gọi H
′
là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục
BC. Q tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua phép Đ
BC
.
2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M
sao cho tổng AM + MB có giá trò nhỏ nhất.
HD: Gọi A
′
= Đ
d
(A). M là giao điểm của A
′

B và d.
3. Cho ∆ABC với trực tâm H.
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán
kính bằng nhau.
b) Gọi O
1
, O
2
, O
3
là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua
3 điểm O
1
, O
2
, O
3
có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
4. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B ∈ Ox, C ∈ Oy
sao cho chu vi ∆ABC là bé nhất.
HD: Xét các phép đối xứng trục: Đ
Ox
(A) = A
1
; Đ
Oy
(A) = A
2
. B, C là các giao điểm của
A

1
A
2
với các cạnh Ox, Oy.
5. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử Đ
AB
(M) = M
1
,
Đ
AC
(M) = M
2
. Tìm vò trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng M
1
M
2
có độ dài ngắn nhất.
HD: M là chân đường cao vẽ từ A của
∆
ABC.
6. Cho ∆ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Gọi D′ =
Đ
BC
(D). Tính
·
'BD M
và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
HD:
·

'BD M
= 1v; MD + ME = BH.
7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –
3).
8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –
3).
9. Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
10. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0
11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0
12. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
3
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y

2
+ 2x – 4y – 11 = 0
13. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
14. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2

+ 4y
2
= 1 c) 9x
2
+ 16y
2
= 144
15. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
- =
b) x
2
– 4y
2
= 1 c) 9x
2
– 25y
2
= 225
16. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2

17. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố đònh và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực
tâm của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng minh rằng H′
nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra q tích của điểm H.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Đ
I
(H
′
) = H
⇒
Q tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh
của (O) qua phép Đ
I
.
2. Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là điểm đối xứng
của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác A′B′C′D′ là hình
bình hành.
3. Cho đường tròn (O, R) và một dây cố đònh AB = R
2
. Điểm M chạy trên cung lớn
»

AB

thoả mãn ∆MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và BH cắt (O) theo thứ tự
tại A′ và B′. A′B cắt AB′ tại N.
a) Chứng minh A′B′ cũng là đường kính của đường tròn (O, R).
b) Tứ giác AMBN là hình bình hành.
c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên.
d) HN cắt A′B′ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên.
HD: a)
·
' 'A BB
= 1v b) AM //A
′
N, BM // AN c) HN = B
′
A
′
= 2R
d) Gọi J là trung điểm AB. Đ
J
(M) = N, Đ
J
(O) = O
′
.
·
'OIO
= 1v
⇒
Tập hợp các điểm I là

đường tròn đường kính OO′.
4. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB tại P và
Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với các đường
chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình hành mới.
HD: Xét phép Đ
O
.
5. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với:
a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)
6. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
7. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
4
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2

+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
9. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2
+ 4y
2
= 1 c) 9x
2
+ 16y
2
= 144
10. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(–1; 2):
a)
2 2
1
16 9
x y
- =
b) x
2
– 4y
2

= 1 c) 9x
2
– 25y
2
= 225
11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
IV. PHÉP QUAY
1. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A.
Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh ∆IMJ vuông cân.
HD: Xét phép quay Q
(A,90
0
)
.
2. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM =
1
2
FK.
HD: Gọi D = Đ
(A)
(B). Xét phép quay Q
(A,90
0

)
.
3. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng
các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N
lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh ∆BMN đều.
HD: Xét phép quay Q
(B,60
0
)
.
4. Cho ∆ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam giác các
tam giác đều ABC
1
, CAB
1
, CAB
1
. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
bằng
nhau.
HD: Xét các phép quay Q
(A,60
0
)
,

Q
(B,60
0
)
.
5. Cho ∆ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD +
AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và
·
DOE
= 120
0
.
HD: Xét phép quay Q
(O,120
0
)
.
6. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với
CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
a) CM + CN = EF b)
2 2 2
1 1 1
CM CN AB
+ =
HD: Xét phép quay Q
(C,90
0
)
.

7. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C và
D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH
của ∆ABC.
HD: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông ACIJ. Xét
phép quay Q
(O,90
0
)

⇒
IB
⊥
CK. Tương tự CD
⊥
BK.
8. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc α
với:
a) α = 90
0
b) α = –90
0
c) α = 180
0
9. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 90
0
:
5
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
10. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 90

0
:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
V. PHÉP VỊ TỰ
1. Cho ∆ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba
điểm G, H, O thẳng hàng và
2GH GO= −
uuur uuur
.
HD: Xét phép vò tự V
(G,–2)
(O) = H.
2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố đònh, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm

q tích trọng tâm G của ∆ABC.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vò tự
1
( , )
3
I
V
(A) = G.
3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một
đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b) Tìm q tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.
HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.
b) Xét các phép vò tự V
(C,2)
(Q) = M;
1
( , )
2
C
V
(Q) = N.
4. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một
điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O).
a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố đònh.
b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′ của đường tròn ngoại tiếp ∆MPQ, trực tâm
H của ∆MPQ.
HD: a) Kẻ OI
⊥
d, OI cắt PQ tại N.

2
.OI ON r=
uuruuur

⇒
N cố đònh.
b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O
1
) đường kính NO.
Tập hợp các điểm O
′
đường trung trực đoạn OI.
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O
2
) = V
(O,2)
.
5. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM
và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.
a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố đònh khác A.
b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố đònh.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ∆ABC.
HD: a) AO cắt (AMN) tại D.
2
. .OA OD OM ON R= = −
uuur uuur uuuur uuur

⇒
D cố đònh.
b) AO cắt BC tại E.

2 2
.AE AD AO R= −
uuur uuur

⇒
E cố đònh.
c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O
1
) đường kính EO.
Tập hợp các điểm G là đường tròn (O
2
) =
2
( , )
3
A
V
(O
1
).
6. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một
điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt
(O) tại N, BD cắt (O) tại E.
a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí của điểm M.
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆MAC.
6
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD
⇒
CDNE là hình thang.

c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K,
3
R
) ảnh
của đường tròn (O, R) qua phép
1
( , )
3
I
V
.
7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0;
5), D(3; 0), O(0; 0).
8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k =
1
2
: A(2; 3), B(–3; 4), C(0;
5), D(3; 0), O(0; 0).
9. Phép vi tự tâm I tỉ số
1
2
k =
biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I trong các
trường hợp sau:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M′(6; 1) c) M(–1; 4) và M′(–3; –6)
10. Phép vò tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau:
a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M′(2; 0)
c) I(2; –1), M(–1; 2), M′(–2; 3)
11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0

12. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các
trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =
1
2
f) k =
1
2
−
13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆
1
: x – 2y + 1 = 0 và ∆
2
: x – 2y + 4 = 0 và
điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vò tự V
(I,k)
biến ∆
1
thành ∆
2
.
14. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a)
2 2
( 1) ( 5) 4x y- + - =
b)
2 2
( 2) ( 1) 9x y+ + + =
c) x
2

+ y
2
= 4
15. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y – 3)
2
= 9 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k
trong các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =
1
2
f) k =
1
2
−
16. Xét phép vò tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C′). Tìm phương trình
của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C′) là:
a)
2 2
( 1) ( 5) 4x y- + - =
b)
2 2
( 2) ( 1) 9x y+ + + =
c)
2 2
1x y+ =
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố đònh, đường chéo AC = a không đổi. Chứng minh
rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác đònh.

2. Cho 2 điểm A, B cố đònh thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di động trên
(C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập
hợp các điểm N là một đường tròn.
7
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường tròn đó.
Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh điểm E chạy trên
một nửa đường tròn cố đònh.
4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
a) Xác đònh một phép dời hình biến A thành B, I thành E.
b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′). Xác đònh các tâm vò tự của hai đường tròn nếu R′
= 2R và OO′ =
3
2
R.
6. Cho
v
r
= (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d
1
: 2x – 3y – 5 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d′ =
v
T
r
(d).
b) Tìm toạ độ vectơ
u
r

vuông góc với phương của d sao cho d
1
=
u
T
r
(d).
7. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) =
v
T
r
(C) với
v
r
= (–2; 5).
8. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 =
0.
a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M.
9. Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất với A(0;
–2), B(1; –1).
10. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4 qua phép

đối xứng tâm, biết:
a) Tâm đối xứng là gốc toạ độ O b) Tâm đối xứng là điểm I(–4; 2)
11. Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d′ là ảnh của
đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay α, với:
a) α = 90
0
b) α = 40
0
.
12. Cho
v
r
= (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng
cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và phép tònh tiến theo vectơ
v
r
.
13. Cho đường thẳng d: y =
2 2
. Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k =
1
2
và phép
quay tâm O góc 45
0
.
14. Cho đường tròn (C): (x – 2)

2
+ (y – 1)
2
= 4. Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của
(C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số
k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy.
15. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(–2x + 3; 2y – 1). Chứng
minh F là một phép đồng dạng.
CHƯƠNG II:
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Xác đònh một mặt phẳng
• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
8
• Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d))
• Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai
đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bò che khuất vẽ nét đứt.
VẤN ĐỀ 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai
mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.
1.Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).
2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là

trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB),
(SAD), (SBC) và (SCD).
3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên
cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD) và (ABD).
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt
phẳng (IBC) và (DMN).
5. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ∆ABD, N là một điểm bên trong ∆ACD.
Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC).
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của
đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
1.Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song
song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).
2.Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên
cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt
phẳng (MNK).
4.Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong
∆BCD. Tìm giao điểm của:
a) MN và (ABO). b) AO và (BMN).
HD: a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD).
9
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO).

5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần
lượt trên SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
HD: a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK).
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD).
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui
•
Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt
phẳng phân biệt.
•
Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm của hai
đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.
1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố đònh trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC.
Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.
a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =AC∩BD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M.
b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng.
c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi (P) di
động.
2.Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường
thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng.
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui.
4.Cho hai điểm cố đònh A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M
là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A′, B′. Chứng minh
A′B′ luôn đi qua một điểm cố đònh.
5. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B
1
, B′. Qua B dựng mặt
phẳng (Q) cắt AC, SC tại C

1
, C′. BB′, CC′ cắt nhau tại O′; BB
1
, CC
1
cắt nhau tại O
1
. Giả
sử O′O
1
kéo dài cắt SA tại I.
a) Chứng minh: AO
1
, SO′, BC đồng qui.
b) Chứng minh: I, B
1
, B′ và I, C
1
, C′ thẳng hàng.
VẤN ĐỀ 4: Xác đònh thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng
Muốn xác đònh thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng (P) ta có thể làm như sau:
•
Từ điểm chung có sẵn, xác đònh giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp
(có thể là mặt phẳng trung gian).
•
Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung
mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác đònh được các giao tuyến mới với các mặt này.
•
Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD,

CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
2.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD một đoạn
DF=a. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).
10
b) Tính diện tích của thiết diện. HD: b)
2
6
a
3.Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB
và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
HD: Thiết diện là 1 ngũ giác.
4.Cho hình chóp S.ABCD. Trong ∆SBC, lấy một điểm M. Trong ∆SCD, lấy một điểm N.
a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).
b) Tìm giao điểm của SC với (AMN).
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).
HD: a) Tìm (SMN)
∩
(SAC) b) Thiết diện là tứ giác.
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của SB, SD và OC.
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA.
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh
SA, BC, CD.
HD: b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1.
6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng
tâm ∆SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.
b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với
(CGM).

c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).
HD: b) Thiết diện là tứ giác c) Tìm (AGM)
∩
(SAC). Thiết diện là tứ giác.
7.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.
a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
c) Xác đònh thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
HD: a) Gọi O=AC
∩
BD thì I=SO
∩
BN, J=AI
∩
MN
b) J là điểm chung của (SAC) và (SDM)
c) Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP.
8.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD. Gọi I là
trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đònh.
b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua 1 điểm
cố đònh.
c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN.
HD: a) Qua giao điểm của AI và SO=(SAC)
∩
(SBD).
b) Điểm A.
c) Một đoạn thẳng.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Đònh nghóa

11
a
b
P
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
, ( )
/ /
a b P
a b
a b

⊂
⇔

∩ = ∅

2. Tính chất
• Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba
giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng
đó.
•
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song
song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)

2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Áp dụng đònh lí về giao tuyến song song.
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh
IJ//CD.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI
// AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC,
BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
4.Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song
và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao
cho CN = 2BM.
a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố đònh I khi M, N di động.
b) E thuộc đoạn AM và EM =
1
3
EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF.
CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố đònh khi M, N di động.
5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm
trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.
a) Chứng minh: PQ // SA.
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC.
c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB)
và của Qy với (SCD).
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp:

12
•
Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
•
Áp dụng đònh lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến.
Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AD, BC và G là trọng tâm của ∆SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm
điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các
tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác đònh thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng (IJM).
3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt
là trọng tâm các tam giác SAD, SBC.
a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt
(SAD).
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD).
HD: b)
2
5
(a+b).
4.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một
điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác đònh thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình
thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
HD: b)

2
5 51
288
a
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác
đều. Ngoài ra
·
SAD
= 90
0
. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC.
a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB.
b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện.
HD: b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích
2
14
8
a
III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đònh nghóa
d // (P)
⇔
d
∩
(P) =
∅
2. Tính chất
•
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d
′

nằm trong (P) thì d song song với (P).
•
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt
(P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.
•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng cũng song song với đường thẳng đó.
13
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
•
Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song
song với b.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d
′
nào
đó nằm trong (P).
1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song với các
mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM =
1
3
AE, BN =
1
3
BD.
Chứng minh MN // (CDFE).
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, CD.

a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).
c) Gọi G
1
, G
2
là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G
1
G
2
// (SBC).
3.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB =
2MC. Chứng minh MG // (ACD).
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
4.Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O′ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD.
Chứng minh rằng:
a) Điều kiện cần và đủ để OO′ // (BCD) là
BC AB AC
BD AB AD
+
=
+
b) Điều kiện cần và đủ để OO′ song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD)
là BC = BD và AC = AD.
HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung
điểm của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′. Chứng minh
B, M′, A′ thẳng hàng và BM′ = M′A′ = A′N.

c) Chứng minh GA = 3GA′.
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác đònh thiết diện của hình chóp tạo bởi
mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước.
1. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song
song với SA.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
HD: c) MN // BC
14
2.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A,
µ
B
= 60
0
, AB = a. Gọi O là trung điểm
của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh
AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P,
Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.
HD: b) S
MNPQ
=
(4 3 )
4
x a x−
. S
MNPQ

đạt lớn nhất khi x =
2
3
a
3.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và
song song với SC.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
4.Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt
phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD).
b) Xác đònh thiết diện của tứ diện ABCD với (P).
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C′ là trung điểm của SC, M là 1
điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C′M và song song với
BC.
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố đònh.
b) Xác đònh thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác đònh vò trí điểm M để thiết
diện là hình bình hành.
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA.
HD: a) Đường thẳng qua C
′
và song song với BC.
b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA.
c) Hai nửa đường thẳng.
IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đònh nghóa
(P) // (Q)
⇔
(P)
∩

(Q) =
∅
2. Tính chất
• Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt
phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
•
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song
với (P).
•
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
•
Cho một điểm A
∉
(P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm
trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
•
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia
và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
•
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng
nhau.
•
Đònh lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
•
Đònh lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d
′
lần lượt lấy các điểm A, B, C
và A
′

, B
′
, C
′
sao cho:
15
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B B C C A
= =
Khi đó, ba đường thẳng AA
′
, BB
′
, CC
′
lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là
chúng cùng song với một mặt phẳng.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song
với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA, SD.
a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).
2.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn
có:
IA JB
ID JC

=
.
a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố đònh.
b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.
HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD.
b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k.
3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và CD.
a) CMR: (OMN) // (SBC).
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng
minh IJ song song (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác
trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).
HD: c) Chú ý:
ED FS
EC FB
=
4.Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường
chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song
song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M′, N′.
a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).
b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′).
c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
HD: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.
5. Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax,
By sao cho AM = BN. Vẽ
NP BA=
uuur uuur
.
a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố

đònh.
b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố đònh khi M, N di
động.
6.Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. CMR các đường phân giác ngoài của các góc
·
·
·
, ,BAC CAD DAB
đồng phẳng.
HD: Cùng nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (BCD).
16
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp:
•
Tìm phương của giao tuyến bằng cách sử dụng đònh lí: Nếu 2 mặt phẳng song song bò cắt
bởi 1 mặt phẳng thứ ba thì 2 giao tuyến song song.
•
Sử dụng đònh lí trên để xác đònh thiết diện của hình chóp bò cắt bởi 1 mặt phẳng song
song với 1 mặt phẳng cho trước.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác
SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên
đoạn AC.
a) Xác đònh thiết diện của hình chóp với (P).
b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.
HD: a) Xét 2 trường hợp: I
∈
OA, I
∈
OC . Thiết diện là tam giác đều.
b)

2 2
2
2 2
2
3
0
2
( ) 3
2
thiết diện
b x a
nếu x
a
S
b a x a
nếu x a
a

< <


=

−

< <


2.Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN
nằm trong (Q).

a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q).
b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC).
3.Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax,
By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng tại
A′, B′, C′, D′.
a) Chứng minh (Ax,By) // (Cz,Dt).
b) Chứng minh A′B′C′D′ là hình bình hành.
c) Chứng minh: AA′ + CC′ = BB′ + DD′.
4.Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.
a) Chứng minh (G
1
G
2
G
3
) // (BCD).
b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G
1
G
2
G
3
). Tính diện tích thiết diện khi biết
diện tích tam giác BCD là S.

c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G
1
M luôn song song với mp(ACD). Tìm
tập hợp những điểm M.
HD: b)
4
9
S
5.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm của A′B′.
a) Chứng minh CB′ // (AHC′).
b) Tìm giao điểm của AC′ với (BCH).
c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC′ và song song với AH và CB′. Xác đònh thiết
diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.
HD: c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC
′
, B
′
C
′
, A
′
B
′
, AB, AC theo các tỉ số
1, 1, 3,
1
3
, 1.
6.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
17

Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA′) và (B′D′C) song song.
b) Chứng minh đường chéo AC′ đi qua các trọng tâm G
1
, G
2
của 2 tam giác BDA′,
B′D′C. Chứng minh G
1
, G
2
chia đoạn AC′ làm ba phần bằng nhau.
c) Xác đònh thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(A′B′G
2
). Thiết diện là hình gì?
HD: c) Hình bình hành.
7.Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Trên AB, CC′, C′D′, AA′ lần lượt lấy các
điểm M, N, P, Q sao cho AM = C′N = C′P = AQ = x (0 ≤ x ≤ a).
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố
đònh.
b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố đònh.
Tìm x để (MNPQ) // (A′BC′).
c) Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì?
Tính giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.
HD: a) MP và NQ cắt nhau tại tâm O của hình lập phương.
b) (MNPQ) đi qua trung điểm R, S của BC và A
′
D
′
. x =

2
a
.
c) Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O.
Chu vi nhỏ nhất: 3a
2
; chu vi lớn nhất: 2a(
2
+ 1).
8.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′.
a) Tìm giao tuyến của (AB′C′) và (BA′C′).
b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA′ và BC. Tìm giao điểm của B′C′ với mặt
phẳng (AA′N) và giao điểm của MN với mp(AB′C′).
9.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC′), (BCA′) và (CAB′) có
một điểm chung O ở trên đoạn GG′ nối trọng tâm ∆ABC và trọng tâm ∆A′B′C′. Tính
OG
OG
′
. HD:
1
2
BÀI TẬP ÔN
1. Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là
trung điểm của BD. Cho biết
·
0
( , ) 60AB CE =
.
a) Tính 2AC
2

– AD
2
theo a.
b) (P) là 1 mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ
tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = BM (0 < x < a). Xác đònh
x để diện tích ấy lớn nhất.
c) Tìm x để tổng bình phương các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất.
d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Tìm (P) để OA
2
+ OB
2
+ OC
2
+ OD
2

nhỏ nhất.
HD: a) Gọi F là trung điểm của AD.
Xét
· ·
0 0
60 , 120CEF CEF= =
⇒
2AC
2
– AD
2
= 6a
2
hoặc –2a

2
.
b) S = x(a – x)
3
;
2 2
a
x =
c) x =
2
a
d) OA
2
+ OB
2
+ OC
2
+ OD
2
= 4OG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
+ GD
2
.

O di động trên đoạn IJ nối trung điểm của AB và CE. Tổng nhỏ nhất khi O là hình
chiếu của G lên IJ ( G là trọng tâm tứ diện ABCD).
2.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng
(P) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q.
18
a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là hình thang
cân.
b) Đặt AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra:
4 3
3 2
a a
x y≤ + ≤
.
c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s = x + y.
HD: b) S
∆
AMN
= S
AMI
+ S
ANI
c)
2
2 8
.
4 3
a s as
s
−
−

.
3.Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F,
AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt tại A′, B′, C′.
a) Tìm giao điểm D′ của SD với (P).
b) Tìm điều kiện của (P) để A′B′ // C′D′.
c) Với điều kiện nào của (P) thì A′B′C′D′ là hình bình hành? CMR khi đó:
SA SC SB SD
SA SC SB SD
′ ′ ′ ′
+ = +
d) Tính diện tích tứ giác A′B′C′D′.
HD: b) (P) // SE.
c) (P) // (SEF). Gọi G
′
= A
′
C
′∩
B
′
D
′
. Chứng minh:
2SA SC SG
SA SC SG
′ ′ ′
+ =
d) S
A
′

B
′
C
′
D
′
=
2
3
32
a
.
4.Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
cắt (P) tại A và B. Đường thẳng (∆)
thay đổi luôn song song với (P), cắt d
1
tại M, d
2
tại N. Đường thẳng qua N và song song
d1 cắt (P) tại N′.
a) Tứ giác AMNN′ là hình gì? Tìm tập hợp điểm N′.
b) Xác đònh vò trí của (∆) để MN có độ dài nhỏ nhất.
c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là đường
thẳng cố đònh khi M di động.
d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp
B.AMNN′ với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (BMN).
HD: a) Hình bình hành. Tập hợp các điểm N

′
là d
3
, giao tuyến của (P) với mặt
phẳng qua d
2
và song song với d
1.
b) MN nhỏ nhất khi AN
′
vuông góc d
3
tại N
′
.
d)
2
3
8
a
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di động trên
AD và SC sao cho:
MA PS
x
MD PC
= =
(x > 0).
a) CMR: MP luôn song song với một mặt phẳng cố đònh (P).
b) Tìm giao điểm I của (SBD) với MP.
c) Mặt phẳng qua M và song song với (P) cắt hình chóp SABCD theo một thiết diện và

cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ song song với (SAD).
d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích ∆SAB (k > 0 cho trước).
HD: a) Mặt phẳng (SAB). c) Phương của SB; x = 1.
d) x =
1 1k k
k
− + −
(0 < k < 1).
19
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = SB = SC = SD =
a. Gọi M là một điểm trên đoạn AO. (P) là mặt phẳng qua M và song song với AD và
SO. Đặt
AM
k
AO
=
(0 < k < 1).
a) Chứng minh thiết diện của hình chóp với (P) là hình thang cân.
b) Tính các cạnh của thiết diện theo a và k.
c) Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được 1 đường tròn. Khi đó hãy tính diện tích thiết
diện theo a.
HD: b) a; (1 – k)a;
3
2
ka
c) k=
2
6
3 1;

9
a
−
7.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn AB′, AC′, B′C
sao cho
AM C N CP
x
AB AC CB
′
= = =
′ ′ ′
.
a) Tìm x để (MNP) // (A′BC′). Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi
mp(MNP), biết tam giác A′BC′ là tam giác đều cạnh a.
b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.
HD: a) x =
2
1 2 3
;
3 9
a
b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC
′
và AB.
8.Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′, có đáy là hình thang với AD = CD = BC = a, AB = 2a Mặt
phẳng (P) qua A cắt các cạnh BB′, CC′, DD′ lần lượt tại M, N, P.
a) Tứ giác AMNP là hình gì? So sánh AM và NP.
b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi (P) di động.
c) CMR: BM + 2DP = 2CN.
HD: a) Hình thang. AM = 2NP. b) Đoạn thẳng song song với cạnh bên.

c) DP =
5
4
a
.
CHƯƠNG III:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Đònh nghóa và các phép toán
• Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn
toàn tương tự như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có:
' 'AB AD AA AC+ + =
uuur uuur uuur uuuur
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
0IA IB+ =
uur uur
r
;
2OA OB OI+ =
uuur uuur uur

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
20
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :a và b cùng phương a k R b ka≠ ⇔∃ ∈ =
r r r
r r r
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
−
= =
−
uuur uuur
uuur uuur uuuur
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, ,a b c
r

r r
, trong đó
a và b
r
r
không cùng
phương. Khi đó:
, ,a b c
r
r r
đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:
c ma nb= +
r
r r
• Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng,
x
r
tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R:
x ma nb pc= + +
r
r r r
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
· ·
0 0

, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤
uuur uuur
r r r r
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
, 0u v ≠
r
r r
. Khi đó:
. . .cos( , )u v u v u v=
r r r r r r
+ Với
0 0u hoặc v= =
r r
r r
. Qui ước:
. 0u v
=
r r
+
. 0u v u v⊥ ⇔ =
r r r r
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.
Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ.
6.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh:
0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur
r
.

b) Chứng minh:
4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur
, với M tuỳ ý.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố đònh (P) sao cho:
MA MB MC MD+ + +
uuur uuur uuuur uuuur
nhỏ nhất.
7. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh
đối đồng qui tại trung điểm của chúng. (Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ
diện)
8. Cho tứ diện ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD,
DA theo tỉ số k (k ≠ 1). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ có cùng trọng
tâm.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.
Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
•
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
21
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Nếu có m, n ∈ R:
c ma nb= +
r
r r
thì
, ,a b c
r
r r

đồng phẳng
•
Để phân tích một vectơ
x
r
theo ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p
sao cho:
x ma nb pc= + +
r
r r r
6.Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M
sao cho
2MS MA= −
uuur uuur
và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
1
2
NB NC= −
uuur uuur
. Chứng minh
rằng ba vectơ
, ,AB MN SC
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
2 1

3 3
MN AB SC= +
uuuur uuur uuur
.
7.Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE,
CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,MN FH PQ
uuuur uuur uuur
đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ
, ,IL JK AH
uur uuur uuur
đồng phẳng.
HD: a)
, ,MN FH PQ
uuuur uuur uuur
có giá cùng song song với (ABCD).
b)
, ,IL JK AH
uur uuur uuur
có giá cùng song song với (BDG).
8. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC,
BE.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,AJ GI HK
uur uur uuur
đồng phẳng.
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
1

3
FM CN
FA CE
= =
. Các đường
thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba
vectơ
, ,MN PQ CF
uuuur uuur uuur
đồng phẳng.
9.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD′; G và G′
lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A′D′MN và BCC′D′. Chứng minh rằng đường thẳng
GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau.
HD: Chứng minh
( )
1
' 5 '
8
GG AB AA= −
uuuur uuur uuur

⇒

, ', 'AB AA GG
uuur uuur uuuur
đồng phẳng.
10. Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r

không đồng phẳng và vectơ
d
r
.
a) Cho
d ma nb= +
r r
r
với m và n ≠ 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng:
i)
, ,b c d
r r
r
ii)
, ,a c d
r
r r
b) Cho
d ma nb pc= + +
r r
r r
với m, n và p ≠ 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng
phẳng: i)
, ,a b d
r r
r
ii)
, ,b c d
r r
r

iii)
, ,a c d
r
r r
HD: Sử dụng phương pháp phản chứng.
11. Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r
khác
0
r
và ba số thực m, n, p ≠ 0. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,x ma nb y pb mc z nc pa= − = − = −
r r
r r r r r r r
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
0px ny mz+ + =
r
r r r
.
12. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có
' , ,AA a AB b AC c= = =
uuur uuur uuur
r
r r
. Hãy phân tích các
vectơ
' , 'B C BC

uuuur uuuur
theo các vectơ
, ,a b c
r
r r
.
HD: a)
'B C c a b= − −
uuuur
r
r r
b)
'BC a c b= + −
uuuur
r
r r
.
13. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
22
a) Phân tích vectơ
OG
uuur
theo các ba
, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
.
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ
OD
uuur
theo ba vectơ

, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
.
HD: a)
( )
1
3
OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
b)
( )
1
4
OD OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
14. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích hai vectơ
OI và AG
uur uuur
theo ba vectơ
, ,OA OC OD
uuur uuur uuur
.
b) Phân tích vectơ
BI
uur
theo ba vectơ
, ,FE FG FI
uuur uuur uur

.
HD: a)
( )
1
2
OI OA OC OD= + +
uur uuur uuur uuur
,
AG OA OC OD= − + +
uuur uuur uuur uuur
. b)
BI FE FG FI= + −
uur uuur uuur uur
.
15. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ
AE
uuur
theo ba vectơ
, ,AC AF AH
uuur uuur uuur
.
b) Phân tích vectơ
AG
uuur
theo ba vectơ
, ,AC AF AH
uuur uuur uuur
.
HD: a)

( )
1
2
AE AF AH AC= + −
uuur uuur uuur uuur
b)
( )
1
2
AG AF AH AC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
6.Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′.
a) Xác đònh góc giữa các cặp vectơ:
' 'AB và A C
uuur uuuuur
,
' 'AB và A D
uuur uuuuur
,
'AC và BD
uuuur uuur
.
b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ:
' 'AB và A C
uuur uuuuur
,
' 'AB và A D
uuur uuuuur

,
'AC và BD
uuuur uuur
.
7.Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB ⊥ BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các
đường thẳng AB và CD sao cho
,PA kPB QC kQD= =
uuur uuur uuur uuur
(k ≠ 1). Chứng minh
AB PQ⊥
uuur uuur
.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
0a ≠
r
r
là VTCP của d nếu giá của
a
r
song song hoặc
trùng với d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
• a′//a, b′//b ⇒
¶
( )
·
( )
, ', 'a b a b=
• Giả sử

u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b,
( , )u v =
r r
α
.
Khi đó:
¶
( )
0 0
0 0 0
0 180
,
180 90 180
nếu
a b
nếu


≤ ≤
=

− < ≤


α α

α α
• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì
¶
( )
0
, 0a b =
Chú ý:
¶
( )
0 0
0 , 90a b≤ ≤
3. Hai đường thẳng vuông góc:
• a ⊥ b ⇔
¶
( )
0
, 90a b =
• Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b. Khi đó
. 0a b u v⊥ ⇔ =
r r
.
• Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
23

Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90
0
.
2. Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau.
3. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
6.Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
·
·
·
ASB BSC CSA= =
. Chứng minh rằng
SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
HD: Chứng minh
.SA BC
uur uuur
= 0
7.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
HD: b)
·
3
cos( , )
6
AC BM =
.
8.Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó.

b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.
HD: b)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
arccos ; arccos ; arccos
a c b c a b
b a c
− − −
.
9.Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác
vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M ≠ A và D). Mặt phẳng (P) qua M song
song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
10. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC
⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′.
III. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Đònh nghóa
d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b

⊂ ∩ =
⇒ ⊥


⊥ ⊥

3. Tính chất
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng
tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.
•
( )
( )
a b
P b
P a

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( ), ( )
a b
a b
a P b P

≠
⇒ ⁄⁄

⊥ ⊥


•
( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( ) ( )
( ) )
( ) ,( )
P Q
P Q
P a Q a

≠
⇒ ⁄⁄(

⊥ ⊥

•
( )
( )
a P

b a
b P

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( )
)
,( )
a P
a P
a b P b

⊄
⇒ ⁄⁄(

⊥ ⊥

4. Đònh lí ba đường vuông góc
24
Cho
( ), ( )a P b P⊥ ⊂
, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) thì
·
( )

,( )d P
= 90
0
.
• Nếu
( )d P⊥
thì
·
( )
,( )d P
=
·
( )
, 'd d
với d′ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
≤
·
( )
,( )d P
≤ 90
0
.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d
⊥
(P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

•
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
•
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
•
Chứng minh d // a và a
⊥
(P).
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh d
⊥
a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
•
Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
•
Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.
•
Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
6.Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng
nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK ⊥ (SAC). Từ đó suy ra HK ⊥ AI.
7.Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
8.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ ⊥ (SBD).

9.Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ (AID).
b) Vẽ đường cao AH của ∆AID. Chứng minh: AH ⊥ (BCD).
10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
c)
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
.
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
11. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều;
SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH ⊥ AC.
25