Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 7 pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (330.24 KB, 10 trang )
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 59
222222
abc
t
abbcca
ị=
++
222222
222222222222222222
abcabcabc
H
abbccaabbccaabbcca
;;
ổử
ị
ỗữ
ỗữ
++++++
ốứ
2
2222
222222
2
2222
222222
a
AHabacbcbc
abbcca
b
BHacabbcac
abbcca
(;;)
(;;)
ỡ
=
ù
ù
++
ị
ớ
ù
=
ù
++
ợ
uuur
uuur
2
2222
222222
2
2222
222222
00
00
a
AHBCabacbcbcbc
abbcca
b
BHACacabbcacac
abbcca
.(;;)(;;)
.(;;)(;;)
ỡ
= =
ù
ù
++
ị
ớ
ù
= =
ù
++
ợ
uuuruuur
uuuruuur
AHBC
BHAC
ỡ
^
ịị
ớ
^
ợ
H l trc tõm DABC.
3. Chng minh
2222
1111
OHOAOBOC
=++
222222
abc
OHdOABC
abbcca
(,())
-
==
++
222222
2222
1
abbcca
OHabc
++
ị=
222222
222222222
111111
abbcca
OAOBOCabcabc
++
++=++=
2222
1111
OHOAOBOC
ị=++.
4. Chng minh
222
1
coscoscos.
abg
++=
Nhn xột:
ã
(
)
( )
OABABC
OABABCnn
()()
coscos(),()cos,
a
==
rr
Gi
ABC
nnbcacab
()
(;;)
==
rr
123
001100010
OABOBCOAC
nnknninnj
()()()
(,,);(,,);(,,)
=========
r
rr
rrrrrr
222222
123
nnnnnn
coscoscoscos(,)cos(,)cos(,)
abg
ị++=++
rrrrrr
222222
222222222222222222
abbcac
abbccaabbccaabbcca
=++
++++++
Vy:
222
1
coscoscos.
abg
++=
PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 60
Vớ d 2:
Cho tam giỏc u ABC cú ng cao AH = 2a. Gi O l trung im AH. Trờn ng thng
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti O, ly im S sao cho OS = 2a.
1. Tớnh cosin ca gúc j to bi hai mt phng (SAB) v (SAC).
2. Trờn on OH ly im I. t OI = m (0 < m < a). Mt phng (a) qua I, vuụng gúc vi
AH ct cỏc cnh AB, AC, SC, SB ln lt ti M, N, P, Q.
a. Tớnh din tớch thit din MNPQ theo a v x.
b. Tỡm m din tớch MNPQ ln nht.
Gii:
Gi D l trung im AB
34
2
3
1
4
3
ODOH
BCa
AHBC
a
ODBC
ị^
=ị=
ị==
Chn h trc ta Oxyz sao cho:
0000000002
3
a
ODHaSa
(;;),;;,(;),(;;)
ổử
ỗữ
ốứ
22
0000
33
aa
AaBaCa
(;;),;;,;;
ổửổử
ị
ỗữỗữ
ốứốứ
1. Tớnh
cos
j
:
V
BESA
^
ti E
CESA
ị^
(vỡ
ã
SABCEBEC
())
j
^ị=
02012
SAaaa
(;;)(;;)
==
uur
Phng trỡnh ng thng SA:
0
2
x
yattR
zt
()
ỡ
=
ù
=-+ẻ
ớ
ù
=
ợ
Phng trỡnh mp(BCE):
(
)
0
y a 2z
+=
Thay x, y, z vo phng trỡnh (BCE), ta c:
2
240
5
a
attt-++=ị=
34
0
55
aa
E ;;
ổử
ị-
ỗữ
ốứ
2842
54323
55
353
2842
54323
55
353
aaaa
EB
aaaa
EC
;;(;;)
;;(;;)
ỡ
ổử
-
==-
ù
ỗữ
ù
ốứ
ị
ớ
ổử
ù
= =
ỗữ
ù
ốứ
ợ
uuur
uuur
2
22
5432354323
357
33
8517
2
8585
3
aa
EBEC
a
.(;;)(;;)
coscos(,)
j
ị====
ổử
ỗữ
ốứ
uuuruuur
Vy
7
17
cos
j
=
.
2. Ta cú: I(0; m; 0),
010
OHa
(;;)
=
uuur
ị
phng trỡnh mp(MNPQ): y m = 0
z
S
E
A
D
x
M
B
y
H
C
P
N
I
m
Q
O
a
j
2a
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 61
a. Tớnh S
MNPQ
:
Ta cú:
22
20130
33
aa
ABa
;;(;;)
ổử
==
ỗữ
ốứ
uuur
;
22
20130
33
aa
ACa
;;(;;)
ổử
=-=
ỗữ
ốứ
uuur
2
22323
33
aa
SBaa
;;(;;)
ổử
=-=-
ỗữ
ốứ
uur
;
2
22323
33
aa
SCaa
;;(;;)
ổử
= =
ỗữ
ốứ
uur
Phng trỡnh ng thng AB: 3
0
xt
yattR
z
()
ỡ
=
ù
=-+ẻ
ớ
ù
=
ợ
0
3
am
MABMNPQMm
();;
ổử
+
=ầị
ỗữ
ốứ
Phng trỡnh ng thng AC: 3
0
xt
yattR
z
()
ỡ
=
ù
= ẻ
ớ
ù
=
ợ
0
3
am
NACMNPQNm
();;
ổử
=ầị
ỗữ
ốứ
Phng trỡnh ng thng SB:
2
3
223
xt
yttR
zat
()
ỡ
=
ù
=ẻ
ớ
ù
=-
ợ
2
22
3
m
QSBMNPQQmam
();;
ổử
=ầị-
ỗữ
ốứ
Phng trỡnh ng thng SC:
2
3
223
xt
yttR
zat
()
ỡ
=
ù
=-ẻ
ớ
ù
=+
ợ
2
22
3
m
PSCMNPQPmam
();;
ổử
=ầị
ỗữ
ốứ
ị
322
02202200
333
maamam
MQamMPamMN
;;;;;;;;
ổửổửổử
=-=-=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
uuuruuuruuuur
(
)
22
222
2
22
1
2
1844
0000
2
33
1844642
2
33333
2
32
3
MNPQ
MNPQ
SMQMPMPMN
mmama
mamamaa
mm
Smama
[,][,]
()
;;;;
()
()
=+
ổử
ổử
ổử
ỗữ
=+
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
ốứ
ổử
=+=-++
ỗữ
ỗữ
ốứ
ị=-++
uuuruuuruuuruuuur
b/ Tỡm m (S
MNPQ
)
max
:
Bng xột du:
PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 62
m
Ơ
3
a
+Ơ
22
32
mama
-++
Ơ
2
4
3
a
Ơ
22
248
3
333
MNPQ
aa
S .ịÊ=
Vy
2
8
3
33
MNPQ
aa
Skhim
max
().
==
Cỏch khỏc:
2
2
3
8
2323
32
33
MNPQ
coõsi
a
amm
aa
Samm
()
()
()
ộự
ổử
ờỳ
-++
ỗữ
ổử
ờỳ
ốứ
=-+Ê=
ỗữ
ờỳ
ởỷ
ốứ
2
8
33
33
MNPQ
aaa
Sammm
max
().
ị=-=+=
Vớ d 3:
Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc. OA= a, OB = b, OC = c.
1. Gi I l tõm mt cu ni tip (S) ca OABC. Tớnh bỏn kớnh r ca (S).
2. Gi M, N, P l trung im BC, CA, AB. Chng minh rng hai mt phng (OMN) v
(OMP) vuụng gúc
222
111
abc
=+.
Gii:
Chn h trc Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
1. Tớnh r:
Ta cú:
IAOBIOBCIOCAIABCOABC
VVVVV
+++=
36
OABOBCOCAABC
rabc
SSSS
().
DDDD
ị+++=
222222
222222
1
2
1
00
2
1
2
1
66
ABC
SABAC
abac
abbcca
rabc
abbccaabbcca
[,]
[(;;),(;;)]
()()
D
=
=
=++
ị+++++=
uuuruuur
Vy
222222
abc
r
abbccaabbcca
=
+++++
2. Chng minh (OMN) ^ (OMP)
222
111
abc
=+
Ta cú:
000
222222
bcacab
MNP
;;,;;,;;
ổửổửổử
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
444
OMN
bcacab
nOMON
()
[,];;
ổử
==-
ỗữ
ốứ
uuuruuur
r
C
z
y
x
B
A
O
a
b
P
c
M
N
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 63
444
OMP
bcacab
nOMOP
()
[,];;
ổử
==
ỗữ
ốứ
uuuruuur
r
0
OMNOMP
OMNOMPnn
()()
()().
ị^=
rr
222222
22222
222
111
0
161616
bcacab
acbbc
abc
().
-++=+==+
Vớ d 4:
Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB= a, AD = 2a. Trờn tia
AzABCD
()
^
ly im S. Mt phng
(a) qua CD ct SA, SB ln lt ti K v L.
1. Cho SA = 2a, AK = k
02
ka
()
ÊÊ
a. Tớnh din tớch t giỏc CDKL
. Tớnh k theo a S
CDKL
ln nht, nh nht.
b. Chng t khong cỏch gia hai ng thng KD v BC khụng i.
c. Tớnh k theo a (a) chia hỡnh chúp S.ABCD thnh hai phn cú th tớch bng nhau.
2. Gi M, N ln lt l trung im SC, SD. Tỡm qu tớch giao im I ca AN, BM khi S di
ng trờn tia Az.
Gii:
1. Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a)
0002
02
AKkKkka
nKCKDaka
(;;),
[,](;;)
a
=ịÊÊ
==
uuuruuur
r
Phng trỡnh
220220
kyaazkyazak
():()
a
-+=+-=
102
SBa
(;;)
=-
uur
Phng trỡnh ng thng SB: 0
2
xat
ytR
zt
()
ỡ
=+
ù
=ẻ
ớ
ù
=-
ợ
0
2
k
SBLLak
();;
a
ổử
ầ=ị-
ỗữ
ốứ
a/ S
CDKL
= S
DCKL
+ S
DCKD
:
(
)
222222
1
2
1
22200
22
124
444
224
CKCLCKCD
k
aakakaaka
akak
akaakak
[,][,]
[(;;,;;][(;;,(;;)]
=+
ổử
= +
ỗữ
ốứ
ổử
=+++=+
ỗữ
ốứ
uuuruuuruuuruuur
Xột
22
22
22
4244
40
4
44
akkaka
fkakfk
ka
/
()()
+-
=+ị=<
+
Bng bin thiờn:
k
Ơ
0 2a
+Ơ
f
/
(k)
f(k) 2a
2
2
2
a
z
S
B
x
C
y
D
N
M
K
L
a
2a
A
k
I
PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 64
Vy:
2
20
Sak
max
==
2
22
Saka
min
.
==
b/ d(KD, BC)
0202000
02020
KDBCDCakaa
aka
KDBC
[,][;;),(;;)](;;)
[;;),(;;]
[,]
-
==
-
uuuruuuruuur
uuuruuur
= a (khụng i)
* Chỳ ý: CD l on vuụng gúc chung ca KD v BC.
c/ Tớnh k
1
2
SCDKLSABCD
VV
=
Ta cú:
2
22
42
4
aak
dS
ka
(,())
a
-
=
+
3
3
124
36
14
33
244
66
352
SCDKLCDKL
SABCDABCD
aakak
VdSS
a
VSAS
aakaka
kadoka
.
.
()
(,()).
.
()()
()()
a
ị==
==
ị=
=-Ê
2. Qu tớch I:
0000
222
ass
SAzSssMaNa
(;;),;;,;;
ổửổử
ẻị>ị
ỗữỗữ
ốứốứ
11
202
22
BMaasANas
(;;);(;;)
= =
uuuruuur
ị Phng trỡnh ng thng BM:
1
11
1
2
xaat
yattR
zst
()
ỡ
=+
ù
=-ẻ
ớ
ù
=-
ợ
Phng trỡnh ng thng AN:
22
2
0
2
x
yattR
zst
()
ỡ
=
ù
=ẻ
ớ
ù
=
ợ
02
IANBMIas
()()(;;)
=ầị
Ta cú: 00
IDsIDAS
(;;)//.
=-ị
uuruuruur
Vy qu tớch I l na ng thng
DtABCD
()
^
(tr im D, do s > 0).
Vớ d 5:
Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy
ã
2aASB
;.
a
=
1. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp.
2. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ni tip hỡnh chúp.
3. Tỡm a tõm mt cu ngoi tip v ni tip trựng nhau.
Gii:
Ta cú: AC = BD = 2a. Gi SO l ng cao v SO= h.
Chn h trc ta Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h)
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 65
0000
CaDa
(;;),(;;)
ị
1. Tõm I v R ca (S) ngoi tip chúp S.ABCD
Do S.ABCD l hỡnh chúp t giỏc u nờn
0
00
IOSIz
(;;)
ẻị
Phng trỡnh mt cu (S):
222
0
20
xyzzzd
++-+=
2
2
0
2
22
0
222222
0
20
2
00
222
ad
ASS
hzhd
da
ha
z
h
hahaha
IRa
hhh
,()
;;,
ỡ
+=ù
ẻị
ớ
-+=
ù
ợ
ỡ
=-
ù
ị
ớ
-
=
ù
ợ
ổửổử
+
ị=+=
ỗữỗữ
ốứốứ
Mt khỏc:
2
2222
00SASBahahh
SASB
ahah
.(;;)(;;)
cos
.
a
===
++
uuruur
2
1
a
h
cos
cos
a
a
ị=
-
(a nhn do DSAB cõn ti S).
Vy:
21
a
R
cos(cos)
aa
=
-
21
21
a
OI
(cos)
cos(cos)
a
aa
-
=
-
2. Tõm J v r ca (S
/
) ni tip chúp S.ABCD:
Ta cú: 00
JOSJrOJr
(;;),
ẻị=
2
2
22
222
2
222
12
2
333
1
442
2
22
1
1
SABCDtpSABCD
xpSAB
tpxpABCD
rah
VSVha
SSSASBah
SSSaha
a
ah
r
aah
.;.()
sin()sin
()sin
cos(cos)
sincos
()sin
D
aa
a
aa
aa
a
===
===+
ị=+=++
-
ị==
+-
++
Vy:
1
1
a
OJr
cos(cos)
.
sincos
aa
aa
-
==
+-
3. Tỡm a I J
1
21
1
21
21121
a
a
IJOIOJ
cos(cos)
(cos)
sincos
cos(cos)
(cos)(sincos)cos(cos)
aa
a
aa
aa
aaaaa
-
-
==
+-
-
-+-=-
12010
10
45
o
sin
do
donhoùn)
(cos)(sincos)(sincos)(sincos)
sincos(sincos)
(
aaaaaaaa
aaaa
aa
-+-= +=
=+->
=
Vy
45
o
IJ
.
a
=
z
S
x
A
23
B
y
C
D
O
h
a
a
PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 66
Vớ d 6:
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l ỏy hỡnh ch nht vi AB = a, AD = b, SA = 2a
vuụng gúc vi ỏy. Trờn cnh SA ly im M, AM = m (
02
ma
)
ÊÊ
1. Mt phng (MBC) ct hỡnh chúp theo thit din l hỡnh gỡ. Tớnh din tớch thit din?
2. Tỡm v trớ M din tớch thit din ln nht.
3. Tỡm v trớ M mt phng (MBC) chia hỡnh chúp thnh hai phn cú th tớch bng nhau.
Gii:
Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a)
00002
CabMmma
(;;),(;;)()
ịÊÊ
.
Ta cú: 0
MBC
nMBMCbma
()
[,](;;)
==
uuuruuur
r
.
02
SDba
(;;)
=-
uuur
ị Phng trỡnh mt phng (MBC):
0
mxazma
+-=
Phng trỡnh ng thng SD:
0
2
x
ybbttR
zat
()
ỡ
=
ù
=+ẻ
ớ
ù
=-
ợ
Gi
2
0
2
abmb
NSDMBCNm
a
();;
ổử
-
=ầị
ỗữ
ốứ
1. Hỡnh tớnh v din tớch BCMN
Ta cú:
2
00000
2
abmb
MNBCbMBam
a
;;;(;;);(;;)
ổử
-
===-
ỗữ
ốứ
uuuuruuuruuur
MNBC
BCMN
BCMB
ỡ
ịị
ớ
^
ợ
P
l hỡnh thang vuụng.
22
22
24
2224
BCMN
MBamabmbabmb
SMNBCbam
aa
()
ổử
+
=+=+=+
ỗữ
ốứ
2. Tỡm v trớ M S
BCNM
ln nht:
Ta cú:
22
4
4
m
b
Samma
a
()
()=-+
22
22
2222
424
44
m
bammbmama
Sma
aa
mama
/
()
()
.
ộự
+-
ị=-++=
ờỳ
ờỳ
++
ởỷ
22
0
2
m
a
Sm
/
()
()
==
m
Ơ 0
22
2
a
()
-
22
2
a
()
+
2a +Ơ
m
S
/
()
0 + 0
m
S
()
ab
7182
8
ab +
7182
8
ab -
5
2
ab
a
b
D
y
x
B
S
z
2a
M
m
A
C
N
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 67
718222
82
aba
Sm
max
()
++
ị==
718222
82
aba
Sm
min
()
==
3. Tỡm v trớ M
1
2
SBCNMSABCD
VV
=
Ta cú:
2
22
2
ama
dSMBC
ma
(,())
-
=
+
2
22
22
2
12442
3412
12
2
33
SBCNM
SABCD
amaabmbbamam
Vma
a
ma
ab
Vaab
.
.
()()
ị=+=
+
==
Yờu cu bi toỏn
2
42
4
amam
a
()()
=
22
64035
mamama(vỡ m2a)
()-+==-Ê
Vy
35
AMa
().
=-
Vớ d 7:
Cho hỡnh lp phng ABCD.AÂBÂCÂDÂ cnh a.
1. Chng minh
ACABD
///
()
^ . Tớnh gúc j gia (DAÂC) v (ABBÂAÂ).
2. Trờn cnh AD
/
, DB ly im M, N tha AM = DN = k
02
ka
()
<< .
a. Chng minh MN // (A
/
D
/
BC)
b. Tỡm k MN
min
. Chng t khi ú MN l on vuụng gúc chung ca ADÂ, DB.
Gii:
Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0)
A
/
(0; 0; a), B
/
(a; 0; a), C
/
(a; a; a), D
/
(0; a; a)
AM = DN = k
00
2222
kkkk
MNa
;;,;;
ổửổử
ị-
ỗữỗữ
ốứốứ
1. Chng minh
ACABD
///
()
^ :
Ta cú: 0
0
ACaaa
ABaa
ADaa
/
/
/
(;;)
(;;)
(;;)
ỡ
=-
ù
ù
ớ
=
ù
=
ù
ợ
uuuur
uuuur
uuuur
222
222
0
ABD
ABD
ABD
nABADaaa
ACnaaaaaa
ACn
//
//
//
//
()
/
()
/
()
,(;;)
,(;;),(;;)
ị==
ộự
ộự
= =
ởỷ
ờỳ
ởỷ
ị
uuuuruuuur
r
uuuur
r
r
uuuur
r
P
Vy
ACABD
///
()
^
z
A
/
D
/
B
/
C
/
A
D
B
C
k
y
z
a
N
M
k
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 68
Cách khác:
0
0
ACABACAB
ACABD
ACAD
ACAD
////
///
//
//
.
()
.
ì
ì
ïï
=^
ÞÞ^
íí
^
ï
=
îï
î
uuuuruuuur
uuuuruuuur
Tính j:
22
1
0
nDADCaa
/
[,](;;)
==
uuuur
ruuur
2
010
ABBA
nnj
//
()
(;;)
===
rrr
2
12
2
12
2
2
2
nna
a
nn
.
cos
j
Þ===
rr
rr
.
Vậy
45
o
.
j
=
2. a. Chứng minh MN // (A
/
D
/
BC):
2
1
22
2
101
ADBC
MNkakk
nnBABCa
//
/
()
(;;)
[,](;;)
=
===-
uuuur
uuuur
uuur
rr
Ta có:
2
0
2
a
MNnkk
.()
-
=-=
uuuurr
MNADBCdoMADBC
////
()(()
ÞÏ
P
)
b/ Tìm k để MN
min
:
Ta có:
222
1
6422
2
MNkaka
()
=-+
k
–¥ 0
2
3
a
2
a
+¥
MN
2
2
3
a
2
3
3
aa
MNk
min
Þ=Û=
Khi
2
3
a
k = thì
111
3
a
MN
(;;)
=-
uuuur
11100
3
11100
3
a
MNADaa
MNAD
a
MNBD
MNBDaa
/
/
.(;;)(;;)
.(;;)(;;)
ì
=-=
ï
ì
ï
^
ÞÞ
íí
^
î
ï
= =
ï
î
uuuur
uuuur
uuuuruuur
Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD
/
và BD.
Ví dụ 8:
Cho hình lập phương ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm của hình
vuông ADD
/
A
/
.
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) đi qua 4 điểm C, D
/
, M, N.
2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S
/
) đi qua A
/
, B
/
, C, D.
3. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (CMN) và hình lập phương.
