Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 4 ppsx

Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 29

a)
(
)
(
)
217452
A B;;,;;

b)
432211
AB
(;;),(;;)

c)
109122034
AB
(;;),(;;)
-

d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)

f)
423211
AB
(;;),(;;)


Baøi 8. Cho bốn điểm A, B, C, D.
· Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
· Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
· Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
· Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
· Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
a)
253100302312
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

b)
(
)
(
)
(
)
(
)
100010001211
A B C D
;;,;;,;;,;;

c)
(
)
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D
;;,;;,;;,;;

e)
231412637548
ABCD

(;;),(;;),(;;),(;;)

f)
572311944150
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


g)
241101142121
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

h)
324252122423
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


i)
348121526743
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

k)
326244991001
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

Baøi 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
· Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
· Tính thể tích khối hộp.
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
101212111455
ABDC
;;,;;,;;,';;

b)
253100302312
ABCA
(;;),(;;),(;;),'(;;)


c)
021111000110
ABDA
(;;),(;;),(;;;),'(;;)

d)
022012111121
ABCC

(;;),(;;),(;;),'(;;)


Baøi 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
Baøi 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.
c) Vẽ SH ^ (ABC). Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều.
Baøi 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích các vectơ
OIAG
,
uuruuur
theo các vectơ
OAOCOD
,,
uuuruuuruuur
.
b) Phân tích vectơ
BI
uur
theo các vectơ
FEFGFI
,,
uuuruuuruur
.
Baøi 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.

a) Phân tích vectơ
AE
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
b) Phân tích vectơ
AG
uuur
theo các vectơ
ACAFAH
,,
uuuruuuruuur
.
Baøi 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng
minh rằng MN ^ A¢C.
Baøi 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông
góc với mặt phẳng (MNP).

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 30

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S):
2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
222
ABABAB
III
xxyyzz
xyz;;
+++
===.
– Bán kính R = IA =
2
AB
.
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:
222
2220

xyzaxbyczd
++++++=
(*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d
Þ
Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J và bán kính R
¢
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngồi)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):

222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
với
222
0
abcd
++->

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
222

abcd
++-
.


Baøi 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
222
8210
xyzxy
++-++=
b)
222
48240
xyzxyz
++++ =

c)
222
2440
xyzxyz
++ +=
d)
222
642860
xyzxyz
++-+ =

e)
222

1246240
xyzxyz
++-+-+=
f)
222
61212720
xyzxyz
++ ++=

g)
222
84240
xyzxyz
++-++-=
h)
222
340
xyzxy
++-+=

i)
222
333631520
xyzxyz
+++-+-=
k)
222
622100
xyzxyz
++-+-+=

Baøi 2. Xác định m, t,
a
, … để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của
các mặt cầu đó:
a)
2222
2242590
xyzmxmymzm()
++-++-++=

b)
2222
23212270
xyzmxmymzm()()
++ +-++=

c)
222
2142270
xyzxyz(cos)cos.cos
aaa
++++ ++=

d)
22222
232412480
xyzxyz(cos)(sin)cos
aaa
+++-+-+++=

e)
222
226380
xyztxyztln.ln
++-+-++=

f)
2222
22421580
xyztxtytzt(ln)ln.(ln)ln
+++-+++++=

Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a)
1353
IR(;;),-= b)
5372
IR
(;;),
-=
c)
1325
IR
(;;),
-=
d)
2433
IR
(;;),

-=

Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 31

Baøi 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
a)
241523
IA
(;;),(;;)
-
b)
032000
IA
(;;),(;;)
-
c)
321213
IA
(;;),(;;)


d)
442000
IA
(;;),(;;)

e)
412124
IA

(;;),(;;)


Baøi 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
a)
241523
AB
(;;),(;;)
-
b)
032241
AB
(;;),(;;)

c)
321213
AB
(;;),(;;)


d)
433215
AB
(;;),(;;)

e)
235413
AB
(;;),(;;)

f)
625407
AB
(;;),(;;)


Baøi 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
200040006246
A B C D

;;,;;,;;,;;

c)
231412637548
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

d)
572311944150
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


e)
623016201410
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)

f)
010231222112
ABCD
(;;),(;;),(;;),(;;)


Baøi 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho
trước, với:
a)
120113201
ABC
POxz

(;;),(;;),(;;)
()()
ì

í
º
î
b)
201132320
ABC
POxy
(;;),(;;),(;;)
()()
ì
í
º
î

Baøi 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:
a)
222
511
24650
I
Txyzxyz
(;;)
():
ì
-
í

++-+-+=
î
b)
222
322
24850
I
Txyzxyz
(;;)
():
ì
-
í
++-+-+=
î



VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
, R
1
) và S
2
(I
2
, R

2
).

·

1212
IIRR
<-
Û
(S
1
), (S
2
) trong nhau
·

1212
IIRR
>+

Û
(S
1
), (S
2
) ngồi nhau

·

1212

IIRR
=-
Û
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc trong
·

1212
IIRR
=+
Û
(S
1
), (S
2
) tiếp xúc ngồi

·

121212
RRIIRR
-<<+

Û
(S
1
), (S

2
) cắt nhau theo một đường tròn.

Baøi 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
222
84240
42450
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+ =
í
+++ +=
ï
î
b)
222
222
1239
6106210
xyz
xyzxyz
()()()
ì
ï
++-+-=
í

++ =
ï
î

c)
222
222
241050
46220
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+-+=
í
++ +-=
ï
î
d)
222
222
842150
4122250
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++-+ =
í
+++ +=

ï
î

e)
222
222
26450
62420
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
++ ++=
í
++-+ =
ï
î
f)
222
222
42230
64220
xyzxyz
xyzxyz
ì
ï
+++-+-=
í
++-+ =
ï

î

Baøi 2. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:
a)
222
2222
21364
4232
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
-+-++=
í
-+++-=+
ï
î
b)
222
2222
32181
1233
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï

-++++=
í
-+-+-=-
ï
î

c)
222
2222
22125
1231
xyz
xyzm
()()()
()()()()
ì
ï
++-+-=
í
+++++=-
ï
î
d)
222
2222
32116
1233
xyz
xyzm
()()()

()()()()
ì
ï
+++++=
í
-+-+-=+
ï
î







PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 32

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng:

2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
hoặc:
222
2220
xyzaxbyczd

++++++=

– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
2. Tìm tập hợp tâm mặt cầu
– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn:
xft
ygt
zht
()
()
()
ì
=
ï
=
í
ï
=
î
(*)
– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

Baøi 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
22
30
MAMB
+=
b)

2
MA
MB
=
c)
222
0
MAMBkk
()
+=>

Baøi 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a)
22
124
MAMB
+=
b)
3
2
MA
MB
= c)
·
0
90
AMB =

d) MA = MB e)
222

210
MAMBkk
()()
+=+>

Baøi 3. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi:
a)
222
46231920
xyzxymzm()
++ +-+-=

b)
222
2242240
xyzmxyzm()
+++-+-++=

c)
2222
2421260
xyzxymzm()
+++-++++=

d)
222
422526210
xyzmxmyzm(cos)(sin)cos
++-+-+-++=

e)
2222
2342414520
xyzmxmyzm(cos)(sin)sin
+++ + =




Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 33




1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
· Vectơ
0
n
¹
r
r
là VTPT của (a) nếu giá của
n
r
vuông góc với (a).
· Hai vectơ
ab
,
r

r
không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên (a).
Chú ý:
·
Nếu
n
r
là một VTPT của (
a
) thì
kn
r
(k ≠ 0) cũng là VTPT của (
a
).

·
Nếu
ab
,
r
r
là một cặp VTCP của (
a
) thì
[
]
nab
,

=
r
rr
là một VTPT của (
a
).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

222
00
AxByCzDvôùiABC
+++=++>

· Nếu (a) có phương trình
0
AxByCzD
+++=
thì
nABC
(;;)
=
r
là một VTPT của (a).
· Phương trình mặt phẳng đi qua
0000
Mxyz
(;;)
và có một VTPT
nABC
(;;)

=
r
là:

000
0
AxxByyCzz
()()()
-+-+-=

3. Các trường hợp riêng

Chú ý:
·
Nếu trong phương trình của (
a
) không chứa ẩn nào thì (
a
) song song hoặc chứa
trục tương ứng.

·
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
1
xyz
abc
++=

(
a

) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a):
1111
0
AxByCzD
+++=

(b):
2222
0
AxByCzD
+++=


·
(
a
), (
b
) cắt nhau
Û

111222
ABCABC
::::
¹

·

(
a
) // (
b
)
Û

1111
2222
ABCD
ABCD
==¹

·
(
a
)
º
(
b
)
Û

1111
2222
ABCD
ABCD
===

·
(
a
)
^
(
b
)
Û

121212
0
AABBCC
++=

5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
a
): Ax + By + Cz + D = 0

( )
000
0

222
AxByCzD
dM
ABC
,()
a
+++
=
++




III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Các hệ số
Phương trình mặt phẳng (a) Tính chất mặt phẳng (a)
D = 0
0
AxByCz
++=

(a) đi qua gốc toạ độ O
A = 0
0
ByCzD
++=

(a) // Ox hoặc (a) É Ox
B = 0
0

AxCzD
++=

(a) // Oy hoặc (a) É Oy
C = 0
0
AxByD
++=

(a) // Oz hoặc (a) É Oz
A = B = 0
0
CzD
+=

(a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy)
A = C = 0
0
ByD
+=

(a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz)
B = C = 0
0
AxD
+=

(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

Trang 34

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (
a
) ta cần xác định một điểm thuộc (
a
) và một VTPT của nó.
Dạng 1: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
có VTPT
(
)
nA;B;C
=
r
:
(
a
):
(
)
(
)
(

)
000
0
AxxByyCzz
-+-+-=

Dạng 2: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
có cặp VTCP
ab
,
r
r
:
Khi đó một VTPT của (
a
) là
[
]
nab
,
=
r
rr
.

Dạng 3: (
a
) đi qua điểm
(
)
000
Mx;y;z
và song song với mặt phẳng (
b
): Ax + By + Cz + D = 0:
(
a
):
(
)
(
)
(
)
000
0
AxxByyCzz
-+-+-=

Dạng 4: (
a
) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (
a
) là:

nABAC
,
éù
=
ëû
uuuruuur
r

Dạng 5: (
a
) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
r
.
– Một VTPT của (
a
) là:
nAMu
,
éù
=
ëû
uuur
rr

Dạng 6: (
a
) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP

u
r
của đường thẳng (d) là một VTPT của (
a
).
Dạng 7: (
a
) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Xác định các VTCP
ab
,
r
r
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]
nab
,
=

r
rr
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2

Þ
M
Î
(
a
).
Dạng 8: (
a
) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(d
1
, d
2
chéo nhau):
– Xác định các VTCP
ab
,
r
r

của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1

Þ
M
Î
(
a
).
Dạng 9: (
a
) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d

2
:
– Xác định các VTCP
ab
,
r
r
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (
a
) là:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
Dạng 10: (
a
) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
– Xác định VTCP
u
r
của (d) và VTPT

n
b
r
của (
b
).
– Một VTPT của (
a
) là:
nun
,
b
éù
=
ëû
rrr
.
– Lấy một điểm M thuộc d
Þ
M
Î
(
a
).
Dạng 11: (
a
) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g):
– Xác định các VTPT
nn
,

bg
rr
của (
b
) và (
g
).
– Một VTPT của (
a
) là:
nun
,
bg
éù
=
ëû
rrr
.
Dạng 12: (
a
) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
– Giả sử (
a
) có phương trình:
0
AxByCz+D
++=
(
)
222

0
ABC
++¹
.
– Lấy 2 điểm A, B
Î
(d)
Þ
A, B
Î
(
a
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
dMk
(,())
a
=
, ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (
a
) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của (
a
) là:
nIH
=
uur

r

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở
lớp 11.
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 35

Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT
n
r
cho trước:
a)
(
)
(
)
=-
M3;1;1,n1;1;2
r
b)
(
)
(
)
-=
M2;7;0,n3;0;1
r
c)
(
)

(
)
=
M4;1;2,n0;1;3
r

d)
(
)
(
)
-=
M2;1;2,n1;0;0
r
e)
(
)
(
)
=
M3;4;5,n1;3;7
r
f)
(
)
(
)
=-
M10;1;9,n7;10;1
r

Baøi 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
a)
211211
AB
(;;),(;;)

b)
114205
AB
(;;),(;;)

c)
234410
AB
(;;),(;;)


d)
11
A;1;0,B1;;5
22
æöæö

ç÷ç÷
èøèø
e)
211
A1;;,B3;;1
323

æöæö
-
ç÷ç÷
èøèø
f)
256132
AB
(;;),(;;)


Baøi 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP
ab
,
r
r
cho trước, với:
a)
123212321
Ma b
(;;),(;;),(;;)
-==-
r
r
b)
123312034
Mab
(;;),;;),(;;)
-= =
r
r

c)
134272324
Mab
(;;),(;;),(;;)
-==
r
r
d)
405613321
Ma b
(;;),(;;);(;;)
-=-=
r
r

Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
(
)
b
cho
trước, với:
a)
(
)
(
)
(
)
215

MOxy
;;,
b
= b)
(
)
(
)
121230
Mxy;;,:
b
+=

c)
(
)
(
)
1102100
Mxyz;;,:
b
+-=
d)
(
)
(
)
36510
Mxz;;,:
b

+-=

e)
235250
Mxyz
(;;),():
b
-+-+=
f)
111101020400
Mxyz
(;;),():
b
-+-=

Baøi 5. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng
toạ độ, với:
a)
(
)
215
M
;;
b)
(
)
121
M
;;
- c)

(
)
110
M
;;
- d)
(
)
365
M ;;
-

e)
235
M
(;;)
-
f)
111
M
(;;)
g)
110
M
(;;)
-
h)
365
M
(;;)

-

Baøi 6. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:
a)
124321213
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
000213421
ABC
(;;),(;;),(;;)


c)
123243456
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
352120037
ABC
(;;),(;;),(;;)


e)
240517111
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
300050007
ABC
(;;),(;;),(;;)


Baøi 7. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm B, C cho trước, với:
a)
124321213
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
000213421
ABC
(;;),(;;),(;;)


c)
123243456
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
352120037
ABC
(;;),(;;),(;;)

e)
240517111
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
300050007
ABC
(;;),(;;),(;;)


Baøi 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (b)
cho trước, với:
a)
( )
311214
2310
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
-+-=
î
b)
( )
213421

23250
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+-+=
î
c)
( )
213479
34850
AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+ =
î

d)
( )
312312
22250

AB
xyz
(;;),(;;)
:
b
ì

í
+=
î

Baøi 9. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g)
cho trước, với:
a)
(
)
(
)
12523102310
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
+-+=-++=

b)
(
)
(
)
10222030
Mxyzxyz(;;),:,:

bg
-+ = =

c)
(
)
(
)
2402325034850
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
-+-+=+ =

d)
(
)
(
)
5173436032530
Mxyzxyz(;;),:,:
bg
-++=-+-=

Baøi 10. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
cho trước, với:
a)
(
)
(
)

(
)
123235032510
MPxyzQ: xyz;;,:,
+-=-+-=

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 36

b)
(
)
(
)
(
)
21140310
MPxyzQ: xyz;;,:,
+-=-+-=

c)
(
)
(
)
(
)
34119642704283110
MPxyzQ:xyz;;,:,
+=-++=

d)
(
)
(
)
(
)
00153250210
MPxyzQxyz;;,:,:
-+-= =

Baøi 11. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
2403020
PyzQxyzRxyz
():,():,():
+-=+ =++-=

b)
42504502190
PxyzQyzRxy
():,():,():
-+-=+-=-+=

c)
320450270
PxyzQxyRxz
():,():,():

-+-=+-=-+=

Baøi 12. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a)
234023502320
PxyQyzRxyz
():,():,():
+-= =+ =

b)
2403020
PyzQxyzRxyz
():,():,():
+-=+-+=++-=

c)
2402502360
PxyzQxyzRxyz
():,():,():
+ =+++= +=

d)
320450270
PxyzQxyRxz
():,():,():
-+-=+-=-+=

Baøi 13. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời
cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với:

a)
20513201232
PxyQxyzMk
():,():,(;;),
=-+==



VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Baøi 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a)
23250
34850
xyz
xyz
ì
+-+=
í
+ =
î
b)
34360
32530
xyz
xyz
ì
-++=
í
-+-=

î
c)
55510
33370
xyz
xyz
ì
+ =
í
+-+=
î

d)
64650
1281250
xyz
xyz
ì
+=
í
=
î
e)
22450
25
55100
2
xyz
xyz
ì

+=
ï
í
+=
ï
î
f)
326230
326330
xyz
xyz
ì
=
í
+=
î

Baøi 2. Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: · song song · cắt nhau · trùng nhau
a)
3270
7640
xmyz
nxyz
ì
+ =
í
+-+=
î
b)
52110

350
xymz
xnyz
ì
-+-=
í
++-=
î
c)
2350
6620
xmyz
nxyz
ì
++-=
í
+=
î

d)
390
2230
xymz
xnyz
ì
-+-=
í
++-=
î
e)

2350
6620
xyz
mxyz
ì
++-=
í
=
î
f)
3530
2310
xymz
xyz
ì
-+-=
í
+-+=
î

g)
20
2430
xmyz
xynz
ì
+-+=
í
++-=
î

h)
2210
320
xnyz
xymz
ì
-+-=
í
-+-=
î
i)
33250
22100
xmyz
mxymz
()
()
ì
+-=
í
+-+-=
î

Baøi 3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
a)
2720
32150
xymz
xyz
ì

-++=
í
+-+=
î
b)
213230
1450
mxmyz
mxmyz
()
()
ì
++=
í
+-+-=
î

c)
2120
70
mxymz
xmyz
ì
++-=
í
+++=
î
d)
33250
22100

xmyz
mxymz
()
()
ì
+-=
í
+-+-=
î

e)
4330
2710
xyz
mxyz
ì
=
í
+ =
î
f)
3530
3250
xymz
xyz
ì
-+-=
í
+++=
î

Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 37

VN 3: Khong cỏch t mt im n mt mt phng.
Khong cỏch gia hai mt phng song song.
Hỡnh chiu ca mt im trờn mt phng . im i xng ca mt im qua mt phng.

ã
Khong cỏch t im M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) n mt phng (
a
): Ax + By + Cz + D = 0

( )
000
0
222

AxByCzD
dM
ABC
,()
a
+++
=
++


ã
Khong cỏch gia hai mt phng song song bng khong cỏch t mt im bt kỡ trờn mt
phng ny n mt phng kia.
Chỳ ý: Nu hai mt phng khụng song song thỡ khong cỏch gia chỳng bng 0.

ã
im H l hỡnh chiu ca im M trờn (P)


MHncuứngphửụng
HP
,
()
ỡ
ớ
ẻ
ợ
uuuur
r

ã
im M
Â
i xng vi im M qua (P)


2
MMMH
Â
=
uuuuuruuuur


Baứi 1. Cho mt phng (P) v im M.
ã Tớnh khong cỏch t M n (P). ã Tỡm to hỡnh chiu H ca M trờn (P).
ã Tỡm to im MÂ i xng vi M qua (P).
a)
2260235
PxyzM
():,(;;)
-+-=-
b)
5140142
PxyzM
():,(;;)
++-=

c)
623120312

PxyzM
():,(;;)
-++=-
d)
24430234
PxyzM
():,(;;)
-++=-

e)
40211
PxyzM
():,(;;)
-+-=-
f)
320124
PxyzM
():,(;;)
-+-=

Baứi 2. Tỡm khong cỏch gia hai mt phng:
a)
2310
2350
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-++=

ợ
b)
6210
6230
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-+-=
ợ
c)
2450
3510
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
+ =
ợ

d)
4810
4850
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ

-++=
ợ
e)
2450
3510
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
+ =
ợ
f)
36370
210
xyz
xyz
ỡ
+-+=
ớ
+-+=
ợ

Baứi 3. Tỡm tp hp cỏc im cỏch mt phng mt khong bng k cho trc:
a)
632703
xyzk
,
-+-==
b)

326504
xyzk
,
+==

c)
6231202
xyzk
,
-++==
d)
2441403
xyzk
,
-+-==

Baứi 4. Tỡm tp hp cỏc im cỏch u hai mt phng:
a)
2310
2350
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-++=
ợ
b)
6210
6230

xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-+-=
ợ
c)
2450
3510
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
+ =
ợ

d)
4810
4850
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
-++=
ợ
e)
2450

3510
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
+ =
ợ
f)
36370
210
xyz
xyz
ỡ
+-+=
ớ
+-+=
ợ

Baứi 5. Tỡm tp hp cỏc im cú t s cỏc khong cỏch n hai mt phng bng k cho trc:
a)
22100
24430
2
3
xyz
xyz
k
ỡ
+ =

ù
ù
+-+=
ớ
ù
=
ù
ợ
b)
6210
6230
1
2
xyz
xyz
k
ỡ
-++=
ù
ù
-+-=
ớ
ù
=
ù
ợ
c)
63210
2260
4

7
xyz
xyz
k
ỡ
+ =
ù
ù
+-+=
ớ
ù
=
ù
ợ

Baứi 6. Tỡm im M trờn trc Ox (Oy, Oz) cỏch u im N v mt phng (P):
a)
2250122
PxyzN
():,(;;)
++-=-
b)
5140142
PxyzN
():,(;;)
++-=

c)
623120312
PxyzN

():,(;;)
-++=-
d)
24430234
PxyzN
():,(;;)
-++=-

e)
40211
PxyzN
():,(;;)
-+-=-
f)
320124
PxyzN
():,(;;)
-+-=

Baứi 7. Tỡm im M trờn trc Ox (Oy, Oz) cỏch u hai mt phng:
a)
10
50
xyz
xyz
ỡ
+-+=
ớ
-+-=
ợ

b)
2210
2250
xyz
xyz
ỡ
+-+=
ớ
++-=
ợ
c)
2450
4210
xyz
xyz
ỡ
-++=
ớ
+ =
ợ

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 38

d)
4810
4850
xyz
xyz
ì

-++=
í
-++=
î
e)
2450
3510
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
î
f)
36370
210
xyz
xyz
ì
+-+=
í
+-+=
î

Baøi 8. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng
(Q) cho trước. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a)
(
)

1232440
AQxyz;;–,():
+=
. b)
(
)
312623120
A Qxyz;;–,():
-++=
.
Baøi 9. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A
một khoảng k cho trước:
a)
22502144
QxyzAk
():,(;;),
+-+=-=
b)
244302343
QxyzAk
():,(;;),
-++=-=

Baøi 10. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:
a)
323014
Qxyzk():,-+-== b)
4325029
Qxyzk():,+-+==

VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (
a
), (
b
) có phương trình: (
a
):
1111
0
AxByCzD
+++=

(
b
):
2222
0
AxByCzD
+++=

Góc giữa (
a
), (
b
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
12
nn

,
rr
.

( )
12121212
222222
12
111222
nnAABBCC
nn
ABCABC
.
cos(),()
.
.
ab
++
==
++++
rr
rr

Chú ý:
·

·
(
)
00

090
(),()
ab
££.
·

121212
0
AABBCC()()
ab
^Û++=


Baøi 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng:
a)
10
50
xyz
xyz
ì
+-+=
í
-+-=
î
b)
2210
2250
xyz
xyz
ì

+-+=
í
++-=
î
c)
2450
4210
xyz
xyz
ì
-++=
í
+ =
î

d)
44270
2450
xyz
xz
ì
+-+=
í
+-=
î
e)
2230
22120
xyz
yz

ì
+=
í
++=
î
f)
33320
42490
xyz
xyz
ì
-++=
í
++-=
î

Baøi 2. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng a cho trước:
a)
0
213230
1450
90
mxmyz
mxmyz
()
()
a
ì
++=
ï

+-+-=
í
ï
=
î
b)
0
2120
70
45
mxymz
xmyz
a
ì
++-=
ï
+++=
í
ï
=
î
c)
0
2250
3230
90
mxmymz
mxmyz
()
()

a
ì
++-+=
ï
+-+-=
í
ï
=
î

d)
0
30
211160
30
mxymz
mxmymz()()()
a
ì
-++=
ï
++-+ =
í
ï
=
î

Baøi 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
g
b

a
,,
lần lượt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Bằng
phương pháp toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) 1coscoscos
222
=++
gba