Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 3 pdf

Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 19



Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt
·
ACM
=a
, hạ SH vuông góc với
đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxV
SAHC
=
3
12
a


b) AK =
2
1
asin
sin
a
a
+
,

SK =
2
1
a
sin
a
+
, V =
3
2
2
241
a sin
(sin)
a
a
+

Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc
·
BAC2
=a
. Trên đường thẳng d qua A
và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
AK
x

AI
=
. Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
a
a
+
b) S
MNPQ
=
2
41
axxa
(–)sin
.
Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
æö
ç÷
ç÷
èø
2
0 < x <
2

và AC = AD = BC = BD = 1.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn
nhất đó.
HD: b) V =
22
212
3
xx
-
; MaxV =
2
93
khi x =
3
3

Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai
điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O
là:
2
2
xya
=
.
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
định x, y để thể tích tứ diện này bằng

3
a
4
.
HD: a) MN =
22
2
axy
()
+- b) V =
3
6
a
xy
()
+
, (x, y) =
2
a
a
;
æö
ç÷
èø
hoặc
2
a
a
;
æö

ç÷
èø
.
Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi
ÔN TẬP TỔNG HỢP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Khi trũn xoay Trn S Tựng
Trang 20

a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD.
a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a.
b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD. Tớnh di ng vuụng gúc chung
ú theo a v a.
HD: a) V =
3
6
a
tan
a
, S
tp
=
2
1
1a
cos
a
ổử
+

ỗữ
ốứ
b) d =
a
tan
cos
a
a

Baứi 6. Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý. Dng CH vuụng
gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH. Trờn na ng thng It
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S sao cho gúc
ã
ASB
= 90
o
.
a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u.
b) t AH = h. Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R.
HD: b) V =
( )
3
2
Rh2Rh


Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB
v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn
cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x.
a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn. Tớnh di IH.

b) Gi J l trung im ca on CE. Tớnh di JM v tỡm giỏ tr nh nht ca JM.
HD: a) IH =
22
2
4
axa
ax
-
+
b) JM =
2
2
5
24
aa
x
ổử
-+
ỗữ
ốứ
MinJM =
5
2
a
khi x =
2
a

Baứi 8. Cho hỡnh hp ch nht ABCDA'B'C'D' v im M trờn cnh AD. Mt phng (A'BM)
ct ng chộo AC' ca hỡnh hp ti im H.

a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng
A'B ti mt im c nh.
b) Tớnh t s th tớch ca hai khi a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trong
trng hp M l trung im ca cnh AD.
c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC. Chng minh rng mt phng A'BM
vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM.
HD: a) MH ct A
Â
B ti trung im I ca A
Â
B. b)
1
2
1
11
V
V
=

Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. I l trung im AB. Qua I dng ng vuụng
gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S sao cho 2IS = a
3
.
a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng.
b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a

, d =
3
2
a

Baứi 10. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a, AD = 2a, AA = a.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v BC.
b) Gi M l im chia trong on AD theo t s
3
AM
MD
=
. Hóy tớnh khong cỏch t im
M n mt phng (ABC).
c) Tớnh th tớch t din ABDC.
HD: a) d(AD
Â
, B
Â
C) = a b) d(M, (AB
Â
C)) =
2
a
c) V =
3
2
3
a

Baứi 11. Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. S l mt im bt
Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 21

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD: a) V =
3
a6
p
b)
(
)
0
2
2a2mnamn–
++=

Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
()
SAABCD
^
và
2
SAa
=
.Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc

·
a
=
ACM
. Hạ
SNCM
^
.
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a
và
a
.
b) Hạ
AHSC
^
,
AKSN
^
. Chứng minh rằng
()
SCAHK
^
và tính độ dài đoạn HK.
HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V =
3
2
2
6
a

sin
a

b) HK =
cos
2
1sin
a
a
+
a

Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a,
SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c.
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.
i) Chứng minh rằng
3
ABAC
AMAN
+=
.
ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng
(P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
HD: a) SG =
1
222
3
++
abc

b) V =
1
9
abc

Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc
·
60
=°
SCB
.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi (
a
) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi (
a
) và hình chóp S.ABCD.
HD: a) d(BC, SD) =
6
3
a
b) S =
2
6
4
a

Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x

(0
£
x
£
a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
HD: b) d(M, (SAC)) =
2
2
x
c) V =
1
()
6
yaax
+

d) MaxV =
3
3

8
a
khi x =
2
a

Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A;
·
0
30
ABC =
; SBC là tam
Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 22

giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB.
a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt
phẳng (SAC) và (ABC).
b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.
HD: a)
·
1
3
SABcos
=
b) V =
3
2
24
a

Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc
µ
0
120
A =
, BD = a > 0. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60
0
. Một mặt phẳng
(P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:
1
2
1
12
V
V
=

Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =
2
3a
và góc
·
0
60
BAD =
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh

rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
HD: V =
3
3
16
a

Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho AM =
3
3a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích
khối chóp S.BCNM .
HD: V =
27
310
3
a

Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
·
0
60
BAD =
, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)
đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’.

Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
HD: V =
18
3
3
a








Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 23





1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton
tng t nh trong mt phng.
ã Lu ý:
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú:
ABBCAC
+=

uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú:
ABADAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú:
ABADAAAC
''
++=
uuuruuuruuuruuuur

+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
Ta cú:
0
IAIB
+=
uuruur
r
;
2
OAOBOI
+=
uuuruuuruur

+ H thc trng tõm tam giỏc: Cho G l trng tõm ca tam giỏc ABC, O tu ý.
Ta cú: 03
GAGBGCOAOBOCOG
;++=++=

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý.
Ta cú: 04
GAGBGCGDOAOBOCODOG
;+++=+++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ iu kin hai vect cựng phng: 0
avaứbcuứngphửụngakRbka
()!:
ạ$ẻ=
r
rr
rrr

+ im M chia on thng AB theo t s k (k ạ 1), O tu ý.
Ta cú:
1
OAkOB
MAkMBOM
k
;
-
==
-
uuuruuur
uuuruuuruuur

2. S ng phng ca ba vect
ã Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
abc
,,
r
rr
, trong ú
avaứb
r
r
khụng cựng
phng. Khi ú:
abc
,,
r
rr
ng phng $! m, n ẻ R:
cmanb
=+
r
rr

ã Cho ba vect
abc
,,
r
rr
khụng ng phng,

x
r
tu ý.
Khi ú: $! m, n, p ẻ R:
xmanbpc
=++
r
rrr

3. Tớch vụ hng ca hai vect
ã Gúc gia hai vect trong khụng gian:

ã
ã
00
0180
ABuACvuvBACBAC
,(,)()
==ị=ÊÊ
uuuruuur
rrrr

ã Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
+ Cho
0
uv,
ạ
r
rr
. Khi ú:

uvuvuv
cos(,)
=
rrrrrr

+ Vi
00
uhoaởcv
==
rr
rr
. Qui c:
0
uv
.
=
rr

+
0
uvuv
.
^=
rrrr

+
2
uu
=
rr

CH

NG III

PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN
I. VECT TRONG KHễNG GIAN
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 24




1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
ijk
,,
rrr
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
222
1

ijk
===
rrr
và
0
ijikkj

===
rrrrrr
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
(
)
uxyzuxiyjzk
;;=Û=++
rrrrr

b) Tính chất: Cho
123123
aaaabbbbkR
(;;),(;;),
==Î
rr

·
112233
abababab
(;;)
±=±±±

r
r

·
123
kakakaka
(;;)
=
r

·
11
22
33
ab
abab
ab
ì
=
ï
=Û=
í
ï
=
î
rr

·
0000100010001
ijk

(;;),(;;),(;;),(;;)
====
r
r
rr

·
a
r
cùng phương
0
bb
()
¹
r
r
r
Û
akbkR
()
=Î
rr


11
312
22123
123
33
0

akb
aaa
akbbbb
bbb
akb
,(,,)
ì
=
ï
Û=Û==¹
í
ï
=
î

·
112233
abababab

=++
r
r
·
112233
0
abababab
^Û++=
rr

·

2222
123
aaaa
=++
r
·
222
122
aaaa
=++
r

·
112233
222222
123123
ababab
ab
ab
ab
aaabbb
.
cos(,)
.
.
++
==
++++
r
r

r
r
r
r
(với
0
ab,
¹
r
r
r
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
MxyzOMxyz
(;;)(;;)
Û=
uuur
(x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
·
M
Î
(Oxy)
Û
z = 0; M
Î
(Oyz)
Û
x = 0; M

Î
(Oxz)
Û
y = 0

·
M
Î
Ox
Û
y = z = 0; M
Î
Oy
Û
x = z = 0; M
Î
Oz
Û
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
AAABBB
AxyzBxyz
(;;),(;;)

·
BABABA
ABxxyyzz
(;;)
=
uuur

·
222
BABABA
ABxxyyzz
()()()
=-+-+-
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
111
ABABAB
xkxykyzkz
M
kkk
;;
æö

ç÷

èø

· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
222
ABABAB
xxyyzz
M ;;
æö
+++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

333
ABCABCABC
xxxyyyzzz
G ;;
æö
++++++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 25


444
ABCDABCDABCC
xxxxyyyyzzzz
G ;;
ổử
+++++++++
ỗữ
ốứ

4. Tớch cú hng ca hai vect: (Chng trỡnh nõng cao)
a) nh ngha: Cho
123
aaaa
(,,)

=
r
,
123
bbbb
(,,)
=
r
.
[ ]
( )
233112
233231131221
233112
aaaaaa
abababababababab
bbbbbb
,;;;;
ổử
==ỗữ=
ỗữ
ốứ
rr
rr

Chỳ ý: Tớch cú hng ca hai vect l mt vect, tớch vụ hng ca hai vect l mt s.
b) Tớnh cht:
ã
[
]

ijkjkikij
,;,;,
ộự
ộự
===
ởỷởỷ
rrr
rrrrrr
ã
abaabb
[,];[,]
^^
rrrrrr

ã
(
)
ababab
[,] sin,
=
rr
rr
rr
ã
ab
,
rr
cựng phng
0
ab[,]

=
rrr

c) ng dng ca tớch cú hng:
ã iu kin ng phng ca ba vect:
ab
,
rr
v
c
r
ng phng
0
abc[,].
=
rrr

ã Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD:
ABCD
SABAD
,
ộự
=
ởỷ
Y
uuuruuur


ã
Din tớch tam giỏc ABC:

1
2
ABC
SABAC
,
D
ộự
=
ởỷ
uuuruuur


ã
Th tớch khi hp ABCD.A
Â
B
Â
C
Â
D
Â
:
ABCDABCD
VABADAA
.''''
[,].'
=
uuuruuuruuur

ã
Th tớch t din ABCD:
1
6
ABCD
VABACAD
[,].=
uuuruuuruuur



Chỳ ý:

Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh hai ng thng vuụng gúc,
tớnh gúc gia hai ng thng.
Tớch cú hng ca hai vect thng s dng tớnh din tớch tam giỏc; tớnh th tớch khi
t din, th tớch hỡnh hp; chng minh cỏc vect ng phng khụng ng phng, chng minh
cỏc vect cựng phng.


[]
[]
0
0
0
abab
avaứbcuứngphửụngab
abcủongphaỳngabc
.
,

,,,.
^=
=
=
rr
rr
r
rr
rr
rr
rrrr

5. Phng trỡnh mt cu:
ã Phng trỡnh mt cu (S) tõm I(a; b; c), bỏn kớnh R:

2222
xaybzcR
()()()-+-+-=
ã Phng trỡnh
222
2220
xyzaxbyczd
++++++=
vi
222
0
abcd
++->
l phng trỡnh
mt cu tõm I(a; b; c) v bỏn kớnh R =

222
abcd
++-
.




PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 26

VN 1: Cỏc phộp toỏn v to ca vect v ca im
S dng cỏc cụng thc v to ca vect v ca im trong khụng gian.
S dng cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian.


Baứi 1. Vit ta ca cỏc vect sau õy:
2
aij
=-+
rr
r
;
78
bik
=-
rr
r
;
9

ck
=-
r
r
;
345
dijk
=-+
rr
rr

Baứi 2. Vit di dng
xiyjzk
++
r
rr
mi vect sau õy:

1
02
2
a
;;
ổử
=
ỗữ
ốứ
r
;
450

b
(;;)
=-
r
;
41
0
3
3
c ;;
ổử
=
ỗữ
ốứ
r
;
11
3
5
d ;;
p
ổử
=
ỗữ
ốứ
r

Baứi 3. Cho:
(
)

(
)
(
)
253021172
abc
;;;;;;
,,
===
r
rr
. Tỡm to ca cỏc vect
u
r
vi:
a)
1
43
2
uabc
=-+
r
rrr
b)
42
uabc
=
r
rrr
c)

2
4
3
ubc
=-+
r
rr

d)
35
uabc
=-+
r
rrr
e)
14
2
23
uabc
=
r
rrr
f)
32
43
uabc
=
r
rrr

Baứi 4. Tỡm ta ca vect
x
r
, bit rng:
a)
0
ax
+=
r
rr
vi
(
)
121
a
;;
=-
r
b)
4
axa
+=
rrr
vi
(
)
021
a
;;
=-

r

c)
2
axb
+=
r
rr
vi
(
)
541
a
;;
=-
r
,
(
)
253
b
;;
=-
r

Baứi 5. Cho
134
a
(;;)
=-

r
.
a) Tỡm y v z 2
byz
(;;)
=
r
cựng phng vi
a
r
.
b) Tỡm to ca vect
c
r
, bit rng
avaức
rr
ngc hng v
2
ca
=
rr
.
Baứi 6. Cho ba vect
(
)
(
)
(
)

111401321
abc
;;,;;,;;
=-=-=-
r
rr
. Tỡm:
a)
(
)
abc
.
r
rr
b)
(
)
2
abc
.
r
rr
c)
222
abbcca
++
rr
rrrr

d)

(
)
2
32
aabbcb
+
rrr
rrr
e)
22
45
acbc
. +-
r
rrr

Baứi 7. Tớnh gúc gia hai vect
a
r
v
b
r
:
a)
(
)
(
)
431123
ab

;;,;;
==-
r
r
b)
(
)
(
)
254603
ab
;;,;;
==-
r
r

c)
212022
ab
(;;),(;;)
=-=-
r
r
d)
32233231
ab
(;;),(;;)
==-
r
r

e)
42422220
ab
(;;),(;;)
=-=-
r
r
f)
321211
ab
(;;),(;;)
=-=-
r
r

Baứi 8. Tỡm vect
u
r
, bit rng:
a)
213132324
51120
abc
auubuc
(;;),(;;),(;;)
.,.,.
ỡ
=-=-=-
ớ

=-=-=
ợ
r
rr
r
rrrrr
b)
231123211
6
abc
uaubuc
(;;),(;;),(;;)
,,.
ỡ
=-=-=-
ớ
^^=-
ợ
r
rr
r
rrrrr

c)
231121243
342
abc
aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,.

ỡ
== =-
ớ
===
ợ
r
rr
r
rrrrr
d)
532143324
1694
abc
aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,.
ỡ
=-=-=-
ớ
===-
ợ
r
rr
r
rrrrr

e)
723435111
57
abc

aubucu
(;;),(;;),(;;)
.,.,
ỡ
==-=-
ớ
=-=-^
ợ
r
rr
r
rrrrr

Baứi 9. Cho hai vect
ab
,
r
r
. Tỡm m :
a)
212022
23
ab
uambvaứvmabvuoõnggoực
(;;),(;;)
ỡ
=-=-
ớ
=+=-
ợ

r
r
rr
rrrr
b)
321211
332
ab
umabvaứvambvuoõnggoực
(;;),(;;)
ỡ
=-=-
ớ
=-=+
ợ
r
r
rr
rrrr

c)
321211
332
ab
umabvaứvambcuứngphửụng
(;;),(;;)
ỡ
=-=-
ớ
=-=+

ợ
r
r
rr
rrrr

Baứi 10. Cho hai vect
ab
,
r
r
. Tớnh X, Y khi bit:
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 27

a)
46
abab
Xab
,,
ì
==^
í
=-
î
rr
rr
r
r
b)

21264
abab
Yab
(;;),,
ì
= =-=
í
=+
î
rr
rr
r
r

c)
(
)
0
46120
abab
XabYab
,,,
,
ì
===
í
=-=+
î
rr
rr

rr
rr
d)
(
)
0
212660
abab
XabYab
(;;),,,
,
ì
= ==
í
=-=+
î
rr
rr
rr
rr

Baøi 11. Cho ba vectơ
abc
,,
r
rr
. Tìm m, n để
[
]
cab

,
=
r
rr
:
a)
(
)
(
)
(
)
31212517
abmc
;;,;;,;;
= ==
r
rr

b)
(
)
(
)
(
)
625363310
ambnc
;;,;;,;;
=-=-=

r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
2315641
abcmn
;;,;;,;;
===
r
rr

Baøi 12. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
abc
,,
r
rr
trong mỗi trường hợp sau đây:
a)
(
)
(
)
(
)

111012423
abc
;;,;;,;;
=-==
r
rr
b)
(
)
(
)
(
)
434212121
abc
;;,;;,;;
==-=
r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
312111221
abc
;;,;;,;;

= ==-
r
rr
d)
(
)
(
)
(
)
425313201
abc
;;,;;,;;
===
r
rr

e)
231120324
abc
(;;),(;;),(;;)
==-=-
r
rr
f)
548230177
abc
(;;),(;;),(;;)
=-=-=-
r

rr

g)
243122321
abc
(;;),(;;),(;;)
=-=-=-
r
rr
h)
243132321
abc
(;;),(;;),(;;)
=-= =-
r
rr

Baøi 13. Tìm m để 3 vectơ
abc
,,
r
rr
đồng phẳng:
a)
(
)
(
)
(
)

12121022
ambmcm
;;,;;,;;
==+=-
r
rr

b)
21121122212
ammbmmcmm
(;;);(;;),(;;)
=+-=++=+
r
rr

c)
(
)
(
)
(
)
1212122
ammmbmmmc
;;,;;,;;
=+-=-+=
r
rr

d)

(
)
(
)
(
)
132121022
abmmmcm
;;,;;,;;
=-=+ =-
r
rr

Baøi 14. Cho các vectơ
abcu
,,,
r
rrr
. Chứng minh ba vectơ
abc
,,
r
rr
không đồng phẳng. Biểu diễn vectơ
u
r
theo các vectơ
abc
,,
r

rr
:
a)
(
)
(
)
(
)
210112221
377
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=-
í
=-
î
r
rr
r
b)
(
)
(
)
(
)

17936117
4136
abc2
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=-
í
=
î
r
rr
r

c)
(
)
(
)
(
)
101011110
891
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=

í
=-
î
r
rr
r
d)
(
)
(
)
(
)
102230034
1622
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
==-=-
í
=
î
r
rr
r

e)
(

)
(
)
(
)
231125226
312
abc
u
;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=-
í
=
î
r
rr
r
f)
(
)
(
)
(
)
211132322
435
abc
u

;;,;;,;;
(;;)
ì
=-=-=
í
=-
î
r
rr
r

Baøi 15. Chứng tỏ bốn vectơ
abcd
,,,
rr
rr
đồng phẳng:
a)
(
)
(
)
(
)
2614324222111
abcd
;;,;;,;;,(;;)
= = = =
rr
rr

b)
(
)
(
)
(
)
2612114322111
abcd
;;,;;,;;,(;;)
=-=-=-=-
rr
rr

Baøi 16. Cho ba vectơ
abc
,,
r
rr
không đồng phẳng và vectơ
d
r
. Chứng minh bộ ba vectơ sau không
đồng phẳng:
a)
bcdmanb
,,
=+
rrr

rr
(với m, n ≠ 0) b)
acdmanb
,, =+
rr
rrr
(với m, n ≠ 0)
c)
abdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0) d)
bcdmanbpc
,, =++
rrr
rrr
, (với m, n, p ≠ 0)
e)
acdmanbpc
,, =++
rr
rrrr
, (với m, n, p ≠ 0)

PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 28

VN 2: Xỏc nh im trong khụng gian. Chng minh tớnh cht hỡnh hc.
Din tớch Th tớch.
S dng cỏc cụng thc v to ca vect v ca im trong khụng gian.
S dng cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian.
Cụng thc xỏc nh to ca cỏc im c bit.
Tớnh cht hỡnh hc ca cỏc im c bit:

ã
A, B, C thng hng


ABAC
,
uuuruuur
cựng phng


ABkAC
=
uuuruuur



0
ABAC,

ộự
=
ởỷ
uuuruuur
r


ã
ABCD l hỡnh bỡnh hnh


ABDC
=
uuuruuur


ã
Cho
D
ABC cú cỏc chõn E, F ca cỏc ng phõn giỏc trong v ngi ca gúc A ca
D
ABC
trờn BC. Ta cú:
AB
EBEC
AC
.
=-
uuuruuur
,

AB
FBFC
AC
.
=
uuuruuur


ã
A, B, C, D khụng ng phng


ABACAD
,,
uuuruuuruuur
khụng ng phng


0
ABACAD,.
ộự
ạ
ởỷ
uuuruuuruuur



Baứi 1. Cho im M. Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca im M:
ã Trờn cỏc mt phng ta : Oxy, Oxz, Oyz ã Trờn cỏc trc ta : Ox, Oy, Oz
a)

123
M
(;;)
b)
312
M
(;;)
-
c)
113
M
(;;)

d)
121
M
(;;)
-

e)
257
M
(;;)
-
f)
22157
M
(;;)
-
g)

11910
M
(;;)
-
h)
367
M
(;;)

Baứi 2. Cho im M. Tỡm ta ca im MÂ i xng vi im M:
ã Qua gc to ã Qua mp(Oxy) ã Qua trc Oy
a)
123
M
(;;)
b)
312
M
(;;)
-
c)
113
M
(;;)

d)
121
M
(;;)
-

e)
257
M
(;;)
-
f)
22157
M
(;;)
-
g)
11910
M
(;;)
-
h)
367
M
(;;)

Baứi 3. Xột tớnh thng hng ca cỏc b ba im sau:
a)
131012001
ABC
(;;),(;;),(;;)
b)
111431951
ABC
(;;),(;;),(;;)

c)
1091220345034
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
1510578227
ABC
(;;),(;;),(;;)


Baứi 4. Cho ba im A, B, C.
ã Chng t ba im A, B, C to thnh mt tam giỏc.
ã Tỡm to trng tõm G ca DABC.
ã Xỏc nh im D sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
ã Xỏc nh to cỏc chõn E, F ca cỏc ng phõn giỏc trong v ngi ca gúc A ca
DABC trờn BC. Tớnh di cỏc on phõn giỏc ú.
ã Tớnh s o cỏc gúc trong DABC.
ã Tớnh din tớch DABC. T ú suy ra di ng cao AH ca DABC.
a)
1230371250
ABC
(;;),(;;),(;;)
-
b)
013211123171019
ABC
(;;),(;;),(;;)

-

c)
347532123
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
423211387
ABC
(;;),(;;),(;;)


e)
312121113
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
414074312
ABC
(;;),(;;),(;;)


g)
(
)
(
)
(

)
100001211
A B C
;;,;;,;;
h)
126251184
ABC
(;;),(;;),(;;)


Baứi 5. Trờn trc Oy (Ox), tỡm im cỏch u hai im:
a)
310
A
(;;)
,
241
B
(;;)
-
b)
1211107
AB
(;;),(;;)
-
c)
414074
AB
(;;),(;;)
-

d)
312121
AB
(;;),(;;)

e)
347532
AB
(;;),(;;)

f)
423211
AB
(;;),(;;)


Baứi 6. Trờn mt phng Oxy (Oxz, Oyz), tỡm im cỏch u ba im:
a)
111110311
ABC
(;;),(;;),(;;)

b)
324007533
ABC
(;;),(;;),(;;)


c)

312121113
ABC
(;;),(;;),(;;)

d)
013211123171019
ABC
(;;),(;;),(;;)
-

e)
102211132
ABC
(;;),(;;),(;;)

f)
126251184
ABC
(;;),(;;),(;;)


Baứi 7. Cho hai im A, B. ng thng AB ct mt phng Oyz (Oxz, Oxy) ti im M.
ã im M chia on thng AB theo t s no ? ã Tỡm ta im M.