Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 8 potx

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 98

g)
2
2
1
,
2
1
x
yy
x
==
+
h)
2
3,0
yxy
x
=++=

i)
2
2,2
yxxyx
=+=+
k)
2
2,4
yxyx

=+=-

Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
22
,
yxxy
==-
b)
2
50,30
yxxy
+-=+-=

c)
2
20,0
yyxxy
-+=+=
d)
2
21,1
yxyx
=+=-

e)
2
2,,0,3
yxyxyy
====

f)
2
(1),sin
yxxy
=+=p

g)
222
6,16
yxxy
=+=
h)
232
(4),4
yxyx
=-=
i)
3
10,10
xyxy
-+=+-=
k)
222
8,2
xyyx
+==
Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
.;0;1;2.
x

yxeyxx
===-=
b)
2
.ln;0;1;.
yxxyxxe
====

c)
;;1.
xx
yeyex
-
===
d)
2
5;0;0;3.
x
yyxyx
-
====-

e)
5
(1);;1.
x
yxyex
=+==
f)
1

ln,0,,
yxyxxe
e
====

g)
2
sincos,0,0,yxxyxx
=+===p
h)
sin;;0;2.
yxxyxxx
=+===p

i)
2
sin;;0;.
yxxyxx
=+=p==p
k)
2
sinsin1,0,0,
2
yxxyxx
p
=++===

Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2

1
():
2
Cyx
x
=+ , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
b)
2
21
():,0
2
xx
Cyy
x
++
==
+
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
c)
32
():243,0
Cyxxxy
=-+-=
và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d)
3
():32,1
Cyxxx
=-+=-
và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.

e)
2
():2
Cyxx
=-
và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
a) sin,0,0,
4
yxyxx
p
====
b)
32
1
,0,0,3
3
yxxyxx
=-===

c)
66
sincos,0,0,
2
yxxyxx
p
=+===

d) yxyx
,0,4
===

e)
3
1,0,1,1
yxyxx
=-==-=
f)
2
,
yxyx
==
g)
23
,
48
xx
yy== h)
2
4,2
yxxyx
=-+=+

i) sin,cos,,
42
yxyxxx
====
pp

k)
22
(2)9,0
xyy
-+==

l)
22
46,26
yxxyxx
=-+= +
m)
ln,0,2
yxyx
===

Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 99

a)
2
,1,4
xyy
y
===
b)
2
,4

yxy
==

c) ,0,
x
yexye
===
d)
2
,1,2
yxyy
===

Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy
a)
2
(2),4
yxy
=-=
b)
22
,4,4
yxyxy
===

c)
2
1
,0,0,1

1
yyxx
x
====
+
d)
2
2,0
yxxy
=-=

e)
.ln,0,1,
yxxyxxe
====
f)
2
(0),310,1
yxxyxy
=>=-+=

g)
2
,
yxyx
== h)
( )
2
2
– 4 1

xy
+=

i) 1
4
9
22
=+
yx
k)
1,2,0,0
yxyyx
=-===

l)
2
0,2,0
xyyx
-===
m)
23
,0,1
yxyx
===

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 100



Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
2
0
2
dxxx
b)
5
3
(22)
xxdx
-
+
ò
c)
3
2
1
21
xxdx
-+
ò

d)
2
2
1
1
2
x
dx
x
-
æö
-
ç÷
+
èø
ò
e)
3
7
84
2
12
x
dx
xx+-
ò
f)
1
2
0

252
dx
xx
++
ò

g)
1
2
0
(1)
xdx
x +
ò
h)
0
2
1
24
dx
xx
-
++
ò
i)
2
32
2
0
249

4
xxx
dx
x
+++
+
ò

k)
1
3
2
0
1
x
dx
x +
ò
l)
1
2
0
1
xdx
x
+
ò
m)
1
3

0
(1)
xdx
x +
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-+
2
1
11
dx
x
x
b)
4
1
2
54
dx
x
-
++
ò
c)
0
1
1

xxdx
-
+
ò

d)
10
5
21
dx
xx

ò
e)
3
1
3
313
x
dx
xx
-
-
+++
ò
f)
2
1
22
xdx

xx
++-
ò

g)
2
4
5
0
1
x
dx
x +
ò
h)
9
3
1
1
xxdx
-
ò
i)
x
dx
x
7
3
3
0

1
31
+
+
ò

k)
3
32
0
1
xxdx
+
ò
l)
1
32
0
3
xxdx
+
ò
m)
1
32
0
1
xxdx
-
ò

o)
1
52
0
1
xxdx
-
ò
p)
1
2
2
3
0
(1)
xx
dx
x
+
+
ò
q)
3
53
2
0
2
1
xx

dx
x
+
+
ò

r)
2
22
0
4
xxdx
-
ò
s) t)
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
/4
2
0
12sin
1sin2
x
dx
x
p
-
+
ò
b)

/2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p
+
+
ò
c)
/2
0
sin2cos
1cos
xx
dx
x
p
+
ò

d)
/2
22
0
sin2
cos4sin
x

dx
xx
p
+
ò
e)
/2
0
sinsin2sin3
xxxdx
p
ò
f)
/2
5
0
cos
xdx
p
ò

g)
/2
44
0
cos2(sincos)
xxxdx
p
+
ò

h)
/3
2
/4
tan
cos1cos
x
dx
xx
p
p
+
ò
i)
2
0
sin
1cos
xx
dx
x
p
+
ò

k)
/4
2
0
tan

xxdx
p
ò
l)
/2
0
sin2
cos1
x
dx
x
p
+
ò
m)
/2
0
sin
13cos
x
dx
x
p
+
ò

o)
/2
2004
20042004

0
sin
sincos
x
dx
xx
p
+
ò
p)
/2
3
0
4sin
1cos
x
dx
x
p
+
ò
q)
/2
0
cos3
sin1
x
dx
x
p

+
ò

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Trần Sĩ Tùng Ngun hàm – Tích phân
Trang 101

r)
/3
2
2
0
sin
sin2cos
xxdx
xx
p
ò
s)
/2
22
0
sin
sin2coscos
2
xdx
x
xx
p
+

ò
t)
Bài 4. Tính các tích phân sau:
a)
3
2
0
ln(5)
xxdx
+
ò
b)
ò
-
3
2
2
)ln( dxxx
c)
1
2
0
(2)
x
xedx
-
ò

d)
/2

sin
0
(cos)cos
x
exxdx
p
+
ò
e)
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
-
+-
ò
f)
22
1
ln
e
xxdx
ò

g)
3
1
1

ln
e
x
xdx
x
+
ò
h)
1
2
0
(1)
x
xedx
+
ò
i)
1
0
1
x
dx
e
+
ò

k)
2
2
2

0
(2)
x
xe
dx
x +
ò
l)
1
22
0
(421)
x
xxedx

ò
m)
2
2
1
ln(1)
x
dx
x
+
ò

o)
/2
3

0
sin5
x
exdx
p
ò
p)
2
1
ln
e
x
dx
x
ò
q)
1
2
0
ln(1)
xxdx
+
ò

r)
1
32ln
12ln
e
x

dx
xx
-
+
ò
s)
ò
+
e
dx
x
xx
1
ln.ln31
t)
3
2
1
ln
ln1
e
x
dx
xx+
ò

Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) yxxyxx
3
32,0,0,1

=-+===-
b)
4
,0,2,1
2
yyxx
x
===-=
-

c)
42
19
2,0
44
yxxy
=-++=
d)
,2,1
x
yeyx
===

e)
11
1,0,2,4
21
yxyxx
x
=-+===

-
f)
22
2,4
yxxyxx
=-=-+

g)
21
,0,0
1
x
yyx
x
+
===
+
h)
2
,0
1
xx
yy
x
-+
==
+

m)
2

32
,,0,1
1
xx
ytiệmcậnxiênxx
x
+-
===
+

n)
2
2
,0,
1
xx
yytiếptuyếnvẽtừgốctoạđộ
x
+-
==
+

o)
32
331
yxxx
=+++
, tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
p)
3

1
3
4
yxx
=-
, tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hồnh độ x =
23
.
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục:
a)
,0,3;
yxyxOx
=== b)
ln,0,1,;
yxxyxxeOx
====
c)
,0,1;
x
yxeyxOx
=== d)
22
4,2;
yxyxOx
=-=+
e)
2
4,0;
yxxOy

=-= f)
,0,1;
y
xyexyOy
===

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Số phức Trần Sĩ Tùng
Trang 102







1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức: C
· Số phức (dạng đại số) :
zabi
=+

(a, b
R
Î
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i
2
= –1)
· z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau:
'
’’(,,',')
'
aa
abiabiababR
bb
ì
=
+=+ÛÎ
í
=
î

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)
R
Î
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi
(;)
uab
=
r
trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:
·

(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+++=+++ ·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+-+=-+-
· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
·
u
r
biểu diễn z,
'
u
r

biểu diễn z' thì
'
uu
+
rr
biểu diễn z + z’ và
'
uu
-
rr
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
·
(
)
(
)
(
)
(
)
abiabiaabbabbai
'' '–'''
++=++
·
()()
kabikakbikR
+=+Î

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

zabi
=-

·
11
22
;'';.'.';
zz
zzzzzzzzzz
zz
æö
=±=±==
ç÷
èø
;
22
.
zzab
=+

· z là số thực Û
zz
=
; z là số ảo Û
zz
=-


6. Môđun của số phức : z = a + bi
·

22
zabzzOM
=+==
uuuur

·
0,,00
zzCzz
³"Î=Û=

·
.'.'
zzzz
= ·
'
'
zz
z
z
= ·
'''
zzzzzz
-£±£+

7. Chia hai số phức:
·
1
2
1
zz

z
-
= (z
¹
0) ·
1
2
''.'.
'
.
zzzzz
zz
zzz
z
-
=== ·
'
'
z
wzwz
z
=Û=

I. SỐ PHỨC
CH
ƯƠ
NG IV

SỐ PHỨC

Trn S Tựng S phc
Trang 103

8. Cn bc hai ca s phc:

ã

zxyi
=+
l cn bc hai ca s phc
wabi
=+

2
zw
=

22
2
xya
xyb
ỡ
-=
ớ
=
ợ

ã w = 0 cú ỳng 1 cn bc hai l z = 0
ã w
0

ạ
cú ỳng hai cn bc hai i nhau
ã Hai cn bc hai ca a > 0 l
a

ã Hai cn bc hai ca a < 0 l
.
ai
-

9. Phng trỡnh bc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C l cỏc s phc cho trc, A
0
ạ
).

2
4
BAC
D=-

ã
0
Dạ
: (*) cú hai nghim phõn bit
1,2
2
B
z

A
-d
= , (
d
l 1 cn bc hai ca D)
ã
0
D=
: (*) cú 1 nghim kộp:
12
2
B
zz
A
==-
Chỳ ý: Nu z
0

ẻ
C l mt nghim ca (*) thỡ
0
z
cng l mt nghim ca (*).
10. Dng lng giỏc ca s phc:
ã
(cossin)
zri
=j+j
(r > 0) l dng lng giỏc ca z = a + bi (z
ạ

0)

22
cos
sin
rab
a
r
b
r
ỡ
ù
=+
ù
ù
j=
ớ
ù
ù
j=
ù
ợ

ã
j
l mt acgumen ca z,
(,)
OxOM
j=

ã
1cossin()
zziR
==+ẻ
jjj

11. Nhõn, chia s phc di dng lng giỏc
Cho
(cossin),''(cos'sin')
zrizri
=j+j=j+j
:
ã
[
]
.''.cos(')sin(')
zzrri
=j+j+j+j
ã
[ ]
cos(')sin(')
''
zr
i
zr
=j-j+j-j

12. Cụng thc Moavr:
ã
[ ]

(cossin)(cossin)
n
n
rirnin
j+j=j+j
, (
*
nN
ẻ
)
ã
( )
cossincossin
n
inin
j+j=j+j

13. Cn bc hai ca s phc di dng lng giỏc:
ã S phc
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) cú hai cn bc hai l:

cossin
22
cossincossin
2222
ri

vaứriri
ổử
jj
+
ỗữ
ốứ
ộự
ổửổửổử
jjjj
-+=+p++p
ỗữỗữỗữ
ờỳ
ốứốứốứ
ởỷ

ã M rng: S phc
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) cú n cn bc n l:

22
cossin,0,1, ,1
n
kk
rikn
nn
ổử
++

+=-
ỗữ
ốứ
jpjp





Số phức Trần Sĩ Tùng
Trang 104

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia – căn bậc 2
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

Baøi 1. Tìm các số thực x và y, biết:
a)
xyiixyii
23224
+-+=-++
b)
xyixyi
(23)(2)(4)
+++=

c)
xiyi
(2)23(3)
=+- d)

xyixyi
(32)(21)(1)(5)
-++=+

e)
xyyixyi
(2)(2)(2)(4)
+++=+

Baøi 2. Thực hiện các phép toán sau:
a)
iii
(57)(93)(116)
+
b)
iii
(4–)(23)–(5)
+++
c)
iii
17(4)(13)
-++

d)
iii
(27)(14)(12)
-++-+-
e)
(
)

iii
14(12)25
+ + f)
(
)
ii
232
-+-
g)
131
32
322
iii
æöæö
-+-+-
ç÷ç÷
èøèø
h)
3153
4545
ii
æöæö
+ +
ç÷ç÷
èøèø
i)
( )
25
23
34

ii
æö

ç÷
èø

Baøi 3. Thực hiện các phép toán sau:
a)
ii
(23)(3)
-+
b)
ii
(25)(48)
-++
c)
ii
(4)(36)
+-

d)
iii
(27)(4)(12)
+
e)
iii
(27)(4)(113)
-+
f)
i

2
(34)
+
g)
ii
33
(2)(3)
+
h)
ii
22
(1)(1–)
+- i)
33
(1)(2)
ii
-+-
k)
5
(33)
i
+ l)
i
6
(2)
-
m)
ii
7
5(1)

-

n)
3
1
3
2
i
æö
-
ç÷
èø
o) i
3
13
22
æö
+
ç÷
èø
p) i
3
13
22
æö
-+
ç÷
èø

Baøi 4. Thực hiện các phép toán sau:

a)
1
2
i
i
+
-
b)
i
2
1
3
+
c)
23
45
i
i
-
+

d)
i
i
-
+
1
1
e)
ii

i
(3)(26)
1
++
-
f)
)1)(21(
3
ii
i
+-
+

g)
ii
ii
(12)(4)
(1)(43)
+-+
-+
h)
iii
i
(2)(1)(43)
32
+++-
-
i)
i
iii

25
(13)(2)(1)
-+
+ +

k)
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3
l)
ii
ii
1313
1212
+-
+
-+
m)
ii
ii
2212
1222
++
+

n)
mi
m
o)
aia
aia
-
+
p)
ai
bia +

Baøi 5. Thực hiện các phép toán sau:
a)
100
(1)
i
- b) ii
20092009
(1)(1)+ c) ii
20102010
(1)(1)+
d)
ii
ii
2
3
(32)(1)

(12)(3)
-+-
-+
e)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+-+
+
f)
ii
i
23
(1)(2)
2
+
-+

Baøi 6. Cho số phức
zxyi
=+
. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
2
24
zzi
-+

b)
zi
iz
1
+
-
c)
zi
zi
+
-

Baøi 7. Phân tích thành nhân tử, với a, b
Î
R:
a)
2
1
a
+
b)
2
23
a
+
c)
42
49
ab
+

d)
22
35
ab
+

e)
3
8
a
+
f)
3
27
a
-
g)
4
16
a
+
h)
42
1
aa
++

Trần Sĩ Tùng Số phức
Trang 105

Baøi 8. Tìm căn bậc hai của số phức:
a)
143
i
-+
b)
465
i
+
c)
126
i

d)
512
i
-+

e)
86
i
+
f)
724
i
-
g)
4042
i
-+

h)
i
1143.
+

i)
12
42
i
+ k)
45
32
i

l)
i
34
+
m)
3356
i
-



VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

·
Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình.

·
Sử dụng cách giải phương trình bậc 2.

Baøi 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
izi
(45)2
-=+
b)
izi
3
(43)(2)
+=-
c)
i
i
z
i
i
+
+
-
=
-
+
2
31
1
2

d)
11
33
22
zii
æö
-=+
ç÷
èø
e)
35
24
i
i
z
+
=-
f) 1
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
iz
iz

g)
iii
z
iii
11515
3131
æö
+
+=
ç÷
-+-
èø
h)
izii
2
(32)()3
-+=
i) 0
2
2
=+ zz
k) 0
2
=+ zz l)
23112
zzi
-=- m)
218
zzi

-=

o)
izi
(2)34
-=+
p)
0
2
=- zz
q)
zzi
224
+=-

q)
izii
5
(1)(32)(13)
-=++
r)
[ ]
iziiz
i
1
(2)30
2
æö
-+++=
ç÷

èø

Baøi 2. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
zz
2
3.10
-+=
b)
zz
2
32.23.20
-+=
c)
zz
2
320
-+=

d)
zz
2
3210
-+-=
e)
z
2
7 0
+=
f)

zz
2
7320
++=

g)
zz
2
250
++=
h)
zz
2
330
-+=
i)
zz
2
4110
-+=

Baøi 3. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a) zzz
22
(9)(1)0
+-+=
b)
z
3
3240

-=
c)
zz
42
560
=

d)
zz
42
780
+-=
e)
zz
42
890
=
f)
zz
4
4770
+-=

g)
zzz
43
881
+=+
h)
zzz

32
210
++-=
i)
zzz
43
10
+++=

Baøi 4. Giải các phương trình sau (ẩn x):
a)
2
3.240
ixxi
+=
b)
xixi
2
(3)430
+-=
c)
2
440
ixxi
++-=

d)
xixi
2
2(1)420

++++=
e) xix
2
(23)0
+-=
f)
2
.2.40
+-=
ixix
g)
xixi
2
2(2)1840
++=
h) xixi
2
(13)2(1)0
+ +=
i)
xix
2
210
-+=

k) ixxi
2
(1)2(113)0
+=
l)

xixi
2
(1)20
++ =
m) xixi
2
(2)20
+-+-=

Baøi 5. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
z
4
2160
+=
b)
z
4
80
-=

c) z
5
(2)10
++=
d) ziziz
22
()(21)0
+ =

e)
zzzzz
5432
10
+++++=
f) zizz
2
(3)(25)0
+-+=

g)
32
235330
zzzi
-++-=
h) zizi
42
8(1)63160
+-=

Số phức Trần Sĩ Tùng
Trang 106

i) zizi
2
(3)6(3)130
+ +-+=
k)
zizi
42

24(1)3081440
+-=

Baøi 6. Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a)
2313
ivaøi
+-+
b)
244
ivaøi
-+

Baøi 7. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm:
a)
34
i
=+
a
b)
i
73
a=-
c)
25
i
=-
a

d)

23
i
a=
e)
32
i
a=-
f)
i
=-
a

g)
(2)(3)
ii
=+-
a
h)
51804538
234
iiii
=+++
a
i)
5
2
i
i
+
=

-
a

Baøi 8. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm
z
1
,
z
2
thoả mãn điều kiện
đã chỉ ra:
a)
222
1212
10,:1
zmzmñkzzzz
-++=+=+
b)
-+=+=
233
12
350,:18
zmzñkzz
c) zmzñkzz
222
12
30,:8
++=+=

Baøi 9. Cho

zz
12
,
là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các biểu thức sau:

22
12
Azz
=+
,
22
1212
Bzzzz
=+,
12
21
zz
C
zz
=+
:
a)
zz
2
10
++=
b)
zz
2
320

++=

c)
zz
2
57110
-+=
d)
zz
2
70
++=

e)
(
)
izizi
2
12(32)10
+-++-=
f) zizi
2
(13)2(1)0
+ +=

g) zizi
2
(514)2(125)0
+=
h) izzi

2
(1)2(113)0
+=

Baøi 10. Giải các hệ phương trình sau:
a)
zzi
zzi
12
22
12
4
52
ì
+=+
ï
í
+=-
ï
î
b)
zzi
zzi
12
22
12
.55.
52.
ì
=

ï
í
+=-+
ï
î
c)
zz
zz
35
12
24
12
0
.()1
ì
+=
ï
í
=
ï
î

d)
zzz
zzz
zzz
123
123
123
1

1
1
ì
++=
ï
++=
í
ï
=
î
e)
z
zi
z
z
125
83
4
1
8
ì
-
=
ï
-
ï
í
-
ï
=

ï
-
î
f)
z
zi
zi
zi
1
1
3
1
ì
-
=
ï
-
ï
í
-
ï
=
ï
+
î

g)
zzi
zzi
22

12
12
52
4
ì
ï
+=+
í
+=-
ï
î
h)
ziz
ziz
2
1
ì
-=
ï
í
-=-
ï
î
i)
zzzz
zzi
22
1212
12
40

2
ì
ï
++=
í
+=
ï
î

Baøi 11. Giải các hệ phương trình sau:
a)
212
3
xyi
xyi
ì
+=-
í
+=-
î
b)
22
5
88
xyi
xyi
ì
+=-
í
+=-

î
c)
4
74
xy
xyi
ì
+=
í
=+
î

d)
22
1111
22
12
i
xy
xyi
ì
+=-
ï
í
ï
+=-
î
e)
22
6

112
5
xy
xy
ì
+=-
ï
í
+=
ï
î
f)
32
11171
2626
xyi
i
xy
ì
+=+
ï
í
+=+
ï
î

g)
22
5
12

xyi
xyi
ì
+=-
í
+=+
î
h)
33
1
23
xy
xyi
ì
+=
í
+=
î
i)
xyi
xyi
22
52
4
ì
+=+
í
+=-
î

Trần Sĩ Tùng Số phức
Trang 107

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển bởi điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là
tìm hệ thức giữa x và y.

Baøi 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi
điều kiện sau:
a) zz
34
++=
b) zzi
12
-+-=
c)
zzizi
22
-+=-

d) izz
2.123
-=+
e)
izz
2221

-=-
f) z
31
+=

g)
zizi
23
+=
h)
zi
zi
3
1
-
=
+
i) zi
12
-+=

k)
ziz
2
+=-
l) z
11
+<
m) zi
12

<-<

n) zi
3
(1)1
=
o)
zizi
(13)32
+-=+-
p)
izz
2221
-=-

Baøi 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi
điều kiện sau:
a)
2
zi
+
là một số thực b)
2
zi
-+
là một số thuần ảo
c)
z
1
1

-
là một số thuần ảo d)
zi
zi
+
-
là một số thực dương
e)
zi
2
()
-
là một số thực dương f)
zi
2
(1)
-+
là một số thuần ảo
g) z
3
£
và phần thực lớn hơn 1 h) z
3
£
và phần thực nhỏ hơn –2
i) Phần thực của z nhỏ hơn 3 k) Phần ảo của z lớn hơn 5.


VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Baøi 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) i.322 +- b) 4 – 4i c)
13.
i
-

d)
4
sin.
4
cos
p
p
i- e)
8
cos.
8
sin
p
p
i f) )1)(3.1( ii +-
Baøi 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(
)
(
)
3cos20 sin20cos25 sin25
oooo

ii++ b)
5cos.sin.3cos.sin
6644
ii
æöæö
pppp
++
ç÷ç÷
èøèø

c)
(
)
(
)
3cos120sin120cos45sin45
++
oooo
ii d) 5cossin3cossin
6644
æöæö
++
ç÷
ç÷
èø
èø
pppp
ii
e)
(

)
(
)
2cos18sin18cos72sin72
++
oooo
ii f)
cos85sin85
cos40sin40
i
i
+
+
oo
oo

g)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
h)
2(cos45sin45)
3(cos15sin15)
i
i

+
+
oo
oo

i)
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+
k)
22
2cossin
33
2cossin
22

æö
+
ç÷
èø
æö
+
ç÷
èø
pp
pp
i
i

Baøi 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
S phc Trn S Tựng
Trang 108

a) 31 i- b)
1
i
+
c) )1)(31( ii +- d) )3.(.2 ii -
e)
i
i
+
-
1
31
f)

i
2
2
1
+
g)
j
j
cos.sin i
+
h)
22
i
+

i)
13
i
+ k)
3
i
-
l)
30
i
+
m)
5
tan
8

i
p
+

Baứi 4. Vit di dng i s cỏc s phc sau:
a)
cos45sin45
oo
i+ b) 2cossin
66
ổử
+
ỗữ
ốứ
pp
i c)
(
)
3cos120sin120
+
oo
i
d)
6
(2)
i
+
e)
3
(1)(12)

i
ii
+
+-
f)
1
i

g)
1
21
i
i
+
+
h)
( )
60
13
i-+ i)
40
7
13
(22).
1
i
i
i
ổử
+

-
ỗữ
-
ốứ

k)
133
cossin
44
2
i
ổử
+
ỗữ
ốứ
pp
l)
100
1
cossin
144
i
i
i
ổửổử
+
+
ỗữ
ỗữ
-ốứ

ốứ
pp
m)
( )
17
1
3
i
-

Baứi 5. Tớnh:
a)
( )
5
cos12 sin12
oo
i+ b)
( )
16
1
i
+ c)
6
)3( i-
d)
( )
7
00
2cos30sin30i
ộự

+
ởỷ
e)
5
(cos15sin15)
oo
i+ f)
20082008
(1)(1)ii++-
g)
21
321
335
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
+
i
i
h)
12
2
3
2

1
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+ i i)
2008
1
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
i
i

k)
57
(cossin).(13)
33
iii
pp
-+ l)
2008

2008
11
,1
zbieỏtz
z
z
++=

Baứi 6. Chng minh:
a)
53
sin516sin20sin5sin
tttt
=-+
b)
53
cos516cos20cos5cos
tttt
=-+

c)
23
sin33cossin
ttt
=-
d)
3
cos34cos3cos
ttt
=-

Trần Sĩ Tùng Số phức
Trang 109



Baøi 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2)(32)(54)
iii
+-

b)
3758
2323
ii
ii
+-
+
+-

c)
168
11
11
ii
ii
æöæö
+-
+
ç÷ç÷
-+
èøèø
d)
66
1317
22
ii
æöæö
-+-
+
ç÷ç÷

èøèø

e)
(24)(52)(34)(6)
iiii
-+++
f)
571310094
()()()
iiiii

-+-++-
g)
200019992018247
iiiii
++++
h)
232009
1
iiii
+++++

i)
232000
iiii
k)
2
1 ,(1)
n
iiin

++++³

Baøi 2. Cho các số phức
123
12,23,1
zizizi
=+=-+=-
. Tính:
a)
123
zzz
++
b)
122331
zzzzzz
++ c)
123
zzz

d)
222
123
zzz
++ e)
123
231
zzz
zzz
++
f)

22
12
22
23
zz
zz
+
+

Baøi 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
432
(12)313,23
Azizizzivôùizi
=+-++++=+

b)
( )
Bzzzzzvôùizi
232
1
(2)(2),3
2
=-+-+=-

Baøi 4. Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
(12)(12)1
ixyii
-++=+

b)
33
33
xy
i
ii

+=
+-

c)
2222
1
(43)(32)4(32)
2
ixixyyxxyyi
-++=-+-
Baøi 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a)
86
i
+
b)
34
i
+
c)
1
i
+

d)
724
i
-

e)
2
1
1
i
i
æö
+
ç÷
-
èø
f)
2
13
3
i
i
æö
-
ç÷
ç÷
-
èø
g)
12

22
i
- h) i, –i
i)
3
13
i
i
-
+
k)
11
22
i
+
l)
(
)
213
i-+ m)
11
11
ii
+
+-

Baøi 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:
a)
i
-

b) –27 c)
22
i
+
d)
186
i
+

Baøi 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:
a)
212
i-
b)
3
i
+
c)
2
i
-
d)
724
i
-+

Baøi 8. Giải các phương trình sau:
a)
3
1250

z
-=
b)
4
160
z
+=
c)
3
640
zi
+=
d)
3
270
zi
-=

e)
743
220
ziziz
=
f)
63
10
zizi
++-=
g)
105

(2)20
zizi
+-+-=

Baøi 9. Gọi
12
;
uu
là hai căn bậc hai của
1
34
zi
=+
và
12
;
vv
là hai căn bậc hai của
2
34
zi
=-
. Tính
12
uu
+
12
vv
++
?

Baøi 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
5 0
z
+=
b)
2
2 2 0
zz
++=
c)
2
4 10 0
zz
++=

II. ÔN TẬP SỐ PHỨC
Số phức Trần Sĩ Tùng
Trang 110

d)
2
5 9 0
zz
-+=
e)
2
2 3 1 0
zz

-+-=
f)
2
3 2 3 0
zz
-+=

g)
()()0
zzzz
+-=
h)
2
20
zz
++=
i)
2
2
zz
=+

k)
2323
zzi
+=+
l)
( ) ( )
2
2+2230

zizi
++-=
m)
3
zz
=

n)
2
2
488
zz
+=
o)
2
(12)10
iziz
+++=
p)
2
(1)2110
izi
+++=

Baøi 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
44
560
zizi

zizi
æö
++
-+=
ç÷

èø
b)
( )( )
(
)
2
5330
zizzz
+-++=

c)
(
)
(
)
22
26 2160
zzzz
+-+-=
d)
( ) ( )
32
1330
zizizi

-+++-=

e)
( )
(
)
2
2 2 0
zizz
+-+=
f)
2
2210
zizi
-+-=

g) zizi
2
(514)2(125)0
+=
h)
2
8040991000
zzi
-+-=

i) zizi
2
(3)6(3)130
+ +-+=

k) zizi
2
(cossin)cossin0
-j+j+jj=

Baøi 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) xixi
2
(34)510
-++-=
b)
xixi
2
(1)20
++ =
c)
2
320
xx
++=

d)
2
10
xx
++=
e)
3
10
x

-=

Baøi 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a)
32
220
ziziz
=
b)
zizizi
32
(3)(44)440
+-+ +=

Baøi 14. Tìm m để phương trình sau:
( )
(
)
22
220
zizmzmm
+-+-=

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức
Baøi 15. Tìm m để phương trình sau:
32
(3)3()0
zizzmi
++ +=

có ít nhất một nghiệm thực
Baøi 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho
(2)()
zzi
-+
là số thực.
Baøi 17. Giải các phương trình trùng phương:
a) zizi
42
8(1)63160
+-=
b)
zizi
42
24(1)3081440
+-=

c)
42
6(1)560
zizi
++++=

Baøi 18. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
(
)

zizi
2
12230
-++-=
. Tính giá trị
của các biểu thức sau:
a)
22
12
zz
+
b)
22
1212
zzzz
+ c)
33
12
zz
+

d)
12
2112
1212
zz
zzzz
æöæö
+++
ç÷ç÷

ç÷ç÷
èøèø
e)
33
2112
zzzz
+ f)
12
21
zz
zz
+

Baøi 19. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
2
10
xx
-+=
. Tính giá trị của các biểu
thức sau:
a)
20002000
12
xx+ b)
19991999
12

xx+ c)
12
,
nn
xxnN
+Î

Baøi 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức
sau:
a)
3
z
zi
=
-
b)
22
1
zz
+=
c)
1
z
z
=

Baøi 21. Hãy tính tổng
231
1
n

Szzzz
-
=++++
biết rằng
22
cossinzi
nn
pp
=+ .
Baøi 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: