Bài tập giải tích lớp 12

Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng
biến trên I.
b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch
biến trên I.
c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f khơng đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải
liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như
sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
′
. Tìm các điểm mà tại đó y
′
= 0 hoặc y
′
khơng tồn tại (gọi là
các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
′
(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng
đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
2
2 4 5y x x= - + +

b)
2
5
4 4
x
y x= + −
c)
2
4 3y x x= − +

d)
3 2
2 2y x x x= − + −
e)
2
(4 )( 1)y x x= − −
f)
3 2
3 4 1y x x x= − + −
g)
4 2
1
2 1
4
y x x= − −
h)
4 2
2 3y x x= − − +
i)
4 2

1 1
2
10 10
y x x= + −
k)
2 1
5
x
y
x
−
=
+
l)
1
2
x
y
x
−
=
−
m)
1
1
1
y
x
= −
−

Trang 1
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
n)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
o)
1
3
1
y x
x
= − + −
−
p)
2

4 15 9
3
x x
y
x
− +
=

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
4 3 2
6 8 3 1y x x x= − + − −
b)
2
2
1
4
x
y
x
−
=
−
c)
2
2
1
1
x x
y

x x
− +
=
+ +

d)
2
2 1x
y
x
−
=
e)
2
3 2
x
y
x x
=
− +
f)
3 2 2y x x= + + −

g)
2 1 3y x x= − − −
h)
2
2y x x= −
i)
2

2y x x= −
k)
sin2
2 2
y x x
 
= − < <
 ÷
 
π π
l)
sin2
2 2
y x x x
 
= − − < <
 ÷
 
π π
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến hoặc nghịch
biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số
( , )y f x m=
, m là tham số, có tập xác định D.
•
Hàm số f đồng biến trên D
⇔
y
′

≥
0,
∀
x
∈
D.
•
Hàm số f nghịch biến trên D
⇔
y
′

≤
0,
∀
x
∈
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y
′
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
y ax bx c
2
' = + +
thì:
•

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≥

≥ ∀ ∈ ⇔


>



≤


∆
•

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<



≤


∆
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c= + +

:
•
Nếu
∆
< 0 thì g(x) ln cùng dấu với a.
•
Nếu
∆
= 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
−
)
•
Nếu
∆
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong khoảng hai nghiệm
thì g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với
a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2

( )g x ax bx c= + +
với số
0:
•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


<

∆
•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>


< < ⇔ >


>

∆
•

1 2
0 0x x P< < ⇔ <
5) Để hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)
(x
1
; x
2
) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
•
Tính y
′
.
Trang 2
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
•
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
0
0

a

≠

>

∆
(1)
•
Biến đổi
1 2
x x d− =
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4x x x x d+ − =
(2)
•
Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
•
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln đồng biến trên từng khoảng
xác định (hoặc tập xác định) của nó:
a)
3
5 13y x x= + +
b)
3
2
3 9 1

3
x
y x x= − + +
c)
2 1
2
x
y
x
−
=
+

d)
2
2 3
1
x x
y
x
+ −
=
+
e)
3 sin(3 1)y x x= − +
f)
2
2 1x mx
y
x m

− −
=
−
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau ln nghịch biến trên từng khoảng
xác định (hoặc tập xác định) của nó:
a)
5 cot( 1)y x x= − + −
b)
cosy x x= −
c)
sin cos 2 2y x x x= − −

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc
từng khoảng xác định) của nó:
a)
3 2
3 ( 2)y x mx m x m= − + + −
b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
c)
x m
y
x m
+
=
−

d)
4mx
y
x m
+
=
+
e)
2
2 1x mx
y
x m
− −
=
−
f)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
Bài 4. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
3y x x mx m= + + +
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

b)
3 2
1 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m= − + − +
nghịch biến trên một khoảng có độ dài
bằng 3.
c)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
đồng biến trên một khoảng có độ dài
bằng 4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a)
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + − + +
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
c)

mx
y m
x m
4
( 2)
+
= ≠ ±
+
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Trang 3
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
d)
x m
y
x m
+
=
−
đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
e)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
đồng biến trên khoảng (1; +∞).

f)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
− − +
=
+
nghịch biến trên khoảng
1
;
2
 
− +∞
 ÷
 
.
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
•
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y
= f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.
•
Xét dấu f

′
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
•
Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f
′
(x) thì ta đặt h(x) = f
′
(x) và quay lại tiếp tục xét dấu h
′
(x) … cho đến khi nào xét dấu được
thì thơi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng:
f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin , 0
6
x
x x x với x− < < >
b)
2 1
sin tan , 0
3 3 2
x x x với x+ > < <
π
c)

tan , 0
2
x x với x< < <
π
d)
sin tan 2 , 0
2
x x x với x+ > < <
π
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan
, 0
tan 2
a a
với a b
b b
< < < <
π
b)
sin sin , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
c)
tan tan , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)
2
sin , 0
2
x
x với x> < <
π
π
b)
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x x
x x x với x− < < − + >
c)
x x x với xsin cos 1, 0
2
π
+ > < <
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1 , 0
x
e x với x> + >
b)
ln(1 ) , 0x x với x+ < >
c)
1
ln(1 ) ln , 0
1

x x với x
x
+ − > >
+
d)
( )
2 2
1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ +
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
0
tan55 1,4>
b)
0
1 7
sin20
3 20
< <
c)
2 3
log 3 log 4>
Trang 4
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
HD: a)
0 0 0
tan55 tan(45 10 )= +
. Xét hàm số
1
( )
1

x
f x
x
+
=
−
.
b) Xét hàm số
3
( ) 3 4f x x x= −
.
f(x) đồng biến trong khoảng
1 1
;
2 2
 
−
 ÷
 
và
0
1 7
,sin20 ,
3 20
∈

1 1
;
2 2
 

−
 ÷
 
.
c) Xét hàm số
( ) log ( 1)
x
f x x= +
với x > 1.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực
hiện các bước sau:
•
Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.
•
Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2
). Ta cần chứng minh một
hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C
1
) và (C
2
) giao
nhau tại một điểm duy nhất có hồnh độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy

nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn
đúng.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
5 5x x+ − =
b)
5 3
1 3 4 0x x x+ − − + =
c)
5 7 16 14x x x x+ − + + + + =
d)
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
5 5 5
1 2 3 0x x x+ + + + + =
b)
ln( 4) 5x x− = −
c)
3 4 5
x x x
+ =
d)
2 3 5 38
x x x
+ + =
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a)

3 4 5
1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − <
b)
2
2 7 2 7 35x x x x x+ + + + + <
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x

+ = + +


+ = + +

+ = + +

b)
3 2
3 2
3 2
2
2

2
x y y y
y z z z
z x x x

= + + −


= + + −

= + + −

c)
3 2
3 2
3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z

= − +


= − +

= − +


d)
x y y x
x y
x y
tan tan
5
2 3
4
,
2 2
π
π π

− = −


+ =


− < <


e)
x y x y
x y
x y
sin sin 3 3
5
, 0
π


− = −


+ =


>


f)
x y y x
x y
x y
sin2 2 sin2 2
2 3
0 ,
2
π
π

− = −


+ =


< <



Trang 5
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
g)
x y x y
x y
x y
cot cot
5 7 2
0 ,
π
π

− = −

+ =


< <

h)
HD: a, b) Xét hàm số
3 2
( )f t t t t= + +
c) Xét hàm số
2
( ) 6 12 8f t t t= − +
d) Xét hàm số f(t) = tant + t
I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x
0

∈ D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b)
sao cho
f(x) < f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b)
sao cho
f(x) > f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x

0
là điểm cực trị của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trị của đồ
thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực
tiểu tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại

tại x
0
.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm
x
0
, f′ (x
0
) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f′′ (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu f′′ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
Trang 6
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
•
Tìm f
′

(x).
•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng
có đạo hàm.
•
Xét dấu f
′
(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị
tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).
•
Tính f

′′
(x) và f
′′
(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f
′′
(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f
′′
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
2 3
3 2y x x= −
b)
3 2
2 2 1y x x x= − + −
c)
3 2
1

4 15
3
y x x x= − + −
d)
4
2
3
2
x
y x= − +
e)
4 2
4 5y x x= − +
f)
4
2
3
2 2
x
y x= − + +
g)
2
3 6
2
x x
y
x
− + +
=
+

h)
2
3 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
i)
2
2 15
3
x x
y
x
− −
=
−
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
3 4
( 2) ( 1)y x x= − +
b)
2
2
4 2 1
2 3
x x

y
x x
+ −
=
+ −
c)
2
2
3 4 4
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
d)
2
4y x x= −
e)
2
2 5y x x= − +
f)
2
2y x x x= + −
Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
3
2
1y x= +

b)
3
2
2 1
x
y
x
=
+
c)
4
x x
y e e
−
= +
d)
2
5 5 2lny x x x
= − + +
e)
2
4siny x x= −
f)
2
ln(1 )y x x= − +
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f
′

(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
khơng có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua
x
0
.
Chú ý:
•
Hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực trị
⇔
Phương trình y
′
= 0 có
hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng
Trang 7

Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
hai cách:
+
3 2
0 0 0 0
( )y x ax bx cx d= + + +
+
0 0
( )y x Ax B= +
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho
y
′
.
•
Hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
=
( )
( )
P x
Q x
(aa
′≠

0) có cực trị
⇔
Phương trình y
′
= 0
có hai nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
−
.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng
hai cách:

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
hoặc

0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
=
•
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra
lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
•
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác
nữa, nhất là định lí Vi–et.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
c)
2 2 4
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=

−
d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
Bài 2. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
b)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại x = 2.
d)
4 2
2( 2) 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại
1
.

2
x =
e)
2
2 2x mx
y
x m
− +
=
−
đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu.
g)
2
1
x x m
y
x
− +
=

−
có một giá trị cực đại bằng 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau khơng có cực trị:
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
b)
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
c)
2
5
3
x mx
y
x
− + +
=
−
d)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a)
3 2
y ax bx cx d= + + +
đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
Trang 8
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
4
27
tại x =
1
3
b)
4 2
y ax bx c= + +
có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9
tại x =
3
.
c)
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
−
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d)
2

ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
ax x b
y
x
+ +
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
1 2

1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = +
.
b)
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
8x x− ≥
.
c)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x

2
sao cho:
1 2
2 1x x+ =
.
Bài 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu
cùng dấu.
b)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực
đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

c)
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả
4M m− =
.
d)
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
có
12
CĐ CT
y y− <
.
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)

3 2
4y x mx= − + −
có hai điểm cực trị là A, B và
2
2
900
729
m
AB =
.
b)
4 2
4y x mx x m= − + +
có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận
gốc toạ độ O làm trọng tâm.
c)
2
2x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung.
Chứng minh hai điểm cực trị ln ln nằm cùng một phía đối với trục
hồnh.
Trang 9
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
d)
2

1
x mx
y
x
+
=
−
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
e)
2
2 5
1
x mx
y
x
− + +
=
−
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối
với đường thẳng y = 2x.
f)
2
2 3x x m
y
x m
+ + +
=
−
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ
nhất.

Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
b)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
đường phân giác thứ nhất.
c)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với
đường thẳng (d):
3 2 8 0x y− + =
.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với
đường thẳng (d):
2 3 1 0x y− − =

.
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
2
( 1) 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ
nhất của mặt phẳng toạ độ.
b)
2 2 2
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc
phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt
phẳng toạ độ.
c)
2 2 2
( 1) 4mx m x m m
y
x m

− + + +
=
−
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư
thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ
độ.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục
hồnh (tung).
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba
3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
.
•
Chia f(x) cho f
′
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
′
(x) + Ax + B.
•

Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị thì:
1 1 1
2 2 2
( )
( )
y f x Ax B
y f x Ax B

= = +

= = +

⇒
Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức
2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
.
Trang 10
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
•
Giả sử (x
0
; y
0
) là điểm cực trị thì
0
0
0
'( )
'( )
P x
y
Q x
=
.

•
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị ấy là:
'( ) 2
'( )
P x ax b
y
Q x d
+
= =
.
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số :
a)
3 2
2 1y x x x= − − +
b)
2 3
3 2y x x= −
c)
3 2
3 6 8y x x x= − − +
d)
2
2 1
3
x x
y
x
− +

=
+
e
2
1
2
x x
y
x
− −
=
−
Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
2
6x mx
y
x m
+ −
=
−

c)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
d)

2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
Bài 3. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
song song với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị
nằm trên đường thẳng y = –4x.
c)
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
vng góc với đường thẳng y = 3x – 7.
d)
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng (∆):

1 5
2 2
y x= −
.
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ⊂ R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M

≤ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m


≥ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a= =
.
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b= =
.
Trang 11
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến
thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
•
Tính f

′
(x).
•
Xét dấu f
′
(x) và lập bảng biến thiên.
•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một
đoạn [a; b].
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a;
b] (nếu có).
•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2

), …, f(x
n
).
•
So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
{ }
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x= =

{ }
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x= =
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 3y x x= + +
b)
3 4
4 3y x x= −
c)
4 2
2 2y x x= + −

d)
2
2y x x= + −
e)
2
1
2 2
x
y
x x
−
=
− +
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
g)
2
1
( 0)y x x
x
= + >

h)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ +
i)
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
+ +
= >
+

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1y x x x= + − +
trên [–1; 5] b)
3
3y x x= −

trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3y x x= − +
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5y x x= − +
trên [–2;
2]
e)
3 1
3
x
y
x
−
=
−
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
−
=
+
trên [0; 4]
g)
2

4 7 7
2
x x
y
x
+ +
=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ −
trên [0; 1]
i)
2
100y x= −
trên [–6; 8] k)
2 4y x x= + + −
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x

y
x
−
=
+
b)
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +
c)
2
2sin cos 1y x x= − +
d)
cos2 2sin 1y x x= − −
e)
3 3
sin cosy x x= +
f)
2
4 2
1
1
x
y
x x
−

=
− +
g)
2 2
4 2 5 2 3y x x x x= − + + − +
h)
2 2
4 4 3y x x x x= − + + − +
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng
thức
Trang 12
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
•
Chứng minh một bất đẳng thức.
•
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa
tìm được trở thành đẳng thức.
Bài 1. Giả sử
{ }
( ; ; )/ 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
.

HD:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
= − + +
 ÷
+ + +
 
Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si:
[ ]
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + = + + ≥
 ÷
+ + +
 
⇒
P
≤

3
4
. Dấu “=” xảy ra

⇔
x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4
D
P =
.
Bài 2. Cho D =
5
( ; )/ 0, 0,
4
x y x y x y
 
> > + =
 
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
4 1
4
S
x y
= +
.
HD:
( )

1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

⇔

4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
+ + ≥
 ÷
 
⇒
S
≥
5. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.

Bài 3. Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 1x y x y x y> > + <
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + +
− − +
.
HD:
2 2
1
(1 ) (1 ) 2
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + + + + −
− − +
=
1 1 1
2
1 1x y x y
+ + −
− − +
.

Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 
− + − + + + + ≥
 ÷
− − +
 
⇔

1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ≥
− − +
⇒
P
≥

5
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y =
1
3
. Vậy minP =

5
2
.
Bài 4. Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 4x y x y x y> > + ≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2
3 4 2
4
x y
P
x
y
+ +
= +
.
HD:
2
1 1
2
4 8 8 2
x y y x y
P
x
y
 
+
= + + + + +

 ÷
 
(1)
Theo bất đẳng thức Cơ–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ≥ =
(2)
Trang 13
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =
(3)
⇒
P
≥

9
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔

x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá
trị
Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau
có nghiệm:
0
( ) (1)
(2)
f x y
x D

=

∈

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thơng
thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m
≤
y
0

≤
M (3)
Vì y

0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
b)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
c)
2sin cos 1

sin 2cos 3
x x
y
x x
+ +
=
− +
d)
2sin cos 3
2cos sin 4
x x
y
x x
+ +
=
− +
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
. Khi đó:
1) Hệ phương trình
( )f x
x D

=

∈


α
có nghiệm
⇔
m
≤

α

≤
M.
2) Hệ bất phương trình
( )f x
x D

≥

∈

α
có nghiệm
⇔
M
≥

α
.
3) Hệ bất phương trình
( )f x
x D


≤

∈

β
có nghiệm
⇔
m
≤

β
.
4) Bất phương trình f(x)
≥

α
đúng với mọi x
⇔
m
≥

α
.
5) Bất phương trình f(x)
≤

β
đúng với mọi x
⇔
M

≤

β
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
4 4
2 4 2x x− + − =
b)
3 5 6 2
x x
x+ = +
c)
5 5
1
(1 )
16
x x+ − =
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2
2 1x x m+ + =
b)
2 2 (2 )(2 )x x x x m− + + − − + =
c)
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
d)
Trang 14
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
7 2 (7 )(2 )x x x x m− + + − − + =

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:
a)
2
2 1x x m+ + >
b)
2
2 9m x x m+ < +
c)
4
4 0mx x m− + ≥
Bài 4. Cho bất phương trình:
3 2
2 1 0x x x m− + − + <
.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a)
3 1mx x m− − ≤ +
có nghiệm. b)
( 2) 1m x m x+ − ≥ +
có nghiệm x ∈ [0;
2].
c)
2 2
( 1) 1m x x x x− + ≤ + +
nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1].
1. Định nghĩa:
Điểm
( )

0 0
; ( )U x f x
đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại
một khoảng (a; b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a;
x
0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn
trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
2. Tính chất:
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm
Trang 15
IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
x
0
, f′′(x
0
) = 0 và f′′(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
( )
0 0
; ( )U x f x
là một điểm
uốn của đồ thị hàm số.

• Đồ thị của hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
(a ≠ 0) ln có một điểm
uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị.
Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:
a)
3 2
6 3 2y x x x= − + +
b)
3 2
3 9 9y x x x= − − +
c)
4 2
6 3y x x= − +
d)
4
2
2 3
4
x
y x= − +
e)
4 3 2
12 48 10y x x x= − + +
f)
5 4
3 5 3 2y x x x= − + −
Bài 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a)

3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
; I(1; 2). b)
3
2
8
( 1) ( 3)
3 3
x
y m x m x= − + − + + −
;
I(1; 3)
c)
3 2
1y mx nx= + +
; I(1; 4) d)
3 2
2y x mx nx= − + −
;
2
; 3
3
I
 
−
 ÷
 
e)
3
2

3 2
x
y mx
m
= − + −
; I(1; 0) f)
3 2
3 4y mx mx= + +
; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
a)
5
4 3
4
(4 3) 5 1
5 3
x
y x m x x= − + + + −
b)
2
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
+
Bài 4. Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:

a)
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
b)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
c)
2
2
2 3
1
x x
y
x
−
=

+
d)
2
2 1
1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x
=
+
f)
2
2
2 5
1
x x
y
x x
+ +
=
− +

g)
2
2
2 3
3 3
x x
y
x x
−
=
− +
h)
2
2
3
1
x x
y
x
+
=
+
i)
3
2
4 5
x
y
x x
=

− +
Bài 5. Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:
a)
4 3 2
2 6 2 1y x x x mx m= − − + + −
có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1;
–2).
b)
3
2
2
3 3
x
y x mx= − − + +
có điểm uốn ở trên đường thẳng
2y x= +
.
c)
4 2
1
4
y x mx n= − + +
có điểm uốn ở trên Ox.
1. Định nghĩa:
• Đường thẳng
0
x x=
đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→

= −∞
Trang 16
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
• Đường thẳng
0
y y=
đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
;
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
• Đường thẳng
, 0y ax b a= + ≠
đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số
( )y f x=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
;
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
2. Chú ý:
a) Nếu
( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
= =
là hàm số phân thức hữu tỷ.
• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thị có tiệm cận đứng
0
x x=
.
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta
có thể áp dụng các cơng thức sau:
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
2 5
1
x
y
x
−

=
−
b)
10 3
1 2
x
y
x
+
=
−
c)
2 3
2
x
y
x
+
=
−
d)
2
4 3
1
x x
y
x
− +
=
+

e)
2
( 2)
1
x
y
x
−
=
−
f)
2
7 4 5
2 3
x x
y
x
+ +
=
−
Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
2
4 5
x
y
x x
=
− +
b)

2
2
9
x
y
x
+
=
−
c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
+ +
=
−
d)
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=

+ +
e)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
f)
4
3
4
1
x x
y
x
− +
=
−
Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
2
4y x x= −
b)
2
4 2

9
x
y
x
+
=
−
c)
2
1
4 3
y
x x
=
− +
d)
1
1
x
y x
x
−
=
+
e)
3
2 3
3y x x= −
f)
2

3 2
2
x x
y
x
− +
=
−
Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
2 1
2 1
x
x
y
+
=
−
b)
ln
2
x x
e e
y
−
−
=
c)
2
ln( 5 6)y x x= − +

Bài 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a)
y
x m x m
2 2
3
4 2(2 3) 1
=
+ + + −
b)
2
2
2
3 2( 1) 4
x
y
x m x
+
=
+ + +
c)
2
3
2
x
y
x x m
+
=
+ + −

Trang 17
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
d)
x
y
x m x m
2 2
3
2( 2) 1
−
=
+ + + +
e)
x
y
x m x m
2 2
1
2( 1) 2
−
=
+ − + −
f)
2
3
2 2 1
y
x mx m
=
+ + −

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a)
2
(3 2) 2 1
5
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
b)
2
(2 1) 3
2
mx m x m
y
x
+ + + +
=
+
Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm
số sau chắn trên hai trục toạ độ:
a)
2
3 1
1
x x
y
x

+ +
=
−
b)
2
3 4
2
x x
y
x
− + −
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−
Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục
toạ độ một tam giác có diện tích S đã chỉ ra:
a)
2
1
1
x mx

y
x
+ −
=
−
; S = 8 b)
2
(2 1) 2 3
1
x m x m
y
x
+ − − +
=
+
; S
= 8
c)
2
2 2(2 1) 4 5
1
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
; S = 16 d)
2
2 2

1
x mx
y
x
+ −
=
−
; S = 4
Bài 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị
của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:
a)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
b)
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ −
=
+

c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y′.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc khơng xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu
có).
Trang 18
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực
trị của hàm số.
• Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng
phương).
– Tính y′′.
– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị
với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị khơng cắt các trục toạ độ
hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm
thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của
đồ thị.
2. Hàm số bậc ba
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
:
• Tập xác định D = R.
• Đồ thị ln có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
 Các d ng đ th :ạ ồ ị
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
⇔ D’ = b
2
– 3ac > 0
y’ = 0 có nghiệm kép
⇔ D’ = b
2
– 3ac = 0
y’ = 0 vơ nghiệm
⇔ D’ = b
2
– 3ac < 0
3. Hàm số trùng phương
4 2

( 0)y ax bx c a= + + ≠
:
• Tập xác định D = R.
• Đồ thị ln nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Các dạng đồ thị:
Trang 19
y
x0
I
y
x0
I
y
x
0
I
y
x
0
I
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
4. Hàm số nhất biến
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
:

• Tập xác định D =
\
d
R
c
 
−
 
 
.
• Đồ thị có một tiệm cận đứng là
d
x
c
= −
và một tiệm cận ngang là
a
y
c
=
. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
• Các dạng đồ thị:
5. Hàm số hữu tỷ
2
( . ' 0, )
' '
ax bx c
y a a tử không chia hết cho mẫu
a x b
+ +

= ≠
+
:
• Tập xác định D =
'
\
'
b
R
a
 
−
 
 
.
• Đồ thị có một tiệm cận đứng là
'
'
b
x
a
= −
và một tiệm cận xiên. Giao
điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Trang 20
a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ab < 0
y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
⇔ ab > 0

y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
0
ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
 Các d ng đ th :ạ ồ ị
a.a′ > 0 a.a′ < 0
y′ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
y′ = 0 vơ nghiệm
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
3 2
3 9 1y x x x= − − +

b)
3 2
3 3 5y x x x= + + +
c)
3 2
3 2y x x= − + −
d)
2
( 1) (4 )y x x= − −
e)
3
2
1
3 3
x
y x= − +
f)
3 2
3 4 2y x x x= − − − +
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
4 2
2 1y x x= − −
b)
4 2
4 1y x x= − +
c)
4
2
5

3
2 2
x
y x= − +
d)
2 2
( 1) ( 1)y x x= − +
e)
4 2
2 2y x x= − + +
f)
4 2
2 4 8y x x= − + +
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
1
2
x
y
x
+
=
+
b)
2 1
1
x
y
x
+

=
−
c)
3
4
x
y
x
−
=
−
d)
1 2
1 2
x
y
x
−
=
+
e)
3 1
3
x
y
x
−
=
−
f)

2
2 1
x
y
x
−
=
+
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
b)
2
2
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)

2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
d)
1
1
1
y x
x
= − + +
−
e)
2
1
x
y
x
=
−
f)
2
2
1
x x

y
x
−
=
+
Bài 5. Vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
3
3 2y x x= − +
b)
3 2
3 2y x x= − + −
c)
4 2
2 3y x x= − −
Trang 21
0
x
y
0
x
y
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
d)
1
1
x
y
x
+

=
−
e)
2
2
1
x x
y
x
− +
=
−
f)
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
Trang 22
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thị (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hồnh độ giao điểm

của (C
1
) và (C
2
) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình
hồnh độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Đồ thị hàm số bậc ba
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
cắt trục hồnh tại 3 điểm
phân biệt
⇔ Phương trình
3 2
0ax bx cx d+ + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
⇔ Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực đại, cực tiểu và
. 0
CĐ CT
y y
<
.
Bài 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:
a)
2
3
3

2 2
1
2 2
x
y x
x
y

= − + −




= +


b)
2
2 4
1
2 4
x
y
x
y x x

−
=

 −


= − + +

c)
3
4 3
2
y x x
y x

= −

= − +


d)
4 2
2
1
4 5
y x x
y x


= − +

= −


e)

3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x


= − + −

= − +


f)
2
1
3 1
x
y
x
y x


=

−

= − +

Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a)
y x x
y m x
3
3 2
( 2)

= − −

= −

b)
3 2
2
3 2
1 13
2 12
x x
y x
y m x

= + −



 

= + +
 ÷


 

c)
3
3
3
( 3)
x
y x
y m x


= − +


= −


d)
2 1
2
2
x
y
x
y x m

+

=


+

= +

e)
1
1
2
x
y
x
y x m

+

=

−

= − +

f)
2
6 3
2
x x
y
x
y x m


− +

=

+

= −

g)
1
3
1
3
y x
x
y mx


= − + +

−

= +

h)
2
3 3
2
4 1

x x
y
x
y mx m

− +

=

−

= − −

i)
y x x
y m x
3
2
2 1
( 1)


= − +

= −


Bài 3. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
2

( 2) 1
; 1
2
x
y y mx
x
+ −
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
2 3
; 2
1
x x m
y y x m
x
− +
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
; 2
1
mx x m
y y mx
x
+ +

= = +
−
cắt nhau tại hai điểm có hồnh độ trái dấu.
d)
2
4 5
; 2
2
x x
y y mx
x
+ +
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm có hồnh độ trái dấu.
e)
2
( 2)
; 3
1
x
y y mx
x
−
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác
Trang 23
VII. MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VII. MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
nhau.
f)
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
dương.
Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
3 2
3 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = − +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
3 2
3 (1 2 ) 1y mx mx m x= + − − −
cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt.
c)
2 2
( 1)( 3)y x x mx m= − − + −
cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2 2

2 2 2 1; 2 2y x x x m y x x= + − + − = − +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3 2 2 2
2 3 ; 2 1y x x m x m y x= + − + = +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
4 2
2 1;y x x y m= − − =
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
4 2 3
( 1)y x m m x m= − + +
cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
c)
4 2 2
(2 3) 3y x m x m m= − − + −
cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
3 1
; 2
4
x
y y x m
x
+
= = +
−

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m
để đoạn AB ngắn nhất.
b)
4 1
;
2
x
y y x m
x
−
= = − +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m
để đoạn AB ngắn nhất.
c)
2
2 4
; 2 2
2
x x
y y mx m
x
− +
= = + −
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi
đó tính AB theo m.
Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
3 2

3 6 8y x mx mx= − + −
cắt trục hồnh tại ba điểm có hồnh độ lập
thành một cấp số cộng.
b)
3 2
3 9 1; 4y x x x y x m= − − + = +
cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung
điểm của đoạn AC.
c)
4 2 2
(2 4)y x m x m= − + +
cắt trục hồnh tại bốn điểm có hồnh độ lập
thành một cấp số cộng.
d)
3 2
( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= − + − − + −
cắt trục hồnh tại ba điểm có hồnh
độ lập thành một cấp số nhân.
e)
3 2
3 (2 2) 9 192y x m x mx= + + + +
cắt trục hồnh tại ba điểm có hồnh độ
lập thành một cấp số nhân.
Trang 24
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ
THỊ
• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1

): y = f(x) và
(C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của (C
1
): y = f(x)
và (C
2
): y = g(x)
• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta
biến đổi (*) về một trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hồnh độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
• d là đường thẳng cùng phương với trục hồnh.
• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)
(k: khơng đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hồnh độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
• Vì d có hệ số góc k khơng đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, … của (C)
có hệ số góc k.
• Dựa vào các tung độ gốc m, b
1
, b
2
, … của d, d
1
, d
2
, …
để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hồnh độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0
• d quay quanh điểm cố định M

0
(x
0
; y
0
).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
• Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.
Chú ý:
•
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:
α

≤
x
≤

β
thì ta chỉ vẽ đồ thị
(C): y = f(x) với
α

≤
x
≤

β
.
•
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện
luận theo m.
Trang 25
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
CĐ
y
CT
x
A
c.
y

c.
x
A
c.
y = kx
c.
m
c.
(C)
c.
M
1
M
2
b
1
b
2
d
1
d
d
2
O
y
c.
x
0
d
3

d
1
y
0
c.
0
(C)
c.
M
1
M
2
d
2
m = –∞
m = +∞
m > 0
m = 0
m < 0
d
I
IV
(–)
(+)
M
x