Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 5 potx

Trn S Tựng Hm s lu tha m logarit
Trang 55




1. nh ngha
ã Vi a > 0, a
ạ
1, b > 0 ta cú:
log
a
bab
==
a
a

Chỳ ý:
log
a
b
cú ngha khi
0,1
0
aa
b
ỡ
>ạ
ớ
>
ợ

ã Logarit thp phõn:
10
lgloglog
bbb
==

ã Logarit t nhiờn (logarit Nepe):
lnlog
e
bb
=
(vi
1
lim12,718281
n
e
n
ổử
=+ằ
ỗữ
ốứ
)
2. Tớnh cht
ã
log10
a
=
;
log1

a
a
=
; log
b
a
ab
=
;
log
(0)
a
b
abb
=>

ã Cho a > 0, a
ạ
1, b, c > 0. Khi ú:
+ Nu a > 1 thỡ loglog
aa
bcbc
>>

+ Nu 0 < a < 1 thỡ loglog
aa
bcbc
><

3. Cỏc qui tc tớnh logarit

Vi a > 0, a
ạ
1, b, c > 0, ta cú:
ã
log()loglog
aaa
bcbc
=+ ã
logloglog
aaa
b
bc
c
ổử
=-
ỗữ
ốứ
ã
loglog
aa
bb
=
a
a

4. i c s
Vi a, b, c > 0 v a, b
ạ
1, ta cú:
ã

log
log
log
a
b
a
c
c
b
=
hay
log.loglog
aba
bcc
=
ã
1
log
log
a
b
b
a
= ã
1
loglog(0)
a
a
cc
=ạ

a
a
a


Baứi 1. Thc hin cỏc phộp tớnh sau:
a)
21
4
log4.log2
b)
527
1
log.log9
25
c)
3
log
a
a

d)
3
2
log2
log3
49+ e)
22
log8
f)

9 8
log2
log27
274+
g)
34
1/3
7
1
log.log
log
aa
a
aa
a
h)
386
log6.log9.log2
i)
381
2log2 4log5
9
+

k)
99
3
log364log7
log5
81273

++
l)
57
log6log8
2549+
m)
5
32log4
5
-

n)
68
11
log3log2
94+
o)
9
2125
1log4
2log3log27
345
+ -
++
p)
3
6
log3.log36

q)

000
lg(tan1)lg(tan2) lg(tan89)
+++
r)
842234
loglog(log16).loglog(log64)
ộựộự
ởỷởỷ

Baứi 2. Cho a > 0, a
ạ
1. Chng minh:
1
log(1)log(2)
aa
aa
+
+>+

I
I
.
LOGARIT


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 56

HD: Xét A =
111

11
log(2)loglog(2)
log.log(2)
log(1)2
aaa
aa
a
aaa
aa
a
+++
++
+++
=+£
+
=
=
2
11
log(2)log(1)
1
22
aa
aaa
++
++
<=

Baøi 3. So sánh các cặp số sau:
a)

34
1
log4 vaø log
3
b)
3
0,10,2
log2 vaø log0,34
c)
35
42
23
log vaø log
54

d)
11
32
11
loglog
80
152
vaø
+
e)
1317
log150log290
vaø f)
6
6

1
log
log3
2
2 vaø 3

g)
711
log10log13
vaø h)
23
log3log4
vaø i)
910
log10log11
vaø
HD: d) Chứng minh:
11
32
11
log4log
80
152
<<
+

e) Chứng minh:
1317
log1502log290
<<

g) Xét A =
777
711
7
log10.log11log13
log10log13
log11
-
-=

=
777
7
110.11.71011
loglog.log
log117.7.1377
æö
+
ç÷
èø
> 0
h, i) Sử dụng bài 2.
Baøi 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
2
log14
a
=
. Tính
49

log32
theo a.
b) Cho
15
log3
a
=
. Tính
25
log15
theo a.
c) Cho
lg30,477
=
. Tính
lg9000
;
lg0,000027
;
81
1
log100
.
d) Cho
7
log2
a
=
. Tính
1

2
log28
theo a.
Baøi 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
25
log7
a
=
;
2
log5
b
=
. Tính
3
5
49
log
8
theo a, b.
b) Cho
30
log3
a
=
;
30
log5
b

=
. Tính
30
log1350
theo a, b.
c) Cho
14
log7
a
=
;
14
log5
b
=
. Tính
35
log28
theo a, b.
d) Cho
2
log3
a
=
;
3
log5
b
=
;

7
log2
c
=
. Tính
140
log63
theo a, b, c.
Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):
a)
loglog
aa
cb
bc=
b)
loglog
log()
1log
aa
ax
a
bx
bx
x
+
=
+
c)
log
1log

log
a
a
ab
c
b
c
=+

d)
1
log(loglog)
32
ccc
ab
ab
+
=+, với
22
7
abab
+=
.
e)
1
log(2)2log2(loglog)
2
aaaa
xyxy
+-=+, với

22
412
xyxy
+= .
f) loglog2log.log
bccbcbcb
aaaa
+-+-
+= , với
222
abc
+=
.
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 57

g)
234
11111(1)

logloglogloglog2log
k
aa
aaaa
kk
xxxxxx
+
+++++= .
h)
log.log.log

log.loglog.loglog.log
log
abc
abbcca
abc
NNN
NNNNNN
N
++=
.
i)
1
1lg
10
z
x
-
=
, nếu
11
1lg1lg
1010
xy
yvaøz

==.
k)
2320092009!
1111

loglogloglog
NNNN
+++= .
l)
logloglog
logloglog
aba
bcc
NNN
NNN
-
=
-
, với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 58




1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa

yx
=
a
(a là hằng số)

Số mũ a
Hàm số
yx
=
a

Tập xác định D
a = n (n nguyên dương)
n
yx
=

D = R
a = n (n nguyên âm hoặc n = 0)
n
yx
=

D = R \ {0}
a là số thực không nguyên
yx
=
a

D = (0; +¥)

Chú ý: Hàm số
1
n
yx
= không đồng nhất với hàm số
(*)
n
yxnN
=Î.
b) Hàm số mũ
x
ya
=
(a > 0, a
¹
1).
· Tập xác định: D = R.
· Tập giá trị: T = (0; +¥).
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
· Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang.
· Đồ thị:

c) Hàm số logarit
log
a
yx
= (a > 0, a
¹
1)
· Tập xác định: D = (0; +¥).

· Tập giá trị: T = R.
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
· Đồ thị:


0<a<1


y=log
a
x

1
x
y
O

a>1


y=log
a
x

1
y
x
O

0<a<1


y=a
x

y
x
1
a>1

y=a
x

y
x
1
III. HÀM SỐ LUỸ THỪA
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
Trn S Tựng Hm s lu tha m logarit
Trang 59

2. Gii hn c bit
ã
1
0
1
lim(1)lim1
x
x

xx
xe
x
đđƠ
ổử
+=+=
ỗữ
ốứ
ã
0
ln(1)
lim1
x
x
x
đ
+
=
ã
0
1
lim1
x
x
e
x
đ
-
=

3. o hm
ã
( )
1
(0)
xxx
-
Â
=>
aa
a
;
( )
1
.
uuu
-
Â
Â
=
aa
a

Chỳ ý:
( )
n
n
n
vụựixneỏunchaỹn
x

vụựixneỏunleỷ
nx
1
1
0
0
-
Â
ổử
>
=
ỗữ
ạ
ốứ
.
( )
1
n
n
n
u
u
nu
-
Â
Â
=

ã
( )

ln
xx
aaa
Â
=
;
()
ln.
uu
aaau
Â
=Â


( )
xx
ee
Â
=
;
()
.
uu
eeu
Â
=Â


ã
( )

1
log
ln
a
x
xa
Â
=
;
( )
log
ln
a
u
u
ua
Â
Â
=


( )
1
ln x
x
Â
=
(x > 0);
( )
ln

u
u
u
Â
Â
=


Baứi 1. Tớnh cỏc gii hn sau:
a) lim
1
x
x
x
x
đ+Ơ
ổử
ỗữ
+
ốứ
b)
1
1
lim1
x
x
x
x
+
đ+Ơ

ổử
+
ỗữ
ốứ
c)
21
1
lim
2
x
x
x
x
-
đ+Ơ
ổử
+
ỗữ
-
ốứ

d)
1
3
34
lim
32
x
x
x

x
+
đ+Ơ
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
e)
1
lim
21
x
x
x
x
đ+Ơ
ổử
+
ỗữ
-
ốứ
f)
21
lim
1
x
x
x
x

đ+Ơ
ổử
+
ỗữ
-
ốứ

g)
ln1
lim
xe
x
xe
đ
-
-
h)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
đ
-
i)
1

lim
1
x
x
ee
x
đ
-
-

k)
0
lim
sin
xx
x
ee
x
-
đ
-
l)
sin2sin
0
lim
xx
x
ee
x
đ

-
m)
(
)
1
lim1
x
x
xe
đ+Ơ
-

Baứi 2. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a)
3
2
1
yxx
=++
b)
4
1
1
x
y
x
+
=
-
c)

2
5
2
2
1
xx
y
x
+-
=
+

d)
3
sin(21)
yx
=+
e)
3
2
cot1
yx
=+ f)
3
3
12
12
x
y
x

-
=
+

g)
3
3
sin
4
x
y
+
= h)
11
5
9
96
yx
=+ i)
2
4
2
1
1
xx
y
xx
++
=
-+

Baứi 3. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a)
x
yxxe
2
(22)
=-+ b)
x
yxxe
2
(2)
-
=+ c)
2
.sin
x
yex
-
=
d)
2
2
xx
ye
+
= e)
1
3
.

xx
yxe
-
= f)
2
2
xx
xx
ee
y
ee
+
=
-

g)
cos
2.
xx
ye= h)
2
3
1
x
y
xx
=
-+
i)
x

yxe
cot
cos.=
Baứi 4. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
Hm s lu tha m logarit Trn S Tựng
Trang 60

a) yxx
2
ln(23)
=++
b)
yx
2
log(cos)
= c)
x
yex
.ln(cos)
=
d)
yxxx
2
(21)ln(3)
=-+
e)
yxx
3
1
2

log(cos)
=- f)
yx
3
log(cos)
=
g)
x
y
x
ln(21)
21
+
=
+
h)
x
y
x
ln(21)
1
+
=
+
i)
(
)
2
ln1
yxx

=++
Baứi 5. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra:
a)
x
yxexyxy
2
2
2
.;(1)
-
=Â=- b)
xx
yxeyye
(1);
=+Â-=

c)
4
2;13120
xx
yeeyyy
-
ÂÂÂ
=+-Â-=
d)
2
;320
xx
yaebeyyy

ÂÂ
=++Â+=

g)
.sin;220
x
yexyyy
-
ÂÂÂ
=++=
h)
(
)
4
.cos;40
x
yexyy
-
=+=

i)
sin
;cossin
x
yeyxyxy
=Â ÂÂ=0
k)
2
.sin5;4290
x

yexyyy
=ÂÂ-Â+=

l)
2
1
.;2
2
xx
yxeyyye
=ÂÂ-Â+=
m)
4
2;13120
xx
yeeyyy
-
ÂÂÂ
=+-Â-=

n)
xx
xy
yxeyex
x
22
2
2
(1)(2010);(1)
1

=++Â=++
+

Baứi 6. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra:
a)
1
ln;1
1
y
yxye
x
ổử
=Â+=
ỗữ
+
ốứ
b)
1
;ln1
1ln
yxyyyx
xx
ộự
=Â=-
ởỷ
++

c) yxxyxyxy
2
sin(ln)cos(ln);0

=++Â+ÂÂ=
d)
x
yxyxy
xx
222
1ln
;2(1)
(1ln)
+
=Â=+
-

e)
2
22
1
1ln1;2 ln
22
x
yxxxxyxyy
=+++++=Â+Â

Baứi 7. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh sau vi hm s c ch ra:
a)
x
fxfxfxexx
2
'()2();()(31)
==++

b)
3
1
'()()0;()ln
fxfxfxxx
x
+==

c)
2112
'()0;()2.75
xx
fxfxeex

==++-

d)
'()'();()ln(5);()ln(1)
fxgxfxxxgxx
>=+-=-

e)
21
1
'()'();().5;()54ln5
2
xx
fxgxfxgxx
+

<==+

Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 61



1. Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a ¹ 1:
0
log
x
a
b
ab
xb
ì
>
=Û
í
=
ỵ

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ¹ 1:
()()
()()
fxgx
aafxgx
=Û=
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:

(1)()0
MN
aaaMN
=Û =

b) Logarit hố:
(
)
()()
()log.()
=Û=
fxgx
a
abfxbgx

c) Đặt ẩn phụ:
· Dạng 1:
()
()0
fx
Pa
=
Û
()
,0
()0
fx
tat
Pt
ì

=>
í
=
ỵ
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
· Dạng 2:
2()()2()
()0
fxfxfx
aabb
++=
abg

Chia 2 vế cho
2()
fx
b , rồi đặt ẩn phụ
()
fx
a
t
b
ỉư
=
ç÷
èø

· Dạng 3:
()()fxfx
abm

+=
, với
1
ab
=
. Đặt
()()
1
fxfx
tab
t
=Þ=

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
· Đốn nhận x
0
là một nghiệm của (1).
· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x
0
là nghiệm duy
nhất:

() đồng biến và () nghòch biến (hoặ
c đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
() đơn điệu và () hằng số
fxgx
fxgxc
é
ê

=
ë

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì
()()
fufvuv
=Û=

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
· Phương trình tích A.B = 0 Û
0
0
A
B
é
=
ê
=
ë
· Phương trình
22
0
0
0
A
AB
B
ì
=
+=Û

í
=
ỵ

f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Nếu ta chứng minh được:
()
()
fxM
gxM
ì
³
í
£
ỵ
thì (1)
()
()
fxM
gxM
ì
=
Û
í
=
ỵ


Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hố):

a)
3182
93
xx

=
b)
( )
2
322322
x
-=+
c)
xxxxxx
222
3265237
4441
-+++++
+=+
d)
22
575.357.350
xxxx
+=

e)
2222
121
2233
xxxx

-+-
+=+
f)
2
4
525
xx-+
=

g)

2
2
43
1
2
2
x
x
-
-
ỉư
=
ç÷
èø
h)
712
11
.2
22

xx+-
ỉưỉư
=
ç÷ç÷
èøèø

i)
1
3.272
xx+
=
k)
xxx11
5 6. 5–3. 552
+-
+=

l)
105
1015
160,125.8
xx
xx
++

= m)
( ) ( )
1
1
1

5252
x
x
x
-
-
+
+=-
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 62

Baøi 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
a)
4132
21
57
xx
++
æöæö
=
ç÷ç÷
èøèø
b)
21
1
5.250
x
x
x

-
+
=
c)
3
2
3.26
x
x
x+
=

d)
2
3.86
x
x
x+
=
e)
121
4.932
xx
-+
=
f)
2
2
2.31,5
xxx-

=
g)
2
5.31
xx
=
h)
32
23
xx
=
i)
xx
2
3.21
=

Baøi 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a)
1
4280
xx+
+-=
b)
11
46.280
xx++
-+=
c)
4825

34.3270
xx++
-+=

d)
1617.4160
xx
-+=

e)
1
49780
xx+
+-=

f)
22
2
223.
xxxx-+-
-=

g)
( ) ( )
xx
743236
+++=

h)
2

cos2cos
443
xx
+=
i)
251
336.390
xx++
-+=

k)
22
221
328.390
xxxx+++
-+=
l)
22
22
49.280
xx++
-+=
m)
211
3.52.50,2
xx
-=
Baøi 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a)
252(3).5270

xx
xx
+-=
b)
22
3.25(310).530
xx
xx

+-+-=

c)
3.4(310).230
xx
xx
+-+-=
d)
92(2).3250
xx
xx
+-+-=

e)
xxx
xxxx
212
4.332.3.26
+
++=++
f)

22
3.25(310).530
xx
xx

+-+-=

g)
xx
xx
4+(–8)2+12–20
=
h)
xx
xx
(4).9(5).310
+-++=

i)
22
22
4(7).21240
xx
xx
+-+-=
k)
9(2).32(4)0
xx
xx

-+-+=

Baøi 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
a)
64.984.1227.160
xxx
-+=
b)
3.162.815.36
xxx
+= c)
22
6.313.66.20
xxx
-+=

d)
21
25102
xxx
+
+= e)
xxx
8.21227 =+ f)
3.162.815.36
xxx
+=

g)
04.66.139.6

111
=+-
xxx
h)
111
469
xxx

+=
i)
111
2.469
xxx
+=

k)
( ) ( )( ) ( )
xxx
75225322312120.
++-++++-=

Baøi 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
a)
( ) ( )
xx
232314
-++=
b)
( ) ( )
xx

23234
++-=

c)
(23)(743)(23)4(23)
xx
+++-=+ d)
( ) ( )
xx
x
3
52175212
+
-++=
e)
( ) ( )
52452410
xx
++-=
f)
735735
78
22
xx
æöæö
+-
+=
ç÷ç÷
ç÷ç÷
èøèø

g)
(
)
(
)
63563512
-++=
xx
h)
( ) ( )
22
(1)21
4
2323
23

++-=
-
xxx

i)
( ) ( )
3
3516352
+
++-=
xx
x
k)

( ) ( )
35357.20
++ =
xx
x

l)
( ) ( )
xx
74332320
+ +=
m)
( ) ( )
xx
33
38386.
++-=

Baøi 7. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
( ) ( )
xx
x
23234
-++=
b)
( ) ( ) ( )
xxx
32325
-++=

c)
( ) ( )
3223226
++-=
xx
x
d)
( ) ( )
3
3516.352
xx
x
+
++-=
e)
37
2
55
æö
+=
ç÷
èø
x
x
f)
(
)
(
)
23232

++-=
xx
x

Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 63

g)
23510
xxxx
++=
h)
235
xxx
+=
i)
2
12
22(1)
xxx
x

-=-

k)
352
x
x
=-
l)

23
x
x
=-
m)
1
241
xx
x
+
-=-

n)
2
231
x
x
=+
o) 2974 +=+ x
xx
p) 0155
312
=+
+
x
xx

q)
xxxx
7483 +=+ r)

xxxx
3526 +=+ s)
xxxx
1410159 +=+
Baøi 8. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
a)
8.33.2246
xxx
+=+
b)
1
12.33.15520
xxx+
+-=

c)
3
8.2 2 0
xx
xx
-
-+-=
d)
xxx
6132 +=+
e)
1
4
4
4

73.25623
222
+
=
+
+++++- xxxxxx
f)
( )
1
2
2
4
2
22
11
+
=
+
+-+ xxxx

g)
xx
xxxxx
232
.33(127)81912
+-=-+-+
h)
211
.3(32)2(23)
xxxxx

xx

+-=-
i)
sin1sin
42cos()20
y
xx
xy
+
-+=
k)
2222
2()12()1
222.210
xxxxxx+-+-
+ =

Baøi 9. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
a)
4
2cos,
x
x
= với x ³ 0 b)
2
6102
366
xx
xx

-+
=-+-
c)
sin
3cos
x
x
=
d)
3
2
2.cos33
2
xx
xx
-
æö
-
=+
ç÷
èø
e) x
x
cos
sin
=
p
f)
x
x

xx
1
2
2
2
2
+
=
-

g)
x
x
2cos3
2
=
h)
2
5cos3
x
x
=

Baøi 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
930
xx
m
++=
b)

9310
xx
m
+-=
c)
1
42
xx
m
+
-=

d)
2
32.3(3).20
xxx
m
+-+=
e)
2(1).20
xx
mm
-
+++=
f)
252.520
xx
m
=

g)
2
16(1).210
xx
mm
+-=
h)
25.5120
xx
mm
++-=
i)
22
sinos
8181
xcx
m
+=

k)
22
422
32.3230
xx
m

-+-=
l)
1 3 1 3
414.28

xxxx
m
++-++-
-+=

m)
22
11
98.34
xxxx
m
+-+-
-+=
n)
22
1111
9(2).3210
tt
mm
+-+-
-+++=

Baøi 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
.2250
xx
m
-
+-=
b)

.162.815.36
xxx
m +=

c)
( ) ( )
51512
xx
x
m
++-=
d)
735735
8
22
xx
m
æöæö
+-
+=
ç÷ç÷
èøèø

e)
3
423
xx
m
+
-+=

f)
9310
xx
m
++=

Baøi 12. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
a)
1
(1).4(32).2310
+
++ +=
xx
mmm b)
2
49(1).720
+-+-=
xx
mmm
c)
93(1).3520
+ +=
xx
mm d)
(3).16(21).410
++-++=
xx
mmm
e)
(

)
421.2+380
xx
mm
-+-=
f)
42 6
xx
m
-+=

Baøi 13. Tìm m để các phương trình sau:
a)
.162.815.36
+=
xxx
m có 2 nghiệm dương phân biệt.
b)
16.8(21).4.2
xxxx
mmm
-+-= có 3 nghiệm phân biệt.
c)
22
2
426
xx
m
+
-+=

có 3 nghiệm phân biệt.
d)
22
94.38
xx
m
-+=

có 3 nghiệm phân biệt.



Hm s lu tha m logarit Trn S Tựng
Trang 64



1. Phng trỡnh logarit c bn
Vi a > 0, a ạ 1: log
b
a
xbxa
==

2. Mt s phng phỏp gii phng trỡnh logarit
a) a v cựng c s
Vi a > 0, a ạ 1:
()()
log()log()

()0(()0)
aa
fxgx
fxgx
fxhoaởcgx
ỡ
=
=
ớ
>>
ợ

b) M hoỏ
Vi a > 0, a ạ 1:
log()
log()
a
fx
b
a
fxbaa
==

c) t n ph
d) S dng tớnh n iu ca hm s
e) a v phng trỡnh c bit
f) Phng phỏp i lp
Chỳ ý:

ã

Khi gii phng trỡnh logarit cn chỳ ý iu kin biu thc cú ngha.

ã
Vi a, b, c > 0 v a, b, c
ạ
1:
loglog
bb
ca
ac=



Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau (a v cựng c s hoc m hoỏ):
a)
2
log(1)1
xx
ộự
-=
ởỷ
b)
22
loglog(1)1
xx
+-=

c)
21/8
log(2)6.log352

xx
=
d)
22
log(3)log(1)3
xx
-+-=

e)
444
log(3)log(1)2log8
xx+ =- f)
lg(2)lg(3)1lg5
xx
-+-=-

g)
88
2
2log(2)log(3)
3
xx
=
h)
lg54lg12lg0,18
xx-++=+
i)
2
33
log(6)log(2)1

xx
-=-+
k)
225
log(3)log(1)1/log2
xx++-=
l)
44
loglog(10)2
xx
+-=
m)
51/5
log(1)log(2)0
xx
+=

n)
222
log(1)log(3)log101
xx
-++=-
o)
93
log(8)log(26)20
xx
+-++=

Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau (a v cựng c s hoc m hoỏ):
a)

31/3
3
logloglog6
xxx
++=
b)
22
1lg(21)lg(1)2lg(1)
xxxx
+-+-+=-

c)
41/168
logloglog5
xxx
++=
d)
22
2lg(441)lg(19)2lg(12)
xxxx
+-+-+=-
e)
248
logloglog11
xxx
++=
f)
1/21/2
1/2
log(1)log(1)1log(7)

xxx
-++=+-

g)
2233
loglogloglog
xx
= h)
2332
loglogloglog
xx
=
i)
233233
loglogloglogloglog
xxx
+= k)
234432
loglogloglogloglog
xx
=
Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau (a v cựng c s hoc m hoỏ):
a)
2
log(92)3
x
x
-=-
b)
3

log(38)2
x
x
-=-

c)
7
log(67)1
x
x
-
+=+
d)
1
3
log(4.31)21
x
x
-
-=-

e)
5
log(3)
2
log(92)5
x
x
-
-= f)

2
log(3.21)210
x
x
=

g)
2
log(122)5
x
x
-=-
h)
5
log(263)2
x
-=

V. PHNG TRèNH LOGARIT
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 65

i)
1
2
log(525)2
xx+
-=
k)
1

4
log(3.25)
x
x
+
-=

l)
1
1
6
log(525)2
xx+
-=-
m)
1
1
5
log(636)2
xx+
-=-

Baøi 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
a)
2
5
log(265)2
x
xx
-

-+=
b)
2
1
log(45)1
x
xx
-
-+=

c)
2
log(583)2
x
xx
-+=
d)
32
1
log(2231)3
x
xxx
+
+-+=

e)
3
log(1)2
x
x

-
-=
f)
log(2)2
x
x
+=

g)
2
2
log(56)2
x
xx
-+=
h)
2
3
log()1
x
xx
+
-=

i)
2
log(2712)2
x
xx
-+=

k)
2
log(234)2
x
xx
=

l)
2
2
log(56)2
x
xx
-+=
m)
2
log(2)1
x
x
-=

n)
2
3 5
log(982)2
x
xx
+
++=
o)

2
2 4
log(1)1
x
x
+
+=

p)
15
log2
12
x
x
=-
-
q)
2
log(32)1
x
x
-=

r)
2
3
log(3)1
xx
x
+

+=
s)
2
log(254)2
x
xx
-+=

Baøi 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
22
33
loglog150
xx
++-=
b)
2
21/2
2
log3loglog2
xxx
++=

c)
4
7
log2log0
6
x
x

-+=
d)
2
2
12
2
log4log8
8
x
x
+=

e)
2
21/2
2
log3loglog0
xxx
++=
f)
2
2
log16log643
x
x
+=

g)
5
1

loglog2
5
x
x
-=
h)
7
1
loglog2
7
x
x
-=

i)
5
1
2log2log
5
x
x -= k)
22
3 loglog40
xx
-=

l)
33
3loglog310
xx

=
m)
3
3
22
loglog4/3
xx+=
n)
3
3
22
loglog2/3
xx-=- o)
2
24
1
log2log0
x
x
+=

p)
2
21/4
log(2)8log(2)5
xx
=
q)
2
525

log4log550
xx
+-=

r)
2
9
log5log5log5
4
xxx
x+=+ s)
2
9
log3log1
x
x
+=

t)
12
1
4lg2lgxx
+=
-+
u)
13
1
5lg3lgxx
+=
-+

v)
23
2164
log14log40log0
xxx
xxx
-+=

Baøi 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
2
3
3
log(12)log110
xxxx
+-+-=
b)
2
22
loglog6
6.96.13.
x
xx+=

c)
2
22
.log2(1).log40
xxxx

-++=
d) xxxx 26log)1(log
2
2
2
-=-+
e)
2
33
(2)log(1)4(1)log(1)160
xxxx
+++++-=
f)
2
2
log(2)log2
x
x
xx
-
++=

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 66

g)
2
33
log(1)(5)log(1)260
xxxx

++-+-+=
h)
33
4log1log4
xx
=

i)
22
222
log(32)log(712)3log3
xxxx+++++=+
Baøi 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
73
loglog(2)
xx
=+
b)
23
log(3)log(2)2
xx
-+-=

c) xx
35
log(1)log(21)2
+++=
d)
(

)
x
xx
6
log
26
log3log
+=
e)
(
)
7
log3
4
x
x
+
=
f)
(
)
23
log1log
xx
+=
g)
222
log9loglog3
2
.3

x
xxx=-

h)
22
3723
log(9124)log(62321)4
xx
xxxx
++
+++++=

i)
(
)
(
)
(
)
222
236
log1.log1log1
xxxxxx
+-=

Baøi 8. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
a)
22
log3log5
(0)

xxxx
+=>
b)
22
loglog
2
35
xx
x +=

c)
5
log(3)3
xx
+=-
d)
2
log(3)
xx
-=

e)
2
22
log(6)log(2)4
xxxx
+=++
f)
2
log

2.33
x
x
+=

g)
23
4(2)log(3)log(2)15(1)
xxxx
éù
+-=+
ëû

Baøi 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
a)
2727
log2.log2log.log
xxxx
+=+ b)
2332
log.log33.loglog
xxxx
+=+
c)
( )
(
)
xx
2
933

2loglog.log2x11
=+-


Baøi 10. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
a)
23
ln(sin)1sin0
xx
-+=
b)
(
)
22
2
log11
xxx
+-=-
c)
2132
2
3
8
22
log(444)
xx
xx
+-
+=
-+

Baøi 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
2
2323
log2(1)log(22)0
xmxxm
+-
éù
-+++-=
ëû
b)
(
)
(
)
2
2
log2log
xmx
-=

c)
(
)
2
5252
log1log0
xmxmx
+-

++++=
d)
(
)
( )
lg
2
lg1
mx
x
=
+

e)
2
33
log(4)log(221)
xmxxm
+=

f)
2
227227
log(1)log()0
xmmxx
+-
-++-=

Baøi 12. Tìm m để các phương trình sau:
a)

(
)
2
log41
-=+
x
mx
có 2 nghiệm phân biệt.
b)
2
33
log(2).log310
xmxm
-++-=
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả x
1
.x
2
= 27.
c)
2222
42
2log(224)log(2)
-+-=+-
xxmmxmxm
có 2 nghiệm x

1
, x
2
thoả
22
12
1
xx
+>
.
d)
22
33
loglog1210
xxm
++ =
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
éù
ëû
.
e)
( )
2
22
4loglog0
xxm
++=
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 67




Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình
đã học như:
· Phương pháp thế.
· Phương pháp cộng đại số.
· Phương pháp đặt ẩn phụ.
· …….

Baøi 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
25
21
y
y
x
x
ì
ï
+=
í
-=
ï
î
b)
24

432
x
x
y
y
ì
ï
=
í
=
ï
î

c)
2
31
319
y
y
x
x
ì
ï
-=
í
+=
ï
î
d)
1

26
8
4
y
y
x
x
-
-
ì
ï
=
í
=
ï
î

e)
î
í
ì
=+
=+
1
322
yx
yx
f)
2.936
3.436

xy
xy
ì
ï
=
í
=
ï
î

f)
.
2520
5.250
xy
xy
ì
ï
=
í
=
ï
î
g)
2.312
3.218
xy
xy
ì
ï

=
í
=
ï
î

h)
( )
2
710
1
8 x0
yy
x
xy
-+
ì
ï
=
í
+=>
ï
î
i)
( )
22
16
1
2 x0
xy

x
xy

ì
ï
=
í
-=>
ï
î

Baøi 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
437
4.3144
xy
xy
ì
ï
-=
í
=
ï
î
b)
2317
3.22.36
xy
xy
ì

ï
+=
í
-=
ï
î

c)
1
22.356
3.2387
xxy
xxy
+
++
ì
ï
+=
í
+=
ï
î
d)
2222
1
3217
2.33.28
xy
xy
++

+
ì
ï
+=
í
+=
ï
î

e)
1
11
324
321
xy
xy
+
++
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
î
f)
22
2
2(1)12
21.

44.4.221
23.4.24
xxyy
yxy

-
ì
ï
-+=
í
-=
ï
î

g)
2
cot3
cos2
y
y
x
x
ì
ï
=
í
=
ï
î
h)

2
2
2
2
()21
9()6
yx
xy
xy
xy
-
-
ì
ï
+=
í
+=
ï
î

i)
2
3277
327
xy
xy
ì
ï
-=
í

-=
ï
î
k)
22
22()(2)
2
xy
yxxy
xy
ì
ï
-=-+
í
+=
ï
î

Baøi 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
321
321
x
y
y
x
ì
ï
=+
í

=+
ï
î
b)
3211
3211
x
y
xy
yx
ì
ï
+=+
í
+=+
ï
î

c)
22
22
3
xy
yx
xxyy
ì
ï
-=-
í
++=

ï
î
d)
1
1
765
765
-
-
ì
=-
ï
í
=-
ï
î
x
y
y
x

Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau:
VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 68

a)
22
6

loglog3
xy
xy
ì
+=
í
+=
î
b)
loglog2
6
yx
yx
xy
ì
+=
í
+=
î

c)
2
2
log4
2log2
xy
xy
ì
+=
í

-=
î
d)
( ) ( )
22
35
3
loglog1
xy
xyxy
ì
ï
-=
í
+ =
ï
î

e)
32
log4
y
xy
x
ì
=
í
=
î
f)

2
3
log
log23
9
y
y
x
x
ì
ï
+=
í
=
ï
î

g)
î
í
ì
=
=+
8
5)log(log2
xy
yx
xy
h)
23

93
121
3log(9)log3
xy
xy
ì
-+-=
ï
í
-=
ï
î

i)
2
33
3
2
1
loglog0
2
20
xy
xyy
ì
-=
ï
í
ï
+-=

î
k)
3
12
log1
3
y
yx
x
ì
-=
í
=
î

Baøi 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
(
)
( )
log322
log232
x
y
xy
xy
ì
+=
ï
í

+=
ï
î
b)
log(64)2
log(64)2
x
y
xy
yx
ì
+=
ï
í
+=
ï
î

c)
22
33
22
log12log
loglog4
x
y
y
xy
ì
æö

-=-
ï
ç÷
ï
èø
í
+=
ï
ï
î
d)
2
2
44
loglog1
loglog1
y
xy
xy
ì
-=
ï
í
-=
ï
î

e)
(
)

22
2
33
log64
loglog1
xy
xy
ì
++=
ï
í
+=
ï
î
f)
22
22
loglog
16
loglog2
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
-=
ï
î

g)
î
í
ì
=-
=+
1loglog
27.2
33
loglog
33
xy
yx
xy
h)
22
2
42
loglog
3.2.10
loglog2
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
+=

ï
î

i)
(
)
( )
log222
log222
x
y
xy
yx
ì
+-=
ï
í
+-=
ï
î
k)
(
)
2
2
log4
log2
xy
x
y

ì
=
ï
æö
í
=
ç÷
ï
èø
î

l)
222
2
lglglg()
lg()lg.lg0
xyxy
xyxy
ì
ï
=+
í
-+=
ï
î
m)
22
6
5
loglog

2
log()1
yy
xx
xy
ì
+=
ï
í
ï
+=
î

n)
(
)
(
)
22
log5log
lglg4
1
lglg3
xyxy
x
y
ì
-=-+
ï
-

í
=-
ï
-
î
o)
(
)
( ) ( )
22
lg1lg8
lglglg3
xy
xyxy
ì
+=+
ï
í
+ =
ï
î

p)
( )
1
log2
log233
x
x
y

y
+
ì
=
ï
í
+=
ï
î
q)
( )
2
2
loglog1
log1
xyy
y
x
x
yx
ì
-=
ï
í
ï
-=
î

Baøi 6. Giải các hệ phương trình sau:
a)

lg
lglg4
1000
y
xy
x
ì
+=
í
=
î
b)
( )
2
6
36
42log9
xy
x
xyx
-
ì
ï
=
í
-+=
ï
î

Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

Trang 69

c)
5
5
()3
27
3log()
yx
xy
xyxy
-
ì
ï
+=
í
ï
+=-
î
d)
lglg
lg4lg3
34
(4)(3)
xy
xy
ì
ï
=
í

=
ï
î

e)
2
1
2
2log2log50
32
x
y
xy
xy
ì
æö
-+=
ï
ç÷
í
èø
ï
=
î

Baøi 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
244
399
41616

logloglog2
logloglog2
logloglog2
xyz
yzx
zxy
ì
++=
ï
++=
í
ï
++=
î
b)
222
333
3
log3loglog
2
2
log12loglog
3
x
xyy
y
xxy
ì
+=+
ï

í
ï
+=+
î

c)
22
11
11
log(12)log(12)4
log(12)log(12)2
xy
xy
yyxx
xx
+-
+-
ì
-++++=
ï
í
+++=
ï
î
d)
23
23
log13sinlog(3cos)
log13coslog(3sin)
xy

yx
ì
+=
ï
í
+=
ï
î

e)
(
)
( )
( )
( )
22
23
22
23
log131log12
log131log12
xy
yx
ì
+-=-+
ï
í
ï
+-=-+
î

f)
2
32
32
2log(632)log(69)6
log(5)log(2)1
xy
xy
yxyxxx
yx


ì
-+-+-+=
ï
í
+=
ï
î

Baøi 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
log
4
22
2
loglog1
x

y
xy
ì
ï
=
í
-=
ï
î
b)
( )
( ) ( )
2
22
1
3
3
loglog4
xy
xy
xyxy
-
-
ì
æö
ï
=
ç÷
í
èø

ï
++-=
î

c)
88
loglog
44
4
loglog1
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
-=
ï
î
d)
( )
1
3
3.218
log1
xy
xy
ì
=

ï
í
+=-
ï
î

e)
( )
ï
î
ï
í
ì
=-++
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
-
4)(log)(log
3
1
3
22
2
yxyx

yx
yx
f)
( ) ( )
33
432
log1log
xy
yx
xyxy
+
ì
ï
=
í
ï
-=-+
î

g)
( )
3
3.2972
log2
xy
xy
ì
=
ï
í

-=
ï
î
h)
( )
5
3.21152
log2
xy
xy
-
ì
=
ï
í
+=
ï
î

i)
( ) ( )
22
loglog1
xy
xyxy
xy
ì
ï
+=-
í

-=
ï
î
k)
33
loglog2
22
42()
3312
xy
xy
xyxy
ì
ï
=+
í
+ =
ï
î

l)
33
loglog
33
227
loglog1
yx
xy
yx
ì

ï
+=
í
-=
ï
î
m)
2
2log
loglog
43
y
xy
x
xyx
yy
ì
=
ï
í
=+
ï
î