Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 4 pdf

Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

x2 + 4 x + 3
và (C¢): y = mx + 1 .
x+2
Bài 3. Cho (C) và (C¢).Tìm tập hợp các điểm.
1) Tìm m để (C) cắt (C¢) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó xC khơng đổi).
2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.
e) (C): y =

a) (C): y = x 3 - 3 x 2 và (C¢): y = mx .
b) (C): y = x 3 - 2(m + 1) x 2 + (m2 + 1) x - m 2 và (C¢): y = -3mx + m .
c) (C): y = x 3 - 6 x 2 + 9 x và (C¢): y = mx .
d) (C): y = ( x + 2)( x - 1)2 và (C¢) là đường thẳng đi qua C(–2; 0) và có hệ số góc m.
Bài 4. Cho (C). Tìm tập hợp các điểm từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của (C) vng góc
với nhau.
a) (C): y = x +
Baøi 5.

1
x

a) Cho (C): y =

b) (C): y =

x2 + x + 1
x +1

x -2
. Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được tiếp
x -1

tuyến với (C).
b) Cho (C): y = - x 3 + 3 x 2 - 2 . Tìm tập hợp các điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).

Trang 40


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

6. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
· Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
· Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
· Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Đồ thị (C¢) của hàm số y = f ( x ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.
+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) .

Đồ thị (C¢) của hàm số y = f ( x ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢) biện

luận số nghiệm của phương trình (1):
a) (C): y = x 3 - 3 x 2 - 6 ; (C¢): y = x 3 - 3 x 2 - 6 ; x 3 - 3 x 2 - 6 = m

(1)

b) (C): y = x 4 - 2 x 2 - 3 ; (C¢): y = x 4 - 2 x 2 - 3 ; x 4 - 2 x 2 - 3 = m

(1)

c) (C): y =

2 x2 + 5x - 2
2 x 2 + 5x - 2 2 x2 + 5 x - 2
; (C¢): y =
;
= m (1)
x +1
x +1
x +1

d) (C): y =

x2 - x - 1
x2 - x - 1 x2 - x - 1
; (C¢): y =
;
=m
x-2
x -2
x -2
Trang 41

(1)


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

2x - 2
2x - 2 2x - 2
; (C¢): y =
;
=m
(1)
x-2
x -2
x -2
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢) biện
luận số nghiệm của phương trình (1):
e) (C): y =

3

3

a) (C): y = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 4 ; (C¢): y = 2 x - 9 x 2 + 12 x - 4 ; 2 x - 9 x 2 + 12 x = m
b) (C): y =

2x
2x
; (C¢): y =
; (m - 2). x - m = 0
x -1
x -1

(1)

x2 + 4 x + 5
x2 + 4 x + 5 x2 + 4 x + 5
c) (C): y =
; (C¢): y =
;
= m (1)
x+2
x +2
x +2
Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢), tìm
m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:
a) (C): y = x 4 - 2 x 2 - 1 ; (C¢): y = x 4 - 2 x 2 - 1 ; x 4 - 2 x 2 - 1 = log 2 m ; k = 6.
3

3

b) (C): y = x 3 - 6 x 2 + 9 x ; (C¢): y = x - 6 x 2 + 9 x ; x - 6 x 2 + 9 x - 3 + m = 0 ; k = 6.
c) (C): y =

2 x2 + 5x - 2
2 x 2 + 5x - 2 2 x2 + 5 x - 2
; (C¢): y =
;
= m ; k = 4.
x +1
x +1
x +1

d) (C): y =

x4
5
x4
5 x4
5
- 3 x 2 + ; (C¢): y =
- 3x2 + ;
- 3 x 2 + = m 2 - 2m ; k = 8.
2
2
2
2
2
2

Trang 42


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

7. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
P( x )
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ y =
có toạ độ là những số nguyên:
Q( x )
P( x )
a
· Phân tích y =
thành dạng y = A( x ) +
, với A(x) là đa thức, a l s nguyờn.
Q( x )
Q( x )
ỡx ẻ Â
à Khi đó í
Û Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x ngun để Q(x) là
ỵy Î ¢
ước số của a.
· Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.
Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

x - 10

x +2
c) y =
x+2
x -2
2
2
x + x +1
x + 2x
4
e) y =
f) y = x + 1 +
d) y =
x+2
x +1
x -1
Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:
a) y =

x +2
x +1

a) y = x + y 2 + 2( x + 1) y + 4 x

b) y =

b) y = 2 x + y 2 + 4( x - 1)y + 6 x

VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x)
đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d Û d là trung trực của đoạn AB

· Phương trình đường thẳng D vng góc với d: y = ax = b có dạng:
1
(C)
D: y = - x + m
(d)
a
· Phương trình hồnh độ giao điểm của D và (C):
1
B
f(x) = - x + m
(1)
a
A
I
· Tìm điều kiện của m để D cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).
· Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d Û I Ỵ d, ta tìm
được m Þ xA, xB Þ yA, yB Þ A, B.
ì x = xB
Chú ý: · A, B đối xứng nhau qua trục hồnh Û í A
ỵ y A = - yB
ì x = - xB
· A, B đối xứng nhau qua trục tung Û í A
ỵ y A = yB
ì x = xB
· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b Û í A
ỵ y A + yB = 2 b
ì x + xB = 2 a
· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a Û í A

ỵ y A = yB
Bài 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
Trang 43

(D)


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

x+4
;
d : x - 2y - 6 = 0
x -2
x2
x2 + x -1
c) (C ) : y =
;
d : y = x -1
d) (C ) : y =
; d : y = x -1
x -1
x -1
Baøi 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua
đường thẳng d:
a) (C ) : y = x 3 + x;

d : x + 2y = 0

b) (C ) : y =

2 x2 - 3x + 7
a) (C ) : y = 3 x - 5 x + 10 x - 2; d : x = -2
b) (C ) : y =
; d:x=2
x -1
x2 + x - 2
2 x2 + 5x - 3
c) (C ) : y =
; d:y=2
d) (C ) : y =
; d : y = -1
x-2
x -1
Bài 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
3

2

a) (C ) : y = mx 3 + 3 x 2 + 2 x + m2 ; d : Ox
VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I Û I là trung điểm của AB.
· Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: y = k ( x - a) + b .
· Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d:
I
B
f(x) = k ( x - a) + b (1)
A

· Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I Û I là trung điểm của AB, ta tìm được k Þ xA, xB.
ì x = - xB
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O Û í A
ỵ y A = - yB
Bài 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua im I:

ổ 5ử
x2 + x + 2
; I ỗ 0; ÷
x -1
è 2ø
x+4
I º O(0; 0)
d) (C ) : y =
;
c) (C ) : y = x 3 - 3 x 2 - 2 x + 1;
I º O(0; 0)
x +1
3x + 4
2 x2 - 5x + 1
;
I (1;1)
e) (C ) : y =
; I ( -2; -5)
e) (C ) : y =
2x -1
x +1
Baøi 2. Cho đồ thị (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua điểm I:

a) (C ) : y = x 3 - 4 x 2 + x + 2;

I (2; 4)

b) (C ) : y =

a) (C ) : y = 2 x 3 + 3 x 2 + 5 x + 1;

I (1; 2)

b) (C ) : y =

( x - 1)2
;
x -2

I (1;1)

x2 - x + 1
x3 - 2 x2 - 5x + 1
; I (2;1)
d) (C ) : y =
;
x -1
2x - 3
Baøi 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm:
c) (C ) : y =

a) (C ) : y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x + 1 - m2 ;
3

I (2;1)

I º O(0; 0)

2

b) (C ) : y = x + mx + 7 x + 3; I º O(0; 0)
c) (C ) : y = x 3 + mx 2 + 9 x + 4; I º O(0; 0)

Trang 44

d) (C ) : y =

x 2 + 2 m2 x + m 2
; I º O(0; 0)
x +1


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số
VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách

Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B:

AB =

( x B - x A )2 + ( y B - y A )2

2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng D: ax + by + c = 0:
ax0 + by0 + c
d(M, D) =
a2 + b 2
3) Diện tích tam giác ABC:
uuu uuu 2
r r
1
1
S = AB. AC.sin A =
AB 2 . AC 2 - ( AB. AC )
2
2
Baøi 1. Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh

rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến của (C) tại M.
a) (C ) : y = x 2 - 1;

b) (C ) : y = x 2 ;

A º O(0; 0)

A(3; 0)

c) (C ) : y = 2 x 2 + 1;
A(9;1)
Baøi 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến
d là nhỏ nhất.
x2 + 4x + 5

; d : y = -3 x - 6
x+2
x +1
c) (C ) : y = x - x 2 ;
d : y = 2( x + 1)
d) (C ) : y =
; d : y = -2 x + 3
x -1
Baøi 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước.
x+2
x2 + x -1
a) (C ) : y =
;
k =1
b) (C ) : y =
; k =1
x -2
x -1
x2 + x -1
x2 + 2x + 2
c) (C ) : y =
; k=2
d) (C ) : y =
; k=2
x -1
x +1
Bài 4. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
x+2
2x -1

4x - 9
a) ( H ) : y =
b) ( H ) : y =
c) ( H ) : y =
x -2
x +1
x -3
2
2
x + x -2
x - x +1
x2 + 3x + 3
e) ( H ) : y =
f) ( H ) : y =
d) ( H ) : y =
x -3
2- x
x+2
Bài 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.
x -1
2x +1
4x - 9
a) ( H ) : y =
b) ( H ) : y =
c) ( H ) : y =
x +1
x-2
x -3
x 2 + x - 11

x2 - 3
x2 + x - 6
d) ( H ) : y =
e) ( H ) : y =
f) ( H ) : y =
x -1
x -2
x -3
Bài 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
a) (C ) : y = 2 x 4 - 3 x 2 + 2 x + 1;

d : y = 2 x - 1 b) (C ) : y =

x2 + 2 x + 2
x2 - x + 1
b) ( H ) : y =
;x >1
x -1
x -1
Bài 7. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ
dài AB là nhỏ nhất.
a) ( H ) : y =

Trang 45


Khảo sát hàm số

2x + 3

4x - 9
c) ( H ) : y =
2-x
x -3
2
1
x - 3x + 3
x2 - 2x + 5
d) ( H ) : y = 2 x + 1 +
e) ( H ) : y =
f) ( H ) : y =
x
x -1
1- x
Baøi 8. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là
nhỏ nhất.
a) ( H ) : y =

x -1
x +1

Trần Sĩ Tùng
b) ( H ) : y =

x2 + 6 x - 4
a) ( H ) : y =
; d:y=k
x +1

b) ( H ) : y =

Trang 46

x +1
; d : 2x - y + m = 0
x -1


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

VIII. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Baøi 1. Cho hàm số: y = x 3 + ax 2 - 4, a là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị với a = 3.
b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x 3 + ax 2 - 4 = 0
ĐS:

b) a < 3.

Baøi 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 1 .
b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị
của hàm số?
ĐS:
b) một tiếp tuyến.
Baøi 3. Cho hàm số: y = x 3 - 3 x (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình:
y = m( x + 1) + 2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá

trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho
tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vng góc với nhau.
2
ĐS:
b) A(-1; 2); m = -1 +
2
3
Bài 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x 4 - 2 x 2 - 1
(1)
b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt.
x 4 - 2 x 2 - 1 = log 4 m (2)
ĐS:

b) 4 < m < 16.

Baøi 5. Cho hàm số: y = x 4 - 5 x 2 + 4
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4
điểm phân biệt.
c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có
độ dài bằng nhau.
9
7
ĐS:
b) - < m < 4
c) m =
4
4
1

3
Baøi 6. Cho hàm số: y = x 4 - mx 2 +
(1)
2
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
ỉ 3ư
b) Viết phng trỡnh tip tuyn i qua A ỗ 0; ữ tiếp xúc với (C).
è 2ø
c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại.
3
3
; y = ±2 2 x +
2
2
3x + 4
Baøi 7. Cho hàm số: y =
(H )
x -1
ĐS:

b) y =

c) m £ 0.

Trang 47


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị (H)?
c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H).
ĐS:
b) –28 < a £ 0
c) y = –28x + 59.
x -2
(C ) .
Baøi 8. a) Khảo sát và vẽ đồ thị y =
x -1
b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2).
ĐS: b)
(2 ; 0), (0 ; 2).
1
Baøi 9. Cho hàm số: y = x - 2 + (C )
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tip tuyn vi (C) vuụng
gúc vi nhau.
ổ1 1ử
S:
b) M ỗ ; ÷
c) k = - 2 ± 5.
è2 2ø
x 2 - (m + 1) x + 4 m 2 - 4 m - 2
x - (m - 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +¥)

Bài 10. Cho hàm số: y =

ĐS: b)

2- 3
3
£m£
7
2

x2 + 2 x + 2
.
x +1
b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M với
(C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và
diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C).

Bài 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =

ĐS:

b) SIAB = 2 2.

x2 + 2 x + 2
1
Baøi 12. Cho hàm số: y =
= x +1+
(C )

x +1
x +1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc với tim
cn xiờn ca nú.
ổ
ổ
2 3 2ử
2
3 2ử
S: b)
M1 ỗ -1 +
;
;ữ ; M2 ỗ - 1 ữ
ố
2
2 ứ
ố
2
2 ứ
x 2 + (m + 1) x - mx + 1
(Cm )
x-m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2.
b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở
câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.
c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại
và giá trị cực tiểu cùng dấu.

Baøi 13. Cho hàm số: y =

ĐS:

b)

9 2
2

c) m < - 3 - 2 3 hay m > -3 + 2 3

Trang 48


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

x2 + 4 x + 1
x+2
b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng ( ) : y + 3x + 6 = 0 l nh
nht.
ổ 3 5ử
ổ 5
5ử
S:
b) M1 ỗ - ; ữ ; M2 ỗ - ; - ữ .
è 2 2ø
è 2
2ø

Baøi 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y =

2 x 2 + mx - 2
với m là tham số.
Baøi 15. Cho hàm số: y =
x -1
a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị của
hàm số trên có diện tích bằng 4.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3.
ĐS:
a) m = –6 hay m = 2.
x2 + x + 1
.
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm:

Bài 16. Cho hàm số: y =

t 4 - (m - 1)t 3 + 3t 2 - (m - 1)t + 1 = 0
ĐS:

b) m £ -

3
7
hay m ³ .
2
2

Baøi 17. Cho hàm số: y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) + m 2 - m 2 (1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm k để phương trình - x 3 + 3 x 2 + k 3 - 3k 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS:

c) y = 2 x - m 2 + m

b) -1 < k < 3; k ¹ 0; k ¹ 2;

Bài 18. Cho hàm số: y = mx 4 + (m 2 - 9) x 2 + 10 (1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
ĐS:
b) m < - 3 hay 0 < m < 3.
(2 m - 1) x - m 2
Baøi 19. Cho hàm số: y =
(1) (m là tham số)
x -1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.
ĐS:

b) S = 1 + 4 ln

4
3

c) m ¹ 1.

mx 2 + x + m
Bài 20. Cho hàm số: y =
(1) (m là tham số)
x -1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
hồnh độ dương.
ĐS:

b) -

1
< m < 0.
2
Trang 49


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

Baøi 21. Cho hàm số: y = x 3 - 3 x 2 + m (1) (m là tham số)
a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
a) m > 0.
ĐS:
x2 - 2 x + 4
(1)
x -2

b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm
phân biệt.
ĐS:
b) m > 1.

Baøi 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

- x2 + 3x - 3
Baøi 23. Cho hàm số: y =
(1)
2( x - 1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1.
1± 5
.
2
1
Baøi 24. Cho hàm số: y = x 3 - 2 x 2 + 3 x (1) có đồ thị (C)
3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
ĐS:

ĐS:

b) m =

là tiếp

8
b) D : y = - x + ; k = -1.
3

Baøi 25. Cho hàm số: y = x 3 - 3mx 2 + 9 x + 1 (1) (với m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.
ĐS:
b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2.

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Trang 50


Trần Sĩ Tùng

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

CHƯƠNG II
HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ
LOGARIT

I. LUỸ THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ a

Cơ số a

a = nỴ N*
a =0

aa = a n = a.a......a (n thừa số a)
aa = a 0 = 1
1
aa = a -n = n
a

aẻR
aạ0

a = -n ( n ẻ N * )

Lu tha aa

aạ0

m
(m ẻ Z , n ẻ N * )
n
a = lim rn (rn Ỵ Q, n Ỵ N * )

a=

m

a>0

a a = a n = n a m ( n a = b Û b n = a)

a>0

a a = lim a rn

2. Tính chất của luỹ thừa
· Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
a

b

a .a = a

a +b

;

a

aa
= a a -b
b
a

· a > 1 : aa > a b Û a > b ;
· Với 0 < a < b ta có:

a

b

; (a ) = a

a .b

a

a

; (ab) = a .b

a

aa
ổaử
; ỗ ữ = a
b
èbø

0 < a < 1 : aa > a b Û a < b

am < b m Û m > 0 ;
am > b m Û m < 0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
· Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a .
· Với a, b ³ 0, m, n Ỵ N*, p, q Ỵ Z ta có:
n

ab = n a .n b ;

Nếu

n

a na
=
(b > 0) ;
b nb

n

p q
n
m
= thì a p = a q (a > 0) ; Đặc biệt
n m

· Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì

n

p

a p = ( n a ) (a > 0) ;
n

a=

mn

a = mn a

mn m

a

a
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
Chú ý:

n

a
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

C = A(1 + r ) N

Trang 51


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

Trần Sĩ Tùng

Baøi 1. Thực hiện các phép tính sau:
3

7ư
a) A = ( -1) ç - ÷
è 8ø
3ỉ

3
42

c) C =

2

2
+ 83

d) D =
7

3

f) F =

0

10-3 :10 -2 - ( 0,25 ) + 10 -2

4. 64. ổ 3 2 ử
ỗ
ữ
ố
ứ
i) I =
3
32

2
5

1256. ( -16 ) . ( -2 )
2
25 é( -5 ) ù
ê
ú
ë
û

h) H = ( 4

-2

4

-

3

23.2 -1 + 5-3.54 - ( 0, 01) .10 -2

5

( )
3
2
32

3

( -18) .24. ( -50 )
e) E =
4
5
2
( -25) . ( -4 ) . ( -27)
g) G =

6

( -3) . ( -15) .84
b) B =
6
4
92. ( -5 ) . ( -6 )

2

ổ 2ử
ổ 7ử
. ỗ - ữ . ( -7 ) . ỗ - ữ
ố 7ứ
ố 14 ứ

( 0, 01)

-3

3

4

1
+ 25 3

)(2

1
3

1
- 10 3

5

1
3

1
+ 53

)

81. 5 3. 5 9. 12

4

k) K =

2

ỉ 3 3 ư . 18 5 27. 6
ỗ
ữ
ố
ứ
Baứi 2. Vit cỏc biu thc sau di dng lu thừa với số mũ hữu tỉ:
a)
d)

4

x2 3 x , ( x ³ 0)

b)

3

23 3 2
3 2 3

e)

5

b3 a
, ( a, b ¹ 0 )
a b

4 3

a8

f)

5

23 2 2

5

c)

b2 b

3

b b

Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:

a1,5 + b1,5
a) a

0,5

+b

0,5

- a 0,5 b 0,5
+

a-b

æ a 0,5 + 2
a 0,5 - 2 ử a 0,5 + 1
b) ỗ
ữ.
ỗ
a - 1 ữ a 0,5
è a + 2 a 0,5 + 1
ø
1
1
1
1 ư
1

1
ỉ
2 - 3y 2 ữ x 2 - y 2
ỗ x 2 + 3y 2
x
d) ỗ
+
ữ.
2
x-y ữ
2
1ử
ỗổ 1
ỗ x2 - y2 ữ
ỗ
ữ
ứ
ốố
ứ

2b 0,5

a 0,5 + b 0,5
1
1
1 ử
3 1
ổ 1
2 + y2 ữ x2 y2
ỗ x2 - y2

x
2y
c) ỗ
+
ữ.
1
1
1
1
ỗ 2
ữ x+y x-y
xy + x 2 y xy 2 - x 2 y ø
è
e) ( a
g)

1
3

2
- b3

) .( a

a -1 + ( b + c )

2
3

1 2

+ a 3 .b 3

4
+ b3

)

f) ( a

1
4

1
- b4

) .( a

1
4

1
+ b4

) .( a

1
2

1
+ b2

)

-1

æ b 2 + c2 - a 2 ử
-2
.ỗ1 +
ữ .(a + b + c)
-1 ỗ
ữ
2 bc
a -1 - ( b + c ) è
ø

Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau:
3

a)

6

ỉ
ab ử 4 ab - b
b) ỗ ab ữ:
a-b
a + ab ứ
ố

a-3b

a -6 b

ổ a2 4 x + x a
ử
c) ỗ
- a2 + x + 2 a x ữ
ỗ 4
ữ
ố a x + ax
ø

a+ x

4

d)

3

3

a2 - x 2

Trang 52

+

3
3

3

ax 2 - a2 x
3

a2 - 2 3 ax + x 2 - 6 x
6
a-6 x


Trần Sĩ Tùng

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

3
é a 3 a - 2a 3 b + 3 a2 b2 3 a2 b - 3 ab2
é
ù
x x -x
+
e) ê
ú f) ê
3
3 2 3
ê
ỉ 4 x3 - 1
ưỉ 4 x 3 + 1
ửỳ
a-3b
ờ

a - ab
ở
ỗ
ữỗ
ữỳ
- x ữỗ
- xữ
ờỗ 4
4
ờ ố x -1
øè x + 1
øú
ë
û
é 3 a2 b - 3 ab2
-1
a + b ù (6
ê
ú. a - 6 b) + 6 a
g)
3 2
3 2 3 2ú
3
ê3 2
a - b û
ë a - 2 ab + b
Baøi 5. So sánh các cặp số sau:

a) ( 0, 01)

- 2

và (10 )

2

ỉp ư
ỉp ư
b) ç ÷ và ç ÷
è4ø
è4ø

2

e) ( 0, 001)

d) 5300 và 8200
g) ( 2 )

k)

-3

vaứ ( 2 )

ổ4ử
h) ỗ ữ
ố5ứ

-5

1
4

(

3 - 1) vaứ ( 3 - 1)

2
2

-4

ổ 3ử
l) ỗ
ữ
ố 5 ứ

-0,3

6

- 2

3

vaứ

ổ5ử
vaứ ỗ ữ

ố4ứ

c) 5-2
100

5

f) 4

3

vaứ 5-3

ự
ỳ:3 a
ỳ
ỷ

2

vaứ ( 0,125 )

2

- 2

i) 0, 02 -10 vaứ 5011

ổ 2ử
vaứ ỗ

ữ
ố 2 ứ

- 2

ổp ử
m) ỗ ữ
ố2ứ

5
2

ổp ử
vaứ ỗ ữ
ố2ứ

10
3

Baứi 6. So sỏnh hai số m, n nếu:
m

a) 3, 2 < 3,2

b) ( 2 )

n

m

n

ổ 3ử
ổ 3ử
d) ỗ
e)
ữ >ỗ
ữ
ố 2 ứ
ố 2 ứ
Baứi 7. Có thể kết luận gì về số a nếu:
2

1

1
(1 - a )- 3

1
(1 - a )- 2
>

3

e)

7

g) a < a
Bài 8. Giải các phương trình sau:

5

x

a) 4 = 1024
d) ( 3 3 )

2x

ổ1ử
=ỗ ữ
ố9ứ

k) 5 x.2 x = 0, 001

5 - 1) < ( 5 - 1)

3
(2 - a)4

h) a

x -2

-

1
17

5 ổ2ử
ỗ ữ
2 ố5ứ

ổ2ử
e) ỗ ữ
ố9ứ
-x

x

> (2 - a)
-

a) 0,1 > 100

2

1
8

n

x+1

ổ 8 ử
.ỗ ữ
ố 27 ứ

=

8
125

-x

27
=
64

x

x

12 ) . ( 3 ) =
x

ổ1ử
b) ỗ ữ > 3 0, 04
ố5ứ
Trang 53

1
6

n

m

2 - 1) < ( 2 - 1)

ổ1ử
c) ỗ ữ
ốaứ

-0,2

< a2

1
ổ 1 ử2

ổ1ử
f) ỗ ữ > ỗ ữ
ốaứ
ốaứ

c) 81 - 3 x =
ổ3ử
f) ỗ ữ
ố2ứ

-

1
2

3

1
32

x 2 -5 x + 6

=1
3 x -7

h) 0,2 = 0, 008

(

(

ổ 9 ử
i) ỗ ữ
ố 49 ø

x

l)

f)

i) a-0,25 < a -

Baøi 9. Giải các bất phng trỡnh sau:
x

m

ổ1ử
ổ1ử
c) ỗ ữ > ỗ ữ
ố9ứ
ố9ứ

n

m

(

b)

ổ 0,25 ử
1
g)
.322 x -8 = ỗ
ữ
0,125
ố 8 ứ

> ( 2)

-3
-1
b) ( 2 a + 1) > ( 2 a + 1)

a) ( a - 1) 3 < ( a - 1) 3

d)

m

ổ7ử
=ỗ ÷
è3ø

m) 71- x .41- x =

c) 0,3 x >

100
9

1
28

7 x -3

n


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
d) 7

x+ 2

. 49 ³ 343

1
27
Bài 10. Giải các phương trình sau:
g)

( 3)

x

.3 >

Trần S Tựng
ổ1ử
e) ỗ ữ
ố3ứ

x+2

1
<9
27

h) 27 x.31- x <

1
3

f) 3 x <

1
9 3
x

ổ 1 ử
i) ỗ ữ . 3 2 > 1
è 64 ø

a) 2 x + 2 x+ 2 = 20

b) 3 x + 3 x+1 = 12

c) 5 x + 5 x-1 = 30

d) 4 x -1 + 4 x + 4 x +1 = 84

e) 42 x - 24.4 x + 128 = 0

f) 4 x +1 + 22 x +1 = 48

g) 3.9 x - 2.9- x + 5 = 0

h) 3 x

2

- 5 x +6

=1

Trang 54

i) 4 x + 2 x+1 - 24 = 0