Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - Phần 4 potx

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 27

Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a)
32
23(1)620
xmxmx
-++-=
b)
32
33(1)130
xxmxm
-+-++=

c)
32
236(1)3120
xmxmxm
-+ +=
d)
32
63(4)480
xxmxm
+-=

e)
32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=

f)
3
320
xmxm
-+=

Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a)
322
(1)(232)2(21)0
xmxmmxmm
-+ ++-=
b)
3
320
xmxm
-+=

c)
32
(21)(31)(1)0
xmxmxm
-+++-+=
d)
32
33(1)130
xxmxm
-+-++=

Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a)
3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+ =
b)
32
63(4)480
xxmxm
+-=

c)
32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=
d)
3
1
0
3
xxm
-+=

Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
a)
3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+ =

b)
32
63(4)480
xxmxm
+-=

c)
32
157
40
326
xxxm
-+++=
d)
32
(21)20
xmxmxm
-++ =

Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
a)
32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=
b)
3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+ =

c)
32
390
xxxm
+-+=
d)
32
1820
xxmxm
-+-=

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 28

3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm
(
)
000
;()
Mxfx
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
(
)
000

;()
Mxfx
là:
y – y
0
= f ¢(x
0
).(x – x
0
) (y
0
= f(x
0
))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:

()()
'()'()
fxgx
fxgx
ì
=
í
=
î

(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C
1
): y = px + q và (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thì
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau Û phương trình
2
axbxcpxq
++=+
có nghiệm kép.

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến
D
của (C): y =f(x) tại điểm
(
)
000
;
Mxy
:

·
Nếu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nếu cho y
0
thì tìm x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = y
0
.

·
Tính y
¢
= f
¢
(x). Suy ra y
¢
(x
0
) = f
¢
(x
0
).

·
Phương trình tiếp tuyến
D
là: y – y
0
= f
¢
(x
0
).(x – x
0
)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến
D
của (C): y =f(x), biết
D
có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

·
Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tính f
¢
(x
0
).

·

D
có hệ số góc k
Þ
f
¢
(x
0
) = k (1)

·
Giải phương trình (1), tìm được x
0
và tính y
0
= f(x
0
). Từ đó viết phương trình của
D
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

·
Phương trình đường thẳng
D
có dạng: y = kx + m.

·

D
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

()
'()
fxkxm
fxk
ì
=+
í
=
î
(*)

·
Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của
D
.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến
D
có thể được cho gián tiếp như sau:
+
D
tạo với chiều dương trục hoành góc
a
thì k = tan
a

+

D
song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+
D
vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a
¹
0) thì k =
1
a
-

+
D
tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc
a
thì
tan
1
ka
ka
-
=
+
a

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến
D
của (C): y = f(x), biết
D
đi qua điểm

(;)
AA
Axy
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

·
Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y
¢
0
= f
¢
(x
0
).

·
Phương trình tiếp tuyến
D
tại M: y – y
0
= f

¢
(x
0
).(x – x
0
)

·

D
đi qua
(;)
AA
Axy
nên: y
A
– y
0
= f
¢
(x
0
).(x
A
– x
0
) (2)

·
Giải phương trình (2), tìm được x

0
. Từ đó viết phương trình của
D
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

·
Phương trình đường thẳng
D
đi qua
(;)
AA
Axy
và có hệ số góc k: y – y
A
= k(x – x
A
)
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 29


·

D
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

()()
'()
AA

fxkxxy
fxk
ì
=-+
í
=
î
(*)

·
Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
D
.

Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
32
371
yxxx
= +
tại A(0; 1) b) (C):
42
21
yxx
=-+
tại B(1; 0)
c) (C):
34
23
x

y
x
+
=
-
tại C(1; –7) d) (C):
2
1
21
yx
x
=+-
-
tại D(0; 3)
Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
2
33
2
xx
y
x
-+
=
-
tại điểm A có x
A
= 4
b) (C):
3(2)

1
x
y
x
-
=
-
tại điểm B có y
B
= 4
c) (C):
1
2
x
y
x
+
=
-
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C):
2
221
yxx
=-+
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C):
3
31
yxx

=-+
tại điểm uốn của (C).
f) (C):
42
19
2
44
yxx
=
tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
a) (C):
32
2394
yxxx
=-+-
và d:
74
yx
=+
.
b) (C):
32
2394
yxxx
=-+-
và (P):
2
83
yxx

=-+-
.
c) (C):
32
2394
yxxx
=-+-
và (C’):
32
467
yxxx
=-+-
.
Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được
chỉ ra:
a) (C):
511
23
x
y
x
+
=
-
tại điểm A có x
A
= 2 .
b) (C):
2
726

yxx
=-+
tại điểm B có x
B
= 2.
Baøi 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng S cho trước:
a) (C):
2
1
xm
y
x
+
=
-
tại điểm A có x
A
= 2 và S =
1
2
.
b) (C):
3
2
xm
y
x
-
=

+
tại điểm B có x
B
= –1 và S =
9
2
.
c) (C):
3
1(1)
yxmx
=+-+
tại điểm C có x
C
= 0 và S = 8.
Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C): yxx
32
235
=-+
; k = 12 b) (C):
21
2
x
y
x
-
=
-
; k = –3

c) (C):
2
34
1
xx
y
x
-+
=
-
; k = –1 d) (C):
2
43
yxx
=-+
; k = 2
Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước:
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 30

a) (C):
3
2
231
3
x
yxx
=-++
; d: y = 3x + 2 b) (C):
21

2
x
y
x
-
=
-
; d:
3
2
4
yx
=-+

c) (C):
2
23
46
xx
y
x

=
+
; d:
250
xy
+-=
d) (C):
42

13
3
22
yxx
=-+
; d: y = –4x + 1
Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
3
2
231
3
x
yxx
=-++
; d:
2
8
x
y
=-+
b) (C):
21
2
x
y
x
-
=
-

; d:
yx
=

c) (C):
2
3
1
x
y
x
+
=
+
; d: y = –3x d) (C):
2
1
2
xx
y
x
+-
=
+
; d: x – 2
Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:
a) (C):
3
20
24;60

3
x
yxx=-+-=
a
b) (C):
3
20
24;75
3
x
yxx=-+-=
a

c)
0
32
():;45
1
x
Cy
x
-
==
-
a

Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a:
a) (C):
3
20

24;:37;45
3
x
yxxdyx=-+-=+=
a

b) (C):
3
20
1
24;:3;30
32
x
yxxdyx=-+-=-+=
a

c)
0
43
():;:3;45
1
x
Cydyx
x
-
===
-
a

d)

0
37
():;:;60
25
x
Cydyx
x
-
==-=
-+
a

e)
2
0
3
():;:1;60
2
xx
Cydyx
x
-+
==-+=
-
a

Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2

(21)2
1
xmxm
y
x
++-+
=
+
tại điểm A có x
A
= 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
b) (C):
2
21
3
xmx
y
x
+-
=
-
; tại điểm B có x
B
= 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
(31)
(0)

mxmm
ym
xm
+-+
=¹
+
tại điểm A có y
A
= 0 và d:
10
yx
=-
.
Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C):
3
32
yxx
=-+-
; A(2; –4) b) (C):
3
31
yxx
=-+
; B(1; –6)
c) (C):
( )
2
2
2

yx
=- ; C(0; 4) d) (C):
42
13
3
22
yxx
=-+
;
3
0;
2
D
æö
ç÷
èø

e) (C):
2
2
x
y
x
+
=
-
; E(–6; 5) f) (C):
34
1
x

y
x
+
=
-
; F(2; 3)
g) (C):
2
33
2
xx
y
x
-+
=
-
; G(1; 0) h)
2
2
1
xx
y
x
-+
=
-
; H(2; 2)

Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 31

VN 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
1. iu kin cn v hai ng (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x) tip xỳc nhau l h
phng trỡnh sau cú nghim:

()()
'()'()
fxgx
fxgx
ỡ
=
ớ
=
ợ
(*)
Nghim ca h (*) l honh ca tip im ca hai ng ú.
2. Nu (C
1
): y = px + q v (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thỡ
(C
1
) v (C

2
) tip xỳc nhau

phng trỡnh
2
axbxcpxq
++=+
cú nghim kộp.

Baứi 1. Tỡm m hai ng (C
1
), (C
2
) tip xỳc nhau:
a)
32
12
():(3)2;():
CyxmxmxCtruùchoaứnh
=++++
b)
32
12
():2(1);():
CyxxmxmCtruùchoaứnh
= +
c)
3
12
():(1)1;():1

CyxmxCyx
=+++=+

d)
32
12
():221;():
CyxxxCyxm
=++-=+

Baứi 2. Tỡm m hai ng (C
1
), (C
2
) tip xỳc nhau:
a)
422
12
():21;():2
CyxxCymxm
=++=+

b)
422
12
():1;():
CyxxCyxm
=-+-=-+

c)

422
12
19
():2;():
44
CyxxCyxm
=-++=-+

d)
222
12
():(1)(1);():2
CyxxCyxm
=+-=+

e)
2
12
(21)
():;():
1
mxm
CyCyx
x

==
-

f)
2

2
12
1
():;():
1
xx
CyCyxm
x
-+
==+
-


VN 3: Lp phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th
(C
1
): y = f(x) v C
2
): y = g(x)
1. Gi
D
: y = ax + b l tip tuyn chung ca (C
1
) v (C
2
).
u l honh tip im ca
D
v (C
1

), v l honh tip im ca
D
v (C
2
).

ã

D
tip xỳc vi (C
1
) v (C
2
) khi v ch khi h sau cú nghim:

()(1)
'()(2)
()(3)
'()(4)
fuaub
fua
gvavb
gva
ỡ
=+
ù
ù
=
ớ
=+

ù
=
ù
ợ


ã
T (2) v (4)
ị
f
Â
(u) = g
Â
(v)
ị
u = h(v) (5)

ã
Th a t (2) vo (1)
ị
b =
j
(u) (6)

ã
Th (2), (5), (6) vo (3)
ị
v
ị
a

ị
u
ị
b. T ú vit phng trỡnh ca
D
.
2. Nu (C
1
) v (C
2
) tip xỳc nhau ti im cú honh x
0
thỡ mt tip tuyn chung ca (C
1
) v
(C
2
) cng l tip tuyn ca (C
1
) (v (C
2
)) ti im ú.

Baứi 1. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th:
a)
22
12
():56;():511
CyxxCyxx
=-+=-+-

b)
22
12
():56;():14
CyxxCyxx
=-+=

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 32

c)
23
12
():56;():310
CyxxCyxx
=-+=+-


VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước

·
Gọi M(x
0
; y
0
)
Î
(C).

D
là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f
¢
(x
0
).

·
Vì
D
// d nên f
¢
(x
0
) = k
d
(1)
hoặc
D

^
d nên f
¢
(x
0
) =
1
d
k
- (2)

·
Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. Từ đó tìm được M(x
0
; y
0
)
Î
(C).

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
36
1
xx
y
x
++
=
+
; d:
1
3
yx
=
b) (C):

2
1
1
xx
y
x
++
=
+
; d là tiệm cận xiên của (C)
c) (C):
2
1
1
xx
y
x
+-
=
-
; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
d) (C):
2
1
xx
y
x
-+
= ; d: y = x
Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho

trước:
a) (C):
32
10
yxxx
=+++
; d:
2
yx
=
b) (C):
2
1
xx
y
x
-+
= ; d: y = –x


VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
)
Î
d.

·
Phương trình đường thẳng
D
qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M
) + y
M


·

D
tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

()()(1)
'()(2)
MM
fxkxxy
fxk
ì
=-+
í
=
î


·
Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

¢
(x) + y
M
(3)

·
Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
32
():32
Cyxx
=-+-
b)
3
():31
Cyxx
=-+

Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
1
():
1
x
Cy
x
+
=

-
; d là trục tung b)
2
2
():
1
xx
Cy
x
++
=
-
; d là trục hoành
c)
2
2
():
1
xx
Cy
x
+
=
+
; d: y = 1 d)
2
33
():
2
xx

Cy
x
++
=
+
; d: x = 1
e)
3
():
1
x
Cy
x
+
=
-
; d: y = 2x + 1
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 33

Baứi 3. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ớt nht mt tip tuyn vi (C):
a)
2
69
():
2
xx
Cy
x
-+

=
-+
; d l trc tung b)
2
33
():
1
xx
Cy
x
++
=
+
; d l trc tung
c)
21
():
2
x
Cy
x
+
=
-
; d: x = 3 d)
34
():
43
x
Cy

x
+
=
-
; d: y = 2
Baứi 4. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c hai tip tuyn vi (C):
a)
2
2
():
2
xx
Cy
x
+-
=
+
; d l trc honh b)
2
1
():
1
xx
Cy
x

=
+
; d l trc tung
c)

2
33
():
2
xx
Cy
x
++
=
+
; d: y = 5
Baứi 5. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ba tip tuyn vi (C):
a)
32
():32
Cyxx
=-+-
; d: y = 2 b)
3
():3
Cyxx
=-
; d: x = 2
c)
3
():32
Cyxx
=-++
; d l trc honh d)
3

():1212
Cyxx
=-+
; d: y = 4
e)
42
():2
Cyxx
=
; d l trc tung e)
42
():21
Cyxx
=-+-
; d l trc tung
Baứi 6. T im A cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C):
a)
32
():9172
Cyxxx
=-++
; A(2; 5) b)
32
144
():234;;
393
CyxxxA
ổử
=-++
ỗữ

ốứ

c)
32
():235;(1;4)
CyxxA
=+

Baứi 7. T mt im bt kỡ trờn ng thng d cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C):
a)
32
():691
Cyxxx
=-+-
; d: x = 2 b)
3
():3
Cyxx
=-
; d: x = 2




VN 6: Tỡm nhng im m t ú cú th v c
2 tip tuyn vi th (C): y = f(x) v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
Gi M(x
M
; y
M

).

ã
Phng trỡnh ng thng
D
qua M cú h s gúc k: y = k(x x
M
) + y
M


ã

D
tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:

()()(1)
'()(2)
MM
fxkxxy
fxk
ỡ
=-+
ớ
=
ợ


ã
Th k t (2) vo (1) ta c: f(x) = (x x

M
).f
Â
(x) + y
M
(3)

ã
Qua M v c 2 tip tuyn vi (C)

(3) cú 2 nghim phõn bit x
1
, x
2
.

ã
Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau

f
Â
(x
1
).f
Â
(x
2
) = 1
T ú tỡm c M.
Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tip im nm v hai phớa vi trc

honh thỡ
12
(3)2
().()0
coựnghieọmphaõnbieọt
fxfx
ỡ
ớ
<
ợ


Baứi 1. Chng minh rng t im A luụn k c hai tip tuyn vi (C) vuụng gúc vi nhau.
Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ú:
a)
2
1
():231;0;
4
CyxxA
ổử
=-+-
ỗữ
ốứ
b)
2
1
():;(1;1)
1
xx

CyA
x
++
=-
+

c)
2
22
():;(1;0)
1
xx
CyA
x
++
=
+
d)
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 34

Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C)
vuông góc với nhau:
a)
32
():32
Cyxx
=-+
; d: y = –2 b)
32

():3
Cyxx
=+ ; d là trục hoành
c)
2
21
():
1
xx
Cy
x
++
=
+
; d là trục tung d)
2
21
():
1
xx
Cy
x
-+
=
-
; d là trục tung
e)
2
32
():

xx
Cy
x
-+
= ; d: x = 1
Baøi 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc
với nhau:
a)
2
():
2
xxm
Cy
xm
-+-
=
+
; d: y = –1 b)
2
8
():
xmx
Cy
xm
+-
=
-
; d là trục hoành
c)
2

2
():
xmxm
Cy
xm
-+
=
+
; d là trục hoành
Baøi 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía
với trục hoành;
a)
2
():;(0;)
1
x
CyAm
x
+
=
-
b)


VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến

Baøi 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.

3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất.
a)
21
():
1
x
Hy
x
-
=
-
b)
1
():
1
x
Hy
x
+
=
-
c)
45
():
23
x
Hy
x
-
=

-+

Baøi 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.
3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất.
a)
2
34
():
22
xx
Hy
x
-+
=
-
b)
2
33
():
1
xx
Hy
x
-+
=
-

c)
2
22
():
1
xx
Hy
x
++
=
+

Baøi 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo
thành một tam giác có diện tích bằng S:
a)
23
():;8
mx
HyS
xm
+
==
-

Baøi 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B
sao cho DOAB vuông cân:
a)
2
1
():

1
xx
Hy
x
++
=
-
b)
2
25
():
2
xx
Hy
x
+
=
+
c)
2
33
():
2
xx
Hy
x
++
=
+

Baøi 5. Cho (C):
2
21
1
xx
y
x
-+
=
-
. Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4 điểm sao
cho từ mỗi điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 35

Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích S cho trước:
a)
1
():;4
CyxS
x
=+=
b)
3
11
():;
2

x
CyS
x
+
==

Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 36

4. H TH

Cho h ng (C
m
): y = f(x, m) (m l tham s).
M(x
0
; y
0
)
ẻ
(C
m
)

y
0
= f(x
0
, m) (1)
Xem (1) l phng trỡnh theo n m.
Tu theo s nghim ca (1) ta suy ra s th ca h (C
m
) i qua M.
ã Nu (1) nghim ỳng vi mi m thỡ mi th ca h (C
m
) u i qua M.
Khi ú, M c gi l im c nh ca h (C
m
).
ã Nu (1) cú n nghim phõn bit thỡ cú n th ca h (C
m

) i qua M.
ã Nu (1) vụ nghim thỡ khụng cú th no ca h (C
m
) i qua M.

VN 1: Tỡm im c nh ca h th (C
m
): y = f(x, m)
Cỏch 1:

ã
Gi M(x
0
; y
0
) l im c nh (nu cú) ca h (C
m
).
M(x
0
; y
0
)
ẻ
(C
m
),
"
m

y
0
= f(x
0
, m),
"
m (1)

ã
Bin i (1) v mt trong cỏc dng sau:

ã
Dng 1: (1)

Am + B = 0,
"
m
ã
Dng 2: (1)


2
0
AmBmC
++=
,
"
m

0
0
A
B
ỡ
=
ớ
=
ợ
(2a)


0
0
0
A
B
C
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=
ợ
(2b)

ã

Gii h (2a) hoc (2b) ta tỡm c to (x
0
; y
0
) ca im c nh.
Chỳ ý: Cỏc h (2a), (2b) l cỏc h phng trỡnh cú 2 n x
0
, y
0
.
Cỏch 2:

ã
Gi M(x
0
; y
0
) l im c nh (nu cú) ca h (C
m
).
M(x
0
; y
0
)
ẻ
(C
m
),
"

m

y
0
= f(x
0
, m),
"
m (1)

ã
t F(m) = f(x
0
, m) thỡ F(m) = y
0
khụng i.

ị
F
Â
(m) = 0 (3)

ã
Gii (3) tỡm c x
0
. Thay x
0
vo (1) tỡm c y
0
. T úsuy ra c cỏc im c nh.

Baứi 1. Tỡm cỏc im c nh ca h th (C
m
) cú phng trỡnh sau:
a)
(1)21
ymxm
= +
b)
2
2(2)31
ymxmxm
=+ +

c)
32
(1)2(2)21
ymxmxmxm
=+ ++
d)
2
(12)(31)52
ymxmxm
= +-

e)
32
99
yxmxxm
=+ f)

3
(2)2
ymxmx
= +

g)
42
241
ymxxm
= +
h)
42
5
yxmxm
=+

i)
(1)2
(1,2)
mx
ymm
xm

=ạ-ạ-
-
k)
31
(2)4
xm
y

mxm
+-
=
++

l)
2
572
2
3
xmx
ym
mx
ổử
-+
=ạ
ỗữ
-
ốứ
m)
2
2(2)
(0)
2
xmxm
ym
xm
-+++
=ạ
-

n)
2
2
(1)
221
xmxm
y
xmxm
+-+
=
+++
o)
2
2
264
2(52)6
xxm
y
xmx
++
=
+++

Baứi 2. Chng minh rng h th (C
m
) cú 3 im c nh thng hng. Vit phng trỡnh
ng thng i qua 3 im c nh ú:
a)
32

(3)3(3)(61)1
ymxmxmxm
=+-+-+++

b)
32
(2)3(2)421
ymxmxxm
=+-+-+-

c)
32
(4)(624)12718
ymxmxmxm
= +-

Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 37

d)
3
(1)(21)1
ymxmxm
=+-+-+


VN 2: Tỡm im m khụng cú th no ca h th (C
m
): y = f(x, m) i qua

ã
Gi M(x
0
; y
0
) l im m khụng cú th no ca h (C
m
) i qua.
M(x
0
; y
0
)
ẽ
(C
m
),
"
m

y
0
= f(x
0
, m) vụ nghim m (1)

ã
Bin i (1) v mt trong cỏc dng sau:

ã

Dng 1: (1)

Am + B = 0 vụ nghim m


0
0
A
B
ỡ
=
ớ
ạ
ợ
(2a)

ã
Dng 2: (1)


2
0
AmBmC
++=
vụ nghim m


2
0
0

0
40
AB
C
A
BAC
ộ
ỡ
==
ớ
ờ
ạ
ợ
ờ
ỡ
ạ
ờ
ớ
ờ
-<
ợ
ở
(2b)
Chỳ ý:
ã
Kt qu l mt tp hp im.

ã
Nhng im nm trờn tim cn ng c nh ca hm hu t l nhng im th
khụng i qua.

Baứi 1. Tỡm cỏc im trong mt phng m khụng cú th no ca h (C
m
) i qua:
a)
2
(2)2
ymxmm
=+++ b)
2
22
1
11
mm
yx
mmmm
+
=+
++++

c)
2
2(1)1(0)
ymxmxmm
=+-++ạ
d)
232
2
yxmxm
=-+-

e)
3232
2354
yxmxmm
=+
f)
3222
446
ymxmxmxm
= +-

g)
2
(2)24
mxmm
y
xm
+-
=
-
h)
2
(31)
mxmm
y
xm
+-+
=
+

i)
2
8
1
xmxm
y
x
++-
=
-
k)
2
22
xmxm
y
xm
-++
=
-

l)
2
2
24
25
xmxm
y
xx
+-+

=
++
m)
2
2
(31)10
32
xmx
y
xx
+
=
-+

Baứi 2. Tỡm cỏc im thuc (L) m khụng cú th no ca h (C
m
) i qua:
a) (C
m
):
3222
446
ymxmxmxm
= +-
; (L) l trc honh.
b) (C
m
):
32
23(3)186

yxmxmx
=-+++
; (L):
2
14
yx
=+
.
c) (C
m
):
22
2
1
1
xmxmm
y
mxmm
-+-+
=
+++
; (L) l trc tung.
d) (C
m
):
22
(1)1
mxmx
y
xm

+++
=
+
; (L): x = 2.
e) (C
m
):
22
1
mx
y
x
+
= ; (L): y = 1.


VN 3: Tỡm im m mt s th ca h th (C
m
): y = f(x, m) i qua

ã
Ta cú: M(x
0
; y
0
)
ẻ
(C
m
)

y
0
= f(x
0
, m) (1)

ã
Bin i (1) v mt trong cỏc dng sau:
Am + B = 0 (2a) hoc
2
0
AmBmC
++=
(2b)

ã
S nghim ca (2a) hoc (2b) theo m = S (C
m
) i qua M.
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 38

Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (C
m
) đi qua:
a) (C
m
):
2

22
2()
mxmm
y
xm
++
=
+
; k = 1. b) (C
m
):
22
xmxm
y
xm
-+-
=
-
; k = 2.
c) (C
m
):
2
2240
xymymxmxm
+-=
; k = 1.
Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (C
m
) đi qua:

a) (C
m
):
322
(1)4
yxmxm
=++-; (L): x = 2; k = 1.
b) (C
m
):
322
(1)4
yxmxm
=++-; (L): x = 2; k = 2.
c) (C
m
):
322
(1)4
yxmxm
=++-; (L): x = 2; k = 3.
Baøi 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (C
m
) đi qua:
a) (C
m
):
222
(1)2
mxmmxmm

y
xm
-+-+-+
=
-
; (L): x > 1; k = 2.
b) (C
m
):
22
(1)
mxm
y
xm
+-
=
-
; (L): x > 0; k = 2.
c) (C
m
):
422
21
yxmxm
=-++
; (L): y = 1; k = 1.
d) (C
m
):
323

(1)(232)2(21)
yxmxmmxmm
=-+ ++-
; (L): x = 1, y > –2; k = 2.

Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 39

5. TP HP IM

Bi toỏn: Tỡm tp hp cỏc im M(x; y) tho tớnh cht a.
ã Nhn xột: Tỡm tp hp im M trong mt phng to l tỡm phng trỡnh ca tp hp
im ú.
Dng 1: Tỡm to ca im M.
1) Tỡm iu kin (nu cú) ca tham s m tn ti im M.
2) Tớnh to im M theo tham s m.
Cú cỏc trng hp xy ra:
Trng hp 1: M
()
()
xfm
ygm
ỡ
=
ớ
=
ợ

Kh tham s m gia x v y, ta cú mt h thc gia x, y c lp vi m cú dng:
F(x, y) = 0 (gi l phng trỡnh qu tớch)
Trng hp 2: M
()
()
xahaốngsoỏ
ygm
ỡ
=
ớ
=
ợ

Khi ú im M nm trờn ng thng x = a.
Trng hp 3: M
()
()
xfm
ybhaốngsoỏ
ỡ
=
ớ
=
ợ

Khi ú im M nm trờn ng thng y = b.
3) Gii hn qu tớch: Da vo iu kin (nu cú) ca m ( bc 1), ta tỡm c iu kin
ca x hoc y tn ti im M(x; y). ú l gii hn ca qu tớch.
4) Kt lun: Tp hp cỏc im M cú phng trỡnh F(x, y) = 0 (hoc x = a, hoc y = b) vi
iu kin ca x hoc y ( bc 3).

Dng 2: Trong trng hp ta khụng th tớnh c to ca im M theo tham s m m ch
thit lp c mt h thc cha to ca M thỡ ta tỡm cỏch kh tham s m trong h thc
tỡm c h thc dng F(x, y) = 0.
Chỳ ý: Nu bi toỏn ch hi : im M chy trờn ng no thỡ ta ch tỡm phng trỡnh
F(x, y) = 0 m khụng cn tỡm gii hn ca qu tớch.

Baứi 1. Tỡm tp hp cỏc im c bit ca h th ó cho.
a) (P
m
):
2
2(2)24
yxmxm
= +-
. Tỡm tp hp cỏc nh ca (P
m
).
b) (C
m
):
32
3231
yxmxxm
=-+
. Tỡm tp hp cỏc im un ca (C
m
).
c) (C
m
):

32
23(21)6(1)1
yxmxmmx
=-++++
. Tỡm tp hp cỏc im cc i ca (C
m
).
d) (H
m
):
(1)1
1
mx
y
mx
-+
=
-
. Tỡm tp hp cỏc tõm i xng ca (H
m
).
e) (H
m
):
2
235
2
xmxm
y
x

-+
=
-
. Tỡm tp hp cỏc im cc i ca (H
m
).
Baứi 2. Cho (C) v (CÂ). Tỡm tp hp trung im ca on thng.
1) Tỡm m (C) v (CÂ) ct nhau ti hai im phõn bit A, B.
2) Tỡm tp hp cỏc trung im I ca on thng AB.
a) (C):
32
31
yxxmx
=+++
v (C):
32
27
yxx
=++
.
b) (C):
2
3
yxmx
=-+
v (CÂ):
2
ymx
=+
.

c) (C):
1
1
x
y
x
-
=
+
v (CÂ):
20
xym
-+=

d) (C):
2
(2)
1
x
y
x
-
=
-
v (CÂ) l ng thng i qua A(0; 3) v cú h s gúc m.