ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 THPT CAO LÃNH 2 2009-2010 ĐỀ SỐ 2 ppt

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (buổi chiều)
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (4.0 điểm)
1.1. Cho hàm số:
mxmxmxy 2)32()3(
23

. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó.
1.2. Cho hàm số
cos cos3
1
0
( )
0 0
x x
e
khi x
f x
x
khi x











. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0
Câu 2: (3.0 điểm)
2.1. Giải phương trình lượng giác:
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos  xxxxxx
.
2.2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
 
 







xyyy
yxxx
23
23
21
21

Câu 3: (2.0 điểm)
3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2 2
8 2x y x y xy  
(1)
3.2. Hàm
y f(x)
xác định và có đạo hàm trên toàn trục số, thỏa mãn điều kiện:
2 3
f (1 2x) x f (1 x), x R     
(*)
Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
y f(x)
tại điểm có hoành độ
x 1
Câu 4: (3.0 điểm)
4.1. Tìm giới hạn:










3
1
3

1
1
lim
x
x
x
4.2. Cho dãy số ( U
n
) có số hạng tổng quát
 
3
5
195
1
16( 1)
n
n
n
n n
C
u C n N
n


   

. Tìm các số hạng
dương của dãy.
Câu 5: (2.0 điểm)
Cho

 
4
3 4
( ) 1f x x x x   
. Sau khi khai triển và rút gọn ta được:
16
16
2
210
)( xaxaxaaxf 
. Hãy tính giá trị của hệ số
10
a
.
Câu 6: (2.0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện sau:
04,01,01,0  zyxzyx
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
411 





z
z
y
y
x
x

Q
.
Câu 7: (4.0 điểm)
7.1. Cho đường thẳng ( d):
022  yx
và hai điểm A ( 0; 1), B( 3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm
M trên ( d) sao cho
22
2 MBMA 
có giá trị nhỏ nhất.
7.2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AD = 2a. SA vuông góc với mp’ ( ABCD ) và SA = a
6
.
1. Tính khoảng cách từ A và B đến mp’ ( SCD ).
2. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp’(

) song song với mp’( SAD) và
cách mp’(SAD) một khoảng bằng
4
3a
./.Hết.
Giỏo viờn dy: Phan Hu Thanh 2
S GD V T NG THP
Trng THPT Cao lónh 2
K THI CHN HC SINH GII LP 12 THPT CP TNH
NM HC 2009 - 2010
HNG DN CHM THI CHNH THC MễN: TON
(Bui chiu: Ngy 20-9-2009)
(Hng dn chm v biu im gm cú 04 trang)

im
ỏp ỏn
4.0
Cõu 1
2.0
1.1. Tỡm im M trờn th (C) sao cho
0.5
Honh giao im ca th hm s vi trc honh l nghim ca PT:
3 2
( 3) (2 3 ) 2 0x m x m x m
0.5
1 2 3
1, 2 ,x x x m
0.5
Ba honh ny lp thnh mt cp s cng theo mt th t no ú thỡ ta cú h phng trỡnh:

0
3
2
3
2
2
2
132
231
321
m
m
m
xxx
xxx
xxx
0.5
Vy vi
3
; 3; 0
2
m m m
tha yờu cu bi toỏn.
2.0
1.2. Tớnh o hm ca hm s ti x = 0

0.5
Ta cú:
2
3coscos
0
2
3coscos
00
3cos3cos
.
3coscos
1
lim
1
lim
0
)0()(
lim)0('
x
xx
xx
e
x
e
x
fxf
f
xx
x
xx

xx













.
0.5
Ta li cú:
cos cos3
0 0
1 1
lim lim 1
cos cos3
x x t
x t
e e
x x t

0.5
2 2
0 0 0
cos cos3 2sin 2 sin sin 2 sin
lim lim lim4 . 4
2
x x x
x x x x x x
x x x x



0.5
Vy f ( 0) = 4.
3.0
Cõu 2
1.5
2.1. Gii phng trỡnh lng giỏc.
s
*

Zk
k
xkxx
312
22
2
4

*

Zkkxkxx




4
2
2
24
Vy PT ó cho cú 3 h nghim.
1.5
2.2. Gii h phng trỡnh.
s
Vậy hệ phơng trình có 3 nghiệm ( x; y) là:

2
51
;
2
51
;
2
51
;
2
51
;1;1
.
2.0
Cõu 3
1.0
3.1. Gii phng trỡnh nghim nguyờn.
D thy pt cú nghim: x = y = 0.
s
*Thay x = 4 vo (2) ta c y = -1, y = 2. *Thay x = -4 vo (2) ta c y = 1, y = -2.
Vy PT cú cỏc nghim nguyờn (x; y) l: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2).
1.0
3.2. Tỡm phng trỡnh tip tuyn.

S
Vỡ
f(1) 0
nờn
f(1) 1
. Suy ra
1
f '(1)
7

. Do ú phng trỡnh tip tuyn cú dng;
1
y (x 1) 1 x 7y 6 0
7

3.0
Cõu 4
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3
1.5
4.1. Tìm giới hạn.
Vậy
 
2;1n
. Từ đó tìm được
8
45
,
8
75
21

 uu
2.0
Câu 5: Tìm giá trị của hệ số
10
a
.
Vậy
226.14.4.
2
4
4
4
3
4
1
410
 CCCCa
2.0
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Vậy
1;
2
1
3;
2
3
;
3
1
max  zyxcbacbabaQ

4.0
Câu 7:
2.0
7.1. Tìm tọa độ điểm M.
M ( 2; 0).
2.0
7.2. Tính khoảng cách và diện tích thiết diện.
1.0
1. Tính khoảng cách.
0.25

d(B,(SCD)) = d(I,(SCD)) =
2
2
))(,(
2
1 a
SCDAd 
1.0
2. Tính diện tích thiết diện.
+ Thiết diện là hình thang vuông ( MN // PQ, MQ

MN )
S =
2
1
(MN + PQ).MQ. MN =
2
,
2

6
,
2
3 a
PQ
a
MQ
a

. Vậy: S =
2
6
2
a
Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới.