Đề thi chọn đội tuyển chính thức dự thi hsg quốc gia lớp 12 THPT môn toán tỉnh Quảng Bình VONG 2 docx

sở gd-đt quảng bình đề thi chọn đội tuyển chính thức
dự thi hsg quốc gia lớp 12 THPT

Năm học : 2009 - 2010
Đề chính thức Môn : toán (vòng 2)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1 (2,0 điểm) Giải phơng trình:

4 4 2 2
2010 2010
2010.
2009
x x x x



Bài 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số
:
f R R

sao cho

2 2
( ) ( )( ( ) ( )),
f x y x y f x f y x R

.

Bài 3 (1,5 điểm) Cho

( )
P x
là đa thức bậc 7 có hệ số nguyên và nhận giá trị bằng
1991 với 4 giá trị nguyên khác nhau của biến
x
. Chứng minh rằng phơng trình
( ) 2010
P x

không có nghiệm nguyên.

Bài 4 (2,5 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD. Lấy điểm M bất kỳ trên đờng chéo AC.
Đờng thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P. Đờng thẳng qua M song song
với CD cắt AD tại Q. Chứng minh rằng:

2 2 2 2
1 1 1
.
MP MQ AB CD



Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 5 (2,0 điểm) Với mỗi số nguyên dơng n, tam giác đều ABC có độ dài cạnh
bằng n đợc chia thành n
2
tam giác đều (ô) có độ dài cạnh bằng 1 bởi các đờng
thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC. Gọi đờng đi là một đờng gấp
khúc xuất phát từ tâm của ô chứa đỉnh A và luôn đi qua tâm của ô có cạnh chung với

ô đang đứng, đồng thời không đi qua ô nào hai lần. Tìm số n bé nhất để trong tam
giác đều ABC có đờng đi qua 1981 ô.


hết


Họ và tên: .
Số báo danh: .