Hướng dẫn mã hóa hình ảnh phần 2 potx

chơng 4: mã hoá ảnh
176
Trên hình 4.6 nếu dùng từ mã có độ dài đều để biểu diễn các mức lợng tử t hì sự
tiết kiệm bit là 0 ~ 1/2 bit khi L trong khoảng 2 (1 bit) và 128 (7 bit). Trong ví dụ này
giả thiết hàm mật độ xác suất p
f
(f
0
) là Gauss. Có thể tiến hành phân tích tơng tự với các
hàm mật độ xác suất khác, hàm mật độ xác suất càng khác xa hàm phân b ố đều thì u
thế của lợng tử hoá không đều so với lợng tử hoá đều càng lớn. Quan niệm : bộ lợng
tử hoá đều là tối u khi hàm mật độ xác suất phân bố đều lại gợi ý cho ta một cách tiếp
cận khác. Đó là, ta có thể ánh xạ f vào g bằng một phép phi tuyến s ao cho p
g
(g
0
) là đều,
ta đem lợng tử hoá g bằng một bộ lợng tử hoá đều, sau đó lại thực hiện phép ánh xạ
ngợc. Phơng pháp này đợc minh hoạ trên hình 4.7.
Hình 4.7. Lợng tử hoá không đều bằng phép nén -dãn.
Phép phi tuyến này đợc gọi là phép nén -dãn (companding). Theo lý thuyết xác
suất, một lựa chọn của phép phi tuyến (hay phép nén -dãn) C[] để tạo ra đợc p
g
(g
0
)
đồng đều là :


2
1

dxxpfCg
f
x
f
(4.10)
p
g
(g
0
) nhận đợc đồng đều trong khoảng 1/2 g 1/2 .
Tuy (1.10) dễ giải hơn hệ phơng trình phi tuyến (1.9), hệ ở hình 1.7 lại tối thiểu
hoá D :








2

' ggED
(4.11)
mà méo D ở (4.11) không giống D ở (4.6).
Trong tiết này ta đã xét việc lợng tử hoá một đại lợng vô hớng f. Trong mã

hoá ảnh, phải lợng tử hoá nhiều đại lợng vô hớng. Một cách tiếp cận là lợng tử hoá
từng cái độc lập _ Cách này gọi là lợng tử hoá vô hớng một nguồn vectơ. Giả sử có N
vô hớng f
i
với 1 i N và mỗi vô hớng đợc lợng tử hoá ra L
i
mức. Nếu L
i
đợc biểu
diễn bằng một luỹ thừa của 2 và nếu mỗi mức lợng tử đợc mã hoá với một số bit nh
nhau (nghĩa là với từ mã có độ dài đều) thì quan hệ giữa L
i
với một số bit cần thiết B
i
là :
Phi tuyến
Bộ lợng tử
hoá đều
Phi tuyến
-1
g

g
f
f

chơng 4: mã hoá ảnh
177
i
B

L 2
(4.12a)
B
i
= log
2
L
i
(4.12b)
Tổng số bit B cần thiết để mã hoá N vô hớng là :



N
i
i
BB
1
(4.13)
Từ (4.12) và (4.13) đợc tổng số mức lợng tử L :
B
N
i
i
LL 2
1



(4.14)

Xét (4.13) và (4.14) nhận thấy tổng số bit B là tổng các B
i
còn tổng số mức lợng
tử L là tích các L
i
. Nếu có một số bit cố định B để mã hoá N vô hớng bằng phép lợng
tử hoá vô hớng nguồn vectơ thì phải phân phối B cho N vô hớng. Chiến lợc tối u để
phân bổ bit phụ thuộc tiêu chuẩn sai số và hàm mật độ xác suất của các vô hớng. Chiến
lợc tối u thờng d ùng là cho vô hớng có phơng sai lớn nhiều bit, vô hớng có
phơng sai bé ít bit. Ví dụ : giả sử cần tối thiểu hoá sai số quân phơng










N
i
ii
ffE
1
2

đối với B
i
(1 i N) trong đó

i
f

là kết quả lợng tử hoá f
i
. Nếu các vô
hớng có hàm mật độ xác suất giống nhau chỉ có phơng sai khác nhau ta sẽ dùng một
phơng pháp lợng tử hoá nh nhau, chẳng hạn dùng bộ lợng tử hoá Lloyd_Max cho
từng vô hớng. Khi đó lời giải gần đúng về phân bổ bit là:
Ni
N
B
B
N
N
j
j
i
i










1log

2
1
/1
1
2
2
2


(4.15)
Trong đó
i
2
là phơng sai của vô hớng f
i
. Từ (4.15) suy ra :
L
i
=
N
N
j
j
i
NB
B
i
/1
1
/

22













1 i N (4.16)
Theo (4.16) số mức lợng tử cho f
i
tỉ lệ với
i
, là độ lệch chuẩn của f
i
. Tuy (4.15)
là một lời giải gần đúng với một số giả thiết nhất định, nó vẫn là căn cứ tham khảo trong
những bài toán phân bổ bit. B
i
trong (4.15) có thể âm và nói chung không phải là số
nguyên. Khi lợng tử hoá vô hớng B
i
phải là một số nguyên không âm. Đó là điều kiện
ràng buộc khi giải các bài toán phân bổ bit trong thực tế.

chơng 4: mã hoá ảnh
178
1.2 . Lợng tử hoá vectơ.
Trong tiết trên, thảo luận về lợng tử hoá vô hớng một vô hớng và một nguồn
vectơ. Một cách tiếp cận khác để mã hoá nguồn vectơ là đem chia các vô hớng thành
những khối, xem mỗi khối nh một đơn vị sau đó lợng tử đồng thời những vô hớng
này trong đơn vị đó. Nh vậy gọi là lợng tử hoá vectơ hay lợng tử hoá khối .
Gọi f = [f
1
, f
2
, , f
N
]
T
là một vectơ M chiều gồm N vô hớng f
i
có giá trị thực, biên
độ liên tục . Trong phép lợng tử hoá vectơ f đợc ánh xạ vào một vectơ M chiều khác r
= [r
1
, r
2
, , r
N
]
T
. Khác với f mà các phần tử có biên độ liên tục, vectơ r đợc chọn từ L
mức lợng tử. Gọi
f

là f đã đợc lợng tử hoá, ta biểu diễn nó bằng :
f

=VQ(f)=r
i
.fC
i
(4.17)
VQ là toán tử lợng tử hoá vectơ r
i
với 1 i N chỉ L mức lợng tử và C
i
đợc gọi là tế
bào thứ i . Nếu f nằm trong tế bào C
i
, thì f đợc ánh xạ vào r
i
. Hình 4.8 cho một ví dụ
lợng tử hoá vectơ khi N =2 và L = 9 . Các chấm trên hình là những mức lợng tử, và
các đờng liền nét là đờng biên tế bào .
Trong lợng tử hoá vectơ tế bào có thể có hình dạng, kích thớc bất kỳ. Đó là
điều khác biệt với lợng tử hoá vô hớng, mà tế bào (miền g iữa 2 mức quyết dịnh kề
nhau) có thể có kích thớc bất kỳ nhng hình dạng cố định .
Hình 4.8 . Ví dụ lợng tử hoá vectơ. Số vô hớng trong mỗi vectơ là 2, số
mức lợng tử là 9.
f
1
f
2

chơng 4: mã hoá ảnh
179
Phép lợng tử hoá vectơ khai thác sự mềm dẻo này. Cũng nh trong trờng hợp
vô hớng, ta định nghĩa độ méo

ffd

,
là độ đo sự chênh lệch giữa f và
f

.Một ví dụ
của

ffd

,
là e
Q
T
e
Q
trong đó tạp âm lợng tử e
Q
định nghĩa theo :

ffVQffe
Q

(4.18)
Các mức lợng tử r
I
và bờ các tế bào C
I
xác định bằng cách lấy cực tiểu 1 tiêu
chuẩn sai số nào đó, chẳng hạn độ méo trung bình D :


ffdED

,
(4.19)
Nếu

ffd

,
là e
Q
T
e
Q
thì từ (4.18) và (4.19) suy ra :

1
f
000
0000
0
















L
i
C
i
T
i

f
T
T
Q
T
Q
i
dffrfr
dffpffff
ffffEeeED
(4.20)
Độ méo trung bình ở (4.20) là sai số quân phơng MSE và là dạng tổng quát của (4.7) .
Ưu điểm của e
Q
T
e
Q
so với lợng tử hoá vô hớng một nguồn vectơ là cải thiện
chất lợng. Lợng tử hoá vectơ cho phép giảm thấp độ méo trung bình D khi giữ số mức
lợng tử không đổi, hay cho giảm số mức lợng tử khi giữ độ méo trung bình D không
đổi. Lợng tử hoá vectơ cải thiện chất lợng so với lợng tử hoá vô hớng bằng nhiều
cách. Cách có ý nghĩa nhất là khai thác mối quan hệ thống kê giữa các vô hớng trong
cùng khối.
Để minh hoạviệc lợng tử hoá vectơ có thể khai thác mối quan hệ thống kê ta hãy
xét 2 ví dụ. Trong ví dụ thứ nhất ta khai thác mối quan hệ tuyến tính (tính tơng quan).
Xét 2 nguồn ngẫu nhiên f
1
và f
2
có hàm mật độ xác suất đồng thời

'
2
'
1
,
21
ffp
ff
nh trên
hình 4.9a. Hàm mật độ xác suất đồng thời có biên độ đồng đều và bằng 1/2a
2
trong vùng
gạch chéo, bằng không ở ngoài vùng gạch chéo. Hai hàm mật độ xác suất biên

'
1
1
fp
f
và

'
2
2
fp
f
cũng đợc vẽ trên hình. Vì E[ f
1
,f

2
] E[f
1
] E[f
2
] nên f
1
và f
2
là tơng quan hay
phụ thuộc tuyến tính. Giả thiết ta lợng tử hoá riêng rẽ f
1
và f
2
, dùng lợng tử hoá vô
hớng và tiêu chuẩn MMSE.
chơng 4: mã hoá ảnh
180
Hình 4.9. Minh hoạ việc lợ ng tử hoá vectơ khai thác sự phụ thuộc
tuyến tính của các vô hớng trong vectơ :
(a) Hàm mật độ xác suất

'
2
'
1
,
21
ffp
ff

(b) Các mức lợng tử hoá (các chấm trên hình) khi lợng tử hoávô hớng.
(c) Các mức lợng tử hoá (các chấm trên hình) khi lợng tử hoávectơ.
Vì mỗi vô hớng f
1
và f
2
đều có hàm mật độ xác suất đều nên bộ lợng tử hoá vô
hớng tối u là lợng tử hoá đều. Nếu ta cho mỗi vô hớng có 2 mức lợng tử thì các
mức lợng tử của mỗi vô hớ ng là a/2 và -a/2 . Bốn (2x2) mức lợng tử hợp thành 4
a2
1
'
2
f
a
-a
'
2
f

'
2
2
fp
f
a
a
-a
-a
'

1
f
a2
1
a
-a
'
1
f

'
1
1
fp
f
(a)
'
2
f
'
1
f
a
a
-a
-a
-a
'
2
f

'
1
f
a
a
-a
-a
-a
(b)(b)
(c)
chơng 4: mã hoá ảnh
181
chấm trên hình 4.9b. Rõ ràng là 2 trong số 4 mức lợng tử là lãng phí. Với phép lợng
tử hoá vectơ ta chỉ có thể dùng 2 mức lợng tử nh trên hình 4.9c. Ví dụ này cho thấy
rằng lợng tử hoá vectơ cho phép giảm số mức lợng tử mà không phải hi sinh MSE. Ta
có thể loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính giữa f
1
và f
2
bằng cách đem quay hàm mật độ xác
suất đi 45
0
theo chiều kim đồng hồ, kết quả của phép biến đổi toạ độ tuyến tính khả
nghịch này đợc biểu diễn trê n hình 4.10.
Trong hệ toạ độ mới g
1
và g
2
không tơng quan, vì E[g
1

,g
2
] = E[g
1
] E[g
2
]. Trong
hệ toạ độ mới này có thể đặt hai mức lợng tử vào các chấm ở trên hình bằng cách lợng
tử hoá vô hớng hai đại lợng vô hớng, và khi đó u thế của lợng tử hoáve ctơ không
còn nữa.
Hình 4.10. Kết quả loại trừ sự phụ thuộc tuyến tính giữa hai vô hớng f
1
và f
2
ở hình
4.9 khi thực hiện phép biến đổi tuyến tính f
1
và f
2
.
Loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính làm mất u thế của phép lợng tử hoá vectơ. Nh
vậy là phù hợp với quan điểm cho rằng lợng tử hoá vectơ có thể khai thác sự phụ thuộc
tuyến tính giữa các vô hớng trong vectơ.
Phép lợng tử hoá vectơ cũng có thể khai thác sự phụ thuộc phi tuyến. Ta đa ra
một ví dụ minh hoạ.
Xét 2 biến ngẫu nhiên f
1
và f
2
và hàm mật độ xác suất đồng thời

'
2
'
1
,
21
ffp
ff
đợc
biểu diễn trên hình 4.11a. Hàm mật xác suất vẫn là đều với biên độ bằng 1/(8a
2
) trong
vùng gạch chéo và bằng không ngoài vùng đó. Hàm mật độ xác suất biên

'
1
1
fp
f
và

'
2
2
fp
f
cũng đợc vẽ trên hình 4.11a. Từ hàm mật độ xác suất đồng thời E[f
1
,f

2
] = E[f
1
]
E[f
2
] và do đó f
1
và f
2
độc lập tuyến tính. Tuy vậy


'
2
'
1
,
21
ffp
ff

'
1
1
fp
f

'
2

2
fp
f
nên f
1
và
f
2
phụ thuộc thống kê.
a2
2
a
-
2
a
a2
g
1

g
2

chơng 4: mã hoá ảnh
182
Khi mà các biến ngẫu nhiên độc lập tuyến tính nhng phụ thuộc thống kê ta bảo
chúng phụ thuộc phi tuyến.
Hình 4.11. Minh hoạ việc lợng tử hoá vectơ khai thác sự phụ thuộc
tuyến tính giữa các vô hớng trong vectơ :
a) Hàm mật độ xác suất

'
2
'
1
,
21
ffp
ff
.
b) Các mức lợng tử (các chấm) khi lợng tử hoá vô hớng .
c) Các mức lợng tử (các chấm) khi lợng tử hoá vectơ.
a4
1
'
2
f
a
-a
'
2
f

'
2
2
fp
f
2a
2a
-2a

-2a
'
1
f
a4
1
2a
-2a
'
1
f

'
1
1
fp
f
(a)
(b)(b)
(c)
-a
-a
a
a
'
2
f
2a
2a
-2a

-2a
'
1
f
-a
-a
a
a
'
2
f
2a
2a
-2a
-2a
'
1
f
-a
-a
a
a
chơng 4: mã hoá ảnh
183
Nếu ta lợng tử hoá f
1
và f
2
riêng rẽ, dùng tiêu chuẩn MSE và cho mỗi vô hớng 2
mức lợng tử, thì các mức lợng tử tối u cho mỗi vô hớng là -a và a. Các mức lợng tử

tổng hợp trong trờng hợp đó là 4 chấm trong hình 4.11b. Độ méo trung bình D =
E[e
Q
T
e
Q
] trong ví dụ này là 5a
2
/12. Ví dụ này cho thấy rằng dùng lợng tử hoá vectơ có
thể làm giảm MSE mà không cần tăng số mức lợng tử. Ta có thể loại bỏ phụ thuộc phi
tuyến giữa f
1
và f
2
trong ví dụ này bằng một thuật toán phi tuyến khả nghịch. Kết quả
của một thuật toán nh vậy đợc biểu diễn trên hình 4.12.
Hình 4.12. Kết quả của việc loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính giữa
hai vô hớng f
1
và f
2
ở hình 4.11.
Vì

'
2
'
1
'
2

'
1
2121
, gpgpggp
gggg

nên g
1
và g
2
độc lập thống kê. Trong những
trờng hợp này có thể đặt hai mức lợng tử vào các chấm trên hình bằng cách lợng tử
hoá vô hớng hai đại lợng vô hớng, và u thế của lợng tử hoá vectơ không còn nữa.
Qua ví dụ này thấy rằng loại bỏ phụ thuộc phi tuyến làm giảm u thế của lợng tử hoá
vectơ. Nh vậy phù hợp với quan niệm cho rằng lợng tử hoá vectơ có thể khai thác sự
phụ thuộc phi tuyến giữa các vô hớng trong vectơ.
Phép biến đổi tuyến tính bao giờ cũng có thể loại bỏ sự phụ thuộc tuyến tính. Về
sự phụ thuộc phi tuyến đôi khi ta cũng loại bỏ đợc bằng một thuật toán phi tuyến khả
nghịch. Nếu ta loại bỏ phụ thuộc tuyến tính hay phi tuyến bằng một thuật toán phi tuyến
khả nghịch trớc khi lợng tử hoá thì u thế của lợng tử hoá vectơ về khả năng khai
thác phụ thuộc tuyến tính hay phi tuyến sẽ không còn nữa. Nh vậy là phải hết sức chú ý
đến quan hệ chặt chẽ giữa giai đo ạn biến đổi và giai đoạn lợng tử hoá trong mã hoá
ảnh. Nếu nh giai đoạn biến đổi làm mất phụ thuộc tuyến tính hay phi tuyến giữa các vô
hớng cần mã hoá thì đến giai đoạn lợng tử hoá mức độ cải thiện của lợng tử hoá
'
2
g
2a
-2a
'

1
g
-a
a
chơng 4: mã hoá ảnh
184
vectơ so với lợng tử hoá vô hớng s ẽ giảm sút,làm cho lợng tử hoá vectơ trở lên kém
hấp dẫn. Điều đó nói lên một phần tại sao trong bộ mã hoá dạng sóng sự cải thiện do
lợng tử hoá vectơ đem lại rõ nét hơn trong bộ mã hoá phép biến đổi. Các vô hớng
dùng trong bộ mã hoá dạng sóng, chẳng hạ n các cờng độ ảnh, có tính tơng quan cao
hơn các vô hớng trong bộ mã hoá phép biến đổi, chẳng hạn các hệ số phép biến đổi
DCT. Điều này sẽ đợc phân tích ở các tiết 3 và 4.
Ngoài việc khai thác sự phụ thuộc thống kê lợng tử hoá vectơ còn có thể khai
thác sự tăng thứ nguyên, nghĩa là tăng số vô hớng trong vectơ. Để minh hoạ ta xét 2
biến ngẫu nhiên f
1
và f
2
có hàm mật độ xác suất đồng thời đều trong một miền hình
vuông có diện tích A. Rõ ràng là f
1
và f
2
độc lập thống kê. Giả sử số mức lợng tử L rất
lớn và do đó kích thớc tế bào nhỏ hơn hình vuông trong đó hàm mật độ xác suất khác
0. Trớc hết ta xét phép lợng tử hoá vô hớng f
1
và f
2
. Vì hàm mật độ xác suất của f

1
và
f
2
là đều nên theo tiêu chuẩn MMSE, lợng tử hoá đều là tối u. Việc lợng tử hoá đều f
1
và f
2
riêng rẽ đa tới những mức lợng tử và tế bào vẽ ở hình 4.13a. Trong trờng hợp
lợng tử hoá vô hớng tế bào có dạng hình vuông có cạnh a. Nếu đem lợng tử hoá
vectơ f
1
và f
2
thì các mức lợng tử và tế bào nh trên hình 4.13b Tế bào có dạng lục
giác. Thông qua tính toán có thể chứng minh rằng MSE trong trờng hợp lợng tử hoá
vectơ thấp hơn trờng hợp lợng tử hoá vô hớng 4% nếu mức lợng tử nh nhau. Cũng
có thể chứng minh là số mức lợng tử mà lợng tử hoá vectơ yêu cầu bé hơn số mức của
lợng tử hoá vô hớng 2% khi MSE nh nhau. Sự cải thiện này thờng nhỏ hơn nhiều so
với mức cải thiện bằng lợng tử hoá vectơ khi khai thác sự phụ thuộc thống kê. Tuy vậy
sự cải thiện sẽ nét hơn nhiều khi thứ nguyên (nghĩa là số vô hớng trong vectơ) tăng lên.
Lu ý rằng sự cải thiện thêm này vẫn đạt đợc ngay cả khi các vô hớng trong khối độc
lập thống kê với nhau.
Sự cải thiện mà lợng tử hoá vectơ đem lại trong một số trờng hợp cho phép mã
hoá 1 vô hớng dới 1 bit. Nếu ta mã hoá riêng rẽ từng vô hớng và cho mỗi vô hớng
tối thiểu 2 mức lợng tử (nếu dùng 1 mức lợng tử thì coi nh không mã hoá) thì tỷ lệ
bit tối thiểu có thể là 1 bit mỗi vô hớng. Nếu dùng lợng tử hoá vectơ, có thể cho mỗi
vô hớng 2 hoặc trên 2 mức lợng tử nếu xét riêng rẽ, nhng nếu n hìn tổng hợp lại thì
tốc độ bit sẽ thấp hơn một bit mỗi vô hớng.
Để minh hoạ điều này ta trở lại ví dụ hình 4.9. Khi lợng tử hoá vô hớng (hình

4.9b) cho mỗi vô hớng 2 mức lợng tử thì tổng lại cần đến 4 mức cho 2 vô hớng, và tỷ
lệ bit là 1 bit cho mỗi vô hớng. Khi lợng tử hoá vectơ (hình 4.10c) ta cho mỗi vô