Tuyển tập đề thi cao học trường đại học kinh tế quốc dân từ 1998 đến 2013

Tuyển tập đề thi Cao học trường Đại học kinh tế Quốc Dân từ 1998 đến 2013


ĐỀ THI TUYỂ N SINH SAU ĐẠI HỌ C – PHẦN TOÁN KINH TẾ
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 5 / 2013 – Hà Nội
−
Câu 1 (1 điểm) Cho hàm cầu của một doanh nghiệp độc quyền: D = 12M 0,7 p 0,3 , trong đó
D là lượng
cầu, M là thu nhập, p là giá. Nếu cả thu nhập M và giá p cùng tăng 1% thì lượng cầu thay đổi bao
nhiêu %;
tổng doanh thu của doanh nghiệp thay đổi bao nhiêu %?
Câu 2 (1 điểm) Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có hàm chi phí biến đổi bình qn:
1
3
trong đó Q là sản lượng của doanh nghiệp.
a) Xác định mức sản lượng Q* để tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp khi giá bán hàng ho
á trên thị
trường p = 90.
b) Tại mức sản lượng Q* tìm được trong câu a) tính chi phí cận biên của doanh nghiệp.
Câu 3 (3 điểm) Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 1, 5K 〈 L0,4 trong đó Q là sản lượng, K l
à vốn, L là
lao động, 0 < α < 1.
a) Xác định α nếu biết rằng tại mức K = 2, L = 4 tỉ lệ thay thế cận biên của vốn cho lao động là
1
b) Với α = 0,6 và doanh nghiệp dự kiến mức sản lượng Q0 = 120, xác định mức sử dụng vốn và
lao động
để cực tiểu hoá chi phí của doanh nghiệp, biết giá vốn pK = 3 và giá lao động pL = 2 .
c) Với kết quả từ câu b), khi giá pK , pL và sản lượng Q0 đồng thời tăng 1,5% thì chi phí tối
thiểu thay
đổi như thế nào?
Câu 4 (2 điểm) Phòng y tế quận A đã tiến hành tiêm phòng viêm gan B cho 5000 người của qu

ận này.
Kiểm tra ngẫu nhiên 1500 người của quận A thấy có 800 người đã tiêm phịng viêm gan B, tro
ng đó có
500 người được tiêm phòng ở phòng y tế quận A.
a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng số người tối thiểu của quận A đã được tiêm phòng viêm gan B.
b) Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng trên 50% số người của quận A đã được tiêm phòng viê
m gan B
hay không?
c) Ở quận C, tỉ lệ người đã được tiêm phòng viêm gan B là 50%. Với xác suất 0,95 khi kiểm
tra ngẫu
nhiên 1600 người ở quận C thì có tối thiểu bao nhiêu người đã được tiêm phòng viêm gan B?
Câu 5 (2 điểm) Theo dõi giá (đơn vị: nghìn đồng) hai cổ phiếu A và B trong 121 phiên giao dịch,
người ta
thu được các kết quả sau:
Số quan sát Trung bình mẫuPhương sai mẫu
Cổ phiếu A
121
130
14,6
Cổ phiếu B
121
109
25,6


Giả thiết giá cổ phiếu A và B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
a) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy đối xứng cho giá trung bình của cổ phiếu A.
b) Với mức ý nghĩa 5%, giá trung bình của hai loại cổ phiếu có khác nhau hay không?
c) Với mức ý nghĩa 5%, giá cổ phiếu B có biến động nhiều hơn giá cổ phiếu A hay khơng?
Câu 6 (1 điểm) Cho tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc X với công thức xác suất:

x
−
P( X = x) = e   ,  > 0, x = 0,1, 2,... ,
1
x!
Từ mẫu kích thước n, tìm ước lượng hợp lý tối đa của tham số  .
Cho các giá trị: P(U < 1, 645) = 0,95 ; P(U < 1,96) = 0,975 ; f0,05 (120,120) = 1,35 .
1
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (g
õ lại từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 5 / 2012 – Hà Nội
Câu 1 (1 điểm) Một hãng sản xuất có đường cầu là Q = 1200 − 2P , với P là giá bán.
a) Xác định giá bán P để doanh thu của hãng đạt cực đại.
b) Nếu hãng đặt giá P = 280 thì doanh thu thay đổi bao nhiêu so với doanh thu cực đại.
Câu 2 (1 điểm) Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp Q = 30K 0,2L0,9 ;
Trong đó Q là sản lượng (số sản phẩm), K là vốn (triệu đồng), L là lao động (người).
a) Doanh nghiệp có hàm sản xuất có hiệu quả thay đổi như thế nào theo quy mô?
b) Năng suất lao động đo bằng số sản phẩm/1 lao động. Tính tốc độ tăng của năng suất lao động t
heo vốn
tại mức K0 = 100, L0 = 40.
Câu 3 (3 điểm) Cho hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U (x1, x2 ) = x1x2 , trong đó x1 , x2 lần lượt
là số lượng
sản phẩm thứ nhất và thứ hai được tiêu dùng. Cho giá một đơn vị sản phẩm tương ứng vớ
i hai sản
phẩm là p1 , p2 , lợi ích hộ gia đình là u0 ; p1 , p2 , u0 > 0.
a) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm lượng sản phẩm tiêu dùng mỗi loại sao cho lợi í
ch bằng
u0 với ngân sách chi tiêu là cực tiểu.
b) Với p1 = 8, p2 = 4, u0 = 8, hãy tìm lời giải cụ thể cho câu hỏi a).

c) Với dữ kiện câu b) để lợi ích u0 tăng 1 đơn vị thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu?
d) Để lợi ích u0 tăng 1% thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu %?
Câu 4 (2 điểm) Thu hoạch 41 điểm trồng loại đậu A và 30 điểm trồng loại đậu B, quan sát năng
suất hai
loại đậu người ta thu được các phương sai mẫu tương ứng là 9,53 (tạ/ha)2 và 8,41 (tạ/ha)2.
Giả thiết rằng năng suất cả hai loại đậu là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
a) Với độ tin cậy 95% độ phân tán của năng suất loại đậu A tối thiểu là bao nhiêu?
b) Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng độ phân tán về năng suất của hai loại đậu như nhau không
?
c) Nếu biết độ phân tán về năng suất của loại đậu A đo bằng độ lệch chuẩn là 3 (tạ/ha) thì khả
năng để


trong mẫu gồm 41 điểm trồng loại đậu A có phương sai mẫu lớn hơn 5,9645 là bao nhiêu?
Câu 5 (2 điểm) Kiểm tra ngẫu nhiên 16 bóng đèn loại A tính được tổng tuổi thọ của chúng là 192
00 (giờ)
và độ lệch chuẩn mẫu là 26,094 (giờ). Giả thiết tuổi thọ của bóng đèn loại A và loại B là các bi
ến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn.
a) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn loại A với độ tin cậy 95% bằng khoảng tin
cậy đối
xứng.
b) Phải chọn kích thước mẫu tối thiểu bằng bao nhiêu để với độ tin cậy 95% thì sai số của ước lư
A =
B = 
ợng tuổi

thọ trung bình bóng đèn loại A không vượt quá 5 (giờ).
c) Độ phân tán của tuổi thọ bóng đèn loại B đo bằng độ lệch chuẩn là 20 (giờ). Với mức ý nghĩa 5
% có thể

cho rằng tuổi t
Mức chi (nghìn đồng)
80
90
100
110
120
130
họ bóng đèn loại
Số nhân viên
13
16
26
17
16
12
B ổn định hơn bó
ng đèn loại A hay khơng?
Câu 6 (1 điểm) Cho biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn và một mẫu ngẫu nhiên kích thước
n lập từ
X. Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước lượng hợp lý tối đa của E(X).
Cho: P (
) = 0,95 ; P (
) = 0, 05 ; P (
) = 0, 05
P (T (15) < 2,13) = 0,975 ; f0,025 (40, 29) = 2,028; f0,975 (40, 29) = 0,512.
2
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TỐN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 9 / 2011 – Các Địa phương
Câu 1 (1 điểm)
Doanh nghiệp có hàm chi phí cận biên MC(Q) = 4Q2 – 7Q + 5.
Tìm hàm tổng chi phí của doanh nghiệp, biết chi phí cố định là FC = 18.
Câu 2 (2 điểm)
Cho ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối cùng B của một nền kinh tế có hai ngành sản
xuất như
sau:
 0, 2 0,3
10 

 0, 2 0,1
 20 
a) Giải thích ý nghĩa của số 0,3 trong ma trận A.
b) Tính sản lượng (tổng cầu) của các ngành.
2
2 ngành thứ nhất
2
c) Nếu muốn tăng cầu 
 (40) > 26,509 cuối cùng của(40) > 55, 7584 thêm 1 đơn vị>thì sản lượng ngành thứ hai
(15) 24,99
phải thay
đổi bao nhiêu?
Câu 3 (2 điểm)
Cho hàm sản lượng của doanh nghiệp như sau: Q = 15K 0,4L0,4 , trong đó Q là sản lượng, K là v
ốn, L là lao


động.
a) Phải chăng quá trình sản xuất của doanh nghiệp có hiệu quả giảm theo quy mơ? Giải thích.

b) Viết hàm lợi nhuận. Tìm giá trị của K và L thoả mãn điều kiện cần để cực đại hàm lợi nhuận,
biết giá
vốn pK = 2, giá lao động pL = 4, giá bán sản phẩm p = 1.
Câu 4 (3 điểm)
Cơng ty A hỗ trợ mỗi nhân viên 100 nghìn đồng/tháng để đào tạo tiếng Anh. Phỏng vấn ngẫu
nhiên về
mức chi thực tế cho học tiếng Anh tháng t của một số nhân viên được kết quả sau:

a) Hãy ước lượng mức chi học tiếng Anh trung bình tháng t của nhân viên công ty A bằng khoản
6
7
8
g tin Thu nhập (tri 5
cậy
Số công nhân
20
40
25
15
đối xứng với độ tin cậy 95%.
b) Phải chăng mức chi cho học tiếng Anh trung bình tháng t của nhân viên cơng ty A khác với m
ức hỗ trợ
của côngTrọng lượng ý nghĩa 5%? 13-15 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25
ty, với mức (gam)11-13
c) Công ty A có 1500 nhân viên, ước lượng tối đa số nhân viên có mức chi cao hơn mức hỗ trợ
Số sản phẩm
6
14
20
30

15
10
5
của công
ty, với độ tin cậy 95%.
Giả thiết mức chi học tiếng Anh tháng t của nhân viên công ty A là biến ngẫu nhiên phân phối ch
uẩn.
Câu 5 (1 điểm)
Cho mẫu ngẫu nhiên W = ( X1, X 2 , X3, X 4 , X5 ) lập từ biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N (∝;
2
⌠ ).
Lập thống kê : G = a( X1 + X 2 ) + b( X3 + X 4 + X5 ) .
Tìm giá trị của a, b để G là ước lượng khơng chệch tốt nhất của ∝.
Câu 6 (1 điểm)
Tìm ước lượng hợp lý tối đa cho tham số p của biến ngẫu nhiên X có phân phối A(p).
Cho: P(U > 1,96) = 0,025; P(U > 1,645) = 0,05.

3
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TỐN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2011 – Hà Nội
Câu 1 (1 điểm): Cho mơ hình cân bằng kinh tế:
Y = C + I0 + G0 ;
C = C0 + b(Y − T ) T = T0 + tY
;
Cho C0 = 80; I0 = 90; G0 = 81; T0 = 20; b = 0,9; t = 0,1
a- Xác định mức cân bằng của Y.
b- Khi C0 tăng 1% thì mức cân bằng của Y tăng bao nhiêu %?

Câu 2 (2 điểm): Cho mẫu ngẫu nhiên W = ( X1, X 2 , X 3, X 4 , X 5 ) từ tổng thể có phân phối chuẩ
2
n N (µ,⌠ ) .
G1 5
Lập các thống kê:
= 5 i=1 15 i=1
a- Nêu quy luật phân phối xác suất, tính kỳ vọng và phương sai của G1.
b- Nếu dùng hai thống kê trên để ước lượng cho µ thì thống kê nào tốt hơn? Tại sao?
Câu 3 (3 điểm): Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hoá là:
U (x1, x2 ) = 20x0,45 x0,5 (x1 > 0, x2 > 0)
5,
5
Trong đó x1, x2 tương ứng là số đơn vị của 2 loại hàng hoá, với giá p1 = 6, p2 = 11. Ngân sách ti
1 X ;
G2 = 1 ∑ iX i
i
∑
êu dùng là
B = 600.
a- Lập hàm Lagrange để tìm cực trị hàm lợi ích với ràng buộc ngân sách tiêu dùng.
b- Tìm gói hàng cực đại hàm lợi ích.
c- Khi ngân sách tiêu dùng tăng 1 đơn vị thì giá trị cực đại lợi ích tăng bao nhiêu đơn vị?
1
2
Câu 4 (1 điểm): Thu nhập/q của cơng nhân xí nghiệp A là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Quan sát

triệu hay không?
ngẫu nhiên điểm): Khảo sát trọng lượng X củađược số liệusản phẩm, quan sát một số sản phẩm đư

Câu 5 (2 thu nhập của 100 cơng nhân xí nghiệp A một loại sau:

ợc chọn
Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng độ phân tán của thu nhập (tính bằng độ lệch chuẩn) nhỏ hơn 1,2

a- Ước lượng trọng lượng trung bình của loại sản phẩm trên với mức tin cậy 95%.
ngẫu nhiên được số liệu sau:

b- Nếu muốn độ dài khoảng tin cậu ở câu a không vượt quá 0,9 gam thì cần phải quan sát thêm ít
nhất bao
nhiêu sản phẩm?
GiảVới mức ý nghĩa 5%, phẩm trên córằng phối chuẩn.
c- thiết trọng lượng của sản có thể cho phân tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng khơng q 15 gam lớn h
ơn 15%
hay không?
Câu 6 (1 điểm): Doanh nghiệp độc quyền có hàm nhu cầu Q = Q( p) với p > 0, Q '( p) < 0 , tron
g đó Q là
số sản phẩm và p là giá đơn vị sản phẩm. Chứng tỏ rằng nếu hệ số co giản của cầu theo giá: ∑ Qp
> −1 (tức
là hàm cầu ít co giãn theo giá) thì doanh thu của doanh nghiệp sẽ tăng theo giá.
2
2
Cho: P (  (99) > 77, 05) = 0,95; P (  (99) > 123, 23) = 0, 05; u0,025 = 1,96; u0,05 = 1, 645 .

KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn

4


ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại

từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2010 – Hà Nội
Câu 1 (1 điểm): Cho hàm chi phí trung bình của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo:
2
AC(Q) = 12 − 0,5Q + 0, 25Q +10
(Q là số đơn vị sản phẩm)
Q
1. Tìm hàm chi phí cận biên
2. Với giá bán p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận.
Câu 2 (1 điểm): Cho mơ hình kinh tế
Y = C + I + G0;
C = a + b(Y − T0 ); I = d + iY
G0 > 0; a > 0; 0 < b < 1; bT0 < a; d > 0; 0 < i < 1; b + i < 1.
Trong đó Y, C, I lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư và đầu tư; G0, T0 là chi tiêu chí
nh phủ và
thuế.
Tìm thu nhập quốc dân cân bằng. Khi i tăng thì thu nhập quốc dân cân bằng tăng hay giảm, vì sao
?
Câu 3 (3 điểm):
Thu nhập (triệu đồng)
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0 1. Hàm lợi ích của hộ g
i Số nhân viên
a đình có dạng U (x, y)
5
15

25
30
20
5
=
10xy − 3x2 − 2 y2 với
2
(x, y) là gói hàng hóa (x>0, y>0)
D = 0,5 p M
a. Hàm lợi ích biên có thể hiện quy luật lợi ích cận biên giảm dần khơng?
b. Hãy viết phương trình đường bàng quan tại (x = 2; y = 2); tìm độ dốc của đường này tại (x = 2;
y = 2) và
giải thích ý nghĩa của giá trị tìm được.
2. Cho S và D tương ứng là hàm cung và hàm cầu về một loại hàng hóa:
S = 50 p2 − 20
−2
Với p là giá một đơn vị hàng hóa, M là thu nhập của người tiêu dùng (M > 0).
a. Tìm điều kiện đối với p sao cho hàm cung và hàm cầu đều nhận giá trị dương. Với điều kiện
này hãy
viết mơ hình cân bằng thị trường, viết hàm dư cung và xét tính đơn điệu của hàm này theo p.
Câu 5 (2 p;Q làĐiều cân bằng và lượng cân bằng. Nếunhân nhậpcông ty A thu được kết quả sau: nào tới
b. Cho điểm): giá tra ngẫu nhiên thu nhập/tháng của 100 thu viên M giảm thì sẽ tác động thế
p;Q ?
1. Ước lượng mức thu nhập/tháng trung bình của nhân viên công ty A với mức tin cậy 1 – α.

Câu 4 (2 điểm): Trường đào tạo lái xe ôtô TX đã đào tạo được 5000 lái xe cho tỉnh A. Kiểm t
ra ngẫu
nhiên 1500 người ở tỉnh A thấy 200 người có bằng lái xe ơtơ, trong đó có 150 người có bằng d
o trường
TX cấp.

1. Ước lượng số người đã có bằng lái xe ơtơ của tỉnh A tối đa với độ tin cậy 95%.
2. Có thể cho rằng 15% số người của tỉnh A đã có bằng lái xe ôtô không? kết luận với mức ý nghĩ
a 5%.

2. Hãy ước lượng tỷ lệ nhân viên công ty A có thu nhập khơng q 1,6 triệu/tháng với mức tin cậy
1 – α.
3. Điều tra 81 nhân viên công ty B thu được độ lệch tiêu chuẩn mẫu của thu nhập/tháng là 0,4 tri
ệu đồng.


Với mức ý nghĩa α, có thể cho rằng thu nhập/tháng của nhân viên công ty A ổn định hơn thu nh
ập/tháng
của nhân viên công ty B hay không?
Biết thu nhập/tháng của nhân viên các công ty A, B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn
.
Chọn α =
0,05.
Trọng lượng 48,0 – 48,5 48,5 – 49,0 49,0 – 49,5 49,5 – 50,0 50,0 – 50,5
Số bao
7
20
35
25
13
Câu 6 (1
điểm): Cho mẫu ngẫu nhiên nhiên 100 baonxi măng phân phối A(p). Chứng được kết quảtần suất mẫu f
kích thước lập từ mới đóng bao người ta thu minh rằng sau:
phân phối chuẩn. Kiểm tra ngẫu
là ước lượng hợp lý tối đa của p.
Cho độ tin cậy 95%,= 1,416 lượng trọng lượng trung bình của= 1,645. măng.

f0,05(80,99) hãy ước ; u0,025 = 1,96 ; u0,05 các bao xi
a. Với
5
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
Lập các thống kê: G1 =

X1 +

X2 +

X 3 ; G2 = X 1 +

X2 +

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2009 – Hà Nội
Câu 1 (1 điểm). Cho hàm sản xuất Y = 0,3K 0,5L0,5 trong đó Y là sản lượng, K và L là vốn và la
o động.
a. Tính lượng sản phẩm cận biên của vốn và lao động tại K = 4, L = 9.
1
2
b. Chứng minh rằng hàm năng suất biên của vốn là hàm thuần nhất bậc 0.
Câu 2 (2 điểm). Trọng lượng các bao xi măng (đơn vị: kg) được đóng bao tự động là biến ngẫ
u nhiên

Câu 5 (1 điểm). Cho hàm sản xuất Q =   1 0,5 + 2 L0,6  với Q là sản lượng, K và L là vốn và lao động.
K

b. Máy đóng bao được coi là hoạt động ổn định nếu độ phân tán của trọng lượng các bao xi măng

(đo bằng
độ lệch tiêu chuẩn) không vượt quá 0,5 (kg). Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng máy đóng
bao hoạt
động ổn định hay khơng?
Câu 3 (1 điểm). Cho mẫu ngẫu nhiên Wn ( X ) = ( X1, X 2 , X 3 ) lập từ tổng thể phân phối N (∝,⌠
2
).
1
1
1
1
1
1 X3
4
2
4
3
6
2
a. Chứng minh rằng G1, G2 là các ước lượng không chệc
h của ∝ .
b. Trong hai ước lượng trên, ước lượng nào tốt hơn cho ∝ ?
Câu 4 (3 điểm). Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hoá như sau:
U (x1, x2 ) = 5x0,4 x0,4
Ngân sách tiêu dùng là 300USD, giá một đơn vị hàng hoá thứ nhất là 3USD và giá một đơn vị
hàng hố
thứ hai là 5USD.
a. Tìm gói hàng hố mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất, với x1 ≥ 0 , x2
≥0.
b. Nếu ngân sách tiêu dùng của hộ giảm 1 USD thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?

2
3 
3
a. Tìm năng suất cận biên của vốn và lao động
b. Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng theo quy mơ khơng?
Câu 6 (2 điểm). Có hai nguồn A và B cung cấp cùng một loại nguyên liệu, độc lập với nhau. T
ỷ lệ tạp
chất từ các nguồn này là các biến ngẫu nhiên XA, XB tuân theo quy luật chuẩn. Mỗi nguồn kiể
m tra ngẫu
nhiên 10 đơn vị thu được kết quả sau đây:
xA = 8, 2; sA = 18, 75
xB = 9,5; sB = 7,85
a. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng độ đồng đều của tỷ lệ tạp chất của hai nguồn như nhau ha
y không?
b. Với độ tin cậy 95%, phương sai của tỷ lệ tạp chất nguồn B tối đa là bao nhiêu?
c. Với kết luận nhận được ở câu a, phải chăng tỷ lệ tạp chất trung bình của hai nguồn là khác n
hau, kết
luận với mức ý nghĩa 5%.
x
Số đại lý

21
7

22
17

23

29

24
27

25
15

26
5

Cho : P (U < 1, 645) = 0,95; P (U < 1

) = 0,975, P (
F0,025 (9,9) = 4, 02 , F0,975 (9,9) = 0, 248 ; t0,025 (18) = 2,10

,96

)

(

) = 0,95

6
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2008 – Hà Nội
Câu 1 (1 điểm) Một công ty độc quyền kinh doanh mặt hàng A có hàm doanh thu cận biên:

MR = 120 – 2Q; Q là sản lượng mặt hàng A. Tìm điều kiện đối với Q để doanh thu dương,
với điều
2
2
kiện này giá hàng A có dương khơng?
Câu 2 (2 điểm) Cho mơ hình:
Y=C+I
C = C0 + aY
0< a <1
I = I0 – b r
b >0
2
2
L = L0+ mY – n r m, n > 0
 (99) < 124,34 = 0,95; P (9) > 3,325
Ms = L
trong đó Y: thu nhập quốc dân, I: đầu tư, C: tiêu dùng, L: mức cầu tiền, Ms: mức cung tiền, r: lãi s
uất.
a) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng.
b) Với a = 0,7; b = 1800; C0 = 500; I0 = 400; L0 = 800; m = 0,6; n = 1200; Ms = 2000, tính hệ
số co giãn
của thu nhập, lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bằng và giải thích ý nghĩa của chúng.
Câu 3 (2 điểm) Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng doanh thu của trung tâm phụ thuộc
vào thời


lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x - phút) và trên truyền hình (y - phút) với hàm doanh
thu như
sau:
TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên truyền hình là 4 triệu đồ
ng. Ngân
sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng.
a) Hãy xác định x, y để cực đại doanh thu.
b) Nếu ngân
Chiều cao (cm)
155
160
165
170
175
s
ách chi cho qu
Số thanh niên
30
50
60
50
10
ả
ng cáo tăng 1 t
riệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ tăng bao nhiêu?
Câu 4 (1 điểm) Cho biến ngẫu nhiên X ∼ A(p). Chứng minh rằng tần suất mẫu là ước lượng hợp
lý tối đa
của p.
2
Câu 5 (1 điểm): W = (X1, X2, X3) là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể phân bố chuẩn N(∝, ⌠ ).
Lập thống
1
1

1 X . Tính kỳ vọng và phương sai của G. G có phải là ước lượng hiệu qu
3
3
6
2
∝ khơng? Vì sao? ả của
Câu 6 (3 điểm): Điều tra doanh thu trong tuần (x: triệu đồng) của một số đại lý xăng dầu ở vùng
A, người

a) Với hệ số tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán của doanh thu/tuần.
b) kê G =trước, doanh thu trung bình/tuần của các đại lý trên cùng địa bàn là 20 triệu đồng. Vớ
Năm X1 + X 2 +
i mức ý
nghĩa 5%, hãy cho biết doanh thu trung bình/tuần năm nay có cao hơn so với năm trước hay k
hông?
c) Điều tra 100 đại lý kinh doanh xăng dầu ở vùng B người ta tính được phương sai mẫu bằng
ta thu được các số liệu sau đây:
2 và thấy
có 35 đại lý có doanh thu từ 25 triệu đồng/tuần trở lên. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết:
- Tỷ lệ đại lý có doanh thu từ 25 triệu đồng/tuần trở lên của hai vùng là như nhau không?
- Độ phân tán của doanh thu /tuần của các đại lý vùng B có cao hơn vùng A khơng?
Giả thiết rằng doanh thu/tuần của các đại lý vùng A và B đều là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn.
Cho: P(U < 1,645) = 0,95; P(U < 1,96) = 0,975;
2
2
P( (99) > 128,42) = 0,025; P( (99) < 73,36) = 0,025; P(F(99,99) > 1,39) = 0,05.

7
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại

từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2007 – Hà Nội
Câu 1 (1 điểm) Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm.
a) Tìm xác suất để trong đó có khơng q 5 phế phẩm
b) Với xác suất 0,95 thì trong số các sản phẩm được kiểm tra có ít nhất bao nhiêu chính phẩm?


Câu 2 (1 điểm) Hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước bằng 4 và 5 được rút ra từ một tổng thể p
hân phối
A(p) và tìm được các tần suất mẫu là f1 và f2. Xét tập hợp các ước lượng G = 〈 f1 + (1− 〈 ) f2 .
Tìm ước
lượng hiệu quả nhất của p trong tập hợp các ước lượng nói trên.
Câu 3 (3 điểm) Đo chiều cao của 200 thanh niên được chọn ngẫu nhiên ở một vùng dân cư A đượ
c số liệu

sau: Với độ tin cậy 0,95 hãy ước lượng số thanh niên vùng A có chiều cao từ 170 cm trở lên. B
a)

iết rằng
vùng A có 4000 thanh niên.
b) Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng số thanh niên vùng A có chiều cao từ 165cm trở lên nhiề
u hơn số
thanh niên cịn lại của vùng này hay khơng?
c) Ở vùng B người ta cũng đo ngẫu nhiên chiều cao của 200 thanh niên và tính được:
200
20 2
0 B = 5418450 , trong đó xBi là chiều cao của thanh niên thứ i ( i = 1, 200 ).
i=1
∑ xBi = 32900 , ∑ xi Vậy có
i=

1
thể cho rằng độ đồng đều về chiều cao của thanh niên vùng A là hơn vùng B hay không? Kết
luận với
mức ý nghĩa 5%.
Giả thiết chiều cao của thanh niên vùng A và B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Câu 4 (2 điểm) Một doanh nghiệp độc quyền bán hàng ở hai thị trường với giá khác nhau. Hàm
cầu của
các thị trường về hàng hóa này: Q1 = 20 – 0,5 P1 ; Q2 = 31,2 – 0,4 P2 ; Hàm chi phí cận biên
của doanh
nghiệp là MC = 15 + Q ; trong đó Q = Q1 + Q2. Doanh nghiệp nên chọn giá bán và sản lượng
ở mỗi thị
trường bao nhiêu để lợi nhuận cực đại? Biết chi phí cố định bằng 100.
Câu 5 (2 điểm) Cho hàm cung S, hàm cầu D về một loại hàng hóa:
2
S = 0,1P + 5P −10; 50 với P là giá hàng hóa
P−
D=
2
a) Với điều kiện nào của P thì cung và cầu đều dương? Với điều kiện trên hãy viết phương trình
cân bằng
thị trường.
b) Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm này. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy
nhất giá
cân bằng trong khoảng (3;5).
Câu 6 (1 điểm) Cho hàm sản xuất Y = 0,3 K0,5 L0,5 ; Y - sản lượng; K - vốn; L - lao động.
a) Hãy tính sản phẩm biên của vốn và lao động tại K = 4 ; L = 9.
b) Q trình cơng nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng suất cận biên giảm dần hay khơng?
Hãy giải
thích.
c) Nếu K tăng 8%, L khơng đổi thì Y tăng bao nhiêu %?

Cho P(U < 1,645) = 0,95 ; P(F(199,199) > 1,26) = 0,05 ; P(U < 1,96) = 0,975.


8
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TỐN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2006 – Hà Nội
Câu 1 (1,5đ) Y là thu nhập, S là tiết kiệm. Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S = –7,42 khi thu nhập Y
= 5.
a. Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên MPS = Y – 0,4
b. Kể từ mức thu nhập dương nào trở lên sẽ có tiết kiệm dương?
Câu 2 (1,5đ) Cho mơ hình thu nhập quốc dân:
Y = C + I + G0 ; C = b0 + b1Y ; I = a0 + a1Y – a2R0

Trong đó ai > 0; bi > 0 với
Tổng i, đồng thời a1 + b1 < 1; G
X≤3
4 ≤ X ≤ 5 X >5
mọi
Số hộ nghèo
10
100
90
200
0 là
chi tiêu chính phủ, R0 là lã
Số hộ không nghèo 130
570
350

1050
i suấ
t, I là đầu tư,
Tổng
140
670
440
1250
C là
tiêu dùng, Y là thu nhập
a. Hãy xác định Y, C ở trạng thái cân bằng
b. Với b0 = 200; b1 = 0,7 ; a0 = 100 ; a1 = 0,2 ; a2 = 10 ; R0 = 7 ; G0 = 500, khi tăng chi
tiêu chính
3
4
xA ) 1% thì thu ∑ ( cân A ) = thay đổi bao Với mức ý
∑ ( xAi − phủ = 4350, 075 ;nhậpxAi − xbằng 1402488,573 . nhiêu %? nghĩa 5%
Câu 3 (2đ) Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với các hàm chi phí tư
ơng ứng
là: C1 = 128 + 0, 2Q12 ; C2 = 156 + 0,1Q2 (Q1, Q2 là lượng sản phẩm sản xuất tại cơ sở 1 và 2)
.
Hàm cầu ngược về sản phẩm của cơng ty có dạng: p = 600 – 0,1Q, trong đó Q = Q1 + Q2 và Q <
6000.
a. Hãy xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hóa lợi nhuận.
b. Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co dãn của cầu theo giá.
2
Câu 4 (1,0đ). Cho X là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(∝, ⌠ ), chứng tỏ rằng trung bình m
ẫu X là
ước lượng hiệu quả nhất của kỳ vọng ∝.
Câu 5 (2,5đ) Cho XA, XB là các biến ngẫu nhiên, trong đó XB phân phối chuẩn. Với hai mẫu đ

ộc lập có
kích thước nA = 100, nB = 144, tính được xA = 46,85 ; sA = 8,5474 ; xB = 48, 75 ;
sB = 11, 25 ;
100
100
i=1

i=1
a. Hãy cho biết XA có phân phối chuẩn hay khơng?
b. Hãy cho biết kỳ vọng của XB có lớn hơn kỳ vọng của XA hay không?
c. Phương sai của XB có lớn hơn phương sai của XA hay khơng?

Câu 6 (1,5đ) Để nghiên cứu mối quan hệ giữa tình trạng nghèo đói và quy mơ hộ gia đình (được
xác định
bởi số người trong hộ và ký hiệu là X), người ta điều tra và thu được số liệu sau đây


15
16
17
XA \ XB
0,15
0,2
0,25
a. Vớ 15
i mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết giữa q
bố xác suất đồng17 của chúng như sau: 0,2
thời
0,05
0,15

uy mơ hộ
gia đình và tình trạng nghèo đói có độ
c lập
nhau hay khơng?
b. Giả thiết rằng tỉ lệ nghèo đói của hộ gia đình bằng 16%, nếu điều tra ngẫu nhiên 144 hộ
thì xác
suất để tần suất mẫu lớn hơn 15% bằng bao nhiêu?
Cho P(U > 1,645) = 0,05 ; P(U > 1,96) = 0,025 ; P(U > 0,327) = 0,3717
2
P( (2) < 5,99) = 0,95 ; P(F(143,99) > 1,364) = 0,05.
XA
Số hộ

10
4

12
10

14
20

16
36

18
22

20
8

xB = 18 và sB = 2,763

9
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TỐN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2005 – Hà Nội
Câu 1.
Giá của cổ phiếu A, cổ phiếu B là các biến ngẫu nhiên XA, XB tương ứng (đơn vị: ngàn đồng) và
bảng phân

a. Tính giá trung bình của các cổ phiếu nói trên
b. XA, XB có độc lập? Khả năng để giá cổ phiếu B cao hơn giá trung bình cổ phiếu A là bao n
hiêu?
c. Nếu phương sai của giá cổ phiếu phản ánh mức độ rủi ro của cổ phiếu thì cổ phiếu nào rủi r
o hơn?
Câu 2.
Tại một trường đại học có 10000 sinh viên, theo dõi kết quả thi hết mơn của tồn bộ sinh viên t
rong học
kỳ một, thấy có 40% số sinh viên phải thi lại ít nhất một mơn học. Sau khi nhà trường áp dụng
quy chế
mới, ở học kỳ hai, chọn ngẫu nhiên 1600 sinh viên dự thi, thấy có 1040 sinh viên khơng phải thi l
ại.
a. Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng việc nhà trường áp dụng quy chế thi mới đã làm g
iảm tỉ lệ
sinh viên phải thi lại hay không?
b. Với độ tin cậy 95%, cho biết có ít nhất bao nhiêu sinh viên không phải thi lại?

Câu 3.
Cho XA, XB là tiền lãi hàng tháng (triệu đồng) của hộ kinh doanh mặt hàng A, B. XA, XB là cá
c biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn. Giả thiết rằng mỗi hộ chỉ được phép kinh doanh một mặt hàng. Điề
u tra ngẫu

a. Cơ quan thuế cho rằng tiền lãi trung bình của các hộ kinh doanh mặt hàng A là 15 triệu đồ
ng và căn
cứ theo mức này cơ quan sẽ tính thuế. Với mức ý nghĩa 5%, theo bạn có nên điều chỉnh că
n cứ tính
Năng suất (tạ/ha)
24
25
26
27
28
29
30
31 thuế hay không
? Số điểm thu hoạch
8
12
17
19
17
14
8
5
b. Từ các kết q
uả điều tra trên, với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết: Nếu muốn tiền lãi cao hơn thì nên

kinh doanh mặt hàng nào? Nếu muốn tiền lãi ổn định hơn thì nên kinh doanh mặt hàng nào?
Cho P(U < 1,645) = 0,95 P(U > 1,96) = 0,025 P[F(99,99) > 1,39] = 0,05
______________________________________________

nhiên 100 hộ kinh doanh mặt hàng A và 100 hộ kinh doanh mặt hàng B ta có các số liệu sau:

10
KHOA TỐN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2004 – Hà Nội
Câu 1.
1. Có hai lô sản phẩm do một máy tự động sản xuất ra. Lơ I gồm 6 chính phẩm và 4 phế phẩm; lơ
II gồm 6
chính phẩm và 3 phế phẩm.
a. Chọn ngẫu nhiên một lơ và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tìm xác suất để được chính p
hẩm
b. Giả sử đã lấy được chính phẩm, nếu từ lơ đó lấy tiếp 2 sản phẩm thì xác suất để được 2 chí
nh phẩm
nữa là bao nhiêu?
2. Ba người đi săn cùng bắn một con nai. Con nai chỉ bị trúng một viên đạn. Biết rằng xác suất
bắn trúng
của 3 người tương ứng là 0,7 ; 0,6 và 0,5. Ai là người có khả năng bắn trúng lớn nhất?


3. Cho X là biến ngẫu nhiên phân phối A(p) và Y = aX + (1 – a)X2, với a là hằng số. Hãy tính kỳ
vọng tốn
và phương sai của Y
Câu 2.
Ở một khu vực, các hộ gia đình chỉ có thể mua gas ở một trong hai cửa hàng A hoặc B. Điều

tra ngẫu
nhiên 1200 hộ thấy có 500 hộ dùng gas, trong đó 265 hộ dùng gas của cửa hàng A, số còn lại dùn
g gas của
cửa hàng B.
a. Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận cửa hàng A thu hút khách hơn cửa hàng B được khơn
g?
b. Khu dân cư này có 5000 hộ, vậy tối đa có bao nhiêu hộ dùng gas với độ tin cậy 95%?
Câu 3xA = 7,5 tấn/ha ; ∑ xAi2 = 8380,28 trong đó xAi là năng suất giống lúa A ở ha thứ i (tấn/ha).
.
Năng suất một loại cây trồng tại vùng A và B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Có kết qu
ả điều tra
sau của vùng A:
b. Điều tra ngẫu nhiên 144 ha trồng lúa B, người ta thu được ∑ (xBi − xB )2 = 288,86 trong đó xBi là

a. Với hệ số tin cậy 95% hãy ước lượng năng suất trung bình tối thiểu của vùng A
b. Người ta thu hoạch ngẫu nhiên tại 100 điểm của vùng B và tính được năng suất trung bì
nh 27,75
tạ/ha và độ lệch chuẩn mẫu là 2,5 tạ/ha. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng năng suất
loại cây
trồng trên ở hai vùng A và B là ổn định như nhau ?
Cho biết P[U < 1,645] = 0,95 ; P[U < 1,96] = 0,975 ; P[F(99,99) < 1,48] = 0,975
______________________________________________

11
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (
gõ lại từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2003 – Hà Nội
Câu 1.

Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập với nhau, xác suất nhận được cùng một điểm số
nào đó ở
cả ba mơn đều như nhau. Xác suất để thi một môn được điểm tám là 0,18; được điểm dưới điể
m tám là
0,65. Xác suất để cả ba mơn đều được điểm mười là 0,000343. Tính xác suất để sinh viên thi ba
mơn được
ít nhất 28 điểm. Biết rằng điểm thi được cho theo thang điểm mười, không có điểm lẻ.
Câu 2.
Khi nghiên cứu giống lúa A, qua thí nghiệm, người ta đã kết luận: năng suất của nó là biến ng
ẫu nhiên
phân bố chuẩn có kỳ vọng 8 tấn/ha, độ phân tán 1,25 tấn/ha. Khi đưa ra gieo trồng đại trà, điều
tra ngẫu
nhiên 144ha, người ta thu được các số liếu sau đây:
144
i=1
a. Khi gieo trồng đại trà người ta chỉ biết năng suất của A tuân theo quy luật phân bố chuẩn,
hãy cho
biết:
- Phải chăng năng suất lúa A khơng đạt mức thí nghiệm?
- Phải chăng năng suất lúa A khơng ổn định như thí nghiệm?
144
i=1
năng suất lúa B ở ha thứ i (tấn/ha). Năng suất lúa B cũng phân bố chuẩn. Giống lúa A có n
ăng suất
ổn định hơn giống lúa B hay không?
c. Trong mấu đối với lúa A có 88 ha có năng suất ít nhất 7 tấn/ha, mẫu đối với lúa B có 64 ha
có năng
suất nhỏ hơn 7 tấn/ha. Hãy cho biết tỉ lệ số ha có năng suất ít nhất 7 tấn/ha của hai loại lú
a trên có

như nhau khơng?
Cho 〈 = 5%.
Câu 3.
x
1– x
Biến ngẫu nhiên X có phân phối A(p), với công thức xác suất Px = p (1 – p)
. Chứng minh r
ằng tần suất
mẫu là ước lượng hiệu quả nhất của p.
Cho biết các giá trị tới hạn:
U0,05 = 1,645 U0,025 = 1,96 20,05(143) = 171 F0,05(143,143) = 0,76
______________________________________________


12
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TỐN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2002 – Hà Nội
Câu 1.
a. Trong một nhà máy có ba phân xưởng dệt, mỗi phân xưởng có 100 máy dệt hoạt động độc l
ập nhau.
Xác suất để trong một ca sản xuất mỗi máy dệt bị hỏng là như nhau và bằng 2,5%.
- Tìm quy luật phân bố xác suất của số máy hỏng trong một ca sản xuất của từng phân xưở
ng.
Trung bình trong một ca sản xuất tồn nhà máy có bao nhiêu máy dệt bị hỏng?
- Nếu mỗi kỹ sư máy chỉ có thể sửa chữa tối đa được 2 máy dệt bị hỏng trong một ca sản
x
uất thì
Chỉ số thơng minh (IQ) – 78 78 – 81 81 – 84 84 – 87 87 – 90 90 – 93 nhà máy nên b

75
Số học
3
8
9
12
10
8
f (x) =  sinh
ố
trí trực sửa ch
ữa máy dệt mỗi ca bao nhiêu kỹ sư là hợp lý nhất?
b. Giả sử tỷ lệ người dân thành phố A mua bảo hiểm nhân thọ là 0,25
- Tính xác suất để có nhiều hơn 28% số người trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 120 người c
ủa thành
X1 = ∑ X 2k−1
và
X 2 = ∑ X 2k
phố này có mua bảo hiểm nhân thọ.
- Vẫn sử dụng mẫu 120 người ở trên, với xác suất 0,1 thì tần suất mẫu lớn hơn tỷ lệ của cả
tổng thể
một lượng là bao nhiêu?
Câu 2.
a. Tuổi thọ (tính theo năm) của một thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất sa
u:
 k.−2x x ≥ 0
với k là hằng số
e
x<0
0

Tính k và tính xác suất để thiết bị này sử dụng được ít nhất là 2 năm
b. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…, X2n–1, X2n) được lấy ra từ tổng thể phân bố chuẩn
2
N(∝,⌠ ) . Xây dựng
1 n
1 n
hai thống kê
n k=1
n k=1
X1 & X 2 có là ước lượng khơng chệch, hiệu quả của ∝ hay không, tại sao?
Câu 3.
Gọi X là chỉ số thông minh (IQ) của học sinh lứa tuổi 12-15. Giả sử X có phân phối chuẩn. Đo IQ
ở 50 học
sinh trường A có số liệu sau


b. Với độ tin cậy 95% có thể nói chỉ số IQ trung bình thấp nhất là bao nhiêu?
c. Trong số 50 học sinh trên có 20 học sinh nam có chỉ số IQ tối thiểu bằng 84 và 10 học si
nh nữ có
chỉ số IQ nhỏ hơn 84. Với 〈 = 5% có thể cho rằng chỉ số thơng minh phụ thuộc vào giới tí
nh được
hay khơng?
d. Đo IQ ở 50 học sinh trường B tính được xB = 80 và xB = 6412,005. Với mức ý nghĩa 5%
có thể cho
rằng chỉ số IQ của học sinh hai trường là như nhau không?
Năng suất (tạ/ha) 25
26
27
28
29

30
31
Số ha
7
8
10
11
8
6
5
P[U < 1,645] = 0,95 P[U < 1,96] = 0,975 P[U < 0,7589] = 0,7764
2
P[U < 1,28] = 0,9 P[ (1) < 3,841] = 0,95
______________________________________________

Cho biết

13

KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2001 – Hà Nội
Câu 1.
Cơ quan hoạch một cách ngẫu nhiên 41 chia Thời B, tính được xB loại: “Xấu”, Bi − xB )2 = 160. Với “Tố
c. Thu dự báo khí tượng thủy văn ha ở vùng tiết thành các = 30 và ∑ (x “Bình thường”, và
t” với các
xác suất tương ứng 0,25 ; 0,45 và 0,3. Với tình trạng thời tiết trên thì khả năng sản xuất nơng ng
hiệp được
mùaxác suất ứng là Bi − xB0,6ítvà 0,7. Nếu như sản xuất nơng nghiệp được mùa thì mức xuất khẩu l

tương để ∑ (x 0,2 ; )2 nhất bằng 270
ượng thực
tương ứng với tình trạng thời tiết là 2,5 triệu tấn ; 3,3 triệu tấn và 3,8 triệu tấn. Hãy tính mức x
a. Từ kết
uất khẩu quả trên có thể nói chỉ số IQ trung bình đang xét là trên 84 không? 2Với 〈 = 5%
2
P[ (54) > 35,568] = 0,975
lươngP[ (99) thể hy vọng (nếu P[ (54) > 76,192] = 0,025
thực có < 90] = 0,2702
được mùa).
Câu 2.
Theo nhận định của cơ quan quản lý chất lượng thực phẩm tại thành phố A thì chỉ có 80% số c
2
ơ sở kinh
doanh thực phẩm tại thành phố này là đạt yêu cầu vệ sinh an toàn thực phẩm. Nhân tháng “vệ sin
h an toàn
thực phẩm”, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 cơ sở sản xuất kinh doanh tại thành phố
a. Tính xác suất để trong số các cơ sở được kiểm tra có khơng ít hơn 85 cơ sở đạt tiêu chuẩn
b. Tính xác suất để trong số các cơ sở được kiểm tra có từ 75 đến 85 cơ sở đạt yêu cầu
c. Nếu trong số các cơ sở được kiểm tra có 26 cơ sở khơng đạt u cầu thì với mức ý nghĩa 5
% có thể
cho rằng nhận định của cơ quan quản lý là đáng tin cậy?


Câu 3.
Năng suất một giống lúa tại vùng A ký hiệu là XA, tại vùng B ký hiệu là XB là các biến ngẫu n
hiên phân

b. Hãy tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương sai của mức năng suất lúa vùng
A

41
i=1
mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng năng suất giống lúa này ở hai vùng là như nhau hay không?
d. Giả sử rằng ở vùng B phương sai của XB là 3, lấy mẫu ngẫu nhiên khác, kích thước 100,
hãy tính
100
i=1
Lượng tiêu hao (lit) 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20
Cho
Số chuyến xe
12
26
30
24
8
P[U < 1,645] = 0,95
P[U < 1,96] = 0,975
2
phối chuẩn. Ở vùng A người ta thu hoạch ngẫu nhiên 55ha, thu được số liệu sau
______________________________________________
a. Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng với hệ số tin cậy 95% cho mức năng suất trung bình ở vùng A

14

KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 9 / 2000 – Hà Nội – Đề thi Ngân sách
Câu 1.

a. Một máy có hai bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất bộ phận 1 bị hỏng là 0,1; xác suất để bộ
phận 2 bị
hỏng là 0,2. Chỉ cần ít nhất 1 bộ phận hỏng là máy ngừng hoạt động. Giả sử thấy máy ngừng h
oạt động,
hãy tìm xác suất của các biến cố sau:
- Bộ phận 1 bị hỏng
- Chỉ có một bộ phận bị hỏng
b. Một người tung 1 con xúc xắc cho đến khi được mặt 6 chấm thì dừng. Tìm xác suất để người đ
ó:


- Phải tung 3 lần
- Phải tung một số chẵn lần
Câu 2.
Mức độ hỏng
1
2
3
a. Độ dài chi tiết (tính b
Chi phí sửa chữa
A
5,5
7,2
12,5
ằ (triệu đồng/năm)
ng cm) do một máy tự đ
B
6,0
7,5
10,8

ộ
ng sản xuất là đại lượng
A
2
5
3
Tỉ lệ hỏng (% / năm)
n
gẫu nhiên phân phối chu
B
1
4
5
ẩ
n
với độ lệch tiêu chuẩn 9(cm). Được biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độ dài khơng vượt q
81(cm)
thì xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết được ít nhất 1 chi tiết có độ dài khơng dưới 80(cm) là bao
nhiêu?
b. Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n : W = (X1, X2,…, Xn) rút ra từ một tổng thể có trung bình ∝
và phương
sai ⌠2. Xét ước lượng sau đây của ∝:
2
Hãy cho biết
n(n +1)
*
- Ước lượng ∝ có phải là một ước lượng không chệch của ∝ không? Tại sao?
*
- *Với n > 1, ∝ có phải là ước lượng hiệu quả của ∝ khơng? Tại sao?
µ =

( X1 + 2 X 2 + 3X3 + ... + nX n )

Câu 3.
Định mức tiêu hao nhiên liệu cho một loại xe chay trên cung đường AB là 14 lít. Do tình hình
đường sá
thay đổi, người ta đã theo dõi 100 chuyến xe và thu được số liệu sau

a. Với mức ý nghĩa 5% hãy nghiên cứu xem có cần thay đổi định mức không, biết rằng lượng
tiêu hao
nhiên liệu là đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn
b. Xe cần đưa vào kiểm tra kỹ thuật là xe có mức tiêu hao nhiên liệu trên 18 lít. Trên cơ sở s
ố liệu đã
điều tra, hãy ước lượng tỉ lệ tối thiểu các xe cần kiểm tra kỹ thuật với độ tin cậy 95%
Cho P[U < 1,645] = 0,95 P[U < 1,96] = 0,975 U0,2877 = 0,56 U0,1507 = 1
______________________________________________

15
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)


ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 2000 – Hà Nội
Câu 1.
Thống kê về mức độ hỏng và chi phí sửa chữa của hai loại động cơ A và B được số liệu dưới

a. Theo nào,(chị) nếu phải mua một trongloại loại động cơ trên thì xét về mặt kinh tế nên chọn mua
loại anh biết rằng giá bán của hai hai động cơ trên là như nhau?

b. Một công ty đang sử dụng 6 động cơ loại A và 4 động cơ loại B. Tính chi phí sửa chữa tr
ung bình
hàng năm cho cả hai loại động cơ trên của cơng ty đó.
Câu 2.
Chiều dài của chi tiết được gia công trên máy tự động là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy l
uật phân
phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 0,01mm. Chi tiết được coi là đạt tiêu chuẩn nếu kích thước th
ực tế của
nó sai lệch so với kích thước trung bình khơng vượt q 0,02mm.
a. Tìm tỉ lệ chi tiết khơng đạt tiêu chuẩn.
b. Xác định độ đồng đều cần thiết của sản phẩm để tỉ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn chỉ cịn 1
%
Câu 3.
Theo dõi tuổi thọ của 36 bóng đèn nhãn hiệu T và 36 bóng đèn nhãn hiệu E thu được số liệu sau:
Bóng nhãn hiệu T Bóng nhãn hiệu E
Tuổi thọ trung bình (giờ)
1250
1260
Độ lệch tiêu chuẩn
20
35
a. Có thể nói tuổi thọ trung bình của hai loại bóng đèn là như nhau?
b. Nếu chấp nhận ý kiến ở câu (a.) thì có thể coi chất lượng của hai loại bóng đèn là hịan t
ồn như
nhau hay khơng?
Giả thiết tuổi thọ hai loại bóng đèn trên là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Cho mức ý nghĩa
5%.
Câu 4.
Công ty Phương Đông đã bán được 550000 chiếc tủ lạnh trên địa bàn kinh doanh của mình. Để
xây dựng

kế hoạch kinh doanh cho những năm tới, công ty tiến hành điều tra ngẫu nhiên 10000 hộ trên cù
ng địa bàn
thì thấy có 5000 hộ có tủ lạnh trong đó có 575 hộ có tủ lạnh mang nhãn hiệu cơng ty. Hãy ước lư
ợng số hộ
đã có tủ lạnh trên địa bàn kinh doanh của công ty bằng khoảng tin cậy 95%. Giả thiết mỗi hộ n
ếu có thì
chỉ mua một tủ lạnh.
Cho P[U < 1,645] = 0,95 P[U < 1,96] = 0,975 P[F(35,35) < 2,05] = 0,975


______________________________________________

16
KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TỐN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 1999 – Hà Nội
Trọng lượng (kg)
Số sản phẩm

2,1
2

2,2
4

2,3
15

2,4

3

2,5
1

Câu 1.
a. Một lô hàng gồm a sản
hẩm loại 1 và b sản phẩm

p
loại 2 được đóng gói để gửi cho khách hàng. Nơi
nhận đếm lại thấy thất lạc 1 sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng nhận được ra 1 sản phẩm thì t
hấy nó là
sản phẩm loại 1. Tìm xác suất để sản phẩm bị thất lạc cũng là loại 1.
b. Độ dài một chi tiết máy được sản xuất trên dây chuyền tự động là đại lượng ngẫu nhiên
phân phối
sản phẩm giảm sút, người ta cân thử ngẫu nhiên 25 sản phẩm và thu đuợc số liệu sau:
chuẩn với trung bình 200mm và độ lệch chuẩn 20mm. Một mẫu gồm 25 chi tiết được lấy ra
một cách
ngẫu nhiên.
Với mức ý nghĩa 5% hãy kết luận về điều nghi ngờ trên. Giả thiết trọng lượng sản phẩm là đại lượng ngẫu
- Tìm xác suất để độ dài trung bình các chi tiết được lấy ra khơng nhỏ hơn 200mm
- Tìm xác suất để phương sai mẫu điều chỉnh ít nhất bằng 230(mm)2.
Câu 2.
Có hai hộp sản phẩm, hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 8 chính phẩm
và 2 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tìm xác suất để sai lệc
h giữa số
chính phẩm được và kỳ vọng tốn 2của nó nhỏ hơn 1.
P[ (24) < 36,4] = 0,95

P[ (24) < 13,8] = 0,05

Câu 3.
Độ lệch tiêu chuẩn của trọng lượng một loại sản phẩm là 0,1kg. Nghi ngờ độ đồng đều của trọ
ng lượng

nhiên phân phối chuẩn.
Câu 4 . Có 2 lơ hạt giống. Từ lô thứ nhất, người ta gieo ngẫu nhiên 850 hạt thấy có 680 hạt nảy
mầm. Từ
lơ thứ hai gieo thử 1200 hạt thấy có 1020 hạt nảy mầm.
a. Có thể coi tỉ lệ hạt giống nảy mầm của hai lô là khác biệt nhau không? Mức ý nghĩa 5%
b. Hãy ước lượng tỉ lệ tối đa hạt giống nảy mầm của lô thứ hai với độ tin cậy 95%


Cho P[U < 1,645] = 0,95
P[U < 1,96] = 0,975
2
______________________________________________

Thu nhập (trđ/năm)
Số gia đình

4
1

4,5
3

5

4

5,5
6

6
8

6,5
7

7
6

7,5
3

8
2

17
KHOA TỐN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC – ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – TOÁN KINH TẾ (gõ lại
từ bản chính thức)
Điều tra thu nhập hàng năm của 40 hộ gia đình ở một khu vực thu được số liệu sau

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN – Tháng 8 / 1998 – Hà Nội

Câu Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số gia đình có thu nhập dưới 5 trđ/năm. Biết rằng khu vực có 80
a. 1.

Tuổi thọ một loại bóng đèn là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 4,2 năm
và độ lệch
chuẩn là 1,5 năm. Khi bán một bóng đèn thì lãi 100 ngàn đồng, song nếu bóng đèn phải bảo h
ành thì lỗ
300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi bán mỗi bóng đèn là 30 ngàn đồng thì phải quy
định thời
gian bảo hành là bao nhiêu?
Câu 2.
Một cây xăng có 3 máy bơm xăng. Tìm xác suất để trong 10 xe vào cây xăng thì có 3 xe đến bơ
m xăng ở
máy thứ nhất
Câu 3.
Nếu muốn ước lượng tỉ lệ phế phẩm của một máy với độ tin cậy 95% và sai số của ước lượng k
hông quá
0,03 thì phải kiểm tra tối thiểu bao nhiêu sản phẩm là hợp lý?
Câu 4.

gia đình.
b. Nếu trước đó 2 năm thu nhập bình quân các hộ gia đình là 5,5trđ/năm thì với mức ý nghĩa 5
% có thể
cho rằng mức sống vật chất của khu vực đó đã được nâng lên hay không?


Biết thu nhập các gia đình phân phối chuẩn.
Câu 5.
Lãi suất cổ phiếu của hai công ty A và B độc lập.
Công ty A: kỳ vọng 10,5%, độ lệch chuẩn 1,5%
Công ty B: kỳ vọng 11% độ lệch chuẩn 2,5%
Nếu mua cổ phiếu của cả 2 cơng ty thì nên mua theo tỉ lệ nào để
a. Lãi suất kỳ vọng là lớn nhất

b. Độ rủi ro (đo bằng phương sai) là nhỏ nhất
Cho P[U < 1,645] = 0,95 P[U < 1,96] = 0,975 P[U < 0,56] = 0,825

18


KHOA TOÁN KINH TẾ ĐH KTQD – www.mfe.edu.vn