Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

Luận văn
Đề tài: Khai triển tiệm cận của
hàm sinh bởi phân hoạch số
nguyên và ứng dụng
Lời cảm ơn
Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác
giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã
tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và
tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 07 năm 2012
Tác giả
Kiều Thanh Hà
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
luận văn “Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số
nguyên và ứng dụng” được hoàn thành, không trùng với bất kỳ luận
văn nào khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2012
Tác giả
Kiều Thanh Hà
Mục lục

Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . 6
1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . 6
1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Hàm biến phức . . . 9
1.2.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Khai triển tiệm cận. . 21
1.3.1. Một số khái niệm bậc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3. Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4. Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. Tính chất của khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chương 2. HÀM SINH BỞI CHUỖI VÔ HẠN . . . . . . . . . 39
2.1. Lý thuyết cơ bản về phân hoạch . . . 39
2.1.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2. Các hàm sinh bởi tích vô hạn một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3. Biểu diễn đồ thị của các phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2. Các hàm sinh bởi chuỗi vô hạn . 49
1
2.3. Ứng dụng của phân hoạch . . 57
Chương 3. TIỆM CẬN CỦA HÀM SINH BỞI TÍCH VÔ
HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1. Biến đổi Mellin . . . 62
3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2. Định lý của Meinardus . . . 65
3.3. Các ứng dụng của định lý 3.1. . . 75
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phân hoạch có lịch sử khá lâu trong những thời kỳ hình thành
của lý thuyết số Toán học. Tuy nhiên, những phát hiện mang tính chất
đột phá diễn ra ở thế kỷ XVIII, xuất phát từ những công trình nghiên
cứu của nhà toán học vĩ đại Leonard Euler. Ngay sau thời kỳ đó lý
thuyết phân hoạch đã được nhiều nhà toán khác góp sức nghiên cứu và
phát triển. Chúng ta có thể kể ra ở đây để minh chứng cho vấn đề đã
nêu qua các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng Cayle,
Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littllewood, Rademacher, Ramanu-
jan, Schur và Sylvester Lý thuyết phân hoạch có nhiều áp dụng trong
những vấn đề lớn của toán học, đáng kể ở đây ta có thể nói đến bài toán
kinh điển về phân tích số nguyên dưới dạng tổng các bình phương, định
lý số nguyên tố, tổng các số nguyên khác,
Cùng với sự phát triển trên đây của lĩnh vực lý thuyết số, một hướng
nghiên cứu cũng được hình thành từ khá sớm là lý thuyết giải tích tiệm
cận. Trong giải tích toán học nhiều chuỗi số ta có thể chứng minh hội
tụ của nó một cách đơn giản, tuy nhiên để tính tổng của nó thì không
hề đơn giản. Giải tích tiệm cận và một phần trong lĩnh vực là lý thuyết
chuỗi tiệm cận. Ở đây, ngoài việc quan tâm đến việc tính tổng của các
chuỗi số hội tụ, trong lý thuyết số các nhà toán học còn nghiên cứu đến
chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị của một đại
3
lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là "tổng" của chuỗi.
Trường hợp điển hình là đối với chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số

hạng đầu tiên của chuỗi thực sự mang đến hiệu quả mong muốn. Trong
hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi
biến độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó), nhưng những số
hạng bắt đầu tăng trở lại. Một trong các hướng nghiên cứu vấn đề này
được gọi là lý thuyêt chuỗi tiệm cận. Việc nghiên cứu sự xấp xỉ tiệm cận
của các hàm sinh bởi phân hoạch của số nguyên là một hướng thu hút
sự chú ý của các nhà Toán học. Để hoàn thành luận văn đào tạo Thạc
sỹ chuyên ngành Toán giải tích và được sự định hướng của người hướng
dẫn em chọn đề tài "Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân
hoạch số nguyên và ứng dụng".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận.
Vấn đề khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một cách cụ thể về một số khái niệm, tính chất của phân
hoạch.
Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và một số
ứng dụng của nó.
4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phân hoạch số nguyên.
Vấn đề khai triển tiện cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Trình bày về lý thuyết phân hoạch số nguyên, lý thuyết tiệm cận.
Nghiên cứu một cách có hệ thống về khai triẻn tiệm cận của hàm sinh
bởi phân hoạch số nguyên và một số áp dụng.
5

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản
Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i
2
= −1.
Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R
2
bởi phép tương ứng
C → R
2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như
các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i
2
= −1. Ta có
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i(y

1
+ y
2
)
và
z
1
.z
2
= (x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2
) = x
1
x
2
+ ix
1
y
2
+ iy
1
x
2
+ i

2
y
1
y
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ y
1
x
2
).
6
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
|z| =

x
2
+ y
2

.
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là ¯z = x − iy.
Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =
z + ¯z
2
; Imz =
z − ¯z
2i
và
|z|
2
= z.¯z;
1
z
=
¯z
|z|
2
với z = 0.
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e
iθ
với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác
định một cách duy nhất với sự sai khác một bội số của 2π) và
e
iθ
= cos θ + i sin θ.
Bởi vì



e
iθ


= 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng,
ta lưu ý rằng z = r.e
iθ
và w = s.e
iϕ
thì
z.w = r.s.e
i(θ+ϕ)
.
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức
Dãy số phức {z
n
} được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là
w = lim
n→∞
z
n
⇔ lim
n→∞
|z
n
− w| = 0.
Dễ dàng kiểm tra rằng
w = lim

n→∞
z
n
⇔





lim
n→∞
Rez
n
= Rew,
lim
n→∞
Imz
n
= Imw.
7
Dãy số phức {z
n
} được gọi là dãy Cauchy nếu lim
m,n→∞
|z
n
− z
m
| = 0. Điều
này tương đương theo ngôn ngữ sau: với mọi ε < 0 tồn tại số nguyên

dương N sao cho
|z
n
− z
m
| < ε; với mọi n, m ≥ N.
1.1.3. Các tập hợp trong mặt phẳng phức
Cho z
0
∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z
0
bán kính r là tập hợp
D
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z − z
0
| < r}.
Đĩa đóng tâm z
0
bán kính r là tập hợp
D
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z − z
0
| ≤ r}.
Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn C

r
(z
0
) = {z ∈ C : |z − z
0
| = r}.
Đĩa có tâm z
0
= 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, kí hiệu là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Cho tập Ω ⊂ C, điểm z
0
∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại
r > 0 sao cho D
r
(z
0
) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là int Ω gồm tất
cả các điểm trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là
điểm trong. Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở.
Điểm z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy
các điểm z
n
∈ C sao cho z
n
= z và lim
n→∞
z
n
= z. Chúng ta có thể kiểm

tra được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.
Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu
là
¯
Ω. Biên của Ω kí hiệu là ∂Ω =
¯
Ω\int Ω.
8
Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| < M với mọi z ∈ Ω. Nếu tập
Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω}.
Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn.
Định lý 1.1. Tập Ω ⊂ C là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy {z
n
} ∈ Ω
có một dãy con {z
n
k
} hội tụ tới một điểm z nào đó trong Ω.
Một phủ mở của Ω là một họ các tập mở {U
α
} sao cho Ω ⊂

α
U
α
. Liên
quan đến họ các phủ mở đối với các tập compact được cho bởi tiêu
chuẩn.
Định lý 1.2. Tập Ω là compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của Ω có

một con hữu hạn.
Mệnh đề 1.1. (Nguyên lý Cantor) Nếu Ω
1
⊃ Ω
2
⊃ ⊃ Ω
n
⊃ là một
dãy các tập compact khác rỗng trong C mà diam(Ω
n
) → 0 khi n → ∞,
thì tồn tại duy nhất điểm chung của các tập hợp này, nghĩa là tồn tại
duy nhất điểm w ∈ Ω
n
với mọi n.
1.2. Hàm biến phức
1.2.1. Hàm liên tục
Cho hàm f(z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f(z) liên tục tại
điểm z
0
∈ Ω nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau
(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z − z
0
| < δ thì
|f(z) − f(z
0
)| < ε.
9
(ii) Với mọi dãy {z
n

} ⊂ Ω mà lim
n→∞
z
n
= z
0
thì lim
n→∞
f(z
n
) = f(z
0
).
Hàm f(z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của
Ω. Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục. Điều đó được
suy ra từ bất đẳng thức tam giác
||f(z)| − |f(z
0
)|| ≤ |f(z) − f(z
0
)|.
Chúng ta nói rằng hàm f(z) đạt giá trị cực đại (tương ứng, cực tiểu) tại
điểm z
0
∈ Ω nếu |f(z)| ≤ |f(z
0
)| (tương ứng |f(z)| ≥ |f(z
0
)|); với mọi
z ∈ Ω.

Định lý 1.3. Hàm liên tục trên tập compact Ω là bị chặn và đạt giá trị
lớn nhất, giá trị bé nhất trên Ω.
1.2.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f(z) được gọi là chỉnh
hình tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức thương vi phân
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
; khi h → 0, (1.1)
ở đó 0 = h ∈ C với z
0
+ h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f

(z
0
) và
gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại điểm z
0
. Như vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0

f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
.
Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.
Nếu M là tập đóng của C, ta nói f(z) là chỉnh hình trên M nếu f(z) là
chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M. Hàm f chỉnh hình trên C
được gọi là hàm nguyên.
10
Ví dụ 1.1. Hàm f(z) = z là chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ
trong C và f

(z) = 1. Thật vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
= lim
h→0

(z + h) − z
h
= 1.
Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a
0
+ a
1
z + ··· + a
n
z
n
chỉnh hình trên
mặt phẳng C và
P

(z) = a
1
+ 2a
2
z + ··· + na
n
z
n−1
.
Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.2 được trình bày sau phần này.
Ví dụ 1.2. Hàm f(z) = ¯z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta tính thương
vi phân của hàm này như sau
f(z
0
+ h) − f(z

0
)
h
=
z + h − ¯z
h
=
¯z +
¯
h − ¯z
h
=
¯
h
h
.
Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy
ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0.
Từ đằng thức (1.1) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z
0
∈ Ω nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f(z
0
+ h) − f(z
0
) − a.h = h.ψ(h) (1.2)
với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim
h→0
ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,

ta có a = f

(z
0
).
Từ công thức (1.2) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục. Các
kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng tương tự
như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau
11
Mệnh đề 1.2. Nếu các hàm f và g chỉnh hình trên Ω, thì các hàm
(i) f ± g chỉnh hình trên Ω và (f ± g)

= f

± g

;
(ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g)

= f

.g + f.g

;
(iii) thêm nữa, nếu g(z
0
) = 0, thì
f
g
chỉnh hình tại z

0
∈ Ω và

f
g


=
f

.g − f.g

g
2
.
Ngoài ra, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì hàm
hợp g ◦ f cũng là hàm chỉnh hình.
Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và phức.
Thực vậy, dưới dạng biến thực hàm f(z) = ¯z tương ứng ánh xạ F :
(x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa thực. Đạo hàm của nó tại một điểm
là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận
2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ.
Nhớ lại rằng hàm F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) được gọi là khả vi tại
một điểm P (x
0
, y
0
) nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính J : R
2
→ R

2
sao cho
|F (P
0
+ H) − F (P
0
) − J(H)|
|H|
→ 0 khi |H| → 0, H ∈ R
2
. (1.3)
Một cách tương đương, ta có thể viết
F (P
0
+ H) − F (P
0
) = J(H) + |H|.ψ(H),
với |ψ(H)| → 0 khi |H| → 0.
Phép biến đổi tuyến tính J là duy nhất và gọi là đạo hàm của F tại
12
P
0
. Nếu F khả vi thì các đạo hàm riêng của u và v tồn tại và
J = J
F
(x, y) =


∂u
∂x

∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y


.
Trong trường hợp khả vi phức đạo hàm f tại z
0
là số phức f

(z
0
). Trong
khi đó trường hợp khả vi thực thì nó là một ma trận. Tuy nhiên, chúng
có mối quan hệ đặc biệt. Để tìm được quan hệ đó, ta xét giới hạn trong
(1.1).
+ Nếu h = h
1
+ ih
2
mà h
2
= 0, (h
i
∈ R) thì ta viết z = x + iy,
z
0

= x
0
+ iy
0
và f(z) = f(x, y). Ta thấy rằng
f

(z
0
) = lim
h
1
→0
f(x
0
+ h
1
, y
0
) − f(x
0
, y
0
)
h
1
=
∂f
∂x
(z

0
).
+ Nếu h = ih
2
, thì
f

(z
0
) = lim
h
2
→0
f(x
0
, y
0
+ h
2
) − f(x
0
, y
0
)
ih
2
=
1
i
∂f

∂y
(z
0
).
Do đó, để hàm f chỉnh hình tại z
0
thì ta phải có
∂f
∂x
=
1
i
∂f
∂y
.
Viết f = u + iv, tách phần thực và phần ảo, đồng thời sử dụng đẳng
thức
1
i
= −i ta nhận được
∂f
∂x
=
1
i
∂f
∂y
⇔
∂u
∂x

+ i
∂v
∂x
=
1
i

∂u
∂y
+ i
∂v
∂y

⇔
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
=
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
.
Từ đó, ta suy ra
∂u
∂x
=

∂v
∂y
và
∂v
∂x
= −
∂u
∂y
.
13
Chúng ta có thể làm rõ hơn mối quan hệ này, bằng việc xác định hai
toán tử vi phân
∂
∂z
=
1
2

∂
∂x
+
1
i
∂
∂y

và
∂
∂¯z
=

1
2

∂
∂x
−
1
i
∂
∂y

.
Mệnh đề 1.3. Nếu f chỉnh hình tại z
0
, thì
∂f
∂¯z
(z
0
) = 0 và f

(z
0
) =
∂f
∂z
(z
0
) = 2
∂u

∂z
(z
0
).
Nếu viết F (x, y) = f(z), thì F khả vi theo nghĩa thực và
det J
F
(x
0
, y
0
) = |f

(z
0
)|
2
.
Định lý 1.4. Giả sử f = u + iv là hàm phức xác đinh trên tập mở Ω.
Nếu u và v là các hàm khả vi liên tục và thỏa mãn phương trình Cauchy
- Riemann trên Ω, thì f chỉnh hình trên Ω và
f

(z) =
∂f
∂z
.
Chứng minh. Ta viết
u(x + h
1

, y + h
2
) − u(x, y) =
∂u
∂x
h
1
+
∂u
∂y
h
2
+ |h|θ
1
(h)
và
v(x + h
1
, y + h
2
) − v(x, y) =
∂v
∂x
h
1
+
∂v
∂y
h
2

+ |h|θ
2
(h),
trong đó θ
j
(h) → 0 khi |h| → 0 và h = h
1
+ ih
2
. Sử dụng phương trình
Cauchy - Riemann, ta nhận được
f(z + h) − f(z) =

∂u
∂x
− i
∂v
∂y

(h
1
+ ih
2
) + |h|θ(h),
với θ(h) = θ
1
(h) + θ
2
(h) → 0 khi |h| → 0. Do đó f là chỉnh hình và
f


(z) = 2
∂u
∂z
=
∂f
∂z
.
14
1.2.3. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

n=0
a
n
z
n
, (1.4)
trong đó a
n
∈ C, n = 0, 1, 2,
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z
0
nào đó, thì
nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z
0
|. Bây giờ ta sẽ chứng minh
rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối.
Định lý 1.5. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

∞

n=0
a
n
z
n
. Khi đó, tồn tại
số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
R
= lim
n→∞
sup |a
n
|
1
n
.
Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì có thể chuỗi hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
là các hàm lượng giác
cos z =

∞

n=0
(−1)
n
z
2n
(2n)!
và sinz =
∞

n=0
(−1)
n
z
2n+1
(2n + 1)!
.
15
Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
cosz =
e
iz
+ e
−iz
2
và sinz =
e
iz

− e
−iz
2
.
Định lý 1.6. Chuỗi lũy thừa f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
xác định một hàm chỉnh
hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f(z) cũng là một chuỗi lũy
thừa thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f(z),
tức là
f

(z) =
∞

n=0
na
n
z
n−1
.
Hơn nữa, f

(z) có cùng bán kính hội tụ với f(z).

Chứng minh. Bởi vì lim
n→∞
n
1
n
= 1, nên ta có
lim
n→∞
sup |a
n
|
1
n
= lim
n→∞
sup |na
n
|
1
n
.
Do đó, chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
và

∞

n=0
na
n
z
n−1
có cùng bán kính hội tụ. Để chứng
minh khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi
g(z) =
∞

n=1
na
n
z
n−1
bằng đạo hàm của f(z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f(z) và giả
sử |z
0
| < r < R. Ta viết
f(z) = S
n
(z) + E
N
(z)
với
S
N
(z) =

N

n=0
a
n
z
n
và E
N
(z) =
∞

n=N+1
a
n
z
n
.
16
Khi đó, nếu chọn h sao cho |z
0
+ h| < r, thì ta có
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
− g(z
0

) =

S
N
(z
0
+ h) − S
N
(z
0
)
h
− S

N
(z
0
)

+ (S

N
(z
0
) − g(z
0
))
+

E

N
(z
0
+ h) − E
N
(z
0
)
h

.
Ta thấy




E
N
(z
0
+ h) − E
N
(z
0
)
h





≤
∞

n=N+1
|a
n
|




(z
0
+ h)
n
− z
0
n
h




≤
∞

n=N+1
|a
n
|nr

n−1
.
Ở đó ta đã sử dụng |z
0
| < r và |z
0
+ h| < r. Biểu thức ở vế phải là phần
dư của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệt đối với mọi |z| < R. Do
đó, với mọi ε > 0 tồn tại N
1
sao cho với mọi N ≥ N
1
ta có




E
N
(z
0
+ h) − E
N
(z
0
)
h





<
ε
3
.
Từ lim
N→∞
S

N
(z
0
) = g(z
0
) nên ta tìm được N
2
mà với mọi N ≥ N
2
ta có
|S

N
(z
0
) − g(z
0
)| <
ε
3
.

Cố định N > max {N
1
, N
2
} thì ta có thể tìm được δ > 0 sao cho |h| < δ
thì




S
N
(z
0
+ h) − S
N
(z
0
)
h
− S

N
(z
0
)





<
ε
3
.
Do đó




f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
− g(z
0
)




< ε
khi |h| < δ.
17
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách
lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f(z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc
có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z

0
∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa
∞

n=0
a
n
(z − z
0
)
n
tâm tại z
0
với bán kính hội tụ dương sao cho
f(z) =
∞

n=0
a
n
(z − z
0
)
n
với mọi z trong lân cận của điểm z
0
. Nếu f(z) có khai triển chuỗi lũy
thừa tại mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f(z) giải tích trên Ω.
Từ định lý 1.6, ta thấy rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh
hình trên đó.

1.2.4. Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z

(t) liên tục trên đoạn
[a, b] và z

(t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z

(a) và z

(b) được hiểu như giới hạn một phía
z

(a) = lim
h→0
+
z(a + h) − z(a)
h
và z

(b) = lim
h→0
−
z(b + h) − z(b)
h
.

Đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b]
và tồn tại các điểm a
0
= a < a
1
< < a
n
= b, ở đó z(t) là trơn trên
18
mỗi đoạn [a
k
, b
k+1
]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm a
k
có thể
khác nhau với k = 1, 2, , n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến
[a, b] sao cho t

(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)). Điều kiện t

(s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ
−
là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ

−
được xác định như
sau
z
−
: [a, b] → R
2
z
−
(t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và
t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đường
cong.
Ví dụ 1.3. Xét đường tròn C
r
(z
0
) tâm tại z
0
, bán kính r
C
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z −z
0
| = r}.

Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z
0
+ re
it
, t ∈ [0, 2π]
19
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z
0
+ re
−it
, t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.1. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi

γ
f(z)dz =
b

a
f(z(t)).z

(t)dt.
Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Giả sử ¯z là một tham số hóa tương đương xác
định như trên thì
b


a
f(z(t)).z

(t)dt =
d

c
f(z(t(s))).z

(t(s)).t

(s)ds
=
d

c
f(¯z(s)).¯z

(s)ds.
Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì

γ
f(z)dz =
n−1

k=0
a
k+1


a
k
f(z(t)).z

(t)dt.
Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
length(γ) =
b

a
|z

(t)|dt.
20
Mệnh đề 1.4. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có
các tính chất sau
(i)

γ
(αf + βg)dz = α

γ
f(z)dz + β

γ
g(z)dz; α, β ∈ C.
(ii) Nếu γ
−
là đường cong đóng ngược hướng với γ thì


γ
−
f(z)dz = −

γ
f(z)dz.
(iii) Ta có







γ
f(z)dz






≤ sup
z∈γ
|f(z)|length(γ).
Định lý 1.7. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và
γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω
1
và điểm cuối ω
2

, thì

γ
f(z)dz = F (ω
2
) − F (ω
1
).
Hệ quả 1.2. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu hàm
liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì

γ
f(z)dz = 0.
Hệ quả 1.3. Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f

= 0 thì f là hàm
hằng.
1.3. Khai triển tiệm cận
1.3.1. Một số khái niệm bậc
Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. Du
Bois Reymond và chúng được định nghĩa như sau
21
Định nghĩa 1.2. Giả sử f(z) và φ(z) là các hàm số liên tục của biến
phức z, xác định trên một miền D ⊂ C và có giới hạn khi z → z
0
trong
D. Ta định nghĩa và ký hiệu tương ứng các mối quan hệ giữa hai hàm
này khi z → z
0
như sau

Cho f(z) và φ(z) là hai hàm số xác định trên một tập R trong mặt
phẳng phức và cho z
0
là một điểm giới hạn của R, có thể là điểm vô
cùng. Ví dụ, R có thể là hình quạt
0 < |z| < ∞, α < phz < β
và z
0
có thể là gốc tọa độ hoặc điểm vô cùng. Cho một lân cận của
z
0
(chính xác hơn là cho một lân cận cầu), nghĩa là một hình cầu mở
|z − z
0
| < δ nếu z
0
là một điểm hữu hạn, hoặc là miền |z| > δ nếu z
0
là
điểm vô hạn.
Ta thường sử dụng ký hiệu f(z) = O (φ(z)) trên R, nếu tồn tại một
hằng số dương A sao cho |f(z)| ≤ A |φ(z)| với mọi z ∈ R. Đơn giản hơn,
nếu φ(z) không triệt tiêu trên R, thì f(z) = O (φ(z)) nghĩa là tồn tại
hằng số dương A sao cho




f(z)
φ(z)





≤ A với mọi z ∈ R.
Tiệm cận bị chặn. Chúng ta nói hàm f(z) là tiệm cận bị chặn (hoặc
"bậc O lớn") đối với hàm φ(z) khi z → z
0
và viết là f(z) = O (φ(z)) khi
z → z
0
nếu tồn tại một hằng số A và một lân cận U của z
0
sao cho
|f(z)| ≤ A |φ(z)| với mọi z ∈ U ∩ R.
Tiệm cận nhỏ hơn. Hàm f(z) được gọi là tiệm cận nhỏ (hoặc "bậc o
nhỏ") đối với hàm φ(z) khi z → z
0
và viết là f(z) = o (φ(z)) khi z → z
0
22