nét đẹp hàm số tiềm ẩn trong bài toán phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức– bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1
NÉTĐẸPHÀMSỐTIỀMẨNTRONGBÀITỐN
PHƯƠNGTRÌNH,HỆPHƯƠNGTRÌNH
BẤTĐẲNGT HỨC–BÀITỐNTÌMGIÁTRỊLỚNNHẤT,
GIÁTRỊ NHỎNHẤT CỦAMỘTBI ỂUTHỨC
HuỳnhDuyThủy
“Chứngminhbấtđẳng thức…”
“Tìmgiátrị nhỏnhất,giátrịlớnnhấtcủabiểu thức…”
Nhữngcụmtừấyhàmchứamộtmảngkiếnthứctrọngtâm,“hócbúa”
trongchươngtrìnhtốnhọcởphổthơng,màphầnnhiềuthísinhrất“ngại”
khi“vachạm”.Cònnữađócũnglà phầnkiếnthức ln“thờisự”,“cuốn
hút”,“quyếnrủ”ngườihọcnhấtlàvớiđốitượngkhá,giỏi.
“… ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ,
mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn
giản …”.
Tácgiảcủabàiviếtnàyrấtmonggópmộtchút“suynghĩ”trongviệc
tìmra“con đường”đếnvớinhững“dòngsuốinhỏkia”.
Bài viết được trình bày theo hướng giải quyết những câu hỏi “kinh
điển”.
- Bắt đầu từ đâu?
-Khaithác,khámphá,pháthiện và kiến tạo vấn đề ra sao?
- Giải pháp nào là khả thi? ……
Từ đó hình thành ý tưởng giúp tìm ra giải pháp xử lý có “đường
lối”.
Điểmmấuchốttrongphươngphápvậndụngtínhchấtcủahàmsố,là
xâydựngđượchàmsố“tươngthích”vớibàitốn.
Ởnhữngbàitốnphứctạpviệcchọnbiếnsố,hìnhthànhhàmsốcầnở
ngườigiải“chiềusâu”,“độrộng”vềkiếnthức,có“nhãnquan”,cảmnhận
tinhtế,cótốchấttưduy,cókỹthuậtbiếnđổi,hơnthếnữacònphảicótrải
nghiệmquacảmộtqtrình.
Tácgiảcốgắngsángtácnhữnglờigiảikhácvớinhữnglờigiảicósẵn

trongtrườnghợpcóthể.
Để“nhìn”vấnđềtrêntươngđốirõràngngườiviếtphânloại7dạng
bàinhưsau:
(Vớimụcđíchngắngọnkhitrìnhbàytrongbàitốnchứngminhbấtđẳng
thức,bàitốntìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủabiểuthức,takíhiệu
biểuthứccótrongbàitốnbằngchữThoặcP).
2
Phần2:
Loại 1: Chọn trựctiếp một tham số biến thiên làm biến số.
Đặcđiểm:Vớimộtlớpcácbàitốn,trongđóbiểuthứcPchứacác
thamsốbiếnthiên.
*Cáchxửlý
Trongsốcácthamsốđãcho,tachọntrựctiếpmộtthamsốlàmbiến
sốvàcốđịnhcácthamsốcònlại.
Nếunhưvaitròcácthamsốlànhưnhaukhơngmấttínhtổngqt,
tacóthểsắpxếpthứtựvềđộlớncácthamsố.
 Kết hợp với giả thiết ta tìm điều kiện ràng buộc cho tham số đã
chọn.
Nhưvậytahìnhthànhđượchàmsốmộtbiếnsố.
- KhảosáthàmsốtasẽnhậnđầyđủthơngtincủabiểuthứcP.
* Bài toán minh họa:
Bài toán 1: [USAMO]
Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0; 1]
Chứng minh rằng:
(1 )(1 )(1 ) 1
1 1 1
a b c
a b c
b c c a a b
+ + + - - - £

+ + + + + +
(1)
“Suy nghó” tìm giải pháp:
- Ta hiểurằng cácsốthực a, b, cđóngvaitròlàthamsốbiếnthiên.
Trongcáctham sốa,b,c ta chọn trựctiếpmộtthamsốlàbiếnsốvà
cốđịnhcácthamsốcònlại.
-Vaitròcủacácsốthực a, b, clànhưnhaukhơngmấttính tổng quát,
tachọnalàbiếnsố.
- Nhưvậytahìnhthành đượchàmsốfbiếnsốa.
y = f(a) với
[ ]
0;1a Ỵ
* Lời giải:
Xét hàm số
( ) (1 )(1 )(1 )
1 1 1
a b c
f a a b c
b c c a a b
= + + + - - -
+ + + + + +
trêntập[0,1]
Bàitốn chứngminhbấtđẳngthức
BàitốntìmGTLNvàGTNNcủabiểuthức
3
f(
2 2
1
) (1 )(1 )
1 ( 1) ( 1)

b c
a b c
b c c a a b
= - - - - -
+ + + + + +
[ ]
3 3
2 2
''( ) 0, 01
( 1) ( 1)
b c
f a a
c a a b
= + " ẻ
+ + + +
Suyrahmsf(a)ngbintrờnon [01]
Taxộtcỏctrnghpvduca f(a)
* Trửụứng hụùp 1: f(a)
0
,
[ ]
01a " ẻ
Suyrahms f(a)ngbintrờnon [0;1]
Do ủoự f(a) (1)f Ê =
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
b c b c
b c c b b c c b c b
+ + Ê + +
+ + + + + + + + + + + +

=
1
1
1
b c
b c
+ +
=
+ +
*Trnghp2: f(a)<
[ ]
0, 01a " ẻ
Suyrahmsf(a)nghchbintrờnon[01]
Doú: ( ) (0) (1 )(1 )
1 1
b c
f a f b c
c b
Ê = + + - -
+ +
=
( 1) ( 1) (1 )(1 )( 1)( 1)
( 1)( 1)
b b c c b c c b
c b
+ + + + - - + +
+ +
2 2
1 1
1

1 1
b c b c b c bc
b c bc b c bc
+ + + + + +
= Ê =
+ + + + + +
*Trnghp3: f(a)idutrờnon[01]
Mtkhỏcf(a)lhmsliờntcvngbintrờnon[01]
Túsuyraphngtrỡnhf(a)=0cúnghimduynht.
a
a
= , (01)
a
ẻ
Lpbngbinthiờn,tanhncf(a) Ê 1.
Du ng thc xy ra ti (a, b, c) l cỏc hoỏn v ca (1,1,0) hoc
(1,0,0)hoc(1,1,1)hoc(0,0,0).
*Bitoỏn 2:Choa,b,cldi3cnhcamttamgiỏc.
Chngminhrng:
2 2 2 3 3 3
( ) ( ) ( ) 4a b c b c a c a b abc a b c - + - + - + > + + (1)
*Suynghtỡmgiiphỏp:
Taphi hiurng:cnchngminhbtngthc(1)ỳngvimi
tamgiỏccúdi3cnhla,b,c.
4
Nhưvậya,b,cnhậnnhữnggiátrịkhácnhauứngvớinhữngtamgiác
khácnhau,nghĩalàcácsốdươnga,b,cđóngvaitròlàcácthamsốbiến
thiên.
Dođó,tachọn1thamsốlàbiếnsốvàcốđịnhcácthamsốcònlại.
Chẳnghạntachọnbiếnsốlàc.

Đểtìmđiềukiệnràngbuộcchobiếnsốc,tadựatheotínhchấttrong
tamgiác:tổng2cạnhlớnhơncạnhthứ3.
*Lờigiải:
Khôngmấttínhtổngquát,giảsử
0 a b c a b < £ £ < +
Tacó:(1)
3 2 2 2 3 3 2 2
( ) ( 2 ) ( ) 0c a b c a b ab c a b a b ab Û - + - + - + + - - <
Xéthàmsố
3 2 2 2 3 3 2 2
( ) ( ) ( 2 ) ( )f c c a b c a b ab c a b a b ab = - + - + - + + - - ,
[
)
,c b a b " Î +
2 2
'( ) 3 2( ) ( )f c c a b c a b = - + - -
'( ) 0f c =
2 2
1
2 2
2 2
2
( ) ( ) 3( )
3
3 2( ) ( ) 0
( ) ( ) 3( )
3
a b a b a b
c
c a b c a b

a b a b a b
c
é
+ - + + -
=
ê
ê
Û - + - - = Û
ê
+ + + + -
ê
=
ê
ë
Nhậnxét
1
0c £ ,
2
b c a b < < +
Bảngbiếnthiên
b c
2
a+b
f’(c)  0+
f(c) a
2
(a2b) 0
f(c
2
)

Vì
0 a b < £
nênf(b)=a
2
(a2b)<0
Suyraf(c)<0,
[
)
;c b a b " Î + .
Loại 2: Biến đổi quy về một trong các tham số biến thiên cho
trước.
Đặcđiểm:
Vớimộtlớpcácbàitoán,trongđóbiểuthứcPchứacácthamsốbiến
thiên.
*Cáchxửlý
5
Nếunhưvaitròcácthamsốbiếnthiênlànhưnhau,khôngmấttính
tổngquáttacóthểsắpxếpthứtựvềđộlớncácthamsố.
Dựatheoquanhệgiữacácthamsốtabiếnđổicácthamsốtrongbài
toánquyvềmộttrongcácthamsốđãcho.
Lúcnàytahìnhthànhđượchàmsốmộtbiếnvớibiếnsốlàthamsố,
đã được“quyvề”.
*Bàitoán 3:[IM025]
Cho3sốthựcdươngx,y,zthayđổivàthỏamãnhệthứcx+y+z=1
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức
P=xy+yz+zx –2xyz
* “Suynghĩ”tìmgiảipháp:
+TanhậnthấyrằngbiểuthứcPchứatổngcáctíchcủacácsốthực
dươngx,y,zcóvaitròbình đẳngnhau.
+TasẽbiếnđổiPvềcùngmộtbiếnsốchẳnghạnlàbiếnsốz.

TrướchếttabiểuthịPtheotổng(x+y)vàtích(x.y).
 Do x > 0, y > 0 sử dụngbất đẳng thức côsi ta đánh giá x.ytheo
(x+y).
Dựatheohệthứcx+y+z=1tabiểuthị (x+y)theobiếnz.
Đểtìmđiềukiệnràngbuộcchobiếnsốztagiảsử x y z ³ ³ ,kếthợp
giảthiếttađược
1
0
3
z < £ .
 Như vậy ta hình thành được hàm số f(z) thỏa mãn ( )P f z £ ,
1
0,
3
z
æ ù
" Î
ç
ú
è û
.
Cầnnhậnrõrằng:đốivớibàitoántìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức
P,tacóthểxâydựnghàmsốf(t)thỏamãn ( )P f t £ .
Quá trình biến đổi hình thành bất đẳng thức ( )P f t £ bao giờ cũng
“rộngđường”hơnbiếnđổiđểđượcđẳngthứcP=f(t).
*Lờigiải:
Khôngmấttínhtổngquát,tagiảsử x y z ³ ³
Từgiảthiết,suyra
1
0

3
z < £
Tacó:P=xy(1–2z)+z(1–z)
2
(1 2 ) (1 )
2
x y
z z z
+
æ ö
£ - + -
ç ÷
è ø
2
1
(1 2 ) (1 )
2
z
z z z
-
æ ö
= - + -
ç ÷
è ø
6
=
3 2
1 1 1
2 4 4
z z - + +

Xéthàmsố
3 2
1 1 1
( )
2 4 4
f z z z = - + + ,
1
0;
3
z
æ ù
" Î
ç
ú
è û
2
3 1
'( ) (3 1)
2 2 2
z
f z z z z = - + = - -
'( ) 0f z =
1
3
z Û = (vì
1
0
3
z < £ )
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược

1 7
( ) ( )
3 27
P f z f £ £ =
Kếtluận:
7
axP
27
m = đạtđượckhi
1
3
x y z = = =
*Bàitoán 4:
a,b,clàđộdài3cạnhcủatamgiáccóchuvibằng3.Tìmgiátrịnhỏ
nhấtcủabiểuthức:
2 2 2
3( ) 4T a b c abc = + + +
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Khaithácgiảthiết:a,b,clàđộdài3cạnhcủatamgiácvàchuvi
củatamgiácbằng3.
TabiếnđổibiểuthứcTtheotổng(a+b)vàtích(ab).
Mà(a+b)biểudiễnđượcquacdựavàochuvitamgiác.
Mặt kháctích (ab)đánh giá được qua tổng(a+b)dựa vào bấtđẳng
thứccôsi.
NhưvậybiểuthứcTđượcđánhgiátheobiếnc.
Kếthợptínhchấtvềcáccạnhtrongtamgiácvàchuviđãchotatìm
đượcđiềukiệnràngbuộcchobiếnsốc.
*Lờigiải:
Khôngmấttínhtổngquát,tagiảsử:
0 a b c < £ £

Mặtkháca+b+c=3vàc<a+bnên
3
1
2
c £ <
Tabiếnđổi:T=
2 2
3( ) 6 3 4a b ab c abc + - + +
=
2 2
3(3 ) 3 2 (2 3)c c ab c - + + -
=
2 2
3(3 ) 3 2(3 2 )c c c ab - + - -
2
2 2
3
3(3 ) 3 2(3 2 )
2
c
c c c
-
æ ö
³ - + - -
ç ÷
è ø
3 2
3 27
2 2
T c c Û ³ - +

7
Xéthàmsố:
3 2
3 27
( )
2 2
f c c c = - + với
3
1
2
c £ <
2
'( ) 3 3f c c c = -
'( ) 0f c = 3 ( 1) 0c c Û - =
1c Û =
(Vì
3
1
2
c £ < )
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược: ( ) (1) 13T f c f ³ ³ =
Kếtluận:minT=13đạttạia=b=c=1
Loại3:Hìnhthànhbiếns ốmới.
Đặcđiểm:
Vớimộtlớpcácbàitoán,trongđóbiểuthứcPchứacácthamsốbiến
thiêna,b,c.
*Cáchxửlý
Dựatheogiảthiếtbàitoán,tabiếnđổicácthamsốa,b,ctheocùng
mộtbiếnsốmớilàt,trongđótđượcbiểuthịquacácthamsốa,b,cdưới
dạngcácphéptoántổng,hiệu,tíchhoặcthương củaa,b,c.

Khiđótahìnhthành đượchàmsốf(t),vớibiếnsốmớilàt.
Căncứvàoquanhệgiữacácthamsốvàgiátrịcủat,tatìmrađiều
kiệnràngbuộccủabiếnsốmớit.
*Bàitoán 5:
Chocácsốthựcdươngx,ythỏamãn điềukiện
2 2 2 2
1 1x y x y y x + = - + -
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
2 2
2 2
1 1
P x y
x y
= + + +
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Bằngphépbiếnđổiđơngiảntanhậnthấyrằng:biểuthứcPđược
biểuthịqua(x
2
+y
2
)vàx
2
y
2
.
Vậndụngbấtđẳngcôsitabiếnđổix
2
y
2
về(x

2
+y
2
).
NghĩalàtađánhgiáđượcPtheo(x
2
+y
2
).
Tứclàtacó
2 2
( )P f x y ³ +
Khiđóđặtt=x
2
+y
2
Dựatheogiảthiếtvàvậndụngbấtđẳngthứccôsitađánhgiáđược
2 2
0 1x y < + £ .
Nhưvậytahìnhthànhđượchàmsốfbiếnsốt,với
(
]
0;1t Î
8
*Lờigiải:
Ápdụngbấtđẳngthứccôsi,tacó:
( )
2 2 2 2
2
2 2

2 2
4 4
( ) 1 ( )P x y x y
x y
x y
é ù
ê ú
³ + + = + +
ê ú
+
+
ë û
Theogiảthiết,tacó:x
2
+y
2
=
2 2
1 1x y y x - + -
Ápdụngbấtđẳngthứccôsi,tacó:
2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 1
2 2
x y y x x y y x - + - £ + - + + - =
Từđó,tađược
2 2
0 1x y < + £
Đặt t=x
2

+y
2
,
0 1t < £
Khiđó,tacó:
4
P t
t
³ +
Xéthàmsố:f(t)=
4
t
t
+ , trêntập
(
]
0;1
2
4
'( ) 1 0f t
t
= - < ,
(
]
0;1t " Î
Lậpbảngbiếnthiêntanhậnđược (1) 5P f ³ =
Kếtluận:minP=5đạtđượckhi
2
2
x y = =

*Bàitoán 6:
Chocácsốthựca,b,ckhôngâmthỏamãna+b+c=3.
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:
( )( )( )
2 2 2 2 2 2
P a ab b b bc c c ca a = - + - + - +
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Cácsốthựca,b,ckhôngâmthỏamãna+b+c=3
Nênkhôngmấttínhtổngquáttagiảsửrằng:
0 3a b c £ £ £ £
Từđó,tađánhgiáđượccácđạilượngcủatíchPtheo(b+c)vàb.c.
Docácsốb,ckhôngâm,vậndụngbấtđẳngthứccôsi,talạiđánh
giátổng(b+c)theotích(b.c).
Khiđótanhậnđược ( . )P f b c £ .
Nhưvậytahìnhthànhđượchàmsốfvớibiếnsốmớilàt=b.c.
*Lờigiải:
9
Dựatheogiảthiếttagiảsửrằng:
0 3a b c £ £ £ £
Suyra:
2
2
0
0
a ab
a ca
ì
- £
ï
í

- £
ï
î
2 2 2
2 2 2
a ab b b
a ca c c
ì
- + £
ï
Û
í
- + £
ï
î
Từđótanhậnđược:
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
3P b c b bc c b c b c bc
é ù
£ - + = + -
ë û
Tacó:b+c
3 £
2 3bc b c Û £ + £
9
0
4

bc Û £ £
Dođó:
( )
2 2 2 2 3 3
9 3 9 3P b c bc b c b c £ - = -
Đặtt=bc ,
9
0
4
t £ £
Khiđó:
2 3
9 3P t t £ -
Xéthàmsố:
2 3
( ) 9 3f t t t = - ,
9
0,
4
t
é ù
" Î
ê ú
ë û
2
'( ) 18 9f t t t = -
'( ) 0f t =
1
2
0

2
t
t
=
é
Û
ê
=
ë
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược ( ) 12P f t £ £
Kếtluận:P
max
=12đạttại
0
1
2
a
b
c
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
vàcáchoánvịcủa(a,b,c).
Loại4:Chọnhàmsốđặctrưng,trườnghợpcácbiếnđã“phânli”
*Vớidạngbàisửdụngphươngpháp“Chọnhàmsốđặctrưng”.

Tùythuộcvàomứcđộyêucầucủabàitoánmàtachọnđượchàmsố
đặctrưng“tươngthích”.
Ởnhữngbàitoán“nặng”,hàmsốđặctrưngthườngnằm“khuất,lấp”
bêntrong.
Còn đốivớibàitoán“nhẹ”hơnthìhàmsốđặctrưngthường“hélộ”.
Như vậyđểxâydựng giảiphápphù hợp chodạngbàinày,taphân
chiathànhmộtsốlớpbàitoántheotừng“cấpđộ”.
*Đặcđiểm:
10
BiểuthứcPđượcbiểuthịquacácđạilượngriêngbiệt,theotừngbiến
riêngbiệt.
*Cáchxửlý:
 Dựa theo đặc điểm của biểu thức P các tham số biến thiên được
“phânli”theotừngsốhạng,hoặctheotừng“cụmsốhạng”.
Tacóthểsắpxếplạitrậttựcácthambiến.
Tìmraquiluậtxuấthiệnvàquanhệcủatừngthambiến.
Từđóhìnhthànhhàmsốđặctrưng.
Hàmsốđặctrưngnàycóthểxâydựngdựatheo“cụmsốhạng”.
KhảosáthàmsốđặctrưngtasẽthuđượcthôngtinvềbiểuthứcP.
* Bàitoán7: [OlimpicHồngKông]
Chocácsốthựcdươnga,b,c,dthỏamãnđiều kiệna+b+c+d=1.
Chứngminhrằng:
( )
3 3 3 3 2 2 2 2
1
6
8
a b c d a b c d + + + ³ + + + + (1)
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp
Từgiảthiếttanhậnđượca,b,c,d

( )
0,1 Î .
Tasắpxếpcácsốhạngcótrongbấtđẳngthức(1),theonguyêntắc
cácthamsố cùngloạiđượcnhómvàomột“cụm”.
NhưvậyđểđánhgiáđượcbiểuthứcP,tacầnđánhgiátừngcụmsố
hạng.
Dựatheodạngcủamỗicụmsốhạngtahìnhthànhđượchàmsốđặc
trưng.
Khảosáthàmđặctrưngtanhậnđượcthôngtinvềbấtđẳngthứccần
chứngminh.
*Lờigiải:
Tacó:(1)
Û
3 2 3 2 3 2 3 2
1
6 6 6 6
8
a a b b c c d d - + - + - + - ³
Xéthàmsố
3 2
5
( ) 6
8
f x x x x = - - ,
( )
0,1x " Î
2
5
'( ) 18 2
8

f x x x = - -
( )
1
2
1
0,1
4
( ) 0
5
36
x
f x
x
é
= Î
ê
¢
= Û
ê
-
ê
=
ê
ë
(loại)
11
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược
3 2
5 1
6

8 8
x x x - - ³ - (*),
( )
0,1x " Î
Dựatheokếtquả(*)tacó:
( )
3 2 3 2 3 2 3 2
1 5
6 6 6 6 4
8 8
a a b b c c d d a b c d
æ ö
- + - + - + - ³ - + + + +
ç ÷
è ø
( )
3 3 3 3 2 2 2 2
1
6
8
a b c d a b c d Û + + + ³ + + + +
Đẳngthứcxảyrakhi
1
4
a b c d = = = = .
wCách“nhìn”củabàitoántrên:
• Điểmmấu chốttronggiảiphápxửlítrênnằmởchỗ:“Làmthếnàođể
chọnđượchàmsốtươngthíchvớibàitoán?”
• Đâylàcâuhỏi“dễđặt”nhưngkhôngdễđểtrảlờiđược.
• Dựatrêncơsởnào,tachọnđượchàmsố:

• Tabiếnđổibấtđẳngthức:
Theohướngsắpxếpcácthamsốcùngloạivàomột“cụm”sốhạng,ta
được:
Dựatheogiảthiếtcácsốthựcdươnga,b,c,dthỏamãna+b+c+d=1nên
a,b,c,dthuộckhoảng(0,1)
Đếnđây,ta“tưởng”nhưđãchọnđượchàmsốthíchhợp:
Tathửkiểmtralại“cáilý”trên.
3 2
5
( ) 6 , (0,1)
8
f x x x x x = - - Î
3 3 3 3 2 2 2 2
1
6( )
8
a b c d a b c d + + + ³ + + + +
3 2 3 2 3 2 3 2
1
(6 ) (6 ) (6 ) (6 )
8
a a b b c c d d - + - + - + - ³
3 2
( ) 6 , (0,1)f x x x x = - Î
2
'( ) 18 2f x x x = -
'( ) 0 2 (9 1) 0f x x x = Û - =
1
,( (0,1))
9

x x Û = Î
12
1
9
x 0 1
0
_
+
f’(x)
f(x)
1
243
-
Tacó:
Suyra:
Bấtđẳngthứcbanđầuvẫnchưađượcchứngminh
• Nhưvậy,đểsửdụngđượcgiảthiếta+b+c+d=1,tacầnchọnmộthàm
sốkhác.Dođó,tachọnhàmsốcódạng:
Sởdĩtachọnviệcthêmbớt1lượng(mx+n)bởivì,tacóthểtậndụng
đượcgiảthiết:a+b+c+d=1
Sauđótachỉcầnchứngminh(m+4n)=
Sởdĩtachọnnhưtrênmàkhôngchọn:
Vớig(x)tồntạicácbậcxkhácbậc1,bởivìnósẽtạoracáctrường
hợpmàtakhócóthểđưavềa+b+c+d=1đểsửdụnggiảthiết.
Saukhisuyxéttrườnghợp,
3 2 3 2 3 2 3 2
4
(6 ) (6 ) (6 ) (6 )
243
a a b b c c d d

-
- + - + - + - ³
3 2
6x x mx n - ³ +
3 2
3 2
3 2
3 2
6
6
6
6
a a ma n
b b mb n
c c mc n
d d md n
ì
- ³ +
ï
- ³ +
ï
í
- ³ +
ï
ï
- ³ +
î
3 2 3 2 3 2 3 2
(6 ) (6 ) (6 ) (6 )a a b b c c d d Þ - + - + - + -
( ) 4 4m a b c d n m n ³ + + + + = +

1
8
3 2
6 ( )x x g x - ³
1
( )
243
f x
-
³
13
Làkhảthi,tacầntìmhệsốmvàn
Vì đẳngthứcxảyrakhi
màtaxéthàmsốtrênkhoảng(0,1)nêntạigiátrịđểđẳngthứcxảyrathìf(x)
đạtGTNNnghĩalà:
Vậytacầnchứngminh
Dođó,tachọnhàmsố
3 2
5
( ) 6
8
f x x x x = - -
*Bàitoán 8:
Cho3sốthựcx,y,zthayđổivàthỏamãnhệthứcx+y+z=1
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
2 2 2
1 1 1P x y z = + + + + +
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Theogiảthiếttacó:x,y,z R Î
Tanhậnthấyrằng:mỗisốhạngtrongtổngPđượcchotheomộtbiến

riêngbiệt.
NhưvậyđểđánhgiáđượctổngP,tacầnđánhgiátừngsốhạngtrong
P.
 Dựa theo dạng của mỗi số hạng trong P, kết hợp với giả thiết
x+y+z=1.
Tahìnhthành đượchàmsốđặctrưng:
2
3
( )
1
t
f t
t
+
=
+
,
t R " Î
.
*Lờigiải:
Xéthàmsố
2
3
( )
1
t
f t
t
+
=

+
3 2
6x x mx n - ³ +
3 2
( ) 6f x x x mx n = - - -
2
'( ) 18 2f x x x m = - -
1
4
a b c d = = = =
2
1 1 1
'( ) 0 18( ) 2( ) 0
4 4 4
f m = Û - - =
5
8
m Û =
1
8
n
-
Þ =
3 2 3 2
5 1 5 1
6 6
8 8 8 8
x x x x x x - ³ - Û - - ³ -
14
TậpxácđịnhD=R

Tacó:
2 3
1 3
'( )
( 1)
t
f t
t
-
=
+
'( ) 0f t =
1 3 0t Û - =
1
3
t Û =
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược
f(t) 10 £ ,
t R " Î
Û
2
3
10
1
t
t
+
£
+
,

t R " Î
2
3 10 1t t Û + £ + ,
t R " Î
(1)
Sửdụngkếtquả(1),tacó.
2
2
2
3 10 1
3 10 1
3 10 1
x x
y y
z z
ì
+ £ +
ï
ï
+ £ +
í
ï
+ £ +
ï
î
Dođó:
( )
2 2 2
( ) 9 10 1 1 1x y z x y z + + + £ + + + + +
( )

2 2 2
1 9 10 1 1 1x y z Û + £ + + + + +
10 Û
2 2 2
1 1 1x y z £ + + + + +
Đẳngthứcxảyrakhix=y=z=
1
3
Kếtluận: min 10P = ,đạtđượckhix=y=z=
1
3
wCách“nhìn”
· Vớibàitoánnàytacóthểchọnhàmf(t)bằngmộtcáchkhác.
· Đểsửdụngđượcgiảthiếtx+y+z=1,tacầnchọnhàmsốf(t)
saochocóđượcbấtđẳngthức:
Suyrahàmsốf(t)códạng:
vìdấu“=“xảyrakhi
2
1t at b + ³ +
,a b R Î
2
( ) 1f t t at = + -
2
'( )
1
t
f t a
t
= -
+

1
3
x y z = = =
1
'( ) 0
3
f =
15
• Dođó
Loại5:Chọnhàmsốđặctrưng,trườnghợpcácbiếnchưa“phânli”
*Đặcđiểm:
MỗisốhạngtrongbiểuthứcPđượcbiểuthịbởinhiềuhơn1tham
biến.
*Cáchxửlý:
Tabiếnđổitheohướng“phânli”mỗisốhạngtrongPtheocùngmột
thambiếnriêngbiệt.
Tứclàtachuyểnbàitoánvềloạicácbiếnđãphânli.
Vậndụngcáchgiảidạngcácbiếnđãphânli.
*Bàitoán 9:(Darij Grinberg–Oldandnewlnequalityl)
Chocácsốthựcdươnga,b,c.
Chứngminhrằng:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
9
4
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ³

+ +
+ + +
* “Suynghĩ”tìmgiảipháp.
Do tínhđẳngcấpnênta giảsử a+b+c=3từ đó tanhậnđược a,b,c
( )
0;3 Î .
Nhậnxétrằng:mỗisốhạngtrongtổngởvếtráiđềuđượcbiểuthị
quacácthamsốbiếnthiêna,b,c.
Dựatheohệthứca+b+c=3ta“phânli”mỗisốhạngcủavếtráitheo
cùngmộtbiếnriêngbiệt.
Khiđóđểđánhgiávếtráicủabấtđẳngthức,tađánhgiátừngsốhạng
củanó.
Dựatheodạngcủamỗisốhạng,kếthợpvớihệthứca+b+c=3,ta
hìnhthành đượchàmđặctrưng.
1
1
3
0
1 10
1
9
a a Û - = Û =
+
2
1
( ) 1
10
f t t t = + -
16
*Lờigiải

Dotínhđẳngcấp,nêntagiảsửa+b+ c=3suyraa,b,c
( )
0;3 Î .
Khiđóbấtđẳngthứccầnchứngminhtrởthành.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
4
3 3 3
a b c
a b c
+ + ³
- - -
Xéthàmsố
( )
2
1
( )
2
3
x
f x x
x
= -
-
,
( )
0;3x " Î
( )
2

4
9 1
'( )
2
3
x
f x
x
-
= -
-
'( ) 0f x =
( )
1 0;3x Û = Î
Lậpbảngbiếnthiên,tacó
1
( )
4
f x ³ - ,
( )
0;3x " Î
( )
2
1 1
2 4
3
x
x
x
Û ³ -

-
(*)
( )
0;3x " Î
Vậndụngbấtđẳngthức(*)tanhậnđược.
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 3
2 4
3 3 3
a b c
a b c
a b c
+ + ³ + + -
- - -
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
4
3 3 3
a b c
a b c
Û + + ³
- - -
Bất đẳng thức đã được chứng minh dấu đẳng thức xảy ra khi
a=b=c=1.
* Bàitoán10: [USAMO]
Chocácsốthựcdươnga,b,c
Chứngminhrằng:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
8
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + + + + +
+ + £
+ + + + + +
“Suynghĩ”tìmgiảipháp.
“Thoạtnhìn”bấtđẳngthứcnàykhá“nặng”mỗisốhạngởvếtrái
củabấtđẳngthứcđềubiểuthịquacácthambiếna,b,c.
Thựchiệnvàiphépbiếnđổiđơngiản,ta“phânli”mỗisốhạngởvế
tráitheocùngmộtthambiếnriêngbiệt.
17
Đểchứngminhđượcbấtđẳngthức,tacầnđánhgiátừngsốhạngở
vếtrái.
Dựatheođặcđiểmcủamỗisốhạngtahìnhthànhhàmsốđặctrưng.
*Lờigiải
Dotínhđẳngcấpnêngiảsửa+b+c=3,suyraa,b,c
( )
0;3 Î .

Khiđóbấtđẳngthứccầnchứngminhđượcviếtthành:
2 2 2
2 2 2
6 9 6 9 6 9
8
3 6 9 3 6 9 3 6 9
a a b b c c
a a b b c c
+ + + + + +
+ + £
- + - + - +
Xéthàmsố
2
2
6 9 4
( )
3 6 9 3
x x
f x x
x x
+ +
= -
- +
,
( )
0;3x " Î
( )
2
2
2

24 36 108 4
( )
3
3 6 9
x x
f x
x x
- - +
¢
= -
- +
( )
( ) 0 1 0,3f x x
¢
= Û = Î
Lậpbảngbiếnthiên,tacó
2
2
6 9 4 4
3 6 9 3 3
x x
x
x x
+ +
- £
- +
,
( )
0;3x " Î (*)
Vậndụngbấtđẳngthức(*)tanhậnđược.

( )
2 2 2
2 2 2
6 9 6 9 6 9 4
4 8
3 6 9 3 6 9 3 6 9 3
a a b b c c
a b c
a a b b c c
+ + + + + +
+ + £ + + + =
- + - + - +
Bấtđẳngđãđượcchứngminh,dấuđẳngthứcxảyrakhia=b=c=1.
Loại6:Chọnhàmđặctrư ng,sửdụnghệthứcphụtrợ.
*Đặcđiểm:
BiểuthứcPtrongbàitoánthường“lạ”vàphứchợp.
*Cáchxửlý:
 Vận dụng các bất đẳng thức trung gian, biến đổi P về biểu thức
“quen”vàđơngiảnhơn.
Vậndụngbấtđẳngthứctrunggiannàochođúnghướngphụthuộc
vào“nhãnquan”sự“nhạybén”,“thóiquen”đãquatrảinghiệmcủangười
giải.
 Khi trình bày, phải chứng minh bất đẳng thức trung gian đã vận
dụng.
Quybàitoánvềdạngcácbiếnđã“phânli”.
18
*Bàitoán 11:
Chocácsốthựcx,y,zthuộcđoạn[0;3]
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức.
1 1 1

4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 )
P
x y y z z x
= + +
+ + - + + - + + -
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
TừgiảthiếtsuyracácsốhạngtrongtổngPđềudương.
TanhậnthấyrằngmỗisốhạngtrongtổngPđềuđượcbiểuthịqua
cácthamsốbiếnthiên , ,x y z .
Để“rộngđường”choviệcchọnhàmđặctrưng,tatìmcách “phânli”
mỗisốhạngtrongPtheocùng1biếnriêngbiệt.
 Thật vậy với 2 lần vận dụng bất đẳng thức cô si, ta đánh giá và
“phânli”được:
[ ] [ ] [ ]
9
12 2ln(1 ) 2ln(1 ) 2ln(1 )
P
x x y y z z
³
+ + - + + - + + -
.
Lúcnàycácsốhạngởvếphảiđượcsắpxếptheocùngmộtquyluật,
điềunàylàm“hélộ”hàmsốđặctrưng:f(t)=2ln(1+t)–t,
[ ]
0;3t " Î
*Lờigiải:
Từgiảthiếttacó:
4 2ln(1 ) 0
4 2ln(1 ) 0
4 2ln(1 ) 0

x y
y z
z x
+ + - >
ì
ï
+ + - >
í
ï
+ + - >
î
Sửdụngbấtđẳngthứccôsi,tacó:
[ ] [ ] [ ]
4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 )x y y z z x + + - + + + - + + + -
[ ][ ][ ]
3
3 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 )x y y z z x ³ + + - + + - + + -
Lạiápdụngbấtđẳng thứccôsi,tacó.
[ ][ ][ ]
3
1
3
4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 )
P
x y y z z x
³
+ + - + + - + + -
Nhânvếtheovế2bấtđẳngthứctrên,tađược.
[ ]
4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) 4 2ln(1 ) . 9x y y z z x P + + - + + + - + + + - ³

[ ] [ ] [ ]
9
12 2ln(1 ) 2ln(1 ) 2ln(1 )
P
x x y y z z
Û ³
+ + - + + - + + -
Xéthàmsố:
f(t)=2ln(1+t)–t ,
[ ]
0;3t " Î
19
Tacó:
2 1
'( ) 1
1 1
t
f t
t t
-
= - =
+ +
'( ) 0 1f t t = Û =
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược:0 ( ) 2 ln 2 1f t £ £ - ,
[ ]
0;3t " Î
Sửdụngkếtquảtrên,tacó:
[ ] [ ] [ ]
0 2ln(1 ) 2ln(1 ) 2ln(1 ) 6ln 2 3x x y y z z £ + - + + - + + - £ -
Dođó:

9 9 3
12 (6ln 2 3) 9 6ln 2 3 2ln 2
P ³ = =
+ - + +
Đẳngthứcxảyrakhi:x=y=z=1
Kếtluận:minP=
3
3 2ln 2 +
đạtđượctạix=y=z=1
*Bàitoán 12:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức
T=tanA+tanB+tanC+
2 2 2
1
cot .cot .cot
CA B
vớiA,B,ClàcácgócnhọntrongtamgiácABC.
*“Suynghĩ”tìmgiảipháp:
Ởbàitoánnày,đểlàmxuấthiệnhàmsốđặctrưng,tathựchiện2
côngđoạn:
+Côngđoạn1:
Đánhgiátổng(tanA+tanB+tanC)theotích
A
ot .cot .cot
2 2 2
B C
c
æ ö
ç ÷
è ø

.
+Côngđoạn2:
Đánhgiá,giátrịcủatích
A
ot .cot .cot
2 2 2
B C
c
Khi đó, ta hình thành hàm đặc trưng:
1
( )f t t
t
= + với
t=
A
ot .cot .cot
2 2 2
B C
c
*Lờigiải:
Trướchếttachứngminh.
C
A B
2 2 2
tanA+tanB+tanC cot cot cot ³ + +
Thậyvậy,tacó.
20
sin(A+B) 2sin
tanA+tanB=
osA.cosB os(A+B)+cos(AB)

C
c c
=
C
2 2
4sin . os
2sin
osC+cos(AB) 1 osC
C
c
C
c c
= ³
- -
=
C
2 2 2
2
2
2 2
4sin . os 2cos
2cot
2sin sin
C C
C
C C
c
= =
Biếnđổitươngtự, tacó:
C

A B
2 2 2
tanA+tanB+tanC cot cot cot ³ + +
Mặtkhác:
CA B
2 2 2
2 2 2
1 1 1
cot cot cot
tan tan tan
CA B
+ + = + +
=
2 2 2 2 2 2
2 2 2
tan .tan tan .tan tan .tan
tan .tan .tan
C C
B A A B
CA B
+ +
=
2 2 2
1
tan .tan .tan
CA B
=
A B
2 2 2
cot .cot .cot

C
Dođó:
C
A B
2 2 2
tanA+tanB+tanC cot .cot .cot ³
Từđó,tanhậnđược.
CA B
2 2 2
2 2 2
1
T cot .cot .cot
cot .cot .cot
CA B
³ +
Đặtt=
C
A B
2 2 2
cot .cot .cot
=
A B
3
2 2 2 2 2 2
cot +cot cot 3 cot .cot .cot
C C
A B
+ ³
Suyra:
A B

2 2 2
cot .cot .cot 3 3
C
³
Xéthàmsố:f(t)=t+
1
t
với 3 3t ³
f’(t)=1
2
2 2
1 1
0
t
t t
-
= > , 3 3t " ³
Lậpbảngbiếnthiên,tanhậnđược:
28
( )
3 3
T f t ³ ³
, 3 3t " ³
Kếtluận:minT=
28
3 3
đạtđượckhiA=B=C=
3

p


Loại7: Khảosáthàmsốphátsinh.
Đặcđiểm:
VớimộtlớpcácbàitoántrongđóbiểuthứcPchứacácthamsốbiến
thiên.
Nhữngbàitoánthuộcdạngnàyhầuhếtlànhữngbàithuộc“cấpđộ
cao”thôngthườngdùngđểphânloạithísinh.
21
Cáchxửlí.
DựatheođặcđiểmcủabiểuthứcP,taquibàitoánvề1trongnhững
dạngbàiđãtrìnhbàytrong đềtài,từđóhìnhthànhhàmsốfbiếnsốx.
Quátrìnhkhảosáthàmsố f(x)làm“phátsinh”hàmsốtrunggian
g(t).
Talạikhảosáthàmsố“phátsinh”g(t)lúcnàytamớinhậnđầyđủ
thôngtinvềbiểuthứcP.
*Bàitoán 13:
Chox,y,zlàcácsốthựcthuộcđoạn
[ ]
0,1 .
Chứngminhrằng:
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3x y z x y y z z x + + - + + £ (1)
“Suynghĩ”tìmgiảipháp.
Cácsốthựcx,y,zđóngvaitròlàthamsốbiến thiên.
Trongcácthamsốx,y,ztachọntrựctiếpmộtthamsốlàbiếnsốvà
cốđịnhcácthamsốcònlại.
Vaitròcủacácsốthựcx,y,zlànhưnhaukhôngmấttínhtổngquát
tachọnxlàbiếnsố.
Khảosáthàmsốf(x),phátsinhhàmsốtrunggiang(y).

Khảo sát hàm số g(y) tathu được thông tinvề bất đẳng thức cần chứng
minh.
*Lờigiải :
Xéthàmsố
( )
3 2 2 3 3 2
( ) 2 2f x x yx z x y z y z = - - + + - trêntập[0;1]
2 2
'( ) 6 2f x x yx z = - -
'( ) 0f x =
( )
( )
2 2
1
2 2
2
1
6
6
1
6
6
x y y z
x y y z
é
= - +
ê
Û
ê
ê

= + +
ê
ë
Khảosáthàmsố ( )f x ,tanhậnđược.
[ ]
{ }
0,1
( ) (0), (1)
x
Max f x Max f f
Î
=
Nhậnxét:
( ) ( ) ( )
3 3 2 3 3 2 2
(0) 2 2 2 (1)f y z y z y z y z y z f = + - £ + - + - - =
Nhưvậytacầnphảichứngminh.
22
(1) 3f £
Thậtvậy:Đặt
( ) ( )
3 3 2 2
(1) ( ) 2 2f g y y z y z y z = = + - + - -
=2y
3
–zy
2
–y+2z
3
–z

2
+2
2
'( ) 6 2 1g y y zy = - -
'( ) 0g y =
( )
( )
2
1
2
2
1
6
6
1
6
6
y z z
y z z
é
= - +
ê
Û
ê
ê
= + +
ê
ë
Khảosáthàmsốg(y)trênđoạn[0;1],tanhậnđược.
[ ]

{ }
0,1
( ) (0), (1)
y
Max g y Max g g
Î
=
Talạicó
( )
3 2 3 2
(0) 2 2 2 2 1 (1)g z z z z z g = - + £ - + + - =
( )( )
1 2 1 3 3z z z = - + + £ ,
[ ]
0,1z " Î
Bấtđẳngthức(1)đãđượcchứngminh.
*Bàitoán 14:
Choa,b,clàcácsốthựcthuộcđoạn
[ ]
0,1 .
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức.
3 3 3 3 3 3
6 6 6
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + + + + +
“Suynghĩ”tìmgiảipháp
Cácsốthựca,b,cđóngvaitròlàcácthamsốbiếnthiên.

Trongcácthamsốa,b,ctachọntrựctiếpmộtthamsốlàbiếnsốvà
cốđịnhcácthamsốcònlại.
Vaitròcủacácsốthựca,b,clànhưnhaukhôngmấttínhtổngquát,
tachọnclàbiếnsố.
Tahìnhthành đượchàmsốfbiếnsốc.
Khảosáthàmsốf(c),chưathểnhậnđầyđủthôngtinvềbiểuthứcP
talạikhảosáthàmsố“phátsinh”.
*Lờigiải :
Xéthàmsố
3 3 3 3 3 3
( )
6 6 6
a b c
f c
b c c a a b
= + +
+ + + + + +
trênđoạn[0;1]
( ) ( )
2 2
2 2
3 3
3 3 3 3
3 3 1
'( )
6
6 6
ac bc
f c
a b

b c c a
= - - +
+ +
+ + + +
23
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3
3 3
3 3 3 3
6 6 2 6 6 2
( ) 0
6 6
ca b c bc a c
f c
b c c a
+ - + -
¢¢
= - - £
+ + + +
,
[ ]
0;1c " Î
Suyrahàmsố '( )f c nghịchbiếntrênđoạn
[ ]
0,1 .
Dođó '( ) '(1)f c f ³
( ) ( )

2 2
3 3
3 3
1 3 3 1 3
2. 0
6 8 49
7 7
a b
a b
b a
= - - ³ - >
+ +
+ +
Suyrahàmsố ( )f c đồngbiếntrênđoạn
[ ]
0,1 .
Dođó ( ) (1)f c f £
3 3 3 3
1
7 7 6
a b
b a a b
= + +
+ + + +
Talạixéthàmsố.
3 3 3 3
1
( )
7 7 6
a b

g a
b a a b
= + +
+ + + +
trênđoạn[0;1]
Khảosáthàmsốg(a)trênđoạn[0;1],tanhậnđược.
3
2
( ) (1)
7 8
b
P g a g
b
£ £ = +
+
Talạixéthàmsố
3
2
( )
7 8
b
h b
b
= +
+
trênđoạn[0;1]
Khảosáthàmsố ( )h b tanhậnđược ( )h b đồngbiếntrênđoạn
[ ]
0,1
Suyra

3
( ) (1)
8
P h b h £ £ =
Kếtluận:maxP=
3
8
đạtđượckhia=b=c=1.
24
4 4 2 2
P x y x y = + -
Vậndụngnhữngý tưởngđãtrìnhbàytrong7dạngtrên,tagiải
quyếtđượcnhữngbàitoánsau:
*Bàitập1:
Chocácsốthựcdươnga,b,cthỏamãn điềukiện
2 2 2
3a b c + + = .
Chứngminh
1 1 1
3
2 2 2a b c
+ + ³
- - -
*Bàitập2:
Chocácsốthựckhôngâma,b,cthỏamãnđiềukiện
3a b c + + ³
Chứngminhrằng:
2 2 2
1 1 1
1

a b c b c a c a b
+ + £
+ + + + + +
*Bàitập3:
Chocácsốthựcdươnga,b,cthỏamãn điềukiện
3a b c + + =
Chứngminh:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
+ + ³ + +
*Bàitập4:
Chocácsốthựckhôngâma,b,cthỏamãnđiềukiệna+b+c=1.
Chứngminhrằng:
( ) ( )
3 3 3 5 5 5
10 9 1a b c a b c + + - + + ³
*Bàitập5:
ChotamgiácABCvới3gócởđỉnhđềunhọn.
Chứngminh:tanA+tanB+tanC+6(sinA+sinB+sinC) 12 3 ³
*Bàitập6:
Chocácsốthựca,b,cthỏamãn điềukiệna+b+c=1
Chứngminh:
2 2 2
9
1 1 1 10
a b c
a b c

+ + £
+ + +
*Bàitập7:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố.
3 2sin
1 cos 1 cos
x
y
x x
+
=
+ + -
trênđoạn ;
2 2

p p

é ù
-
ê ú
ë û
*Bàitập8:
XétcáctamgiácABCvới3gócởđỉnhđềunhọn.
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức.
sin sin sin
cos cos cos
A B C
P
A B C
+ +

=
+ +
*Bàitập9:
XétcáctamgiácABCtìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức.
4
cos cos cos
sin .sin .sin
2 2 2
P A B C
A B C
= + + +
*Bàitập10:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
Trongđó:x,ylàcácsốthựcthỏamãn điềukiện
2 2
1x y xy + - = .
25
khôngđổidấu,
t L " Î
ØThuyếtminhtínhmớicủagiảipháp
Vớigiảiphápđãtrìnhbày,tínhmớicủađềtàithểhiệnrõởcácý
tưởngsau:
1. Chỉrađượccơsởcủavấnđề,từđóxâydựngđượcnguyên
tắcgiúphìnhthànhhàmsốtươngthíchvớibàitoán.
2. KhẳngđịnhđượccăncứđểhìnhthànhtậpL,ứngvớihàm
sốđãchọn.
3. “Lộttả”đượcvaitròvàquanhệcủa3tậphợpD,K,L.
4. TậpLphảithỏamãnhệđiều kiện.
'( )
K L

f t
Í
ì
í
î
5. Ngườiviếtcốgắngtìmranhữnglờigiảikhácvớinhữnglời
giảicósẵn.(trongtrườnghợpcóthể)
(Theotìmhiểucủangườiviết,hiệnchưacótàiliệunàolàmbật
đượcnhữngýtưởngtrên)
ØKhảnăngápdụngcủagiảipháp
· Tácgiảđãtriểnkhaigiảiphápnàytrongquátrìnhgiảngdạy,bồi
dưỡngđộiHSGcủatỉnhdựthiHSGquốcgiavàđộiHSGcủatrường
THPTTăngBạtHổ.
· GiảiphápđãcótácđộngtíchcựcđếnHS,giúpcácemhiểuvấnđề
mộtcáchbảnchấtvàthấuđáo.
· GiảiphápgiúpHStránhđượcsựbănkhoăn,dodự,thậmchílà
ngộnhận,bếtắctrongxửlívấnđềnhưtrướcđây.
· Giảiphápđãnối1nhịpcầutạochoHSphươngpháptựtìmtòi,tự
khaithácvấnđềmộtcáchđúnghướng,tăngtínhtựhọc,tựnghiêncứuvà
đậmtính đổimới.
ØHiệuquảcủagiải pháp
Trongnămhọc2011–2012,tácgiảthamgiagiảngdạybồidưỡngđội
HSGcủatỉnhdựthicấpquốcgia.Với6thísinhdựthi,kếtquảđạtđược
5giải(2giảiba,3giảikhuyếnkhích).
Cũngtrongnămhọc2011–2012,tácgiảthamgiagiảngdạybồi
dưỡngđộiHSGlớp12củatrườngTHPTTăngBạtHổ.Với3thísinhdự
thi,kếtquảđạt3giảibavàtrongđócó2emđượcchọnvàođộidựtuyển
củatỉnh.