các phương pháp giải phương trình- bất phương trình- hệ mũ- lôgarit

1
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LÔGARIT

CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ
BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

CH
Ủ ĐỀ I:PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp:
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

( ) ( )
( ) ( )
1
0 1
f x g x
a
a
a a
f x g x
=


< ≠

= ⇔





=



hoặc
( ) ( ) ( )
0
1 0
a
a f x g x
>



 
− − =

 


II. VD minh hoạ:
VD1: Gi
ải phương trình:
( ) ( )
sin 2 3cos
2 2
2 2
x

x x x x
−
+ − = + −
Giải: Phương trình được biến đổi về dạng:
( )
( )
2
2
2
1 2(*)
2 0
1 0(1)
2 1 sin 2 3cos 0
sin 3cos 2(2)
x
x x
x x
x x x x
x x
− < <


+ − >



− − =
⇔
 
+ − − − + =


 

+ =




Giải (1) ta được
1,2
1 5
2
x
±
= tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*)
Gi
ả
i (2):
1 3
sin cos 1 sin 1 2 2 ,
2 2 3 3 2 6
x x x x x k x k k Z

π π π π
π π
 
+ = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈
 
 

Để
nghi
ệ
m tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta ph
ả
i có:
1 1
1 2 2 1 2 0,
6 2 6 2 6
k k k k Z
π π π
π
π π
   
− < + < ⇔ − − < < − ⇔ = ∈

   
   
khi
đ
ó ta nh
ậ
n
đượ
c
3
6
x
π
=
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1,2 3
1 5
;
2 6
x x
π
±

= = .
VD2: Giải phương trình
:
( )
( )
2
2
4
3 5 2
2
3 6 9
x x
x x
x x x
+ −
− +
− = − +

Gi
ả
i: Ph
ươ
ng trình
đượ
c bi
ế
n
đổ
i v
ề

d
ạ
ng:
( ) ( ) ( )
2
2 2
4
3 5 2 2 2( 4)
3 3 3
x x
x x x x
x x x
+ −
− + + −
 
− = − = −
 

2 2 2
3 1 4
4
0 3 1 3 4
5
3 5 2 2 2 8 7 10 0
x x
x
x x
x
x x x x x x
− = =

 
=

 
< − ≠ < ≠
⇔ ⇔ ⇔
 

 
=
 

 
− + = + − − + =
 
 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x=4, x=5.

BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
I. Phương pháp:

sent to
www.laisac.page.tl

2

Để
chuy
ể
n
ẩ
n s
ố
kh
ỏ
i s
ố
m
ũ
lu
ỹ
th
ừ
a ng
ườ
i ta có th
ể
logarit theo cùng 1 c
ơ
s
ố

c
ả
2 v
ế
c
ủ
a
ph
ươ
ng trình, ta có các d
ạ
ng:
D
ạ
ng 1: Ph
ươ
ng trình:

( )
( )
0 1, 0
log
f x
a
a b
a b
f x b
< ≠ >



= ⇔

=



Dạng 2: Phương trình :

(
)
( ) ( ) ( )
log log ( ) ( ).log
f x
g x f x f x
a a a
a b a b f x g x b
= ⇔ = ⇔ =

hoặc
( ) ( )
log log ( ).log ( ).
f x g x
b b b
a b f x a g x
= ⇔ =
II. VD minh hoạ:
VD1: Giải phương trình:
2
2
2

3
2
x x−
=

Gi
ả
i: L
ấ
y logarit c
ơ
s
ố
2 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c:

2
2 2 2
2 2 2 2
3
log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0
2
x x
x x x x
−

= ⇔ − = − ⇔ − + − =

Ta có
,
2 2
1 1 log 3 log 3 0
∆ = − + = >
suy ra ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
x = 1
2
log 3.
±
VD2: Giải phương trình:

1
5 .8 500.
x
x
x
−
=
Gi
ả
i: Vi
ế
t l

ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
1 1 3
3
3 2 3
8
5 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1
x x x
x x x
x x
− − −
−
= ⇔ = ⇔ =


L
ấ
y logarit c
ơ
s
ố
2 v
ế
, ta

đượ
c:
( )
( )
3 3
3 3
2 2 2 2 2
3
log 5 .2 0 log 5 log 2 0 3 .log 5 log 2 0
x x
x x
x x
x
x
x
− −
− −
   
−
= ⇔ + = ⇔ − + =
   
   

( )
2
2
3
1
3 log 5 0
1

log 5
x
x
x
x
=

 

⇔ − + = ⇔
 

= −
 



V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:
2
1
3;
log 5

x x= = −
Chú ý:
Đố
i v
ớ
i 1 ph
ươ
ng trình c
ầ
n thi
ế
t rút g
ọ
n tr
ướ
c khi logarit hoá.

BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 1
I. Phương pháp:

Ph
ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 1 là vi
ệ

c s
ử
d
ụ
ng 1
ẩ
n ph
ụ

để
chuy
ể
n ph
ươ
ng trình ban
đầ
u
thành 1 ph
ươ
ng trình v
ớ
i 1
ẩ
n ph
ụ
.
Ta l
ư
u ý các phép
đặ

t
ẩ
n ph
ụ
th
ườ
ng g
ặ
p sau:
Dạng 1: Phương trình
( 1)
1 1 0
0
k x x
k k
a a
α α α α
−
−
+ + =

Khi
đ
ó
đặ
t
x
t a
=
đ

i
ề
u ki
ệ
n t>0, ta
đượ
c:
1
1 1 0
0
k k
k k
t t t
α α α α
−
−
+ + =


3

M
ở
r
ộ
ng: N
ế
u
đặ
t

( )
,
f x
t a=
đ
i
ề
u ki
ệ
n h
ẹ
p t>0. Khi
đ
ó:
2 ( ) 2 3 ( ) 3 ( )
, , ,
f x f x kf x k
a t a t a t
= = =

Và
( )
1
f x
a
t
−
=

Dạng 2: Phương trình

1 2 3
0
x x
a a
α α α
+ + =
với a.b=1
Khi
đ
ó
đặ
t
,
x
t a
=
đ
i
ề
u ki
ệ
n t<0 suy ra
1
x
b
t
=
ta
đượ
c:

2
2
1 3 1 3 2
0 0
t t t
t
α
α α α α α
+ + = ⇔ + + =

M
ở
r
ộ
ng: V
ớ
i a.b=1 thì khi
đặ
t
( )
,
f x
t a=
đ
i
ề
u ki
ệ
n h
ẹ

p t>0, suy ra
( )
1
f x
b
t
=

Dạng 3: Phương trình
( )
2 2
1 2 3
0
x
x x
a ab b
α α α
+ + =
khi đó chia 2 vế của phương trình cho
2
x
b
>0 ( hoặc
( )
2
, .
x
x
a a b
), ta được:

2
1 2 3
0
x x
a a
b b
α α α
   
+ + =
   
   

Đặ
t
,
x
a
t
b
 
=
 
 
đ
i
ề
u ki
ệ
n t<0, ta
đượ

c:
2
1 2 3
0
t t
α α α
+ + =

M
ở
r
ộ
ng: V
ớ
i ph
ươ
ng trình m
ũ
có ch
ư
a các nhân t
ử
:
( )
2 2
, , .
f
f f
a b a b
, ta th

ự
c hi
ệ
n theo các b
ướ
c
sau:
-

Chia 2 v
ế
ph
ươ
ng trình cho
2
0
f
b
>
(ho
ặ
c
( )
2
, .
f
f
a a b
)
-

Đặ
t
f
a
t
b
 
=
 
 
đ
i
ề
u ki
ệ
n h
ẹ
p t>0
Dạng 4: Lượng giác hoá.
Chú ý:
Ta s
ử
d
ụ
ng ngôn t
ừ

đ
i
ề

u ki
ệ
n h
ẹ
p t>0 cho tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
t
( )
f x
t a
=
vì:
-

N
ế
u
đặ
t
x
t a
=
thì t>0 là
đ
i
ề

u ki
ệ
n
đ
úng.
-

N
ế
u
đặ
t
2
1
2
x
t
+
=
thì t>0 ch
ỉ
là
đ
i
ề
u ki
ệ
n h
ẹ
p, b

ớ
i th
ự
c ch
ấ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho t ph
ả
i là
2
t
≥
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n này
đặ
c bi
ệ
t quan tr
ọ
ng cho l

ớ
p các bài toán có ch
ứ
a tham s
ố
.
II. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Giải phương trình
:
2
2
1
cot
sin
4 2 3 0
g x
x
+ − =
(1)
Gi
ả
i:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n sin 0 ,
x x k k Z
π

≠ ⇔ ≠ ∈
(*)
Vì
2
2
1
1 cot
sin
g x
x
= + nên ph
ươ
ng trình (1)
đượ
c bi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng:

2
2 cot
cot
4 2.2 3 0
g x
g x
+ − =
(2)

Đặ
t
2
cot
2
g x
t
=
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
t
≥
vì
2
2 cot 0
cot 0 2 2 1
g x
g x
≥ ⇔ ≥ =

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (2) có d

ạ
ng:
2
2 cot 2
1
2 3 0 2 1 cot 0
3
cot 0 ,
2
g x
t
t t g x
t
gx x k k Z
π
π
=

+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −

⇔ = ⇔ = + ∈ tho
ả
mãn (*)

4

V
ậ

y ph
ươ
ng trình có 1 h
ọ
nghi
ệ
m ,
2
x k k Z
π
π
= + ∈

VD2: Giải phương trình
:
(
)
(
)
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =

Gi
ả
i: Nh
ậ
n xét r
ằ
ng:

(
)
(
)
(
)
2
7 4 3 2 3 ; 2 3 2 3 1
+ = + + − =

Do
đ
ó n
ế
u
đặ
t
(
)
2 3
x
t
= +
đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0, thì:
(

)
1
2 3
x
t
− =
và
(
)
2
7 4 3
x
t
+ =

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:

( )
( )
2 3 2

2
1
3
2 0 2 3 0 1 3 0
3 0( )
t
t t t t t t
t
t t vn
=

− + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔

+ + =



(
)
2 3 1 0
x
x
⇔ + = ⇔ =

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ

m x=0
Nh
ậ
n xét:
Nh
ư
v
ậ
y trong ví d
ụ
trên b
ằ
ng vi
ệ
c
đ
ánh giá:

(
)
( )( )
2
7 4 3 2 3
2 3 2 3 1
+ = +
+ − =

Ta
đ
ã l

ự
a ch
ọ
n
đượ
c
ẩ
n ph
ụ

(
)
2 3
x
t
= + cho ph
ươ
ng trình
Ví d
ụ
ti
ế
p theo ta s
ẽ
miêu t
ả
vi
ệ
c l
ự

a ch
ọ
n
ẩ
n ph
ụ
thông qua
đ
ánh giá m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a a.b=1,
đ
ó là:
. . 1
a b
a b c
c c
= ⇔ =
t
ứ
c là v
ớ
i các ph
ươ
ng trình có d
ạ

ng:
. . 0
x x
Aa B b C
+ + =

Khi
đ
ó ta th
ự
c hi
ệ
n phép chia c
ả
2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
0
x
c
≠
,
để
nh
ậ
n

đượ
c:
. 0
x x
a b
A B C
c c
   
+ + =
   
   
t
ừ

đ
ó thi
ế
t l
ậ
p
ẩ
n ph
ụ

, 0
x
a
t t
c
 

= >
 
 
và suy ra
1
x
b
c t
 
=
 
 

VD3: Giải phương trình
:
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
− + =

Gi
ả
i: Chia c
ả
2 v
ế
ph
ươ
ng trình cho

2 2
2 0
x
+
≠
ta
đượ
c:

2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2
1 9
2 9.2 1 0 .2 .2 1 0
2 4
x x x x x x x x
− − − − − −
− + = ⇔ − + =


2 2
2 2
2.2 9.2 4 0
x x x x
− −
⇔ − + =

Đặ
t
2
2

x x
t
−
=
đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
2
2
2 2
2
2
1
4
2 2 2 1
2 9 4 0
1

2
1
2 2
2
x x
x x
t
x x x
t t
x
t
x x
−
− −
=



= − = = −


− + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔




=
=
− = −




=




V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x=-1, x=2.


5

Chú ý: Trong ví d
ụ
trên, vì bài toán không có tham s
ố
nên ta s
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề

u ki
ệ
n cho
ẩ
n ph
ụ
ch
ỉ
là
t>0 và chúng ta
đ
ã th
ấ
y v
ớ
i
1
2
t
=
vô nghi
ệ
m. Do v
ậ
y n
ế
u bài toán có ch
ứ
a tham s
ố

chúng ta c
ầ
n
xác
đị
nh
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
úng cho
ẩ
n ph
ụ
nh
ư
sau:
2
2
1
2
4
4
1 1 1 1
2 2
2 4 4
2

x x
x x x t
−
 
− = − − ≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 

VD4: Giải phương trình
:
( )
3
3 1
1 12
2 6.2 1
2
2
x x
x
x
−
− − + =

Gi
ả
i: Vi
ế
t l
ạ
i ph

ươ
ng trình có d
ạ
ng:

3
3
3
2 2
2 6 2 1
2 2
x x
x x
 
 
− − − =
 
 
 
 
(1)
Đặ
t
3
3
3 3
3
2 2 2 2
2 2 2 3.2 2 6
2 2 2 2

x x x x x
x x x x
t t t
   
= − ⇒ − = − + − = +
   
   

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (1) có d
ạ
ng:
3
2
6 6 1 1 2 1
2
x
x
t t t t
+ − = ⇔ = ⇔ − =

Đặ
t
2 , 0
x
u u
= >

khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (2) có d
ạ
ng:
2
1(1)
1 2 0 2 2 2 1
2
2
x
u
u
u u u u x
u
= −

− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

=


V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ

m x=1
Chú ý: Ti
ế
p theo chúng ta s
ẽ
quan tâm
đế
n vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp l
ượ
ng giác hoá.

VD5: Giải phương trình
:
(
)
2 2
1 1 2 1 2 1 2 .2
x x x
+ − = + −
Gi
ả
i:

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2
1 2 0 2 1 0
x x
x
− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Nh
ư
v
ậ
y
0 2 1
x
< ≤
,
đặ
t
2 sin , 0;
2
x
t t
π
 
= ∈

 
 

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(
)
( )
2 2
1 1 sin sin 1 2 1 sin 1 cos 1 2cos sin
3 3
2 cos sin sin 2 2 cos 2sin cos 2 cos 1 2 sin 0
2 2 2 2 2 2
cos 0(1)
1
2
1
2
6
2
0
3 2
2 1
sin
2

2 2
x
x
t t t t t t
t t t t t t
t t
t
t
x
x
t
t
π
π
+ − = + − ⇔ + = +
 
⇔ = + ⇔ = ⇔ − =
 
 


=

=


=
= −




⇔ ⇔ ⇔ ⇔



=



=
=

=






V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x=-1, x=0.

BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 2
I. Phương pháp:
Ph

ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 2 là vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng 1
ẩ
n ph
ụ
chuy
ể
n ph
ươ
ng trình ban
đầ
u thành 1
ph
ươ
ng trình v
ớ
i 1
ẩ

n ph
ụ
nh
ư
ng các h
ệ
s
ố
v
ẫ
n còn ch
ứ
a x.

6

Ph
ươ
ng pháp này th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng
đố
i v
ớ
i nh
ữ

ng ph
ươ
ng trình khi l
ự
a ch
ọ
n
ẩ
n ph
ụ
cho 1 bi
ể
u
th
ứ
c thì các bi
ể
u th
ứ
c còn l
ạ
i không bi
ể
u di
ễ
n
đượ
c tri
ệ
t

để
qua
ẩ
n ph
ụ

đ
ó ho
ặ
c n
ế
u bi
ể
u di
ễ
n
đượ
c thì công th
ứ
c bi
ể
u di
ễ
n l
ạ
i quá ph
ứ
c t
ạ
p.

Khi
đ
ó th
ườ
ng ta
đượ
c 1 ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2 theo
ẩ
n ph
ụ
( ho
ặ
c v
ẫ
n theo
ẩ
n x) có bi
ệ
t s
ố

∆
là
m
ộ
t s

ố
chính ph
ươ
ng.
II. VD minh hoạ:
VD1: Giải phương trình
:
(
)
2
3 2 9 .3 9.2 0
x x x x
− + + =

Gi
ả
i:
Đặ
t
3
x
t
=
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0. Khi

đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
( ) ( ) ( )
2 2
2
9
2 9 9.2 0; 2 9 4.9.2 2 9
2
x x x x x
x
t
t t
t
=

− + + = ∆ = + − = +
⇒

=


Khi

đ
ó:
+ V
ớ
i
9 3 9 2
x
t t
= ⇔ = ⇔ =

+ V
ớ
i
3
2 3 2 1 0
2
x
x x x
t x
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ

m x=2, x=0.
VD2: Giải phương trình
:
(
)
2 2
2 2
9 3 3 2 2 0
x x
x x
+ − − + =

Gi
ả
i:
Đặ
t
2
3
x
t
=
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
t

≥
vì
2
2 0
0 3 3 1
x
x
≥ ⇔ ≥ =

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
(
)
2 2 2
3 2 2 0
t x t x
+ − − + =


( ) ( ) ( )
2 2

2 2 2
2
2
3 4 2 2 1
1
t
x x x
t x
=

∆ = − − − + = +
⇒

= −


Khi
đ
ó:
+ V
ớ
i
2
2
3 3
2 3 2 log 2 log 2
x
t x x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

+ V
ớ
i
2
2 2
1 3 1
x
t x x
= − ⇔ = −
ta có nh
ậ
n xét:
2
2
1 1
3 1
0
1 1
1 1
x
VT VT
x
VP VP
x

≥ =
=
 

⇒

⇔ ⇔ =
  
≥ =
− =
 



V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m
3
log 2; 0
x x
= ± =


BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 3
I. Phương pháp:

Ph
ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ

d
ạ
ng 3 s
ử
d
ụ
ng 2
ẩ
n ph
ụ
cho 2 bi
ể
u th
ứ
c m
ũ
trong ph
ươ
ng trình và
khéo léo bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình thành ph
ươ
ng trình tích.
II. VD minh hoạ:

VD1: Giải phương trình
:
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +

Gi
ả
i: Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
2 2 2 2
3 2 2 6 5 3 2 2 6 5
4 4 4 .4 1
x x x x x x x x− + + + − + + +
+ = +

Đặ
t
2

2
3 2
2 6 5
4
, , 0
4
x x
x x
u
u v
v
− +
+ +

=

>

=



Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ

ng v
ớ
i:

7

(
)
(
)
1 1 1 0
u v uv u v
+ = + ⇔ − − =

2
2
3 2 2
2
2 6 5
1
1 4 1 3 2 0 2
1 1
2 6 5
4 1
5
x x
x x
x
u x x x
v x

x x
x
− +
+ +
=




= = − + = =


⇔ ⇔ ⇔ ⇔




= = −
+ +



=



= −


V

ậ
y ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m.

VD2: Cho phương trình
:
2 2
5 6 1 6 5
.2 2 2.2 (1)
x x x x
m m
− + − −
+ = +

a)

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m=1
b)

Tìm m
để

ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Gi
ả
i: Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:

(
)
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( 5 6) 1
5 6 1 7 5 5 6 1
5 6 1 5 6 1
.2 2 2 .2 2 2

.2 2 2 .2
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
m m m m
m m
− + + −
− + − − − + −
− + − − + −
+ = + ⇔ + = +
⇔ + = +

Đặ
t:
2
2
5 6
1
2
, , 0
2
x x
x
u
u v
v
− +
−

=


>

=


. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
( )( )
2
2
2
5 6
1
1
3
1 2 1
1 0 2
2
2 (*)
x x

x
x
x
u
mu v uv m u v m x
v m
m
m
− +
−
−

=

= =


+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇔ ⇔ =



=


=


=


V
ậ
y v
ớ
i m
ọ
i m ph
ươ
ng trình luôn có 2 nghi
ệ
m x=3, x=2
a) V
ớ
i m=1, ph
ươ
ng trình (*) có d
ạ
ng:
2
1 2 2
2 1 1 0 1 1
x
x x x
−
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±

V
ậ
y v
ớ

i m=1, ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t: x=3, x=2, x=
±
1
b)
Để
(1) có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(*)
⇔
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 2 và 3.
(*)
2 2
2 2
0 0
1 log 1 log
m m
x m x m

> >
 
⇔ ⇔
 
− = = −
 
. Khi
đ
ó
đ
i
ề
u ki
ệ
n là:
( )
2
2
2
0
0
2
1 log 0
1 1
1
0;2 \ ;
1 log 4
8 256
8
1

1 log 9
256
m
m
m
m
m
m
m
m
m
>


>

<


− >
 
 
⇔ ⇔ ∈
   
≠
− ≠
 
 
 
− ≠


≠



V
ậ
y v
ớ
i
( )
1 1
0;2 \ ;
8 256
m
 
∈
 
 
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đầ
u bài.

BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 4
I. Phương pháp:

Ph
ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 4 là vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng k
ẩ
n ph
ụ
chuy
ể
n ph
ươ
ng trình ban
đầ
u thành 1
h

ệ
ph
ươ
ng trình v
ớ
i k
ẩ
n ph
ụ
.

8

Trong h
ệ
m
ớ
i thì k-1 thì ph
ươ
ng trình nh
ậ
n
đượ
c t
ừ
các m
ố
i liên h
ệ
gi

ữ
a các
đạ
i l
ượ
ng t
ươ
ng
ứ
ng.
Tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t là vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng 1
ẩ
n ph
ụ
chuy
ể

n ph
ươ
ng trình ban
đầ
u thành 1 h
ệ
ph
ươ
ng
trình v
ớ
i 1
ẩ
n ph
ụ
và 1
ẩ
n x, khi
đ
ó ta th
ự
c hi
ệ
n theo các b
ướ
c:
B
ướ
c 1:
Đặ

t
đ
i
ề
u ki
ệ
n có ngh
ĩ
a cho các bi
ể
u t
ượ
ng trong ph
ươ
ng trình.
B
ướ
c 2: Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng:
(
)

, 0
f x x
ϕ
 
=
 

B
ướ
c 3:
Đặ
t
(
)
y x
ϕ
=
ta bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình thành h
ệ
:
(
)
( )
; 0

y x
f x y
ϕ

=


=



II. VD minh hoạ:
VD1: Giải phương trình
:
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x
− − −
+ =
+ + + +

Gi
ả
i: Vi
ế
t l
ạ
i ph

ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 1 2 2 2
x x x x
− − − −
+ =
+ + + +

Đặ
t:
1
1
2 1
, , 1
2 1
x
x
u
u v
v
−
−

= +


>

= +



Nh
ậ
n xét r
ằ
ng:
(
)
(
)
1 1 1 1
. 2 1 . 2 1 2 2 2
x x x x
u v u v
− − − −
= + + = + + = +

Ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v

ớ
i h
ệ
:
8 1 18 2
8 18
9
9;
8
u v
u v
u v u v
u v uv
u v
u v uv
= =
 
+ =
+ =



⇔ ⇔
+
 

+ =
= =



+ =
 

+ V
ớ
i u=v=2, ta
đượ
c:
1
1
2 1 2
1
2 1 2
x
x
x
−
−

+ =

⇔ =

+ =



+ V
ớ
i u=9 và

9
8
v
=
, ta
đượ
c:
1
1
2 1 9
4
9
2 1
8
x
x
x
−
−

+ =

⇔ =

+ =



V
ậ

y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có các nghi
ệ
m x=1 và x=4.
C
ũ
ng có th
ể

đặ
t
2
x
t
=

để

đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình m
ộ
t
ẩ

n s
ố

VD2: Giải phương trình
:
2
2 2 6 6
x x
− + =

Gi
ả
i:
Đặ
t
2
x
u
=
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n u>0. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình thành:

2
6 6
u u
− + =

Đặ
t
6,
v u
= +
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
6 6
v v u
≥
⇒
= +

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
đượ
c chuy

ể
n thành h
ệ
:
( ) ( )( )
2
2 2
2
6 0
0
1 0
6
u v u v
u v u v u v u v
u v
v u

= + − =


⇔ − = − − ⇔ − + = ⇔


+ + =
= +




+ V

ớ
i u=v ta
đượ
c:
2
3
6 0 2 3 8
2(1)
x
u
u u x
u
=

− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −


+ V
ớ
i u+v+1=0 ta
đượ
c:

9

2
2
1 21

21 1 21 1
2
5 0 2 log
2 2
1 21
(1)
2
x
u
u u x
u

− +
=

− −

+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

− −
=



Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=8 và x=
2
21 1
log .
2
−

BÀI 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SÔ
I. Phương pháp:
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3
hướng áp dụng:
Hướng1: Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k
Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng
biến)
Bước 3: Nhận xét:
+ Với
(
)
(
)
0 0
x x f x f x k
= ⇔ = =
do đó
0
x x
=
là nghiệm
+ Với
(
)
(
)
0
x x f x f x k

> ⇔ > =
do đó phương trình vô nghiệm
+ Với
(
)
(
)
0 0
x x f x f x k
< ⇔ < =
do đó phương trình vô nghiệm.
Vậy
0
x x
=
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=g(x)
Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là
Là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến
Xác định
0
x
sao cho
(
)
(
)
0 0
f x g x

=

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
0
x x
=

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u)=f(v) (3)
Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử
đồng biến)
Bước 3: Khi đó: (3)
u v
⇔ =
với ,
f
u v D
∀ ∈
II. VD minh hoạ:
VD1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x
+ =
(1)
Giải: Điều kiện x>0. Biến đổi phương trình về dạng:
2
log

2.3 3
x
x
= −
(2)
Nhận xét rằng:
+ Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến.
+ Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến.
Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét rằng x=1 là nghiệm của phương t rình (2) vì
2
log
2.3 3 1
x
= −

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
VD2: Giải phương trình:
( )
2
3 1
2
3
1
log 3 2 2 2
5
x x
x x
− −
 

− + + + =
 
 
(1)

10

Giải: Điều kiện:
2
1
3 2 0
2
x
x x
x
≤

− + ≥ ⇔

≥


Đặt
2
3 2
u x x
= − +
, điều kiện
0
u

≥
suy ra:
2 2 2 2
3 2 3 1 1
x x u x x u
− + = ⇔ − − = −

Khi đó (1) có dạng:
( )
2
1
3
1
log 2 2
5
u
u
−
 
+ + =
 
 

Xét hàm số:
( ) ( )
2
1
2
3 3
1 1

( ) log 2 log 2 .5
5 5
x
f x x x x
−
 
= + + = + +
 
 

+ Miền xác định
[
0; )
D
= +∞

+ Đạo hàm:
( )
2
1 1
.2 .5 .ln3 0,
2 ln3 5
x
f x x D
x
= + > ∀ ∈
+
. Suy ra hàm số tăng trên D
Mặt khác
( ) ( )

3
1
1 log 1 2 .5 2.
7
f
= + + =

Do đó, phương trình (2) được viết dưới dạng:
( ) ( )
2
3 5
1 1 3 2 1
2
f u f u x x x
±
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =
Vậy phương trình có hai nghiệm
3 5
2
x
±
=
VD3: Cho phương trình:
2
2 2 4 2
2 2 2
5 5 2
x mx
x mx
x mx m

+ +
+ +
− = + +

a) Giải phương trình với
4
5
m
= −

b) Giải và biện luận phương trình
Giải: Đặt
2
2 2
t x mx
= + +
phương trình có dạng:
2 2
5 5 2 2
t t m
t t m
+ −
+ = + + −
(1)
Xác định hàm số
(
)
5
t
f t t

= +

+ Miền xác định D=R
+ Đạo hàm: 5 .ln5 1 0,
t
f x D
= + > ∀ ∈ ⇒
hàm số tăng trên D
Vậy (1)
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 0 2 0
f t f t m t t m t m x mx m
⇔ = + − ⇔ = + − ⇔ + − = ⇔ + + =
(2)
a) Với
4
5
m
= −
ta được:
2 2
2
8 4
0 5 8 4 0
2
5 5

5
x
x x x x
x
=


+ − = ⇔ − − = ⇔

= −


Vậy với
4
5
m
= −
phương trình có 2nghiệm
2
2;
5
x x
= = −

b) Xét phương trình (2) ta có:
2
'
m m
∆ = −

+ Nếu
2
' 0 0 0 1
m m m
∆ < ⇔ − < ⇔ < <
. Phương trình (2) vô nghiệm
⇔
phương trình (1) vô
nghiệm.
+ Nếu
' 0
∆ = ⇔
m=0 hoặc m=1.
với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0
với m=1 phương trình có nghiệm kép x
0
=-1

11

+ Nếu
1
' 0
0
m
m
>

∆ > ⇔


<

phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
2
1,2
x m m m
= − ± −
đó cũng là
nghiệm kép của (1)
Kết luận:
Với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0
Với m=1 phương trình có nghiệm kép x
0
=-1
Với 0<m<1 phương trình vô nghiệm
Với m>1 hoặc m<0 phương trình có 2 nghiệm
2
1,2
x m m m
= − ± −

Vd 4) Giải phương trình:
2
6 7 555 543 12 13
x x x x
x x+ + − = +
Giải:
Xét hàm số:
(
)

( )
2
6 7 555 543 12 13 ;
' 6 ln6 7 ln7 1110 543 12 ln 13 ln
x x x x
x x x x
f x x x
f x x x x
= + + − = +
= + + − − −

Và
(
)
2 2 2 2
'' 6 ln 6 7 ln 7 1110 12 ln 12 13 ln 13
x x x x
f x = + + − −

Phương trình
( )
2 2 2 2
1 7 1110 13
" 0 ln 6 ln 7 ln 12 ln 13
2 12 12 12
x x
x x
f x
   
= ⇔ + + = +

   
   
.
Ta có vế trái của pt là một hàm số nghịch biến, vế phải là 1 hàm số đồng biến nên pt trên có
nhiều nhất một nghiệm
⇒
hàm số
(
)
'
f x
có nhiều nhất một cực trị nên pt
(
)
'
f x
=0 có nhiều nhất
hai nghiệm.
Lập luận tương tự ta cũng có pt
(
)
0
f x
=
có nhiều nhất ba nghiệm.
Mặt khác
(
)
(
)

(
)
0 1 3 0
f f f
= = =
nên pt
(
)
0
f x
=
có đúng ba nghiệm
0; 1; 3
x x x
= = =

Vậy pt ban đầu có đúng ba nghiệm
0; 1; 3.
x x x
= = =


BÀI TOÁN 8: SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. Phương pháp:
Với phương trình có chưa tham số: f(x,m)=g(m). Chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y=f(x,m) và đường
thẳng (d): y=g(m).
Bước 2: Xét hàm số y=f(x,m)
+ Tìm miền xác định D
+ Tính đạo hàm y’ ròi giải phương trình y’=0

+ Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
+ Phương trình có nghiệm
(
)
(
)
min , ( ) max , ( )
f x m g m f x m x D
⇔ ≤ ≤ ∈

+ Phương trình có k nghiệm phân biệt
⇔
(d) cắt (C) tại k điểm phân biệt
+ Phương trình vô nghiệm
(
)
(
)
d C
⇔ = ∅
∩

II. VD minh hoạ:
VD1: Cho phương trình:
(
)
2
2
2 2 2

2 2 2
3 2 2 2
x x
x x
x x m
− +
− +
+ + − = −

a) Giải phương trình với m=8
b) Giải phương trình với m=27

12

c) Tìm m để phương trình có nghiệm
Giải: Viết lại phương trình dưới dạng:
2 2
2 2 2 2 2
3 4 2 2
x x x x
x x m
− + − +
+ + − + =

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số:

2 2
2 2 2 2 2
3 4 2 2
x x x x

y x x
− + − +
= + + − +
với đường thẳng y=m
Xét hàm số
2 2
2 2 2 2 2
3 4 2 2
x x x x
y x x
− + − +
= + + − +
xác định trên D=R
Giới hạn: lim y
= +∞

Bảng biến thiên: vì 3>1, 4>1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên ccủa hàm
số
2
2 2
t x x
= − +
ta có:



a) Với m=8 phương trình có nghiệm duy nhất x=1
b) Với m=27 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=0 và x=2
c) Phương trình có nghiệm khi m>8
VD2: Với giá trị nào của m thì phương trình:

2
4 3
4 2
1
1
5
x x
m m
− +
 
= − +
 
 
có 4 nghiệm phân biệt
Giải: Vì
4 2
1 0
m m
− + >
với mọi m do đó phương trình tương đương với:

(
)
2 4 2
1
5
4 3 log 1
x x m m
− + = − +

Đặt
(
)
4 2
1
5
log 1
m m a
− + =
, khi đó:
2
4 3
x x a
− + =


Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số
2
4 3
y x x
= − +
tại 4 điểm phân biệt
Xét hàm số:
2
2
2

4 3 1 3
4 3
4 3 1 3
x x khix hoacx
y x x
x x khi x

− + ≤ ≥

= − + =

− − + ≤ ≤



Đạo hàm:
2 4 1 3
'
2 4 1 3
x khix hoacx
y
x khi x
− < >

=

− + < <


Bảng biến thiên:


Từ đó, đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số
2
4 3
y x x
= − +
tại 4 điểm phân biệt
( )
4 2 4 2
1
5
1
0 1 0 log 1 1 1 1 0 1
5
a m m m m m
⇔ < < ⇔ < − + < ⇔ < − + < ⇔ < <

Vậy với
0 1
m
< <
phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
VD3: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 3 4 1
x x
m
+ = +

Giải: Đặt
2 , 0
x
t t
= >
phương trình được viết dưới dạng:

13


2
2
3
3 1
1
t
t m t m
t
+
+ = + ⇔ =
+
(1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):
2
3
1
t
y
t
+

=
+
với đường thẳng (d):y=m
Xét hàm số:
2
3
1
t
y
t
+
=
+
xác định trên
(
)
0;D
+∞

+ Đạo hàm:
( )
2 2
1 3 1
' ; ' 0 1 3 0
3
1 1
t
y y t t
t t
−

= = ⇔ − = ⇔
+ +

+ Giới hạn:
(
)
lim 1y t
= → +∞

+ Bảng biến thiên:



Biện luận:
Với
1
m
≤
hoặc
10
m > phương trình vô nghiệm
Với
1 3
m
< ≤
hoặc
10
m = phương trình có nghiệm duy nhất
Với
3 10

m< < phương trình có 2 nghiệm phân biệt

CHỦ ĐỀ II:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TOÁN I: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp:
Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:
Dạng 1: Với bất phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0 1
f x g x
a
f x g x
a a
a
f x g x

>




<



< ⇔


< <





>



ho
ặ
c
( ) ( ) ( )
0
1 0
a
a f x g x
>



 
− − <

 


Dạng 2:
V

ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
0 1
f x g x
a
f x g x
a a a
a
f x g x

>




≤




≤ ⇔ =



< <




≥




ho
ặ
c
( ) ( ) ( )
0
1 0
a
a f x g x
>



 
− − ≤

 


Chú ý: C
ầ
n
đặ
c bi
ệ
t l
ư
u ý t
ớ
i giá tr
ị
c
ủ
a c
ơ
s
ố
a
đố
i v
ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
.
II. VD minh hoạ:

VD1: Giải các bất phương trình:
a)
2
1
2
1
2
2
x
x x
−
−
≤
b)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < +

14

Gi
ả
i:
a)

Bi
ế
n
đổ
i t
ươ
ng
đươ
ng b
ấ
t ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng:

( )
2
2
2 1
2
2
2
1 0
2 0
1 1
2 1 2

1 0
2 2
2 1
x x x
x
x x
x x x x
x
x x x
− −

− ≤



− ≥


   
≤ ⇔ − ≥ − ⇔ ⇔ ≥
   

− >

   




− ≥ −





V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
2
x
≥

Chú ý:

Để
tránh sai sót không
đ
áng có khi bi
ế
n
đổ
i b
ấ

t ph
ươ
ng trình m
ũ
v
ớ
i c
ơ
s
ố
nh
ỏ
h
ơ
n 1 các
em h
ọ
c sinh nên l
ự
a ch
ọ
n cách bi
ế
n
đổ
i:

2
2
1 2 1 2 2

2
1
2 2 2 2 1 2 1 2
2
x x x x
x x
x x x x x x x
− − − −
−
≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≥

b)

Nh
ậ
n xét r
ằ
ng:
(
)
(
)
(
)
1
10 3 10 3 1 10 3 10 3
−
+ − =
⇒
− = +

Khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng:
( ) ( ) ( )
( )( )
3 1 3 1
1 3 1 3
2
10 3 10 3 10 3 1
3 5
3 1 5
0 0
1 3 1 3
1 5
x x x x
x x x x
x
x x x

x x x x
x
− + − +
+
− + − +
+ ≤ + ⇔ + <

− < < −
− + −
⇔ + < ⇔ < ⇔

− + − +
< <



V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là:
(
)
(

)
3; 5 1; 5
− − ∪
BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
I. Phương pháp:
Để
chuy
ể
n
ẩ
n s
ố
kh
ỏ
i s
ố
m
ũ
lu
ỹ
th
ừ
a ng
ườ
i ta có th
ể
logarit hoá theo cùng 1 c
ơ
s
ố

c
ả
hai v
ế
c
ủ
a
b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
. Chúng ta l
ư
u ý 1 s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p c
ơ
b
ả
n sau cho các b
ấ
t ph
ươ
ng trình m

ũ
:
Dạng 1
: V
ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
( )f x
a b
<
( v
ớ
i b>0)
( )
( )
1
log
0 1
log
a
a
a
f x b
a
f x b

>





<



⇔

< <





>




Dạng 2
: V
ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
( )

( )
1
0
0
1
( ) log
0 1
( ) log
f x
a
a
a
f x
b
a b
a
f x b
a
f x b

>




≠





<




> ⇔

>






>

 




< <







<







Dạng 3
: V
ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
lg lg ( ).lg ( ).lg
f x g x f x g x
a b a b f x a g x b
> ⇔ > ⇔ > ho
ặ
c có
th
ể
s
ử
d
ụ
ng logarit theo c
ơ
s

ố
a hay b.

15

II. VD minh hoạ:
VD: Giải bất phương trình
:
2
49.2 16.7
x x
>
Gi
ả
i: Bi
ế
n
đổ
i t
ươ
ng
đươ
ng ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng:
4 2

2 7
x x
− −
>
L
ấ
y logarit c
ơ
s
ố
2 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c:

( )
2
4 2 2 2
2 2 2 2 2
log 2 log 7 4 2 log 7 ( ) log 7 2log 7 4 0
x x
x x f x x x
− −
⇔ > ⇔ − > − ⇔ = − + − >

Ta có:
( ) ( )

2
2
2 2 2 2
log 7 8log 7 16 log 7 4 4 log 7
∆ = − + = − = − . Suy ra f(x)=0 có nghi
ệ
m:

(
)
1
2 2
1,2
2 2 1
2
log 7 4 log 7
log 7 2
2
x
x
x x
=
± −

= ⇔

= − <


V

ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x>2 ho
ặ
c
2
log 7 2
x
< −

BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 1
I. Phương pháp:
M
ụ
c
đ
ích chính c
ủ
a ph
ươ
ng pháp này là chuy
ể
n các bài toán
đ
ã cho v

ề
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đạ
i s
ố

quen bi
ế
t
đặ
c bi
ệ
t là các b
ấ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2 ho
ặ
c các h
ệ
b
ấ
t ph
ươ

ng trình.
II. VD minh hoạ:
VD1: Giải bất phương trình
:
( ) ( )
(
)
2
2
2 2 2 2 1 2 1
x x x
− < + − −

Gi
ả
i:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 1 0 0
x
x
− ≥ ⇔ ≥
.
Đặ
t
2 1

x
t
= −
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n
0
t
≥
, khi
đ
ó:
2
2 1
x
t
= +
. B
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(
)

(
)
( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 3
1 2 1 2 1 1 3 1
1 3 1 0 1 1 3 0
1 2 2 0 1 1
2 1 1 2 2 1
x x
t t t t t t
t t t t t t
t t t t
x
+ − < + + − ⇔ − < + −
 
⇔ − − + − < ⇔ − + − + <

 
⇔ − − < ⇔ − ⇔ <
⇔ − < ⇔ < ⇔ <

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
[
0;1)

VD2: Giải bất phương trình
:
(
)
(
)
(
)
9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1
x x x
+ + + + − − <

Gi
ả
i: Nh
ậ
n xét r
ằ
ng:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
3
3
2
2
9 3 11 2 3 2 3 2
5 2 6 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 3 2 1
x
x x
x
x x
x
x x
   
+ = + = +
   
   
   
+ = + = +
   

   
 
+ − = + − =
 

Do
đ
ó n
ế
u
đặ
t
(
)
3 2
x
t = + ,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0 thì
(
)
1
3 2
x
t
− =

Khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:

16


( )( )
( )
3 2 4 3
2
1
2 2 1 2 2 1
1 2 1 0 2 1
t t t t t
t
t t t t t
+ − < ⇔ + − − <
⇔ − + + + < ⇔ − < <

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a t ta
đượ
c:
(
)
0 1 2 3 1 0
x
t x
< < ⇔ + < ⇔ <

V
ậ
y nghi
ệ
m c

ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là x<0.
VD3: Giải bất phương trình
:
(
)
(
)
2
log 5
5 21 5 21 2
x x
x+
+ + − ≤
Gi
ả
i: Chia 2 v
ế
b
ấ
t ph
ươ
ng trình cho
2 0
x
>

ta
đượ
c:
5 21 5 21
5
2 2
x x
   
+ −
+ ≤
   
   
   

Nh
ậ
n xét r
ằ
ng:
5 21 5 21
. 1
2 2
x x
   
+ −
=
   
   
   

Nên n
ế
u
đặ
t
5 21
2
x
t
 
+
=
 
 
 
đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0 thì
5 21 1
2
x
t
 
−
=
 
 

 
. Khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
2
1 5 21 5 21
5 5 1 0
2 2
5 21 5 21 5 21
1 1
2 2 2
x
t t t t
t
x
− +
+ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
 
− + +
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
 
 
 

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
[
]
1;1
−

VD4: Giải bất phương trình
:
2
2.5
5 3 5
5 4
x
x
x
+ >
−

Gi
ả
i:
Đ

i
ề
u ki
ệ
n
2
5 5
5 4 0 2 log 4 log 2
x
x x− > ⇔ > ⇔ > (*)
Đặ
t
5
x
u
=
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n u>2, khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ

ng:
2
2
3 5
4
u
u
u
+ >
−
(1)
Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
ph
ươ
ng trình (1) ta
đượ
c:
2 2 2 2
2
2 2
2 2
4 4
45 4. 45
4 4
4 4
u u u u
u

u u
u u
+ + > ⇔ + >
− −
− −
(2)
Đặ
t
2
2
, 0
4
u
t t
u
= >
−
. Khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình (2) có d
ạ
ng:
2
2 4 2
2
2

5
2
2
4 45 0 5 5 25 100 0
4
log 20
20 20 5 20(*)
1
5
log 5
5 5 5
2
x
x
u
t t t u u
u
x
u u
u
x
u
+ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ − + >
−

>
 

> > >


⇔ ⇔ ⇔ ⇔
 


<
< <

< >
 

 




17

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
( )
5 5

1
log 2; log 20;
2
x
 
∈ ∪ +∞
 
 

BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 2
I. Phương pháp:
Ph
ươ
ng pháp này gi
ố
ng nh
ư
ph
ươ
ng trình m
ũ
.
II. VD minh hoạ:
VD1: Giải bất phương trình
:
2
1
4 2 4 0
x x x+
− + ≤

Gi
ả
i:
Đặ
t
2
x
t
=

đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0
Khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
2
2
2 4 0
x

t t
− + ≤
. Ta có:
2
' 1 4 0
x
∆ = − ≤

Do
đ
ó:
2
2
' 0
0
4 1
1 4 0
(2) 0
0
1
2 1
2
x
x
x
x
x
b
x
t

t
a
∆ =



=
=

− =
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
   
=
= −
=
=








V
ậ
y b
ấ
t ph

ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x=0.
VD2: Giải bất phương trình
:
(
)
(
)
9 2 5 .3 9 2 1 0
x x
x x
− + + + ≥

Gi
ả
i:
Đặ
t
3
x
t
=
đ
i
ề
u ki

ệ
n t>0. khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
(
)
(
)
(
)
2
2 5 9 2 1 0
f t t x t x
= − + + + ≥
. Ta có
( ) ( ) ( )
2 2
' 5 9 2 1 4
x x x∆ = + − + = − .
Do

đ
ó f(t)=0 có 2 nghi
ệ
m t=9 ho
ặ
c t=2x+1
Do
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(
)
(
)
9 2 1 0
t t x
− − − ≥

3 9
9 0 2
2 1 0 3 2 1 0 1
2
0 1
9 0 2
3 9

2 1 0 0 1
3 2 1
x
x
x
x
t x
t x x Bemouli x x
x
x
t x
t x x
x


≥
 
− ≥ ≥

 


 
 
− − ≥ ≥ + ≤ ∨ ≥
≥



  

 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔


 
≤ ≤
− ≤ ≤
  
≤



 
 


− − ≤ ≤ ≤
 
 
≤ +
 




V
ậ
y b
ấ
t ph

ươ
ng trình có nghi
ệ
m
2
x
≥
ho
ặ
c
0 1
x
≤ ≤

BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 3
I. Phương pháp:
S
ử
d
ụ
ng 2
ẩ
n ph
ụ
cho 2 bi
ể
u th
ứ
c m
ũ

trong b
ấ
t ph
ươ
ng trình và khéo léo bi
ế
n
đổ
i b
ấ
t ph
ươ
ng
trình thành ph
ươ
ng trình tích, khi
đ
ó l
ư
u ý:

0
0
. 0
0
0
A
B
A B
A

B

>



>


> ⇔

<



<



và
0
0
. 0
0
0
A
B
A B
A
B


>



<


< ⇔

<



>




II. VD minh hoạ:
VD1: Giải bất phương trình
:
2 2
6 2 4.3 2
x x x x
+
+ ≥ +
Gi
ả
i: Vi

ế
t l
ạ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
2
2 .3 4.2 4.3 2 0
x x x x x
+ − − ≥

Đặ
t
3
2
x
x
u
v

=


=




đ
i
ề
u ki
ệ
n u,v>0. khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:

18

(
)
(
)
2
4 4 0 4 0
3 2
0 0
4 0 2 4 2
0 0

3 2
4 0 2
2 4
x x
x
x x
x
uv v u v u v v
u v x
v x
u v x
v x
+ − − ≥ ⇔ − − ≥


≥
 
− ≥ ≥

 


 
 
− ≥ ≥ ≥


  
 
⇔ ⇔ ⇔


 
− ≤ ≤
  
≤


 
 


− ≤ ≤
 
 
≤
 




V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
2

x
≥
ho
ặ
c
0
x
≤

VD2: Giải bất phương trình
:
2 1
2 2 1 2 4 2
x x
x x
+
+ + < + +

Gi
ả
i:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
2 1 0
2

x x
+ ≥ ⇔ ≥ −

Vi
ế
t l
ạ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
( )
2
2 2 1 2.2 2 2 1
x x
x x
+ + < + +

Đặ
t
2
2 1
x
u
v x


=


= +



đ
i
ề
u ki
ệ
n u>0 và
0
v
≥
. Khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đượ
c bi
ế
n
đổ
i v

ề
d
ạ
ng:
( )
(
)
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 0
2 2 1
x
u v u v u v u v u v
u v x
+ < + ⇔ + < + ⇔ − >
⇔ ≠ ⇔ ≠ +

Ta xét ph
ươ
ng trình:
2
0
2 0
2 2 1 2 2 1
1
2 1
2
x x
x

x
x x
x
x
=

=


= + ⇔ = + ⇔ ⇔


=
=



V
ậ
y b
ấ
t ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
1 1
; / 0;
2 2
x

   
∈ − +∞
 


   

Chú ý: Khi giải phương trình:
2
2 2 1 4 2 1 0
x x
x x
= + ⇔ − − =
ta đã dùng tính chất . Nếu
f’’(x)>0 thì f(x)=0 có tối đa 2 nghiệm
VD3:Bất phương trình
:
5
2 log 2
1
5 1 5 3 5 2.5 16
x
x x x
+
+
− + − ≥ − +
có nghi
ệ
m là
a)

1
x
≤

b) x>1
Gi
ả
i: Vi
ế
t l
ạ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:

( ) ( )
2 1
2
5 1 5 3 2.5 10.5 16
5 1 5 3 2 5 3 2 5 1
x x x x
x x x x
+
− + − ≥ − +

⇔ − + − ≥ − + −

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
5 1 0 0
x
x
− ≥ ⇔ ≥
.
Đặ
t
5 1 0
5 3
x
x
u
v

= − ≥


= −


. B
ấ

t ph
ươ
ng trình
đượ
c bi
ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng:
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
0 0
2 2 5 1 5 3
2 2 0
5 3 0
5 3
1
5 7.5 10 0
5 1 5 3
x x
x
x
x x

x x
u v u v
u v u v u v
u v u v u v
x
+ ≥ + ≥
 
 
+ ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ − = −
 
+ ≥ + − ≤
 
 

− ≥

≥
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− + =

− = −





19

Vậy bất phương trình có nghiệm x=1.
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Ví dụ 1) Giải bất phương trình:
(
)
2 2
3log 2 9log 2
x x x
− > −

Giải:
Điều kiện
0
x
>
. Bất phương trình tương đương:
(
)
(
)
2
3 3 log 2 1
x x x
− > −

Nhận thấy x=3 không là nghiệm của bất phương trình
TH1: Nếu
2
3 1
3 log

2 3
x
x BPT x
x
−
> ⇔ >
−

Xét hàm số:
( )
2
3
log
2
f x x
= đồng biến trên khoảng
(
)
0;
+∞


( )
1
3
x
g x
x
−
=

−
nghịch biến trên khoảng
(
)
3;
+∞

* Với
4
x
>
. Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
4 3; 4 3
f x f g x g
> = < = ⇒
BPT có nghiệm
4
x
>

* Với
4

x
<
. Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
4 3; 4 3
f x f g x g
< = > = ⇒
BPT vô nghiệm
TH2: Nếu
2
3 1
0 3 log
2 3
x
x BPT x
x
−
< < ⇔ <
−

Xét hàm số:
( )
2

3
log
2
f x x
= đồng biến trên khoảng
(
)
0;
+∞


( )
1
3
x
g x
x
−
=
−
nghịch biến trên khoảng
(
)
0;3

* Với
1
x
>
. Ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
1 0; 1 0
f x f g x g
> = < = ⇒
BPT vô nghiệm
* Với
1
x
<
. Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0; 1 0
f x f g x g
< = > = ⇒
BPT có nghiệm kép
0 1

x
< <

Vậy bất phương trình có nghiệm
4
0 1
x
x
>


< <


Ví dụ 2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm:
( )
1 1
3 3
2
log 1 log
x ax a
+ > +

Giải:
Điều kiện:
0
ax a
+ >
. Bất phương trình tương đương
( )

2
1 1
x a x
+ < +

Nếu a>0 thì
1 0
x
+ >
. Ta có:
2
1
1
x
a
x
+
<
+

Nếu a<0 thì
1 0
x
+ <
. Ta có:
2
1
1
x
a

x
+
>
+


Xét hàm số
2
1
1
x
y
x
+
=
+
với
1
x
≠ −
. Có
( )
2
2
1
' 0
1 1
x
y
x x

−
= =
+ +
khi
1
x
=

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có
2
2
a
> hoặc
1
a
< −


20



CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƯỢC GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH
I. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Như vậy thông qua các bài toán trên, chúng ta đã biết được các phương pháp cơ bản để giải bất
phương trình mũ và thông qua các ví dụ minh hoạ chúng ta cũng có thể thấy ngay một điều rằng,
một bất phương trình có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau. Trong mục này
sẽ minh hoạ những ví dụ được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau với mục đích cơ bản là:

+ Giúp các em học sinh đã tiếp nhận đầy đủ kiến thức toán THPT trở nên linh hoạt trong việc lựa
chọn phương pháp giải.
+ Giúp các em học sinh lớp 10 và 11 lựa chọn được phương pháp phù hợp với kiến thức của
mình.
II. VD minh hoạ:
VD: Tìm m dương để bất phương trình sau có nghiệm:

(
)
(
)
2 2 2 2
2 1 2 1
2 3 2 3 8 4 3
x x m m m x x m m m+ − + + + + − + + −
+ + − ≤ +
Gi
ả
i: Nh
ậ
n xét r
ằ
ng:
(
)
(
)
2 3 . 2 3 1
+ − =

Nên n
ế
u
đặ
t
(
)
2 2
2
2 3
x x m m m
u
+ − + +
= +
đ
i
ề
u ki
ệ
n u>1
Thì
(
)
2 2
2
1
2 3
x x m m m
u
+ − + +

− =
. Khi
đ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:





Ta có th
ể
l
ự
a ch
ọ
n 1 trong 2 cách gi
ả
i sau:
Cách 1:
S
ử
d
ụ
ng ph

ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
Đặ
t t=x-m, b
ấ
t ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(
)
2 2
2 2 1 0
t t mt m m
+ + + + − ≤
(2)
+ V
ớ
i
0
t
≥
thì (2)

(
)
(
)
2 2
2 1 2 1 0
f t t m t m m
⇔ = + + + + − ≤
(3)
V
ậ
y (2) có nghi
ệ
m
⇔
(3) có ít nh
ấ
t 1 nghi
ệ
m
0
t
≥

f(t)=0 có ít nh
ấ
t 1 nghi
ệ
m
0

t
≥
1 2
(0
t t
≤ ≤
ho
ặ
c
1 2
0 )
t t
≤ ≤

( )
2
2
2
2
1 2
1
1 2 1 0
' 0
2
2 1 0
(0) 0
1
1
1
1 0

2
0
1
2
2 1 0
1
(0) 0
1
2
m
m m m
m
m m
af
m
m
m
s
m
m m
af
m

− ≤ ≤









+ − − + ≥




∆ ≥
≥










+ − ≥
≥






⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
 ≤ −






− − ≥




≥

 
≤ −







+ − ≤



≤

− ≤ ≤



+ V
ớ
i
0
t
≤
thì (2)
(
)
2 2
( ) 2 1 2 1 0
g t t m t m m
⇔ = + − + + − ≤
(3)
V
ậ
y (2) có nghi
ệ
m
⇔
(3) có ít nh
ấ
t 1 nghi
ệ
m
0
t
≤

( ) ( )

( )
2 2
2
2
2 2
2 3
2 3 4 2 3 4 1 0
2 3 2 3 2 3 2 3 2 1(1)
x x m m m
u u u
u
u x x m m m
+ − + +
+
+ + ≤ + ⇔ − + ≤
⇔ − ≤ ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ + − + + ≤

21

⇔
ph
ươ
ng trình g(t)=0 có ít nh
ấ
t (1) nghi
ệ
m
1 2
1 2
0

0
0
t t
t
t t
 
≤ ≤

≤
 

 
≤ ≤

 

( )
2
2
2
2
1 2
1 2 1 0
' 0
1
2 1 0
(0) 0
1
2
1

1 0
1
2
0
2
1
2 1 0
1
(0) 0
2
m
m m m
m
m m
ag
m
m
s
m
m m
m
ag

− ≤ ≤





− − − + ≥





∆ ≥








≥



+ − ≥
≥





⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤







− − ≤

≤






≤







+ − ≥
− ≤ ≤


≤



Vậy bất phương trình có nghiệm khi
1
0
2

m
< ≤

Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt
t x m
= −
, điều kiện
0
t
≥
. Bất phương trình có dạng:
2
( ) 2 2 1 0
h t t t mx m
= + + + − ≤
(4)
Vậy bất phương trình có nghiệm
min ( ) 0( 0)
h t t
⇔ ≤ ≥
(5)
Nhận xét rằng h(t) là 1 Parabol có đỉnh t=-1<0, do đó
min ( ) (0)( 0)
h t h t
= ≥
. Do đó:
2
1
(5) 2 1 0 1

2
m m m
⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.Vậy bất phương trình có nghiệm khi
1
0
2
m
< ≤

CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
I. Phương pháp:
Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ mũ là việc sử dụng các ẩn phụ. Tuỳ theo
dạng của hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải ( hệ bậc nhất 2
ẩn, hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II và hệ đẳng cấp bậc 2)
Bước 3: Giải hệ nhận được
Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu.
II. VD minh hoạ:
VD1: Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
1
3 2 17
2.3 3.2 8
x y
x y
+ +

+

+ =


+ =


(I)
Giải: Đặt
3
2
x
y
u
v

=


=


điều kiện u, v>0. Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:
2
2 2
1
1
9 6 1 0
3

1
9 4 17
3
3
8 6
1
6 3 8
2
2 2
3
x
y
u u
x
u
u v
u
y
u v
v
v
 
− + =

=
= −

=
+ =


  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
−
=
+ =
=


  
=
=

 

Vậy hệ có cặp nghiệm (-1;1)
VD2: Cho hệ phương trình:
1
1
3 2 2
3 2 1
x y
x y
m m
m m
+
+

+ =



+ = +



a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

22

b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.
Giải: Đặt
1
3
2
x
y
u
v
+

=


=


điều kiện u
3
≥
và v>0. Khi đó hệ (I) được biến đổi về dạng:

2
1
mu v m
u mv m
+ =


+ = +

(II). Ta có:
1
m
D
=

2
1
1
m
m
= −
;
2
1
u
m
D
m
=

+

2
1
2 1;
1
v
m
m m D
m
= − − =

2
2
1
m
m m
m
= −
+

a) Hệ có nghiệm duy nhất khi:

2
0
1 0
1
2 1
3 3 2 1 2 1
1

1 0
0
1
u
v
D
m
m
D
m
u m m
D m
m m
D
m
v
D m




≠
− ≠
≠ ±



+
  
= ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ < − ⇔ − ≤ ≤ −

  
+
  
< − ∨ ≥

 
= >
 
 +


Vậy hệ có nghiệm khi
2 1
m
− ≤ < −
.
a) Với m nguyên ta có m=-2 khi đó hệ có nghiệm là:

1
3 0
3 3
1 1
2 1
1
2 2
x
y
u x
x
v y

y
+


= =
=
 
+ =
 
⇔ ⇔ ⇔
   
= =
=
=

 




Vậy với m=-2 hệ có nghiệm nguyên (0;1)
VD3: Cho hệ phương trình:
2cot sin
sin cot
9 3
9 81 2
gx y
y gx
m
+


=


− =



a) Giải hệ phương trình vớim=1
b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả mãn 0
2
y
π
≤ ≤

Giải: Biến đổi hệ về dạng:
2
. 3
u v m
u v
+ =


= −


Khi đó u, v là nghiệm của phương trình
2
( ) 2 3 0
f t t mt

= − − =
(1)
a) Với m=1 ta được:
sin
0; 0
2
2cot
1 3 9 3
2 3 0
3 1
9 1
y
u v
gx
t u
t t
t v
> <

= − = =
 

− − = ⇔ ←→ ⇔
 

= = −
− = −

 


2
6
1
; 2
sin
5
2 6
; ,
2
2
5
6
cot 0
; 2
2 6
2
y k
x l y y k
y
k l Z
y k
gx
x l y y k
x l
π
π
π π
π π
π

π
π π
π π
π
π


= +




= + = = +



=
  

⇔ ⇔ ⇔ ∈
= +
  


  
=
= + = = +





= +



Vậy với m=1 hệ có 2 họ cặp nghiệm.

23

VD4: Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 2
2 2 2
4 2 4 1
2 3.2 16
x x y y
y x y
− +
+ +

− + =


− =



Giải: Viết lại hệ phương trình dưới dạng:
(

)
2
2
2
2 1
1 2
2 1
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x
x y y
y x y
−
−
−

− + =



− =

(I)
Đặ
t
2
1
4
2
x

y
u
v
−

=


=



đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
4
u
≥
và v>0.
Khi
đ
ó h
ệ
(I)
đượ
c bi

ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng:
2 2
2
4 1(1)
4 4(2)
u uv v
v uv

− + =


− =


(II)
Để
gi
ả
i h
ệ
(II) ta có th
ể
s

ử
d
ụ
ng 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Kh
ử
s
ố
h
ạ
ng t
ự
do t
ừ
h
ệ
ta
đượ
c:
2 2
4 13 3 0
u uv v
− + =
(3)
Đặ
t u=tv, khi
đ
ó:
( )
2 2

3
(3) 4 13 3 0
1
4
t
v t t
t
=


⇔ − + = ⇔

=


+ V
ớ
i t=3 ta
đượ
c u=3v do
đ
ó:
2
(2) 8 4
v
⇔ − =
vô nghi
ệ
m.
+ V

ớ
i
1
4
t
=
ta
đượ
c
1
4
4
u v v u
= ⇔ =
do
đ
ó:
2
(2) 4 4 1
u u
⇔ = ⇔ =

2
2
1
1 1
1 04 1
4 2
2
2 4

x
y
u x
x
v y
y
−

= = ±

− ==
 

⇒
⇔ ⇔ ⇔
   
= =
=
=
 




V
ậ
y h
ệ
ph
ươ

ng trình có 2 c
ặ
p nghi
ệ
m (1;2) và (-1;2)
Cách 2: Nh
ậ
n xét r
ằ
ng n
ế
u (u;v) là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì
0
u
≠

T
ừ
(2) ta
đượ
c
2
4
3

v
u
v
−
= (4). Thay (4) vào (1) ta
đượ
c:
4 2
2 31 16 0
v v
− − =
(5)
Đặ
t
2
, 0
t v t
= >
ta
đượ
c:
2 2
16
1
(5) 2 31 16 0 16 4
1
4
(1)
2
t

u
t t v v
v
t
=

=


⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
⇒
 
=
= −




2
2
1
1
1 04 1
2
2
2 4
x
y
x
x

y
y
−

= ±

− ==


⇔ ⇔ ⇔
  
=
=
=





V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có 2 c
ặ
p nghi
ệ
m (1;2) và (-1;2)

VD5: Giải hệ phương trình
:
2 1
2
2
2
2 3.2 2
2 3 2 2
x x
x
y
y y
+

= = −


− = −



Gi
ả
i:
Đặ
t
2
x
u
=

đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
u
≥
. H
ệ
có d
ạ
ng:

24


( )
( )
( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 3 2
2 3
2 3 2
3 1 0

1
u u y
u y u y u y
y y u
u y
u y u y
y u

− = −

⇒
− − − = − −

− = −


=

⇔ − + − = ⇔

= −


+ V
ớ
i u=y, h
ệ
ph
ươ
ng trình t

ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
2 2 2
2 1 0
1 1
1
2
2 3 2 3 2 0
1
2 2
2
2
x
x
x
y y
u y u y
u y
u y
u u u u u
x
y
y




= =






= =
= =
= =
  


 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
  


= =
− = − − + =
= ±
 

 
=







=

=






+ V
ớ
i y=1-u, h
ệ
ph
ươ
ng trình t
ươ
ng v
ớ
i:

( )
2
2
2
1
1
3 1 0

2 3 1 2
y u
y u
u u
u u u
= −

= −


⇔
 
− + =
− = − −



vô nghi
ệ
m
V
ậ
y h
ệ
có 3 c
ặ
p nghi
ệ
m là (0;1), (1;2) và (-1;2).
VD6: Giải phương trình

:
( )
( )
( ) ( )
2
2
log 3
log
2 2
9 3 2 (1)
1 1 1(2)
xy
xy
x y

− =


+ + + =



Gi
ả
i:
Đ
i
ề
u ki
ệ

n xy>0
+ Gi
ả
i (1):
Đặ
t
(
)
2
log 2
t
t xy xy
= ⇒ =
. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (1) có d
ạ
ng:

(
)
2
log 3
2 2
9 3 2 2 3 3 2.3 3 2.3 3 0
t t t t t t
− = ⇔ − = ⇔ − − =
(3)

Đặ
t
3 , 0
t
u u
= >
, khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (3) có d
ạ
ng:

2
1(1)
2 3 0 3 3 1 2
3
t
u
u u t xy
u
= −

− − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

=


+ Gi

ả
i (2):
( ) ( )
2
2 2
2 2 1 0 2 2 1 0
x y x y x y x y xy
⇔ + + + + = ⇔ + + + − + =

( ) ( )
2
2 3 0
x y x y
⇔ + + + − =
(4)
Đặ
t v=x+y, khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (4) có d
ạ
ng:

2
1 1
2 3 0
3 3
v x y
v v

v x y
= + =
 
+ − = ⇔ ⇔
 
= − + = −
 

V
ớ
i x+y=1 ta
đượ
c:
1
2
x y
xy
+ =


=


Khi
đ
ó x, y là nghi
ệ
m c
ủ
a ph

ươ
ng trình:
2
2 0
X X
− + =
vô nghiêm
V
ớ
i x+y=-3, ta
đượ
c:
3
2
x y
xy
+ = −


=


Khi
đ
ó x, y là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ

ng trình :
2
1 1
3 2 0
2 2
X x
X X
X y
= =
 
− + = ⇔ ⇔


= =
 
và
2
1
x
y
=


=


V
ậ
y h
ệ

có 2 c
ặ
p nghi
ệ
m (1;2) và (2;1)

25

VD7: Giải hệ phương trình
:
3 1 2 3
2
2 2 3.2 (1)
3 1 1(2)
x y y x
x xy x
+ − +

+ =


+ + = +



Gi
ả
i:
Ph
ươ

ng trình (2)
( )
2
1 0
1
1 0
0 1
3 1 0
3 1 1
3 1 0 1 3
x x
x
x
x x
x x y
x xy x
x y y x
≥ − =
 
≥ −
+ ≥


 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= ≥ −
 
  


+ − =
+ + = +







+ − = = −
 
 

+ V
ớ
i x=0 thay vào (1) ta
đượ
c:
2
2
8 8
2 2 3.2 8 2 12.2 2 log
11 11
y y y y y
y
−
+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
+ V
ớ
i

1
1 3
x
y x
≥ −


= −

thay y=1-3x vào (1) ta
đượ
c:
3 1 3 1
2 2 3.2
x x+ − −
+ = (3)
Đặ
t
3 1
2
x
t
+
= vì
1
t
≥ −
nên
1
4

t
≥

( ) ( )
2 3 1
2 2
3 8(1)
1
(3) 6 6 1 0 2 3 8
3 8
1
log 3 8 1 2 log 3 8
3
x
t
t t t
t
t
x y
+

= −
⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = +

= +


 
⇔ = + −
⇒

= − +
 

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m:
2
0
8
log
11
x
y
=



=


và
( )
( )
2

2
1
log 3 8 1
3
2 log 3 8
x
y

 
= + −

 


= − +


BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. Phương pháp:


Ta th
ự
c hi
ệ
n theo các b
ướ
c sau:
B
ướ

c 1:
Đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho các bi
ể
u th
ứ
c trong h
ệ
có ngh
ĩ
a.
B
ướ
c 2: T
ừ
h
ệ
ban
đầ
u chúng ta xác
đị
nh
đượ
c 1 ph

ươ
ng trình h
ệ
qu
ả
theo 1
ẩ
n ho
ặ
c c
ả
2
ẩ
n,
gi
ả
i ph
ươ
ng trình này b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp hàm s
ố

đ
ã bi
ế
t
B

ướ
c 3: Gi
ả
i h
ệ
m
ớ
i nh
ậ
n
đượ
c
II. VD minh hoạ:
VD1: Giải hệ phương trình
:
2 2
3 3 (1)
12(2)
x y
y x
x xy y

− = −


+ + =



Gi

ả
i: Xét ph
ươ
ng trình (1) d
ướ
i d
ạ
ng: 3 3
x y
x y
+ = +
(3)
Xét hàm s
ố
( ) 3
t
f t t
= +

đồ
ng bi
ế
n trên R.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (3)
đượ
c vi

ế
t d
ướ
i d
ạ
ng:
(
)
(
)
f x f y x y
= ⇔ =
. Khi
đ
ó h
ệ
có d
ạ
ng:
2 2 2
2
2 2
12 3 12
x y x y
x y x y
x x y
x xy y x
= =
= = =
 

 
⇔ ⇔ ⇔
  

= ± = = −
+ + = =
 
 

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có 2 c
ặ
p nghi
ệ
m (2;2) và (-2;-2)
VD2: Giải hệ phương trình
:
2 2 3
2 2 3
x
y
x y
y x

+ = +



+ = +

