Giáo trình lý thuyết đồ thị đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị

1
TOÁN RỜI RẠC
ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN
VỀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ
2
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Bài toán

Tìm cách làm cho các con
đường đi dẫn từ 3 ngôi nhà
tới 3 cái giếng sao cho không
có 2 con đường nào cắt
nhau?

Mô hình bài toán

Đỉnh: các gia đình và
giếng nước

Cạnh: đường đi từ nhà
đến các giếng

Có thể vẽ đồ thị mà không
có 2 cạnh nào cắt nhau?
3
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG


Đồ thị phẳng

Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ
được trên một mặt phẳng mà không có các cạnh
nào cắt nhau ở điểm không phải là điểm mút của
mỗi cạnh.

Hình vẽ như vậy được gọi là một biểu diễn phẳng
của đồ thị.
4
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Đồ thị phẳng

Ví dụ

Đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không?
5
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Đồ thị phẳng

Ví dụ

Đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không?
6
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG


Đồ thị phẳng

Ví dụ

Chứng minh K
3,3
không phẳng.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6

v
1
v
2
v
4
v
5
R

2
R
1

R
21
v
3
R
1

R
22
v
5
v
4
v
2
v
1
7
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Đồ thị phẳng

Công thức Euler

Tất cả biểu diễn phẳng của cùng một đồ thị có số

miền bằng nhau

Định lý 1

Trong đơn đồ thị phẳng, liên thông thì
r = e – v + 2

r: số miền

e: số cạnh

v: số đỉnh
8
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Công thức Euler

Chứng minh

Xây dựng dãy đồ thị con của G

G1 ≡ e
1

G
i
= G
i-1
∪ e

i
(i = 2,3, …, e)

G ≡ G
e

Quy nạp

Định lý đúng với G
1

Giả sử G
n
phẳng thỏa r
n
= e
n
− v
n
+ 2

Xét đồ thị phẳng G
n+1


G
n+1
= G
n
∪ (a

n+1
, b
n+1
)
9
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Công thức Euler

Chứng minh

Xét đồ thị phẳng G
n+1


G
n+1
= G
n
∪ (a
n+1
, b
n+1
)

Nếu a
n+1
, b
n+1

đều thuộc G
n

a
n+1
, b
n+1
nằm trên miền biên của miền chung

r
n+1
= r
n
+ 1

e
n+1
= e
n
+ 1

v
n+1
= v
n
⇒ r
n+1
= e
n+1
− v

n+1
+ 2.
a
n+1
b
n+1
10
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Công thức Euler

Chứng minh

Xét đồ thị phẳng G
n+1


G
n+1
= G
n
∪ (a
n+1
, b
n+1
)

Nếu b
n+1

(hoặc a
n+1
) không thuộc G
n

Chỉ có a
n+1
nằm trên miền biên của miền chung

r
n+1
= r
n

e
n+1
= e
n
+ 1

v
n+1
= v
n
+ 1
⇒ r
n+1
= e
n+1
− v

n+1
+ 2.
a
n+1
b
n+1
11
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Công thức Euler

Ví dụ

Tính số miền trong một đơn đồ thị phẳng liên
thông có 8 đỉnh và mỗi đỉnh đều có bậc 3
12
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Công thức Euler

Hệ quả 1

Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e
cạnh và v đỉnh; v
≥
3. Khi đó: e
≤
3v

−
6.

Chứng minh:

Trong một đồ thị phẳng

Mỗi miền được bao ít nhất 3 cạnh

Mỗi cạnh nằm trên nhiều nhất 2 miền
⇒ 3r ≤ 2e (*)

Theo định lý Euler: r = e – v + 2

Thay vào (*) ta có: e ≤ 3v − 6 (đpcm)
13
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Công thức Euler

Hệ quả 2

Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh
và v đỉnh; v
≥
3 và không có chu trình độ dài 3.
Khi đó: e
≤
2v

−
4.

Chứng minh:

Trong một đồ thị phẳng không có chu trình độ dài 3

Mỗi miền được bao ít nhất 4 cạnh

Mỗi cạnh nằm trên nhiều nhất 2 miền
⇒ 4r ≤ 2e (*)

Theo định lý Euler: r = e – v + 2

Thay vào (*) ta có: e ≤ 2v − 4 (đpcm)
14
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Công thức Euler

Hệ quả 2

Ví dụ: Chứng minh K
3,3
không phẳng.
15
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG


Công thức Euler

Hệ quả 3

Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e
cạnh và v đỉnh. Khi đó V có ít nhất đỉnh w thỏa
d(w)
≤
5

Định lý 2

Cho G là một đơn đồ thị phẳng với e cạnh, v đỉnh
và có k thành phần liên thông. Gọi r là số miền
(regions) trong biểu diễn phẳng của G. Khi đó:
v
−
e + r = k + 1.
16
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
ĐỒ THỊ PHẲNG

Định lý Kuratowski

Đồ thị G là không phẳng khi và chỉ khi G chứa
một đồ thị con đồng phôi với K
3,3
hoặc K
5
.


Ví dụ:

Chứng minh các đồ thị sau không phẳng.
a
b c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
g
h
17
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Bài toán

Tô màu một bản đồ

2 miền có chung biên
giới được tô bằng 2
màu tùy ý, miễn là
khác nhau


Xác định số màu tối
thiểu cần có để tô
màu một bản đồ sao
cho hai miền kề nhau
có màu khác nhau.
18
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Bài toán

Tô màu một bản đồ

Mô hình hóa bài toán

Đỉnh: các miền có trên
bản đồ

Cạnh: nối hai đỉnh nếu
các miền được biểu diễn
bằng hai đỉnh này có
biên giới chung.

Yêu cầu: Gắn các màu
cho các đỉnh của đồ thị
sao cho không tồn tại 2
đỉnh kề nhau có cùng
một màu.
A
B

C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G

19
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Định nghĩa

Tô màu một đơn đồ thị là việc gán màu cho các
đỉnh của nó sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác
nhau.

Sắc số (Chromatic number)

Số màu tối thiểu cần thiết để tô màu G.

Ký hiệu:
χ
(G).

20
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Định nghĩa

Ví dụ

Tìm sắc số của đồ thị sau:

Số màu cần tô: 4

v
1
v
3
v
6
v
4
đôi một kề nhau
⇒χ(G) = 4
v
1
v
2
v
3
v
4

v
5

v
6
v
7
21
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Định lý

Mọi đơn đồ thị đầy đủ đều có: χ(K
n
) = n.

Chứng minh

Quy nạp theo n

n = 1: Thỏa

Giả sử χ(K
n
) = n

Xét K
n+1
= (V, E)


V’ = V \ {v
n+1
}, E’ ⊂ E

G (V’, E’) ≡ K
n

v
n+1
v
i
∈ E
⇒ χ(K
n+1
) = n + 1
22
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Một số định lý về tô màu đồ thị

Định lý 1

Mọi chu trình độ dài lẻ đều có sắc số là 3

Chứng minh

Quy nạp
23

Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Một số định lý về tô màu đồ thị

Định lý 2

Nếu G có chứa một đồ thị con đẳng cấu với K
n
thì
χ
(G)
≥
n

Ví dụ: Tìm sắc số của đồ thị sau

Chú ý

Nếu G’ ⊂ G thì χ(G) ≥ χ(G’)
A
B
C
D
E
F
24
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị


Một số định lý về tô màu đồ thị

Định lý 3

Một đơn đồ thị G = (V, E) có thể tô bằng 2 màu khi
và chỉ khi nó không có chu trình độ dài lẻ

Chứng minh

Nhận xét

χ
(C
n
) = 2 nếu n chẵn (n
≥
3)

χ
(C
n
) = 3 nếu n lẻ (n
≥
3)
25
Chương 2. Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị

Một số định lý về tô màu đồ thị


Định lý 4 (Định lý 4 màu)

Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4

Định lý được chứng minh bởi Appel và Haken

Đây là định lý đầu tiên được chứng minh với sự trợ giúp
của máy tính

Ta có thể chứng minh định lý yếu hơn:

Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 5