Kỹ thuật tìm nghệm của phương trình lượng giác có điều kiện

CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
1
CLB GIA SƯ KHOA HỌC. TRẦN MẬU TÚ-TMT-

KỸ NĂNG TÌM
NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC CÓ
ĐIỀU KIỆN.
 Phương pháp dùng đường tròn lượng giác, giúp các em hiểu và bày cách áp
dụng để vẽ và làm.
 Phương pháp thay nghiệm.
 Phương pháp biến đổi lượng giác.
 Phương pháp đưa về hàm nhất định.
 Phương pháp nhiều phương pháp hợp lại.

Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-

LỜI TỎ TÌNH:

Chào các em, giải 1 phương trình lượng giác, trong 1 số bài toán,
các em có thể gặp phải những bài toán có điều kiện, bắt buộc các
em phải loại nghiệm, rất nhiều em đang gặp khó khăn trong việc
loại nghiệm và tìm nghiệm, nên hôm nay anh xin được viết
chuyên đề này nhằm cung cấp cho các em các kỹ năng để các em
có thể xữ lý dạng toán như trên.

Tất nhiên trong quá trình biên soạn không tránh khỏi những sai
sót, mong các em đóng góp ý kiến và chỉ giáo.

Thân ái gửi các em!

CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
2






Phương pháp 1
: Đưa điều kiện và nghiệm về cùng 1 loại hàm số lượng
giác.
Để các em hiểu được cách làm loại này, anh sẽ trình bày các ví dụ sau.
 Ví dụ 1: Giai phương trình sau:
3
2 2
2
sin 1
2cos cotg
sin
x
x x
x

  .
Các em thấy điều kiện là: sinx

0.
Với phương pháp tìm nghiệm này, các em không cần làm bước :
sinx 0
x k


  
. các em chỉ cần viết sinx

0 là được.
Ta có:

3
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
sin 1
2cos cotg
sin
1
2cos cotg sinx sinx 1 cot .
sin
2cos sinx 1
2 2sin sinx 1
2sin sinx 1 0
sinx 1
1
sinx
2
x
x x

x
x x g x
x
x
x
x

 
      
  
   
   
 







Đến đây các em thấy điều kiện là sinx

0. Còn nghiệm là:
sinx 1
1
sinx
2
 







; cho nên đây
là nghiệm của phương trình luôn.
Đây là cách chúng ta đưa về cùng hàm sinx để so sánh điều kiện mà không cần tìm x ra
.
 Ví dụ 2: Giai phương trình:
2 4
sin 2 cos 2 1
0
sin x.cos
x x
x
 

.
Điều kiện:
sin 2 0
x

, Khi đó ta có
CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
3
:
 
2 4
2 4
2

2 2
2 2 4
4 2
2 2
2
sin 2 cos 2 1
0
sin x.cos
sin 2 cos 2 1 0
sin 2 1 sin 2 1
sin 2 1 2sin 2 sin 2 1 0
sin 2 sin 2 0
sin 2 (sin 2 1) 0
sin 2 0
sin 2 1
sin 2 1
x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x
 

   
   

     
  
  



 


 


Đến đây các em đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là sin2x=1.
Cách làm này giúp các em không cần tìm nghiệm x ra rồi sau đó mới đi đối chiếu, thay
vì làm vậy, chúng ta đi về đối chiếu với cùng 1 hàm số, trong ví dụ này là hàm sin2x.
 Ví dụ 3: Giai phương trình:
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
gx x x
x
   



Điều kiện:
sinx 0
cos 0

tan 1
x
x






 


Khi đó ta có:

2
2 2
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
cos sinx cosx(cos sin )
sin sinx.cosx
sinx cos sinx
cos sinx cosx(cos sin )(cosx sinx)
sinx(sinx cos )
sinx cos sinx
1
(cos sinx)( cos sinx) 0
sinx
cos sinx 0

1
x
gx x x
x
x x x
x
x
x x x
x
x
x x
x
   

 
   

  
   

    
 

2
2
cos sinx 0
sinx
cos sinx
sin sinx.cosx 1 0
tan 1

sin sinx.cosx 1 0
x
x
x
x
x



  





  





  


Ta thấy là tanx = 1 thỏa mãn điều kiện ở trên => tanx = 1 là 1 nghiệm.
Ta xét :
2
sin sinx.cosx 1 0
x
  

. Ta chia cho cosx

0 ta có:

CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
4
2
2 2
2
sin sinx.cosx 1 0
2sin sinx.cosx cos 0
2 tan 1 0
x
x x
x tanx
  
   
   

Phương trình này vô nghiệm, vậy suy cho cùng thì nghiệm của phương trình là tanx=1.
Lời bình: Qua đây chúng ta thấy việc đưa về 1 hàm xác định rồi đối chiếu đôi khi sẽ trở
nên rất hữu dụng trong 1 số bài toán.





 Phương pháp 2:
Biến đổi lượng giác.

Phép biến đổi ở đây là chúng ta cũng đưa về phương pháp 1, tức là các em dùng các
phép biến đổi lượng giác để đưa về 1 hàm lượng giác xác định để dễ dàng đối chiếu.
 Ví dụ 1: Giai phương trình sau:
2
cot tan 4sin 2
sin 2
gx x x
x
  

Ta có:

2 2
2
2
2
cot tan 4sin 2
sin 2
sin 2 0
cos sinx 2
4sin 2
sinx cos sin 2
2(cos sin ) 2
4sin 2
sin 2 sin 2
2cos2 4sin 2 2
2cos 2 cos2 1 0
cos2 1
1

cos2
2
gx x x
x
x
x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
  

   

  
  
   








Các em có: cos2x = 1 => sin2x =0, đối chiếu điều kiện rõ ràng không hợp lý. Do đó
không phải là nghiệm.
Với
1
cos 2
2
x

thì ta có sin2x =
3
2

; thõa mãn điều kiện. Do đó là nghiệm của
phương trình.
Các em thấy đấy, chúng ta đã vận dụng phương pháp biến đổi để đưa về phương pháp 1
rất dễ dàng thực hiện.
 Ví dụ 2: Giai phương trình:
2 3
4sin3 1 7sin (2 cos )sinx +7sin
0
cos
x x x x
x
   


Ta có điều kiện là:
cos 0
x


=>
sinx 1 
. Khi đó phương trình:
CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
5
2 3
2 3
3 3
3
3
4sin3 1 7sin (2 cos )sinx +7sin
0
cos
4sin3 1 7sin (1 sin )sinx 7sin
0
cos
4sin3 1 7sin sinx sin 7sin
0
cos
4sin3 1 8sin 6sin
0
cos
4sin3 1 2(3sin 4sin )
0
cos
2sin3 1
0
cos
2s

x x x x
x
x x x x
x
x x x x
x
x x x
x
x x x
x
x
x
   

    
 
    
 
  
 
  
 

 

3
in 3 1 0
8sin 6sin 1 0.
x
x x

 
    

Đến đây ta thay
sinx= 1
vào ta thấy không thỏa mãn phương trình cuối, do đó ta tìm
được nghiệm của phương trình cuối chính là nghịêm của phương trình ban đầu.

Lời bình: Như vậy, qua đây, chúng ta thấy được là, không cần phải tìm nghiệm cụ thể,
nhưng chúng ta vẫn biết cách tìm nghiệm và loại nghiệm.









Phương pháp 3:
Phương pháp thử nghiệm:

Phương pháp này yêu cầu chúng ta phải tìm nghiệm nó ra, sau đó chúng ta đi thay
nghiệm vào hàm điều kiện xem thỏa mãn hay không.

 Ví dụ : Giai phương trình sau:

1 2(sinx cos )
tanx cotg 2x cot 1
x

gx


 

Ta có: Điều kiện :
cos 0
tanx cotg 2x 0 sinx 0
DK:
cot 1 0 sin 2 0
cos sinx 0
x
gx x
x



  



 
  



 


Khi đó:

CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
6
1 2(sinx cos )
tanx cotg 2x cot 1
cos .sin 2x 2 sinx(sinx cos )
sinx.sin 2 cos2 .cosx cosx sinx
cos .sin 2x
2 sinx
cos
sin 2 2sinx
sinx(2cosx 2) 0
sinx 0
2
cos
2
x
gx
x x
x x
x
x
x
x


 

 
 
  

  
  





 



Rõ ràng là sinx = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Với:
2
cos
2
3
2 ;
4
x
x k k Z


 
    

Đến đây các em phải đối chiếu hệ điều kiện trên, phương pháp này bảo các em hãy thay
giá trị nghiệm vào hệ điều kiện đó: Khi đi thi, các em cũng trình bày như vậy vào bài
làm, các em nói: Ta thay nghiệm vừa tìm được vào hệ điều kiện.
Sau khi thay vào để kiểm tra xem nó thỏa mãn hay không,ta có kết quả là:

3
2 ;
4
x k k Z


   
; là nghiệm mà thôi.

Lời bình: Phương pháp này rất dễ thực hiện nhĩ, các em nhớ phương pháp này để áp
dụng vào 1 số bài toán mà hệ điều kiện phức tạp nhé.

 Phương pháp 4:
Dùng đường tròn lượng giác.


Đây là 1 phương pháp rất hay và khá thông dụng, anh sẽ tập trung giới thiệu cho các em
về cách để các em có thể vận dụng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm và loại
nghiệm.

Chúng ta quy ước như sau:
1. Chúng ta làm việc đầu tiên là: Biểu diễn tất cả các điểm lên trên đường tròn :
Những điểm là ĐK thì đánh dấu nhân, những điểm là nghiệm tìm được là dấu chấm.

2.Khi đó những điểm có dấu chấm mà không trùng vơi dấu nhân thì những điểm đó
là nghiệm cần tìm.

Cách biểu diễn:
3. Nếu nghiệm tìm được có dạng
2 ,

x a k k Z

  
thì ta chỉ cần biểu diễn 1 điểm
( thay k =0) ( 1 dấu chấm)
CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
7
4.Nếu nghiệm tìm dược có dạng:
,
x a k k Z

  
thì biểu diễn trên đường tròn gồm
2 điểm (tức thay k=0, k=1), và 2 diểm này đối xứng qua tâm O.
5.Nếu nghiệm tìm được có dạng
2
,
3
k
x a k Z

  
thì biểu diễn được 3 điểm ( thay
k=0 k=1,k=2), 3 điểm này là 3 đỉnh của 1 tam giác đều.
6. Ta tổng quát hóa nghiệm dạng
2
, , 3
k
x a k Z n
n


   
thì ta biểu diễn được n
điểm trên đường tròn ( thay k =0,12 n-1) , và n điểm lập thành đa giác đều.

Bây giờ chúng ta đi vào các ví dụ cho dễ hiểu:
Anh sẽ lấy ví dụ về cách tìm nghiệm, nên sẽ không ra bài toán nữa, mà sẽ ra các bài
tìm nghiệm .


 Ví dụ 1: Chúng ta lấy kết quả của các ví dụ trước nhé.

Nghiệm là tìm được là :
sinx
3
2 ; .
2
4
cos
2
3
2
4
x k
o
x k k Z
x
x k














   


 




  


Điều kiện là:
sinx 0
2
cos 0
2
;
sin 2 0
2

2
sinx cos 0
1
4
x k
x k
x k
x k
x
k Z
k
x k
x
x
x
tanx
x k




















 

 



  
  
  


  

  
 

 

 




Yêu cầu là tìm nghiệm của phương trình:

Áp dụng phương pháp đường tròn lượng giác ta có:


CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
8

Các em nhìn vào hình có: Biểu diễn các điểm là nghiệm tìm được trước gồm các điểm
là dấu chấm, biểu diễn các điểm là điều kiện là các dấu gạch chéo, nhìn vào đó, ta thấy
dấu chấm và gạch chéo trùng nhau sẽ bị loại, vậy nhìn vào đó, ta có nghiệm là x =
3
2 ,
4
k k Z


 
Kết quả giống bài trên đúng k các em.

 Ví dụ 2: Cho nghiệm tìm được là:
;
6 2
k
x k Z
 
  

Điều kiện là:

4 2
2

2
3
k
x
x k
 



 




  



Tìm nghiệm của phương trình đó:

Ap dụng phương pháp đường tròn lượng giác ta có:
CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
9

Trên đường tròn lượng giác, các em biểu diễn:
6 2
k
x
 
 

gồm bốn điểm
( bốn dấu chấm trên hình). Tiếp theo các em biểu diễn
4 2
2
2
3
k
x
x k
 



 




  


bởi 6 điểm ( 6
dấu nhân).
Các em quan sát thấy rằng, nếu dấu chấm và dấu nhân trùng nhau, diều này có nghĩa là
chúng bị loại, còn nếu dấu chấm nào nằm đơn lẽ, thì đó chính là nghiệm.
Vậy nghiệm trong trường hợp này là:
,
6
x k k Z



  
;
5
2 ,
6
x k k Z


  
.

Lời bình: Sẽ có 1 số em bảo, tại sao lại chỉ có 4 điểm, tại sao có 6 diểm dấu nhân: Lý do
anh đã nêu ở chỗ phương pháp rồi, nếu các em lấy nhiều thêm nữa thì nó vẫn trùng với
4 hay 6 điểm đó mà thôi.
 Ví dụ 3: Cho các nghiệm tìm được là:

;
2
6
5
2
6
x k
x k
k Z
x k
x k

 








 



 



 



CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
10
Và điều kiện là: ;
2
3
x k
k
x k Z
x k
 






 


 



 



Tìm nghiệm của phương trình:
Áp dụng phương pháp đừng tròn lượng giác ta có:

Các em lần lượt biểu diễn: ;
2
6
5
2
6
x k
x k
k Z
x k
x k


 







 



 



 


lên vòng tròn bởi các dấu chấm, sau
đó biểu diễn: ;
2
3
x k
k
x k Z
x k
 






 


 



 


; bởi các dấu nhân chéo.
Sau đó các em thấy nhưng điểm có sự trùng nhau giữa dấu chấm và dấu nhân thì đó là
nghiệm loại, cái dấu chấm nào cô lập là nghiệm cần tìm:
Do vậy nghiemj của phương trình là:
CLB Gia Sư Khoa Học Biên soạn: Trần Mậu Tú-TMT-
11
2
6
x k


 
;
5
2
6
x k



 
.
Lời bình: Các em đã hiểu được phương pháp này rồi chứ, rát hay và bổ ích cho các
phương pháp trên nếu các em biết vận dụng thuần thạo.

 Phương pháp của nhiều phương pháp kết hợp lại:
Toán học không phải lúc nào nó cũng cho chúng ta nhưng việc làm đơn giản, nhiều khi
người ra đề sẽ không cho các em làm bài toán được 1 cách dễ dàng bằng 1 phương pháp
nhất định ,đôi khi các em cần linh hoạt hơn trong các bài toán.




CUỐI CÙNG ANH XIN KẾT THÚC CHUYÊN ĐỀ TẠI ĐÂY
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP THẬT CÙNG VỚI TÀI LIỆU NÀY.
-HẾT-


TRẦN MẬU TÚ –TMT-