Nguyên hàm tích phân ứng dụng

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Học xong chương này yêu cầu HS phải đạt được các kiến thức và kĩ năng sau :
-
Nắm vững khái niệm nguyên hàm ;
-
Nhớ bảng các nguyên hàm cơ bản ;
-
Nhớ các tính chất cơ bản của nguyên hàm ;
-
Nhớ định nghĩa tích phân ;
-
Phương pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tích phân từng phần ;
-
Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học.
-
I Mục tiêu của chương
1. Về kiến thức
2. Về kĩ năng
Biết vận dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm, phương pháp đổi biến số
và phương pháp tìm nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số
không quá phức tạp.

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
-
Biết vận dụng các tính chất cơ bản của tích phân, phương pháp đổi biến số và
phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân các hàm số không quá phức
tạp .

-
Biết ứng dụng tích phân trong các bài toán tính diện tích các hình và tính thể
tích các vật thể có hình dạng không quá phức tạp.
Giúp cho HS thấy được khái niệm tích phân ra đời xuất phát từ nhu cầu giải
các bài toán thực tiễn, cụ thể là bài toán tính diện tích hình thang cong và bài
toán tìm quãng đường đi được của một vật. Sau khi ra đời và phát triển, phép
tính tích phân đã có nhiều ứng dụng to lớn trong khoa học kĩ thuật. Đây là một
minh chứng rất rõ cho luận điểm triết học : "Toán học xuất phát từ thực tiễn rồi
lại quay trở về ứng dụng vào thực tiễn". Từ đó giúp HS thấy thêm yêu thích học
môn Toán.
3. Về thái độ
2. Về kĩ năng



Nội dung của chương gồm 6 bài được dự kiến thực hiện trong 20 tiết, phân phối
cụ thể như sau :
§1. Nguyên hàm 2 tiết
§2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
§3. Tích phân 3 tiết
§4. Một số phương pháp tính tích phân 2 tiết
Luyện tập 2 tiết
§5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 2 tiết
§6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể 2 tiết
Luyện tập 2 tiết
Ôn tập và kiểm tra chương 2 tiết
Ngoài ra trong chương có :
Bài đọc thêm : "Tính gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích phân"
Em có biết :

Bài 1 : Nguồn gốc kí hiệu nguyên hàm và tích phân.
II Cấu tạo chương
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG


Bài 2 : 1. Ai là người phát minh ra phép tính tích phân.
2. Vài nét về cuộc đời và sự nghiệp của Niuton và Lepnit.
Chú ý :
* Tiết Luyện tập nhằm mục đích : Ôn tập một số bài đã học
trước đó và rèn luyện kĩ năng vận dụng, giải bài tập của HS.
* Sự khác nhau giữa SGK theo chương trình nâng cao và SGK
theo chương trình chuẩn chủ yếu ở phần kĩ năng. Trong khi SGK
theo chương trình nâng cao yêu cầu HS có kĩ năng tìm nguyên
hàm, tính tích phân của các hàm số không quá phức tạp, tính
diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng không quá
phức tạp thì SGK theo chương trình chuẩn chỉ yêu cầu HS có kĩ
năng tìm nguyên hàm, tính tích phân của các hàm số đơn giản,
tính diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng khá
đơn giản.
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
III NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
1 Nội dung
a. Trong SGK chỉ có những bài toán cơ bản về tìm nguyên hàm, các bài tập có
tính chất mẹo mực đều bị loại bỏ. GV không nên yêu cầu HS giải các bài
toán tìm nguyên hàm phức tạp, phải sử dụng các mẹo mực, tiểu xảo.

b.Trước đây, trong SGK 2000 và trong sách thí điểm, kí hiệu
dùng để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của f(x).
f (x)dx
∫
Trong SGK 12 ban Tự nhiên, kí hiệu còn dùng để chỉ một
nguyên hàm bất kì của f, tức là là một hàm số thông thường chứ
không phải là một tập hợp nữa.
Nói cách khác, coi hai hàm số sai khác nhau một hằng số là một hàm số. Khi
đó nguyên hàm của f là duy nhất và được kí hiệu bởi
f (x)dx
∫
f (x)dx
∫
f (x)dx
∫


Do vậy nếu F là một nguyên hàm của f thì = F(x) + C với C là hằng
số.
Điều này cũng tương tự như trong lượng giác : Nếu α là số đo của một góc
lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov thì sđ(Ou,Ov) = α + k2π , trong đó k là
số nguyên. Cách hiểu kí hiệu như vậy có những ưu điểm sau :
f (x)dx
∫
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1 Nội dung
- Viết = F(x) + C là hoàn toàn chính xác.
- Chứng minh được dễ dàng công thức trong Định lí 2 §1 , công thức lấy
nguyên hàm từng phần.

- Ta dùng được kí hiệu rất trực quan và tiện lợi là :
Sử dụng kí hiệu này từ công thức đổi biến số và công thức lấy nguyên hàm
từng phần cho ta ngay lập tức các công thức tương ứng trong tích phân
f (x)dx
∫
b
b
a
a
f (x)dx f (x)dx
=
∫ ∫

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1 Nội dung
c. Về mặt lịch sử, khái niệm tích phân được định nghĩa thông qua giới hạn của
tổng tích phân và độc lập với khái niệm nguyên hàm. Công thức Niuton –
Lepnit thiết lập mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm được gọi là định lí cơ
bản của tích phân. Vì lí do sư phạm nên trong SGK đã trình bày theo một trình
tự "ngược ”so với lịch sử hình thành của phép tính tích phân. Tích phân được
định nghĩa thông qua nguyên hàm, nhờ công thức Niuton - Lepnit.
d. Việc không đưa vào tổng tích phân làm cho HS không thấy được bản chất
đích thực của phép tính tích phân, từ đó phải thừa nhận hàng loạt những ứng
dụng của tích phân như tính diện tích, thể tích, quãng đường đi được của một
vật. Đồng thời cũng khó cho GV giải thích cho HS lại dùng các kí hiệu
, để chỉ nguyên hàm và tích phân trong khi nếu khái
niệm tích phân được định nghĩa bằng tổng tích phân đúng như lịch sử ra đời
của nó thì các kí hiệu nguyên hàm và tích phân xuất hiện rất tự nhiên.
f (x)dx

∫
b
a
f (x)dx
∫

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1 Nội dung
Để phần nào khắc phục điều này, SGK có Bài đọc thêm . "Tính
gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích phân", từ đó giải thích
cho HS nguồn gốc của các kí hiệu nguyên hàm và tích phân trong
bài Em có biết : nguồn gốc kí hiệu nguyên hàm và tích phân".
Tổng tích phân trình bày ở đây chưa phải là tổng Riman như định
nghĩa tích phân trong các giáo trình ở trường đại học vì tổng này
chỉ là tổng Riman ứng với phân hoạch đều và với các điểm chọn là
đầu mút trái. Vì chúng ta chỉ làm việc với hàm liên tục nên giới
hạn của dãy tổng tích phân này chính là tích phân của hàm số.
Thông qua bài đọc thêm này HS một lần nữa lại thấy được tầm
quan trọng của khái niệm giới hạn và tính gần đúng.

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2. Phương pháp
a. Sự thay đổi chủ yếu trong SGK lần này là đổi mới phương pháp. SGK cố
gắng quán triệt phương châm : Lấy HS làm trung tâm, tăng cường tính chủ động
của HS, giảm lí thuyết kinh viện, tăng thực hành, gắn với thực tiễn. Tránh áp đặt
kiến thức. Trước khi trình bày một khái niệm mới, SGK đều có ví dụ dẫn dắt,
nêu Bài toán mở đầu, tạo tình huống để HS thấy nhu cầu, sự cần thiết phải có
các khái niệm đó. Với mỗi khái niệm, SGK cố gắng cho HS thấy nó từ đâu đến và

nó dùng để làm gì.
b. Để HS chủ động và tích cực trong học tập, tạo cơ hội cho sự thảo luận và đối
thoại giữa GV và HS tại lớp, khắc phục căn bệnh "thầy đọc - trò ghi", SGK đã
thiết kế các câu hỏi và hoạt động xen kẽ trong bài học. Các hoạt động này đều
nhằm một mục đích xác định (có nêu trong SGV). Chúng là cần thiết, không
được bỏ qua. Tuy nhiên, nội dung hoạt động trình bày trong SGK chỉ có tính
chất gợi ý. Căn cứ trên mục đích này, tùy theo khả năng của GV, năng lực của
HS, hoàn cảnh cụ thể của lớp học, GV có thể sáng tạo ra các hoạt động khác
tương tự cho phù hợp hơn. GV cho HS một khoảng thời gian cần thiết (khoảng 5
phút) để suy nghĩ và khuyến khích HS mạnh dạn trả lời. Trả lời đúng cho điểm
tốt nhưng trả lời sai thì không bị điểm kém.

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2. Phương pháp
c. Cũng để tránh nạn học vẹt, tăng khả năng tự học và thực hành của HS, trong
chương này có nhiều bài tập. GV cần dành nhiều thời gian cho HS làm bài tập ở
nhà. Cái gì các em tự làm lấy, tự khám phá sẽ ở lại với các em lâu bền. Tuy nhiên
không nhất thiết yêu cầu HS làm hết bài tập trong SGK. Đối với HS khá, GV có thể
hướng dẫn các em làm thêm bài tập trong Sách Bài tập (SBT). Khác với trước kia,
các bài toán trong SBT đều khác với các bài toán trong SGK. Không nên quan niệm
rằng, chỉ ở tiết Luyện tập HS mới làm bài tập. Mỗi buổi dạy GV đều nên dành 15
phút gọi HS lên bảng kiểm tra việc làm bài tập ở bài trước, chỉ ra các chỗ sau (nếu
có) của HS. GV chữa mẫu những bài quan trọng. Tiết Luyện tập có vai trò như một
chặng dừng chân, ôn tập củng cố kiến thức và rèn kĩ năng trước khi đi tiếp. Trong
tiết Luyện tập, GV cần kiểm tra kiến thức cần nhớ, kĩ năng vận dụng kiến thức đó
vào giải các bài toán. Đối với mỗi bài toán, GV cần phân tích chi tiết lời giải, chỉ ra
các chỗ sai (nếu có) của HS. GV chú ý để HS được thực hành và hoạt động nhiều,
cố gắng chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, không làm thay HS. Tôn trọng và
khuyến khích các cách giải của HS khác với đáp án. Có thể dành kiểm tra viết 15

phút trong tiết Luyện tập.

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
IV. Nội dung từng bài cụ thể
§1 NGUYÊN HÀM ( 2 tiết )
I Mục tiêu
Học xong bài này, yêu cầu HS cần đạt được các kiến thức và kĩ năng sau :
1. Về kiến thức
+ Nắm được định nghĩa của nguyên hàm, các tính chất cơ bản của nguyên hàm +
Nhớ được nguyên hàm của các hàm số thường gặp.
2. Về kĩ năng
Biết vận dụng được các tính chất cơ bản của nguyên hàm và nguyên hàm của các
hàm số thường gặp để tìm được nguyên hàm của các hàm số khác phức tạp hơn.
II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Ngoài những điều lưu ý chung của chương đã nói ở phần trước, trong bài này
cần lưu ý thêm một số điểm sau :

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
1.Định lí 2 có thể diễn đạt bằng lời như sau : Để tìm một nguyên hàm của f + g ta
lấy một nguyên hàm của f cộng với một nguyên hàm của g. Để tìm một nguyên
hàm của kf, ta lấy k nhân với một nguyên hàm của f ( với k là hằng số ).
2.Ta thừa nhận một định lí quan trọng là : Mọi hàm số liên tục trên K (trong đó K
là một khoảng, một nửa khoảng hay một đoạn) đều có nguyên hàm trên K. Trong
SGK các hàm số đang xét đều liên tục trên mỗi khoảng (nửa khoảng hay đoạn) mà
chúng xác định, do đó chắc chắn có nguyên hàm trên đó.
3.Công thức dx = ln + C cần được làm rõ như sau :
1

x
∫
x
Nếu F(x) là một nguyên hàm của trên các khoảng xác định của nó, tức là trên
các khoảng (-∞; 0) và (0 ; +
∞
) thì thường mắc sai lầm cho rằng F(x) = lnlxl + C với C
là hằng số. Thực ra ta có F(x) = lnx + C
1
trên khoảng (0 ; + ∞) và F(x) = ln(-x) + C
2

trên khoảng (- ∞;0), trong đó C
1
, C
2
là hai hằng số nào đó. Hai hằng số C
1
và C
2
không
nhất thiết bằng nhau (Sai lầm ở trên cho rằng C
1
= C
2
). Chẳng hạn hàm số
1
x

CHƯƠNG III

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
ln x 2, x > 0
F(x)
ln( x) 3, x < 0
+

=

− +

1
x
là nguyên hàm của hàm số y = trên các khoảng xác
định của nó.
Chẳng hạn hàm số
4.Công thức + C (trong đó là số thực α khác -1) được hiểu là :
+ C là nguyên hàm của hàm số x
α
trên khoảng (0 ; +
∞
). Đối với hàm số
luỹ thừa với số mũ là số thực bất kì thì miền xác định của hàm số đó chỉ giới hạn
ở khoảng ( 0 ; +
∞
) . Trong trường hợp số mũ là số tự nhiên thì miền xác định của
hàm số mới là toàn bộ trục số (-
∞
; +
∞

).

Chẳng hạn, hàm số f(x) = có nguyên hàm là hàm số F(x) = trên
khoảng xác định (0; +
∞
). Tuy nhiên hàm số f(x) = có miền xác định là
toàn bộ trục số (-
∞
; +
∞
), do đó nguyên hàm của nó là hàm số F(x) =
trên toàn bộ trục số (-
∞
; +
∞
).
1
x
x dx
1
α+
α
=
α +
∫
1
x
1
α+
α +

1
3
x
4
3
3
x C
4
+
3
x
3
4
3
x C
4
+

III GỢI Ý VỀ DẠY HỌC
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1.Phân phối thời gian: bài nầy gồm 2 tiết .
Tiết đầu giới thiệu định nghĩa. Tiết còn lại giới thiệu nguyên
hàm của một số hàm thường gặp; hai tính chất cơ bản của nguyên
hàm và cách vận dụng hai tính chất đó để tìm nguyên hàm của các
hàm số phức tạp hơn
2.Đồ dùng dạy học : Giáo viên chuẩn bị bảng các nguyên hàm của
các hàm số thường gặp và treo trong giờ học.
3. Gợi ý về hoạt động trên lớp: Bài toán mở đầu có mục đích cho
học sinh thấy sự cần thiết của khái niệm nguyên hàm.