Nguyen ham - Tich phan - Ung dung

Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi
Nguyên Hàm -Tích phân - ứng dụng
I/ Nguyên hàm
1/ Tính chất nguyên hàm
*
( )
)()(
'
xfdxxf
=

*

=
dxxfadxxfa )(.)(.
*

+=+
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
2/ Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp th-
ờng gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
u = u(x)

+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+
+
=
+=
+
Cgx
x
dx
Ctgx
x
dx
Cxxdx
Cxxdx
C
a
a
dxa
Cedxe
Cx
x
dx

C
x
dxx
Cxdx
ẽẽ
cot
sin
cos
cossin
sincos
ln
||ln
1
2
2
ã
ã
1



(
1


)
(x
0

)

(0<a
1

)









+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+
+
=
+=
+
Cgu
u
dx
Ctgu
u

dx
Cuudx
Cuudx
C
a
a
dxa
Cedxe
Cu
u
dx
C
u
dxu
Cudu
u
u
uu
cot
sin
cos
cossin
sincos
ln
||ln
1
2
2
1

(
1


)
(u=u(x)
0

)
(0<a
1

)
3/ Ví dụ : Tìm nguyên hàm
a/
Cx
xx
dxxx
++=+

5
2
3
3
2
)532(
23
2

b/

+=







Ctgxxdx
x
x 2cos3
cos
2
sin3
2
c/

+++=
++
Cxxxdx
x
xxx
2
1
3
1
4
3

2
1
3
1
4
3
66
3
432
d/

+
+
=++=+
C
x
xdxdxx
30
)35(
)35()35(
5
1
)35(
6
55
Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi
e/

+==
C

x
xxdxdxx
5
sin
)(sinsincos.sin
5
44
f/

++=
+
+
=
+
Ce
e
ed
e
dxe
ẽ
ẽ
ẽ
ẽ
ẽ
)1ln(
1
)1(
1
g/

+
+
=++=
+
C
x
xdx
x
x
8
)3ln2(
)3ln2()3ln2(
2
1
)3ln2(
4
3
3
4/ Bài tập về nhà
Tìm nguyên hàm của hàm số
a/ f(x) = 2x
3
+3x -5
b/ f(x) =
3
11
xx
+
c/ f(x) = e
x

(1-e
-x
)
d/ f(x) = e
x








+

x
e
x
2
cos
2
e/
( )

+
dxx
20
102
f/

xdxx sin.cos
3
g/

+
dx
x
x 2ln
h/

+
dx
e
e
ẽ
ẽ
2
II/ Tích phân
1/ Định nghĩa (SGK)
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= =

ĐL : GSử f(x) là hàm số liên tục và f(x)

0 /[a,b]. hế thì diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x = b

là : S = F(b)-F(a) với F(x) là nguyên hàm bất kỳ của s(x) trên [a,b]
2/ Tính chất của tích phân
*
( ) 0
a
a
f x dx =

*
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx=

*
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=

*
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx =

Tng Long Giang Ngha L - Yờn Bỏi
*
( ) ( ) ( )
c b c

a a b
f x dx f x dx f x dx= +

* f(x)
[ ]
0 / , ( ) 0
b
a
a b f x dx

*
[ ]
( ) ( ) / , ( ) ( )
b b
a a
f x g x a b f x dx g x dx

*
[ ]
( ) / , ( ) ( ) ( )
b
a
m f x M a b m b a f x dx M b a

3/ Ví dụ : Tính tích phân
a/
3 3 3
3 3 4 3 3
1 1
1 1 1

1
( 1) | | 24
4
x dx x dx dx x x


+ = + = + =

b/
1
2
0
( 3 5)x x dx +

c/
2
3
0
sin cosx xdx


4/ Các ph ơng pháp tính tích phân
a/ Tích phân đổi biến số
Giả sử phải tính
( )
b
a
f x dx

trong đó f(x) liên tục /[a,b]

* Đổi biến số dạng 1
Định lý : Nếu
1. Hàm số x=u(t) có đạp hàm liên tục trên [
;

]
2. Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định trên [
;

]
3. u (

)= a, u (

) = b
Cách thực hành
1. Đặt x=u (t) => dx =u (t)dt
2. Đổi cận : Khi x = a =>t=

Khi x = b => t =

3.
( )
b
a
f x dx

=
( ( ) '( )) ( )f u t u t dt g t dt

=

=G(t)|
b
a
Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái
VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n
a/ I =
1
2
0
1 x dx−
∫
§Æt x = sint => dx=costdt
Khi x = 0 => t = 0; x = 1 => t =
2
π
=> I=
2
0
π
∫
cost.cost.dt=
2
0
π
∫
cos
2

t.dt =
2
0
π
∫
1 2
2
cos t
dt
+
=
2
0
1 1
sin 2
2 2
t t
π
 
+
 ÷
 
=
4
π
b/ J =
1
2
0
1

dx
x+
∫
§Æt x =tgt => dx =
2
1
dt
cos t
=(1+tg
2
t)dt
Khi x=0 => t = 0; x = 1 => t =
4
π
=>
1
2
0
1
dx
x+
∫
=
4 4
4
2
2
0
0 0
1

(1 )
1 4
|
tg t dt dt t
tg t
π π
π
π
+ = = =
+
∫ ∫
c/ K =
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
Ta cã
2
2
1 3
1
2 4
x x x
 
+ + = + +
 ÷
 

§Æt
1 3
2 4
x tgt+ =
=> dx =
2
2
3 1 3
. (1 )
2 2
dt tg t dt
cos t
= +
Khi x = 0 => t =
6
π
; x = 1=> t =
3
π
=>
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
=
2
3

2
6
3
(1 )
2
3
(1 )
4
tg t dt
tg t
π
π
+
+
∫
=
3
3
6
6
2 3 2 3 3
3 3 9
dt t
π
π
π
π
π
= =
∫

* §æi biÕn sè d¹ng 2
1. §Æt t = v(x), v(x) lµ hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc
2. BiÓu thÞ f(x)dx theo t vµ dt gi¶ sö f(x)dx=g(t)dt
3. T×m mét nguyªn hµm G(t) cña g(t)
Tống Long Giang Nghĩa Lộ - Yên Bái
4. TÝnh
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
v b
v b
v a
v a
g t dt G t=
∫
5. KÕt luËn
( )
( )
( ) ( )
b
v b
v a
a
f x dx G t=
∫
VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n
a/
1

3
0
(2 1)x dx+
∫
§Æt t = (2x+1) => dt =2dx hay dx = dt/2
Khi x = 0 => t =1; x = 1 => t =3
=>
1
3
0
(2 1)x dx+
∫
=
3
4
3 3
1
1
1
10
2 8
t
t dt = =
∫
b/
2
.ln
e
e
dx

x x
∫
§Æt t = lnx => dt = dx/x =>dx = x.dt
Khi x = e => t =1; x =e
2
=> t = 2
=>
2
.ln
e
e
dx
x x
∫
=
2
2
1
1
ln ln 2 ln1 ln 2
dt
t
t
= = − =
∫
c/
2
1
2 1
dx

x −
∫
h/
2
sin
0
.cos
x
e xdx
π
∫
d/
2
2
1
(2 1)
dx
x −
∫
i/
6
0
1 4sin .cosx xdx
π
+
∫
e/
1
1 ln
e

x
dx
x
+
∫
g/
2
3
0
sin .cosx xdx
π
∫
b/ TÝch ph©n tõng phÇn
NÕu u(x) vµ v(x) lµ hai hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®oan [a;b] th× :
( ) '( ) ( ( ). ( )) ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
= −
∫ ∫