bổ trợ tóan nâng cao 12

LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 5

LỜI NÓI ĐẦU


Nhằm giúp các em học sinh học tốt hơn môn Toán Nâng
Cao 12, tôi biên soạn Ebook này. Ebook được chia làm 3
phần chính:

 Phần I: Tóm tắt kiến thức và công thức toán 12

 Phần II: Giải bài tập SGK

 Phần III: Đặc biệt và quan trọng đó là phân loại
các dạng toán thường gặp trong đề thi TSDH, có ví
dụ minh họa, cuối mỗi phần còn có các bài tập để
các em luyện thêm

Trong quá trình biên soạn chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót, mong nhận được những ý kiến đóng
góp chân thành từ phía bạn đoc.

LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 6

Chương 2
HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ
LOGARIT
Bài 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ

1.1 . TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
a. Định nghĩa : Với 0,
a n z
 
, lũy thừa bậc n của số a là số
n
a
, xác
định bởi:
0
1
1,

n
n
a a
a

 
b. Tính chất: Với , 0, ,
a b m n z
 
, ta luôn có:
.
.
( )
( . ) .
m n m n
m
m n
n
m n m n
m m m
a a a
a
a
a
a a
ab a b








m
m
m
a a
b b
 

 
 


c. So sánh các lũy thừa:
Với
,
m n z

, ta luôn có:
1:
0 1:
m n
m n
a a a m n
a a a m n
   
    

*Hệ quả:
+Với 0 ,
a b m z
  
, ta có:

0
, ,
m m
m m
a b m
a b m N le a b
  
   

+Với
a b

,
m N

, m lẻ thì
m m
a b


+Với
*
, 0,
a b m z

 
thì
m m
a b a b
  

2. Căn bậc m và lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 7

a. Định nghĩa: Với m nguyên dương, căn bậc m của số thực a là số
thực b sao cho:
m
b a


*Chú ý:
+ Khi m lẻ thì mỗi số thực a chỉ có một căn bậc m (
m
a
)
+ Khi m chẵn thì mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc m là hai
số đối nhau (
m
a
và -
m

a
)
b. Tính chất: Với
, 0
a b

; m, n nguyên dương; p, q tùy ý, ta có:
.
( 0)
( ) ( 0)
( 0)
m m m
m
m
m
m p p
m
m
n mn
n mp q
ab a a
a a
b
b
b
a a a
a a
p q
a a a
n m


 
 

   

Đặc biệt:
mn
m
n
a a

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
Cho a là số thực dương và r là số hữu tỷ. Giả sử
m
r
n

(
*
;
m z n z
 
), ta
có:
m
n
r m
n
a a a

 

1.2 . GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 75 SGK)
a. Sai b. Đúng c. Sai d. Sai
Đáp án: C
Bài 2 (trang 75 SGK)
Bài 3 (trang 76 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 8

1
2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 4
2 2 2 2
14
.7 .14 2
7
4
. 4.3 36
3
4 5 5 25

.
5 4 4 16
( 18) .5 (2.3 ) .5 2 .3 .5 12
.
15 .3 (5.3) .3 5 .3 .3 5
a
b
c
d



 
 
   
  
   
   

  

 
1 3
1 3
3 5
3
3 5
3 5
0,75 4 3
4

3
1 2 1 1 2 4
1
2 0 2 3 2 6 3 2 2 4 4
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 80
.81 3 5 2
125 32 51 2 3 27
111
.0,001 ( 2) .64 8 (9 ) (10 ) ( 2) .(2 ) (2 ) 1 10 ( 2) .2 2 1
16
.(27)
a
b
c
 
 


   
    
   

       
        
   
       
   
       
   

              
 
 
3
0,75 4
2 2
1
4
0,5 3 2
3 3
2
3
1
1 4 2
1
2
2
4 0,25 3 4
4
1 1
25 (3 ) 5 12
16 2
1 1 3 1
.( 0,5) 625 2 19( 3) 5 19. 10
4 2 2 27
d



 

 
 
   
     
 
   
 
   
 
 
     
          
 
     
 

     
 


a.


4
3 24
3 2 3 2
2
6 12 6
3
12 6

a b
a b a b
ab
a b
a b
a b
  

b.
1 7 1 5 1 1
2 2
3 3 3 3 3 3
1 4 2 1 1 1
3 3 3 3 3 3
(1 ) (1 )
1 (1 ) 2
(1 ) ( 1)
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a
 
 
   
       
   

Bài 4 (trang 76 SGK)
Bài 5 (trang 76 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12

– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 9


a. Vì


6
3
2 2 8
 
và


6
2
3
3 3 9
 
nên




6 6
3 3
9 8 3 2 3 2
    
b. Vì

3 3
3 30 1 27 4
   
và
3 3
63 64 4
 
nên
3 3
3 30 63
 
c. Vì
3 3
7 15 8 16 6
   
và
3 3
10 28 9 27 6
   
nên
3 3
10 28 7 15
  


Đặt:

  
3 33 3
3 3

3
7 5 2 7 5 2; 7 5 2 7 5 2;
7 5 2 7 5 2 1; 14
a a b b c a b
ab a b
           
       

Ta có:
3 3 3 3 3
3 3 2 2
( ) 3 ( )
14 3( 1) 3 14 0 ( 2)( 2 7) 0 2( 2 7 0 )
c a b c a b ab a b
c c c c c c c c c c c
      
                  

Vậy:
3 3
7 5 2 7 5 2 2
   
(đpcm)
a.







4 4 4 4 4 4 4
2 2 24 4 4
4 4
4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a b a b a a b
a b a ab a b a ab
b
a b a b a b a b a b a b
   
   
     
     

b.








3 3 3 32 2 2 2
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3 3 3
2
a b a ab b a b a ab b
a b a b

ab
a b a b a b a b
     
 
   
   

c.
 






3 32 2
3 3 3
2
3 32 2
3 3 3 3 3
3 3 3 3
: 2 1
a b a ab b
a b
ab a b ab a ab b
a b a b
 
  

 

 
       
 
 
 
 
 
 

d.




 
1
4 4 4
4
4
3 1
4
4 2
1 1
1 ( 1)
. . 1 . . 1
1 ( 1)
1
a a
a a a a a
a a a

a a a
a
a a
 
  
   
 




Bài 6 (trang 76 SGK)
Bài 7 (trang 76 SGK)
Bài 8 (trang 78 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 10

Ta có:






. . ( , 0
n n n
n n n n

a b a b ab a b
  
; n là số nguyên dương)
Vậy:
   
. . .
n n
n n n n n n n n
n
a b ab a b ab a b ab
     (đpcm)

a. Ta có:
VT=
2 2
4 2 3 4 2 3 (1 3) (1 3) |1 3 | |1 3 | 2
           


b. Giống Bài 7 (trang 76 SGK)


a. Ta có:
 
5
5
1 5
6
6
2 12

3 3 3



 
 
 
 
và
1
5 5
4
3
1 1
3
4 12
3
4
1 1
3 3 3 3
3 3
 
 
 
  
 
 

Vậy:
 

5
1
6
3
4
1
3 3
3



b. Ta có:


200
600 3 200
3 3 27
  và


200
400 2 200
5 5 25
 
Vậy:
200 200 600 400
27 25 3 5
  
c. Ta có:
 

5
5
7
7
5
7
1
1
2 2
2



 
 
 
 
và
5
3 1 3 10
7
14 2 14 14
2.2 2 .2 2 2
  

Vậy:
5
3
7
14

1
2.2
2

 

 
 

d. Ta có:


10
30 3 10
7 7 343
  và


10
40 4 10
4 4 256
 
Vậy:
10 10 30 40
343 256 7 4
  



Bài 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

2.1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Bài 9 (trang 78 SGK)
Bài 10 (trang 78 SGK)
Bài 11 (trang 78 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 11

1. Khái niệm:
Với
a
là số thực dương và

là số vô tỉ. Xét dãy
1 2 3
, , ,
n
r r r r
mà
lim
n
r


, khi đó dãy số thực
31 2

, , ,
n
r rr r
a a a a có giới hạn xác định. Ta
gọi giới hạn đó là lũy thừa của
a
với số mũ

, kí hiệu là:
a

. Do vậy:

lim
n
r
n
a a



*Chú ý:
+Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0
+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương
2. Công thức lãi kép:
(1 )
N
C A r
 
Với: C: số tiền thu được cả vốn lẫn lãi

A: số tiền gửi
r : lãi suất mỗi kì
N: số kì gửi

2.2. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

ĐS: B

ĐS: C

Dựa vào tính chất ta có:
0 1
a
 



 
3 3 3 3
4
8
2 16
2 3 5 5 2 3 5 3 5 2
1 2 2 2 1 2 2 2 2
1 1
0,5 0,5
2 16
2 .8 2 .2 2 4
3 :9 3 :3 3
 

 
 
  
 
 
  
 


Bài 12 (trang 81 SGK)
Bài 13 (trang 81 SGK)
Bài 14 (trang 81 SGK)
Bài 15 (trang 81 SGK)
Bài 16 (trang 81 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 12

 
3 1
3 1
( 3 1)( 3 1)
5 3 4 5 5 3 4 5
2 1
2 2 1 2
.
1
. .

a
a
a
a a a
a a a a
a


 
    


 
 
 
 
 



Số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là:
5
(1 ) 15(1 0,0756) 21,59
N
C A r     (triệu)


a.
 
1

1
7
1
4
2 2
4
3
3
12
4
x x x x x
 
 
 
 

b.
1
1 2
5
1
3 3
5
5
3
b a a a a
a b b b b
 
 
     

 
 
     
 
     
 

c.
1 1 1 1
3 9 18 2
3
3
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
       
 
       
       

d.
11 1 1 11
1 1 1
16 8 16 16
2 4 4
: :
a a a a a a a a a a a
 


a.

 
2 1
2 1
2 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 3
2 1
1
. .
a a a a a a
a


    
 
 
  
 
 

b.
3 1
3 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3
2
2 2 2 2 2
3 1
.
a a a a a
a
b b b b
b


       
  

 
  
 
 
 

c.
     
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2
2 2 2
2 3
2 3 2 3 2 3
2 2 ( ) 2
1
a b a b a a b b a a b a
a b
a b a b a b
     
   

  

Bài 17 (trang 81 SGK)
Bài 18 (trang 81 SGK)
Bài 19 (trang 82 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12

– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 13

d.
   
1
2 2
2 2
4 2 4 | |
x y xy x x y y x y x y x y

           

 
         
 
 


a.
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) 1 2 0 2 0 0 (1)
2
a a a a a a a a a a a a
       
   

 
 
 
 
              
 
 
+ Khi 1;(1)a

 
R


+ Khi
1;(1) 0
2 2
a
 

     

b.
| | | | 3
3 27 3 3 | | 3 3 3
 
 
        

a. Đặt
4
0
t x
 
(x>0); ta có pt đã cho tương đương với
2 2
2 2 0 1
t t t t t
       
(chọn) hoặc
2
t
 
(loại)
+Với
4
1 1 1
t x x
    
. Vậy
1
x

là nghiệm của phương trình.
b. Đặt
4
0
t x
 

(x>0); ta có pt đã cho tương đương với
2
3 2 0 1
t t t
    
hoặc
2
t


+Với
4
1 1 1
t x x
    

+Với
4
2 2 16
t x x
    

Vậy nghiệm của pt là
16
x

và
1
x


a.
4 2
4 4
3 0 3 3 3
x x x       
b.
11
11
7 7
x x  
c.
10
10 10 10
2 | | 2 2; 2
x x x x      
d.
3
3
5 5
x x  


Bài 3: LOGARIT

3.1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bài 20 (trang 82 SGK)
Bài 21 (trang 82 SGK)
Bài 22 (trang 82 SGK)

LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 14


1. Định nghĩa:
Với
, 0; 1
a b a
 
. Số thực

để
a b


được gọi là lôgarit cơ số a của
b và kí hiệu là
log
a
b
, nghĩa là:
log
a
b a b


  

*Công thức cơ bản:
log 1 0;log 1
a a
a
 

log ( )
b
a
a b b R
  
log
( , 0)
a
b
a b b R b
   


2. Tính chất: Với
, , 0; 1
a b c a
 
ta có:
+ Nếu
1
a

thì log log

a a
b c b c
  

+ Nếu
0 1
a
 
thì log log
a a
b c b c
  

*Hệ quả: Với
, , 0; 1
a b c a
 
ta có:
+ Nếu
1
a

thì
log 0 1
a
b b
  

+ Nếu
0 1

a
 
thì
log 0 1
a
b b
  


3. Qui tắc logarit: Với
, , 0; 1
a b c a
 
ta có:
log ( ) log log
log log log
log log
a a a
a a a
a a
bc b c
b
b c
c
b b


 
 
 

 
 



4. Đổi cơ số của logarit: Với
, , 0; , 1
a b c a b
 
ta có:
log
log
log
a
b
a
c
c
b
 ;
log .log log
a b a
b c c

*Hệ quả: Với
, 0; , 1
a b a b
 
ta có:
1

log ;log .log 1
log
1
log .log ( 0; 0)
a a b
b
a
a
b b a
a
c c c



 
  


5. Logarit thập phân:
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 15

Logarit cơ số 10 của một số dương
x
được gọi là logarit thập phân của
x
và kí hiệu là

log
x
(hoặc
lg
x
)

3.2. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA


ĐS: D

a. Sai b. Đúng c. Sai d. Sai

a.
log ( ) log log ( , , 0; 1)
a a a
xy x y a x y a
   

b.
log log log ( , , 0; 1)
a a a
x
x y a x y a
y
 
   
 
 

c.
log log ( , 0; 1)
a a
x x a x a


  

d.
log
( , 0; 1)
a
b
a b a b a
  


a.
1
a


b.
0 1
a
 


3

4
3 3
3
2
3 3
1
3
3
3 3
3
2
3 3
log 3 1
log 81 log 3 4
log 1 0
1
log log 3 2
9
1
log 3 log 3
3
1 3
log log 3
2
3 3



 


  
 
  


Bài 23 (trang 89 SGK)
Bài 24 (trang 89 SGK)
Bài 25 (trang 90 SGK)
Bài 26 (trang 90 SGK)
Bài 27 (trang 90 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 16

3
1 1
5 5
0,5 1
2
3
1 1
4 4
2
1 1
6 6
1
log 125 log 3
5

1 1
log log 1
2 2
1 1
log log 3
64 4
1
log 36 log 2
6


 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 


 
3
5
3 3

2
3
2
2
0,5
log 18
5log 2 log 2
5
log 5
log 5
log 53
1
log 2
log 2 5
2
5
3 18
3 3 2 32
1 1
2 2
8 125
1 1
2 32
32 2



  
 
  

 
 
 
   
  
 
   
 
   
 



a.
4
5
log 4 5 625
x x   
b.
3
2
log (5 ) 3 5 2 3
x x x
       

c.
3
3
log ( 2) 3 2 3 25
x x x

      

d.
1
6
log (0,5 ) 1 0,5 6 5,5
x x x       

Bài 28 (trang 90 SGK)
Bài 29 (trang 90 SGK)
Bài 30 (trang 90 SGK)
Bài 31 (trang 90 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 17

7
5
9
0.75
log 25
log 25 1,65
log7
log8
log 8 1,29
log5
log0,75
log 0,75 0,13

log9
log1,13
log 1,13 0,42
log0,75
 
 
  
  



a.
3
4
8 8 8 8 8
2
12.20 4
log 12 log 15 log 20 log log 16 log 2
15 3
     

b.
2
3
7 7 7 7 7 7 7 7
1 6
log 36 log 14 3log 21 log 6 log 14 log 21 log log 7 2
2 14.21

        

c.
5
5 5 5
2
5 5 5
36
log
log 36 log 12 log 3
1
12
log 9 log 3 2log 3 2

  

d.
2 3
6 6 62 2 2
log 5 2log 5 log 5log 3 3log 3 log 31 log2 log10 log2 log5 2 3
36 10 8 6 10 2 6 10 2 5 5 3 3
 
           


a. Vì
3 3
log 4 loglog 3 1
 
và
1

4 3 3
1
log log 4 log 4 0
3

   

Nên
3 4
1
log 4 log
3

b. Vì
6 6
log 1,1 log 1,1
0
6
log 1,1 0 3 3 3 1
    
và
6 6
log 0,99 log 0,99
0
6
log 0,99 0 7 7 7 1
    

Nên
6 6

log 1,1 log 0,99
3 7

a.
log 2 log3 log6 log5
  

b.
12
log12 log5 log log7
5
  
Bài 32 (trang 92 SGK)
Bài 33 (trang 92 SGK)
Bài 34 (trang 92 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 18

c.
3
3log2 log3 log(2 .3) log24 2log5 log25
    
d.
2 2
1 2log3 log10 log3 log(10.3 ) log90 log27
     

a.
3 2
1
log log 3log 2log log 8
2
a a a a a
x a b c a b c
    

b.
4
3
4 3 4 3
3 3
3
1
log log log log log log log 4log log 3log 11
3
a a a a a a a a a a
a b
x a b c a b c a b c
c
         

a.
4 7 4 7 4 7
3 3 3 3 3 3 3 3
log 4log 7log log log log log log ( )

x a b x a b x a b x a b
        

b.
2 2
2 3
5 5 5 5 5 5 5 5
3 3
log 2log 3log log log log log log
a a
x a b x a b x x
b b
        


a. Ta có:
3 3 3 3 3 3
log 15 log (5.3) log 5 log 3 log 5 1 log 5 1

       

Vậy
1
2
3 3
3
3
log 50 log (5.10) 2(log 5 log 10) 2( 1 )
 
     

b.
2 2 2
4 4
4 2
2 2 2
1 1
log 1250 log 5 .2 log 5 log 2 2log 5 2
2 2

      



a.
1
3 2
2
1 1 1
log log4 4log 2 log 2 log 2 4log2 3log 2 log2 2log2 0
8 2 2

         

b.
 
3
3 3
1 2
2

2 2 2 2 2 3 2 2 3
2 2
2
4 1 3 9 3
log log36 log log(2 .3 ) log 6 log log(2 .3 ) log(2.
3) log(3 .2 ) log(2 .3 .2.3.3 .2 ) log(18. 2)
9 2 2 2 2
 
  
 
         
 
 

c.
3
2
1 3
3 3 2
2
3 2 2 3 3 2 6 16
2 2
8 6 16
27 3 2 .3 .2.3 5
log72 2log log 108 log(2 .3 ) log log(2 .3 ) log(2 .
3 ) log(3 .2 ) log(2.3 ) log( ) 20log 2 log3
256 2 3 .2 2


 

          
 
 

Bài 35 (trang 92 SGK)
Bài 36 (trang 93 SGK)
Bài 37 (trang 93 SGK)
Bài 38 (trang 93 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 19

d.
3 4 2
3 3 4 2
3
1 2 .0,5 .3 3
log log0,375 2log 0,5625 log 2 log(0,5 .3) log(0
,5 .3 ) log log
8 0,5 .3 16


      



a.
3

log 27 3 27 3
x
x x
    

b.
1 1
1
log 1 7 7
7
x
x x
 
     

c.
1
1
1 1
4
4
8
2 2
log 5 4 5 5 5
x
x x



 

      
 
 


31
31
2 1
M
 

+ Số các chữ số
31
M
khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của
31
2
nên
số các chữ số của
31
M
là
[31.log2] 1 [9,3] 1 10
   

+ Số các chữ số
127
127
2 1
M

 
khi viết trong hệ thập phân là
[127.log2] 1 [38] 1 39
   

+ Số các chữ số
1398269
1398269
2 1
M
 
khi viết trong hệ thập phân là
[1398269.log2] 1 [420920] 1 420921
   



Sau N quí người đó nhận được là :
(1 ) 15(1 0,0165) 15.1,0165
N N N
C A r     (triệu)
log log15
log log15 log1,0165
log1,0165
C
C N N

    

Vậy để đạt được 20 triệu thì

log log15 log20 log15
17,58
log1,0165 log1,0165
C
N
 
  
(quí)



Bài 4: SỐ e VÀ LOGARIT TỰ NHIÊN
Bài 39 (trang 93 SGK)
Bài 40 (trang 93 SGK)
Bài 41 (trang 93 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 20


4.1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Số e:
1
lim 1 2,7183
x
x
e
x


 
  
 
 

2. Công thức tính lãi kép liên tục:
.
Nr
S Ae

S
: Tổng số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)
A
: Vốn ban đầu
r
: Lãi suất mỗi năm
N
: Số năm
3. Logarit tự nhiên:
Logarit cơ số
e
của một số dương
a
được gọi là logarit tự nhiên (logarit
Nê-pe) của số
a
và kí hiệu là
ln
a

4.2. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA


Sai ngay chỗ này:
ln(2 ) ln 2 ln ln ln
e e e e
   



3 2
ln500 ln(5 .2 ) 3ln5 2ln 2 3 2
16
ln 4ln2 2ln5 4 2
25
625 25
ln6,25 ln ln 2ln5 2ln 2 2 2
100 4
1 2 98 99
ln ln ln ln
2 3 99 100
ln1 ln 2 ln 2 ln3 ln98 ln99 ln99 ln100
ln1 ln100 ln 25 ln4 2ln5 2ln 2 2( )
b a
a b
b a
b a
    

   
     
   
        
          


Bài 42 (trang 97 SGK)
Bài 43 (trang 97 SGK)
Bài 44 (trang 97 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 21

Ta có:
2 2
2 2 2 2
2 2
7 25 7 25
ln(3 2 2) 4ln( 2 1) ln( 2 1) ln(1 2) 4ln(1 2) ln( 2 1)
16 8 16 16
25 25 25
ln( 2 1) ln( 2 1) [ln( 2 1) ln( 2 1) ]
16 16 16
25
ln[( 2 1) ( 2 1) ] 0
16
VT

VP
           
         
     



+ Tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của vi khuẩn:
5
ln300 ln100
. 300 100. 0,2197
5
Nr r
S Ae e r

     
+ Từ 100 con ban đầu, sau 10h sẽ:
10.0,2197
100. 900
e 
+ Từ 100 để lên 200 con thì cần:
0,2197
ln200 ln100
200 100. 3,15
0,2197
N
e N

   
giờ

+Tỉ lệ phân hủy hàng năm của
239
Pu
là:
24360
ln5 ln10
. 5 10. 0,000028
24360
Nr r
S Ae e r

      
+Thời gian cần thiết để phân hủy
239
Pu
từ 100g
239
Pu
ban đầu là:
0,000028 0,000028
ln1 ln10
. 1 10. 82235
0,000028
N N
S Ae e N
 

     


(năm)



Bài 5: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

5.1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khái niệm:
*Với
0; 1
a a
 
thì:
+ Hàm số
x
y a

được gọi là hàm số mũ cơ số a
Bài 45 (trang 97 SGK)
Bài 46 (trang 97 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 22

+ Hàm số
log

a
y x
 được gọi là hàm số logarit cơ số a
*Hàm số
x
y a

và
log
a
y x
 liên tục tại mọi điểm mà nó được xác định.
Ta có:
+
lim ( )
o
o
x
x
o
x x
a a x

  


+
lim log log [ (0; )]
o
a a o o

x x
x x x

   

*Vài giới hạn cơ bản:
0 0
ln(1 ) 1
lim 1;lim 1
x
x x
x e
x x
 
 
 

2. Đạo hàm của hàm số mũ:
 Đạo hàm của hàm số
x
y a

là
' .ln
x
y a a

 Đạo hàm của hàm số
( )
u x

y a
 là
( )
' '( ) .ln
u x
y u x a a

 Đạo hàm của hàm số
x
y e

là '
x
y e


 Đạo hàm của hàm số
( )
u x
y e
 là
( )
' '( )
u x
y u x e

3. Đạo hàm của hàm số logarit:
 Đạo hàm của hàm số
log ( 0)
a

y x x
 
là
1
' (log )'
.ln
a
y x
x a
 
 Đạo hàm của hàm số
log ( )( ( ) 0)
a
y u x u x
 
là
'( )
' (log ( ))'
( ).ln
a
u x
y u x
u x a
 

 Đạo hàm của hàm số
ln ( 0)
y x x
 
là

1
' (ln )'
y x
x
 

 Đạo hàm của hàm số
ln ( )( ( ) 0)
y u x u x
 
là
'( )
' (ln ( ))'
( )
u x
y u x
u x
 

 Lưu ý:
+
1
ln | | ( 0); 'y x x y
x
  

+
'( )
ln | ( ) | ( ( ) 0); '
( )

u x
y u x u x y
u x
   

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ – hàm số logarit:
a. Hàm số mũ
x
y a





LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 23


*TH1: a > 1, ta có :
+Tập xác định: R
+Sự biến thiên:
y’ = (a
x
)’ = a
x
lna > 0  x.
+Giới hạn đặc biệt :

lim 0
x
x
a
 

; lim
x
x
a
 
  

+Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.





*TH2:
0 1
a
 
, ta có :
+Tập xác định: R
+Sự biến thiên:
y’ = (a
x
)’ = a

x
lna < 0  x.
+Giới hạn đặc biệt :
lim
x
x
a
 
 
;
lim 0
x
x
a
 


+Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.


b. Hàm số logarit
log
a
x

*TH1: a>1

+ Tập xác định: (0; + )
+Sự biến thiên:
y’ = (log

a
x)’ =
1
ln
x a
> 0  x. > 0
+Giới hạn đặc biệt :

0
lim log
a
x
x


 
; lim log
a
x
x
 
  

+Tiệm cận: trục Oy là tiệm cận đứng.

LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 24

*TH2:
0 1
a
 

+Tập xác định: (0; + )
+Sự biến thiên:
y’ = (log
a
x)’ =
1
ln
x a
< 0  x. > 0
+Giới hạn đặc biệt :

0
lim log
a
x
x


 

; lim log
a
x
x
 
  

+Tiệm cận: trục Oy là tiệm cận đứng.


5.2. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA


a. Khi nhiệt độ của nước
100
o
t C
 và áp suất
760
P

mmHg thì:
273
2258,624
100 273
.10 760 .10 863188841
k
t
p a a a




    
b. Áp suất của hơi nước khi
40
o
t C
 là:
273
2258,624
40 273
.10 863188841.10 52,5
k
t
p a



   mmHg


a.
2 3 2 2 3 2 3
2
0 0 0
(1 ) 3 ( 1)
lim lim lim 3
3
x x x
x x x

e e e e e e
e
x x x

  
   
   

b.
2 5 2 5 2 5
0 0 0
1 1 2( 1) 5( 1)
lim lim lim 3
2 5
x x x x x x
x x x
e e e e e e
x x x x x
  
   
    
     
   
   



a.
2 2 2 2 2
( 1) ' 2( 1) (1 2 2) (2 1)

x x x x x
y x e y e x e e x e x
          

b.
4 4 2 4
2 4 4 2
4 4
4 2 ( 1) 2
1 ' 2 1
2 1 1
x x x
x x
x x
e x e x e
y x e y x e x
e e
 
      
 

c.
1 1
( ) ' ( )
2 2
x x x x
y e e y e e
 
    
Bài 47 (trang 111 SGK)

Bài 48 (trang 112 SGK)
Bài 49 (trang 112 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 25

d.
1 1
( ) ' ( )
2 2
x x x x
y e e y e e
 
    


a. Hàm số
3
x
y

 

 
 
đồng biến trên R vì
1
3

a

 

b. Hàm số
3
2 3
x
y
 

 

 
nghịch biến trên R vì
3
1
2 3
a
 




a. +Hs:


2
x
y  có TXĐ: R

+Vì
2 1
a
 
nên hàm số đồng biến trên R
+Các điểm mà ĐTHS đi qua:
(0;1);(1; 2);(2;2)

+ĐTHS nằm trên Ox và nhận Ox làm tiệm cận ngang có dạng:









b. +Hs
2
3
x
y
 

 
 
có TXĐ: R
+Vì
2

1
3
a
 
nên hàm số nghịch biến trên R
+Các điểm mà ĐTHS đi qua:
2 4
(0;1);(1; );(2; )
3 9

+ĐTHS nằm trên Ox và nhận Ox làm tiệm cận ngang có dạng:


Bài 50 (trang 112 SGK)
Bài 51 (trang 112 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 26

STT

LOẠI ÂM THANH
o
I
I


ĐỘ LỚN (L)
1 Ngưỡng nghe 1 0 dB
2 Nhạc êm dịu 4000 36 dB
3 Nhạc mạnh phát ra từ loa
8
6,8.10

88 dB
4 Tiếng máy bay phản lực
12
2,3.10

124 dB
5 Ngưỡng đau tai
13
10

130 dB

a.
0 0
ln(1 3 ) 3ln(1 3 )
lim lim 3.1 3
3
x x
x x
x x
 
 
  

b.
2 2
2
0 0
ln(1 ) ln(1 )
lim lim 0.1 0
x x
x x x
x x
 
 
  



a.

2 2 2
1 2(3 2)ln
(3 1)ln ' 3ln 2(3 2). .ln 3ln
x x
y x x y x x x x
x x

       
b.
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 ln 2 1
1ln ' .ln 1.
2 1 1
x x x x x
y x x y x x
x x
x x

       
 

Bài 52 (trang 112 SGK)
Bài 53 (trang 113 SGK)
Bài 54 (trang 113 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12

– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 27

c.
2
1
1 1 1
(1 )
ln ' ln . ln
1
1 1 1 1
1
x
x
y x y x
x x x x
x


     
   


d.
2
2 2
2
2 2 2
2
. ln( 1)

1 2 1
1
ln ' ln
1
x
x x
x x
x
y y
x x x x
 
 

    




a. Hàm số
2
log
e
y x
 nghịch biến trên R vì
2
1
a
e
 

b. Hàm số
1
3( 3 2)
log
y x

 đồng biến trên R vì
1 3 2
1
3
3( 3 2)
a

  



a. +Hs:
2
log
y x
 có TXĐ:
(0; )


+Vì
2 1
a
 
nên hàm số đồng biến trên

(0; )


+Các điểm mà ĐTHS đi qua:
(1;0);( 2;1)

+ĐTHS nằm phía bên phải Oy và nhận Oy làm tiệm cận đứng có dạng:









b. +Hs
2
3
log
y x
 có TXĐ:
(0; )


Bài 55 (trang 113 SGK)
Bài 56 (trang 113 SGK)
LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12

– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 28

+Vì
2
1
3
a
 
nên hàm số nghịch biến trên
(0; )


+Các điểm mà ĐTHS đi qua:
2
(1;0);( ;1)
3

+ĐTHS nằm phía bên phải Oy và nhận Oy làm tiệm cận đứng có dạng:

Bài 6: HÀM SỐ LŨY THỪA

6.1 . TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Khái niệm:

+ Là hàm số có dạng
y x


;

là hằng số
+ TXĐ của
y x


(

không nguyên) là
(0; )


2. Đạo hàm của hàm số:
+
1
( ) '
y x R y x

 
 

   
+
1
( )( ) ' ( ). '( )
y u x R y u x u x
 
 

   
3. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số:
+ TXĐ của
y x


(

khác 0) là
(0; )


+ Nếu
0


thì Hs đồng biến trong
(0; )


, Nếu
0


thì Hs nghịch
biến trong
(0; )


+ Đồ thị hàm số
y x


luôn đi qua
(1;1);( )





LÊ QUỐC BẢO BỔ TRỢ TOÁN NÂNG CAO 12



– Yh: quocbao153 – Dalat 08/2010 Page 29

6.2 . GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA


+ Gọi (

1
C
) và (
2
C
) lần lượt là đồ thị của hai hàm số
y x


và
y x


(trong đó
;
 
có thề là
2

hoặc
1
2

)
+ Dựa vào đồ thị ta thấy (
2
C
) nằm trên (
1
C

)
(1; )
x
  
. Do đó khi x>1 ta có:
x x
 
 
  
1
2;
2
 
    

+ Vậy
1
2
2
1 2
( ): ;( ):
C y x C y x


 


a.
1
(2 1) ' 2 (2 1)

y x y x
 


    
b.
1
2
1
5 3 3 3
5
5
3 4 2
5
1 1 3ln 5 3
ln 5 ' (ln 5 ) .(ln 5 )' .
5
5 (ln 5 ) 5 ln 5
x
y x y x x
x
x x x

    

c.
1 2
3 3 3 3
3 3
3

3 3 3 3
2 2 3
3
3 2 6 3
2
3
3
3
1 1 1 1 1
' . '
1 1 3 1 1
1 6 2 1
. .
(1 ) 1 1
1
3
1
x x x x
y y
x x x x
x x x
x x x
x
x

     
   
   
     
   

     

 
  
 

 

 

d.
1 1
2
2
. . .
. . . . . . . . .
a b a b a b
a b a b a b
x a a x a x a a
y b
b x b b x b x x
a x b a x a x a x a a b
b
b b x x b x a x b x x
 
             
   
             
             


               
   
               
               




Bài 57 (trang 117 SGK)
Bài 59 (trang 117 SGK)