Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn ppsx

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 1 -
Giới hạn hàm số

I. Lý thuyết
1. Định nghĩa:
1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng
K
chứa điểm
0
x
. Ta nói rằng hàm số
f(x)
xác định trên
K
(có
thể trừ điểm
0
x
) có giới hạn là
L
khi x dần tới
0
x
nếu với dãy số
n
(x )
bất kì,
n 0
x K \ {x }
Î

và
n 0
x x
® , ta có:
n
f(x ) L
® . Ta kí hiệu:
0
x x
lim f(x) L
®
=
hay
f(x) L
®
khi
0
x x
® .
1.2.Giới hạn một bên:
* Cho hàm số
( )
y f x
=
xác định trên
0
( ; )
x b
.Số
L

gọi là giới hạn bên phải của hàm số
( )
y f x
=

khi
x
dần tới
0
x
nếu với mọi dãy
0
( ) :
n n
x x x b
< <
mà
0
n
x x
® thì ta có:
( )
n
f x L
® . Kí
hiệu:
0
lim ( )
x x
f x L

+
®
=
.
* Cho hàm số
( )
y f x
=
xác định trên
0
( ; )
a x
.Số
L
gọi là giới hạn bên trái của hàm số
( )
y f x
=
khi
x
dần tới
0
x
nếu với mọi dãy
0
( ) :
n n
x a x x
< <
mà

0
n
x x
® thì ta có:
( )
n
f x L
® . Kí
hiệu:
0
lim ( )
x x
f x L
-
®
=
.
Chú ý:
0
0
0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L f x f x L
+ -
®
® ®
= Û = =
.

1.3. Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số
( )
y f x
=
xác định trên
( ; )
a
+¥
có giới hạn là
L
khi
x
® +¥
nếu với mọi dãy số
( ) :
n n
x x a
>
và
n
x
® +¥
thì
( )
n
f x L
® . Kí hiệu:
lim ( )

x
f x L
®+¥
=
.
* Ta nói hàm số
( )
y f x
=
xác định trên
( ; )
b
-¥
có giới hạn là
L
khi
x
® -¥
nếu với mọi dãy số
( ) :
n n
x x b
<
và
n
x
® -¥
thì
( )
n

f x L
® . Kí hiệu:
lim ( )
x
f x L
®-¥
=
.
1.4.Giới hạn vô cực
* Ta nói hàm số
( )
y f x
=
có giới hạn dần tới dương vô cực khi
x
dần tới
0
x
nếu với mọi dãy số
0
( ) :
n n
x x x
® thì
( )
n
f x
® +¥
. Kí hiệu:
0

lim ( )
x x
f x
®
= +¥
.
* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay
0
x
bởi
-¥
hoặc
+¥
.

2. Các định lí về giới hạn

Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về
0
L
¹
) khi
0
x x
®
(hay
;
x x
® +¥ ® -¥

) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi
0
x x
®
(hay
;
x x
® +¥ ® -¥
) .
Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho
các giới hạn dần về vô cực

Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 2 -
Cho ba hàm số
( ), ( ), ( )
f x g x h x
xác định trên
K
chứa điểm
0
x
(có thể các hàm đó không xác định
tại
0
x
). Nếu
( ) ( ) ( )
g x f x h x x K

£ £ " Î
và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x h x L
® ®
= =
thì
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
.
3. Một số gới hạn đặc biệt
*
2
( )
lim
k
x
x
x
®+¥
®-¥
= +¥
;
2 1

( )
lim ( )
k
x
x
x
+
®+¥
®-¥
= +¥ -¥

*
0 0
lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)
( )
x x x x
k
f x k
f x
® ®
= +¥ -¥ Û = ¹
*
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
® ®

= =
, từ đây suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
® ®
= =
.
*
1
0
1
lim (1 ) lim (1 )
x
x
x x
x e
x
® ®±¥
+ = + =
0 0
ln(1 )
1
lim lim 1
x
x x

x
e
x x
® ®
+
-
Þ = =


Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực,
giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít.

CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tìm
0
lim ( )
x x
f x
®
biết
( )
f x
xác định tại
0
x
.
Phương pháp:
* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng
0

( )
f x

* Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải).

Ví dụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau:
2
1
1
1
1) lim
1
x
x x
A
x
®
- +
=
+

2
6
2 tan 1
2) A lim
sin 1
x
x
x

®
+
=
+
p

2
3
0
ln ( 2) 1
3) lim
3 1
x
x x
A
x
®
+ - +
=
+

Giải:
1) Ta có:
2
1
1
1 1 1 1 1
lim
1 1 1 2
x

x x
A
x
®
- + - +
= = =
+ +
.
2)
2
6
2 tan 1
2 tan 1 4 3 6
6
lim
sin 1 9
sin 1
6
x
x
A
x
®
+
+ +
= = =
+
+
p
p

p
.
3)
2
2
3
0
ln ( 2) 1
lim ln 2 1
3 1
x
x x
A
x
®
+ - +
= = +
+
.

Ví dụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới
hạn đó?
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 3 -
1)
2
2
12 2
khi 1
( )

2
3 2 khi 1
x x
x
f x
x
x x
ì
ï
+ +
ï
ï
<
ï
=
í
+
ï
ï
+ ³
ï
ï
î
khi
1
x
®
.
2)
2

2
2 3 1 khi 0
( )
3 2 khi 0
x x x
f x
x x x
ì
ï
+ + ³
ï
ï
=
í
ï
- + + <
ï
ï
î
khi
0
x
®
.
Giải:
1) Ta có:
1 1
lim ( ) lim (3 2) 5
x x
f x x

+ +
® ®
= + =
.
2
2
1 1 1 1
12 2
lim ( ) lim 5 lim ( ) lim ( ) 5
2
x x x x
x x
f x f x f x
x
- - + -
® ® ® ®
+ +
= = Þ = =
+
.
Vậy
1
5
lim ( )
3
x
f x
®
=
.

2) Ta có:
2
0 0
lim ( ) lim (2 3 1) 1
x x
f x x x
+ +
® ®
= + + =
.
2
0 0 0 0
lim ( ) lim ( 3 2) 2 lim ( ) lim ( )
x x x x
f x x x f x f x
- - + -
® ® ® ®
= - + + = Þ ¹
.
Vậy hàm số
( )
f x
không có giới hạn khi
0
x
®
.

Ví dụ 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi
2

x
®

2
2
1 khi 2
( )
2 1 khi 2
x ax x
f x
x x x
ì
ï
+ + >
ï
ï
=
í
ï
- + £
ï
ï
î
.
Giải:
Ta có:
2
2 2
lim ( ) lim ( 2) 2 6
x x

f x x ax a
+ +
® ®
= + + = +
.

2
2 2
lim ( ) lim (2 1) 7
x x
f x x x
- -
® ®
= - + =
.
Yêu cầu bài toán
2 2
1
lim ( ) lim ( ) 2 6 7
2
x x
f x f x a a
+ -
® ®
Û = Û + = Û =
.
Vậy
1
2
a

=
là giá trị cần tìm.
Bài tập:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
1)
1
2
2
1
lim
4
x
x
B
x x
®-
+
=
+ +
2)
2
2
6
sin 2x 3 cos
lim
tan
x
x
B
x

®
-
=
p

3)
2
2 2 3
3
1
3 2
ln(2 1) 2
lim
x
x
x
x x
B
e
+
®
-
- + -
= 4)
4
3
1
3 1 2
lim
3 1 2

x
x
B
x
®
+ -
=
+ -

Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn
đó ?
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 4 -
1)
2
3 5 1 1
( )
3 2 1
x x khi x
f x
x khi x
ì
ï
- + ³
ï
ï
=
í
ï
- + <

ï
ï
î
khi
1
x
®
.
2)
3
8
2
( )
2
2 1 2
x
khi x
f x
x
x khi x
ì
ï
-
ï
ï
>
ï
=
í
-

ï
ï
+ £
ï
ï
î
khi
2
x
®
.
Bài 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi
0
x
®
.
3
2
3 2 2
5 3 2 1 0
( )
ln( 2) 0
x x
ax x a khi x
f x
e x x khi x
-
ì
ï
+ + + ³

ï
ï
ï
=
í
ï
ï
+ + + <
ï
ï
î
.


Dạng 2: Tìm
0
( )
lim
( )
x x
f x
A
g x
®
= trong đó
0 0
( ) ( ) 0
f x g x
= =
. Dạng này ta gọi là dạng vô định

0
0
.
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức
( )
f x
có nghiệm
0
x x
=
thì ta có :
0 1
( ) ( ) ( )
f x x x f x
= -
.
*Nếu
( )
f x
và
( )
g x
là các đa thức thì ta phân tích
0 1
( ) ( ) ( )
f x x x f x
= -
và
0 1

( ) ( ) ( )
g x x x g x
= -
.
Khi đó
0
1
1
( )
lim
( )
x x
f x
A
g x
®
=
, nếu giới hạn này có dạng
0
0
thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai
2
( ) x+c
f x ax b
= +
có hai nghiệm
1 2
,
x x

thì ta luôn có sự phân
tích
2
1 2
( )( )
ax bx c a x x x x
+ + = - - .
* Nếu
( )
f x
và
( )
g x
là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức,
rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:
1.
( )( )
a b a b a b
- + = -

2.
3 3
3 3 3
2 2
( )( )
a b a ab b a b
± + = -
m

3.
1 2 1
( )( )
n n n
n n
n n n
a b a a b b a b
- - -
- + + + = -

* Nếu
( )
f x
và
( )
g x
là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng
hạn: Nếu
( ), ( )
n m
f x g x c
®
thì ta phân tích:
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )
n m n m
f x g x f x c g x c
- = - - -
.
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như

sau:
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
n m n m
f x g x f x v x g x v x
- = - - -
, trong đó
( )
v x c
®
.
* Một đẳng thức cần lưu ý:
1 2 2 1
( )( )
n n n n n n
a b a b a a b ab b
- - - -
- = - + + + +
.


Ví dụ 1: Tìm các gới hạn sau
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 5 -
1)
3 2
4
2
1
3 2
lim

4 3
x
x x
A
x x
®
- +
=
- +
2)
3 4
5
0
(1 3 ) (1 4 )
lim
x
x x
A
x
®
+ - -
=
3)
4 2
6
3
2
5 4
lim
8

x
x x
A
x
®
- +
=
-
4)
7
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
A
x
®
+ + + -
= .
Giải:
1) Ta có:
2
3 2 2
4
2
1 1 1
( 1)( 2 2)
3 2 2 2 3
lim lim lim

( 1)( 3) 3 2
4 3
x x x
x x x
x x x x
A
x x x
x x
® ® ®
- - -
- + - -
= = = =
- - -
- +

2)
3 4
6
0 0
(1 3 ) 1 (1 4 ) 1
lim lim
x x
x x
A
x x
® ®
+ - - -
= -
2 2
0 0

3 [(1 3 ) (1 3 ) 1] 4 (2 4 )[(1 4 ) 1]
lim lim
x x
x x x x x x
x x
® ®
+ + + + - - - +
= -
2 2
0 0
lim 3[(1 3 ) (1 3 ) 1] lim 4(2 4 )[(1 4 ) 1] 7
x x
x x x x
® ®
= + + + + + - - + = -


3)
2 2
4 2
6
3 3 3
2 2
( 1)( 4)
5 4
lim lim
8 2
x x
x x
x x

A
x x
® ®
- -
- +
= =
- -

2 2
2 2
2 2
( 1)( 2)( 2) ( 1)( 2)
lim lim 1
( 2)( 2 4) 2 4
x x
x x x x x
x x x x x
® ®
- - + - +
= = =
- + + + +
.
4)
3 2
7
0 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
6 11 6
lim lim 6
x x

x x x
x x x
A
x x
® ®
+ + + -
+ +
= = =
.

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
8
0
1
lim ( , *)
1
n
m
x
x
A m n
x
®
-
= Î
-
¥
.
2)

9
0
1 1
lim ( *, 0)
n
x
ax
A n a
x
®
+ -
= Î ¹
¥ .
Giải:
1)
1 2
8
1 2
0
( 1)( 1)
lim
( 1)( 1)
n n
m m
x
x x x x
A
x x x x
- -
- -

®
- + + + +
=
- + + + +
1 2
1 2
0
1
lim
1
n n
m m
x
x x x n
m
x x x
- -
- -
®
+ + + +
= =
+ + + +
.
2) Cách 1: Nhân liên hợp
1 2
9
0
1 2
( 1 1)( (1 ) (1 ) 1 1)
lim

( (1 ) (1 ) 1 1)
n n
n n
n n
x
n
n n
n n
ax ax ax ax
A
x ax ax ax
- -
®
- -
+ - + + + + + + +
=
+ + + + + + +


0
1 2
lim
(1 ) (1 ) 1 1
x
n
n n
n n
a a
n
ax ax ax

®
- -
= =
+ + + + + + +
.
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 6 -
Đặt
1
1
n
n
t
t ax x
a
-
= + Þ = và
0 1
x t
® Û ®

9
1
1 1
1 1
lim lim
1 ( 1)( 1)
n n n
t t

t t a
A a a
n
t t t t t
-
® ®
- -
Þ = = =
- - + + + +
.

Ví dụ 3: Tình các giới hạn sau
1)
10
0
1 1
lim
1 1
n
m
x
ax
A
bx
®
+ -
=
+ -
2)
3 4

11
0
1 1 1 1
lim
x
x x x
A
x
a b g
®
+ + + -
=
Giải:
1) Áp dụng bài toán trên ta có:
10
0 0
1 1
lim . lim .
1 1
n
m
x x
ax x a m am
A
x n b bn
bx
® ®
+ -
= = =
+ -

.
2) Ta có:
3 4
1 1 1 1
x x x
a b g
+ + + - =


3 4 3
1 1 ( 1 1) 1 (( 1 1) ( 1 1)
x x x x x x
a b g a b a
= + + + - + + + - + + -
.
4 3
3
11
0 0
0
1 1 1 1
lim ( 1 1 ) lim 1
1 1
lim
x x
x
x x
A x x x
x x
x

x
g b
a b a
a
® ®
®
+ - + -
= + + + +
+ -
+

11
4 3 2
A
g b a
= + +
( Áp dụng kết quả bài
9
A
).

Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1)
12
2
1
2 1
lim
1
x

x x
A
x
®
- -
=
-
2)
3
13
2
3 2
lim
3 2 2
x
x x
A
x
®
+ -
=
- -

Giải:
1)
2
12
1 1
( 1)
2 1

lim lim 0
( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 )
x x
x
x x
A
x x x x x x x
® ®
- -
- -
= = =
- + - + + - +
.
2)
3
13
3
2 2
3
(3 2 )( 3 2 2)
lim
3( 2)( (3 2) 2 3 2 4)
x
x x x
A
x x x
®
+ - - +
=
- + + + +

2
3
2 2
3
( 2 1)( 3 2 2)
lim
3( (3 2) 2 3 2 4)
x
x x x
x x
®
- + + - +
=
+ + + +
.
13
1
A
Þ = -
.


Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau
1)
3
14
1
7 1 5 1
lim
1

x
x x
A
x
®
+ - -
=
-
2)
3
15
4
7
2 20
lim
9 2
x
x x
A
x
®
+ - +
=
+ -
.
Giải:
1)
3
14
1

7 1 2 ( 5 1 2)
lim
1
x
x x
A
x
®
+ - - - -
=
-

3
1 1
7 1 2 5 1 2
lim lim
1 1
x x
x x
I J
x x
® ®
+ - - -
= + = +
- -
.
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 7 -
3
1 2

3
7( 1)
7
lim
12
( 1)( (7 1) 2 7 1 4)
x
x
I
x x x
®
-
= =
- - + - +
.
1 1
5( 1)
5 5
lim lim
3
( 1)( 5 1 1) 5 1 1
x x
x
J
x x x
® ®
-
= = =
- - + - +

Vậy
14
9
4
A
=
.
2) Ta có:
3
3
15
4 4
7 7
2 3 20 3
2 20
7 7
lim lim
9 2 9 2
7
x x
x x
x x
x x
A
x x
x
® ®
+ - + -
-
+ - +

- -
= =
+ - + -
-

mà:
7 7
2 3 1 1
lim lim
7 6
2 3
x x
x
x
x
® ®
+ -
= =
-
+ +

3
3 3
2
7 7
20 3 1 1
lim lim
7 27
( 20) 3 20 9
x x

x
x
x x
® ®
+ -
= =
-
+ + + +
.
4
4 4 4
3 2
7 7
9 2 1 1
lim lim
7 32
( 9) 2( 9) 4 9 8
x x
x
x
x x x
® ®
+ -
= =
-
+ + + + + +
.
Vậy
15
1 1

112
6 27
1 27
32
A
-
= = .


Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
1)
2
5
3
2
2 5 2
lim
3 2
x
x x
B
x x
®
- +
=
- -
2)
4
6

3
1
3 2
lim
2 3
x
x x
B
x x
®
- +
=
+ -

3)
7
2
3
2 3
lim
4 3
x
x x
B
x x
®
+ -
=
- +
4)

3
8
4
0
1 1
lim
2 1 1
x
x
B
x
®
+ -
=
+ -

5)
3
9
4
7
4 1 2
lim
2 2 2
x
x x
B
x
®
- - +

=
+ -
6)
3
10
2
0
1 2 1 3x
lim
x
x
B
x
®
+ - +
=
7)
11
2
1
( 1)(2 1)(3 1)(4 1) 1
lim
1
x
x x x x
B
x
®
+ + + + -
=

-
.
8)
3 3
2 2
12
0
4 2 4 2
lim
2 2
x
x x x x
B
x x
®
- + - + +
=
+ - -
.




Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 8 -
Dạng 3: Tìm
( )
lim
( )
x

f x
B
g x
®±¥
= , trong đó
( ), ( )
f x g x
® ¥
, dạng này ta còn gọi là dạng vô định
¥
¥
.
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
*
2
( )
lim
k
x
x
x
®+¥
®-¥
= +¥
;
2 1
( )
lim ( )
k
x

x
x
+
®+¥
®-¥
= +¥ -¥
.
*
( )
lim 0 ( 0; 0)
n
x
x
k
n k
x
®+¥
®-¥
= > ¹
.
*
0 0
lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)
( )
x x x x
k
f x k
f x
® ®
= +¥ -¥ Û = ¹

.


Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
16
2
3 5 1
lim
2 1
x
x x
A
x x
®+¥
+ +
=
+ +

2)
0 1
17 0 0
0 1

lim ( 0)

n
n n
m

x
m m
a x a x a
A a b
b x b x b
-
®+¥
-
+ + +
= ¹
+ + +
.
Giải:
1) Ta có:
2
2 2
16
2
2 2
5 1 5 1
(3 ) 3
3
lim lim
1 1 1 1 2
(2 ) 2
x x
x
x x
x x
A

x
x x
x x
®+¥ ®+¥
+ + + +
= = =
+ + + +

2) Ta có:
1 1
0
1
17
1 1
0
1
( )
lim
( )
n
n n
n n
x
m
m m
m m
a a a
x a
x
x x

A
b b b
x b
x
x x
-
-
®+¥
-
-
+ + + +
=
+ + + +

* Nếu
1 1
0
1
0
17
1 1 0
0
1

lim

n n
n n
x
m m

m m
a a a
a
a
x
x x
m n A
b b b b
b
x
x x
-
-
®+¥
-
-
+ + + +
= Þ = =
+ + + +
.
* Nếu
1 1
0
1
17
1 1
0
1

lim 0

( )
n n
n n
x
m n
m m
m m
a a a
a
x
x x
m n A
b b b
x b
x
x x
-
-
®+¥
-
-
-
+ + + +
> Þ = =
+ + + +

( Vì tử
0
a
® , mẫu

0
®
).
* Nếu
m n
<

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 9 -
1 1
0
1
0 0
17
0 0
1 1
0
1
( )
khi . 0
lim
khi 0

n m
n n
n n
x
m m
m m
a a a

x a
a b
x
x x
A
a b
b b b
b
x
x x
-
-
-
®+¥
-
-
+ + + +
ì
+¥ >
ï
Þ = =
í
-¥ <
ï
î
+ + + +
.

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)

2 2
18
2 1 1
lim
2 2
x
x x
A
x
®+¥
+ - +
=
+
2)
2
19
2
3 2 1
lim
1 1
x
x x
A
x
®-¥
- + +
=
+ -
.
Giải:

1) Ta có:
2 2
18
1 1
| | 2 | | 1
lim
2
(2 )
x
x x
x x
A
x
x
®+¥
+ - +
=
+
2 2
1 1
2 1
2 1
lim
2 2
2
x
x x
x
®+¥
+ - +

-
= =
+
.
2)
2 2
19
2
2 1 1
| | 3 | |
lim
1 1
| | ( 1 )
| |
x
x x
x
x x
A
x
x
x
®-¥
- + +
=
+ -
2 2
2
2 1 1
3

lim 3
1 1
( 1 )
| |
x
x
x x
x
x
®-¥
- - - +
= =
- + -
.
Ví dụ 3:Tìm các giới hạn sau
1)
3
3 2
20
4
4
3 1 2 1
lim
4 2
x
x x x
A
x
®-¥
+ - + +

=
+

2)
2
21
3
3
1 2 1
lim
2 2 1
x
x x x
A
x
®+¥
+ - +
=
- +
.
Giải:
1) Ta có:
3
3
3 2
20
4
4
1 1 1
3 2

3 2
lim
2 2
4
x
x x
x
x x
A
x
x
®-¥
+ + + +
+
= = -
- +
.
2)
2
2 2 2 2
21
3 3
3 3
1 2 1 1 2 1
( 1 ) ( 1 )
lim
2 1 2 1
( 2 ) 2
x
x x

x x
x x x x
A
x
x x
x x
®+¥
+ - + + - +
= = = +¥
- + - +

(do tử
® +¥
, mẫu
3
2
® ).

Bài tập:
Tìm các giới hạn sau
1)
3 4
13
7
(2 1) ( 2)
lim
(3 2 )
x
x x
B

x
®+¥
+ +
=
-
2)
2
14
2
4 3 4 2
lim
1
x
x x x
B
x x x
®-¥
- + -
=
+ + -

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 -
3)
2
15
2
2 3 2
lim
5 1

x
x x
B
x x
®+¥
+ +
=
- +
4)
4 6
16
3 4
ln(1 )
lim
ln(1 )
x
x x
B
x x
®-¥
+ +
=
+ +




Dạng 4 : Dạng vô định:
¥ - ¥
và

0.
¥

Phương pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng
¥
¥
.
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
22
lim ( 1 )
x
A x x x
®+¥
= - + -
2)
2
23
lim (2 4 1)
x
A x x x
®-¥
= + - +

Giải:
1) Ta có:
2 2
2 2

22
2 2
( 1 )( 1 )
1
lim lim
1 1
x x
x x x x x x
x x x
A
x x x x x x
®+¥ ®+¥
- + - - + +
- + -
= =
- + + - + +

22
2
1 1
lim
2
1
x
x
A
x x x
®+¥
- +
Þ = = -

- + +
.
2)
2 2
23
2
(2 4 1)(2 4 1)
lim
2 4 1
x
x x x x x x
A
x x x
®-¥
- - + + - +
=
- - +
2
1 1
lim
4
2 4 1
x
x
x x x
®-¥
+
= =
- - +
.

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
3
3 2 2
24
lim ( 3 2 )
x
A x x x x
®-¥
= - + -
2)
2 2
25
lim ( 2 2 )
x
A x x x x x x
®+¥
= + - + +
.
Giải:
1) Ta có:
3 3
3 2 2 3 2 2
3 2 ( 3 ) ( 2 )
x x x x x x x x x x
- + - = - - + - +


2

3
3 2 2 3 2 2 2
3
3 2
( 3 ) 3 2
x x
x x x x x x x x x
- -
= +
- + - + - -

24
2
3 3
3 2
lim lim 0
3 3 2
(1 ) 1 1 1 1
x x
A
x x x
®-¥ ®-¥
- -
Þ = + =
- + - + - - -
.
2) Ta có:
2 2 2
2 2
2 2

2 2 2 2 4 4
2 2
2 2
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + + - -
+ - + + =
+ + + +

2
2 2
2 1
2
2 2
x x x
x
x x x x x
+ - -
=
+ + + +
2 2 2
2
( 2 2 )( 2 1)
x
x x x x x x x x
-
=
+ + + + + + +

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 11 -

2
25
2 2 2
2
lim
( 2 2 )( 2 1)
x
x
A
x x x x x x x x
®+¥
-
Þ =
+ + + + + + +


25
2 1
lim
4
2 1 2 1
( 1 2 1 1)( 1 1 )
x
A
x x x x
®+¥
-

= = -
+ + + + + + +
.

Ví dụ 3: Tìm giới hạn:
26 1 2
lim [ ( )( ) ( ) ]
n
n
x
A x a x a x a x
®+¥
= + + + -
.
Giải:
Đặt
1 2
( )( ) ( )
n
n
y x a x a x a
= - - -
1 1 1
( )( )
n n n n n
y x y x y y x x
- - -
Þ - = - + + +
1 1 1

n n
n n n
y x
y x
y y x x
- - -
-
Þ - =
+ + +

1 2 1
lim ( ) lim

n n
n n n
x x
y x
y x
y y x x
- - -
®+¥ ®+¥
-
Þ - =
+ + +
1
26
1 1 1
1
lim

n n
n
n n n
x
n
y x
x
A
y y x x
x
-
- - -
®+¥
-
-
Þ =
+ + +
.
Mà
2 3
1 2
1 2 1
lim lim ( )
n n
n
n
n n
x x
b b b
y x

a a a
x
x x x
- -
®+¥ ®+¥
-
= + + + + + + +
1 2

n
a a a
= + + +

1
1
lim 1 0, , 1
k n k
n
x
y x
k n
x
- -
-
®+¥
= " = -
1 2 1
1

lim

n n n
n
x
y y x x
n
x
- - -
-
®+¥
+ + +
Þ =

Vậy
1 2
26

n
a a a
A
n
+ + +
= .

Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
1)
2
17
lim ( x 1 )
x

B x x
®+¥
= - + -
2)
2
18
lim ( 4 1 )
x
B x x x
®-¥
= + -

3)
2 2
19
lim ( 1 1)
x
B x x x x
®±¥
= - + - + +
4)
3
3
20
lim ( 8x 2x 2x)
x
B
®+¥
= + -
5)

4
4 2
21
lim ( 16 3 1 4 2)
x
B x x x
®+¥
= + + - +
6)
3
3
22
lim ( 1 )
x
B x x
®-¥
= - - .










Gii hn hm s
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa - 12 -
Dng vụ nh cỏc hm lng giỏc

PP: Ta s dng cỏc cụng thc lng giỏc bin i v cỏc dng sau:
*
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
đ đ
= =
, t õy suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
đ đ
= =
.
* Nu
0 0
sin ( )
lim ( ) 0 lim 1
( )
x x x x
u x

u x
u x
đ đ
= ị =
v
0
tan ( )
lim 1
( )
x x
u x
u x
đ
=
.

Vớ d 1: Tỡm gii hn sau:
27
2
0
1 cos
lim
x
ax
A
x
đ
-
= .
Gii:

Ta cú:
2
2
27
2
0 0
2 sin sin
2 2
lim lim
2 2
2
x x
ax ax
a a
A
ax
x
đ đ
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ
= = =
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
Chỳ ý: Kt qu trờn chỳng ta thng hay c s dng gii mt s bi toỏn khỏc

Vớ d 2: Tỡm cỏc gii hn sau
1)

28
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
mx mx
A
nx nx
đ
+ -
=
+ -
2)
29
2
0
1 cos .cos 2 . cos 3
lim
x
x x x
A
x
đ
-
= .
Gii:
1) Ta cú:
2
2

2 sin 2 sin cos
1 sin cos
2 2 2
1 sin cos
2 sin 2 sin cos
2 2 2
mx mx mx
mx mx
nx nx nx nx nx
+
+ -
=
+ -
+
x
sin sin cos
2 2 2 2
. .
x
sin sin cos
2 2 2 2
mx n mx mx
m
n mx n nx nx
+
=
+
.
28
0 0 0

x
sin sin cos
2 2 2 2
lim . lim . lim
x
sin sin cos
2 2 2 2
x x x
mx n mx mx
m m
A
n mx n nx nx n
đ đ đ
+
= =
+
.
2) Ta cú:
2 2
1 cos cos cos 2 (1 cos 3 ) cos (1 cos 2 )
1 cos .cos 2 .cos 3
x x x x x x
x x x
x x
- + - + -
-
=
2 2 2
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
cos . cos 2 cos

x x x
x x x
x x x
- - -
= + + .
S dng kt qu bi
27
A
ta cú:
29
2 2 2
0 0 0
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
lim lim cos .cos 2 lim cos 3
x x x
x x x
A x x x
x x x
đ đ đ
- - -
= + + =






Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 13 -
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:

1)
30
0
1 cos 2
lim
3
2 sin
2
x
x
A
x
®
-
= 2)
31
0
cos 2 cos 3
lim
(sin 3 sin 4 )
x
x x
A
x x x
®
-
=
-
3)
2

32
3
0
tan 2
lim
1 cos 2
x
x
A
x
®
=
-

Giải:
1) Ta có:
2
2
30
0 0 0
3
sin
sin sin 3
2
lim lim ( ) . lim 0
3 2 3
sin
2 2
x x x
x

x x
A x
x x x
® ® ®
= = =
.
2)
31
0 0 0
5 5
2 sin sin sin
5 1 5
2 2 2
lim lim ( . ). lim
7 2 5 7 2
2 cos sin cos
2 2 2 2
x x x
x x x
A
x x x x
x
® ® ®
= = - =
-
.
3)
3
3
2 2

2
32
3
0 0
tan 2 (1 cos 2 cos 2 )
tan 2
lim lim
1 cos 2
1 cos 2
x x
x x x
x
A
x
x
® ®
+ +
= =
-
-


3
3
2 2
2
0
3
3
2 2 2

0
tan 2 (1 cos 2 cos 2 )
lim
2 sin
tan 2
2 lim ( ) .( ) (1 cos 2 cos 2 ).
2 sin
x
x
x x x
x
x x
x x
x x
®
®
+ +
=
= + +

32
6
A
Þ =
.

Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau
1)
33
2

0
1 cos
lim
n
x
ax
A
x
®
-
=
2)
3 4 2008
34
2
0
cos cos 2 cos 3 cos 4 cos 2008
lim
x
x x x x x
A
x
®
- + - + - +
=

Giải:
1) Ta có:
2 1
1 cos

1 cos
1 cos ( cos ) ( cos )
n
n n n
n
ax
ax
ax ax ax
-
-
- =
+ + + +

33
2
2 1
0 0
1 cos x 1
lim lim
1 cos ( cos ) ( cos )
n n n
n
x x
a
A
x
ax ax ax
-
® ®
-

Þ =
+ + + +

1
.
2 2
a a
n n
= =
.
2) Ta có:
2008 2008
1
1 1
( 1) cos ( 1) (1 cos )
k k
k k
k k
kx kx
+
= =
- = - -
å å
.
Mà
34
2
0
1 cos 1
lim ( 1, 2, , 2008) 0

2
k
x
kx
k A
x
®
-
= " = Þ =
.



Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 14 -
Ví dụ 5: Tìm giới hạn
1)
2
35
0
lim
1 sin 3 cos 2
x
x
A
x x x
®
=
+ -
2)

2
36
3 4
0
sin 2
lim
cos cos
x
x
A
x x
®
=
-

Giải:
1) Ta có:
35
0
2
1
lim
1 sin 3 cos 2
x
A
x x x
x
®
=
+ -

Mà:
2 2 2
0 0 0
1 sin 3 cos 2 1 sin 3 1 1 cos 2
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x
® ® ®
+ - + - -
= +

0
sin 3 1 5
3 lim ( . ) 1
3 2
1 sin 3 1
x
x
x
x x
®
= + =
+ +
.
Vậy:
35
2

A
5
=
.
2) Ta có:
3 4
3 4
2 2
0 0
(1 cos ) 1 cos
cos cos 1 1 1
lim lim
6 8 24
x x
x x
x x
x x
® ®
- - + -
-
= = - + = - .
2
2
36
3 4
0 0
sin 2
4 lim ( ) . lim 4.( 24) 69
2
cos cos

x x
x x
A
x
x x
® ®
Þ = = - = -
-
.

Ví dụ 6: Tìm các giới hạn sau
1)
37
1
sin( )
lim .
sin( )
m
n
x
x
A
x
p
p
®
= 2)
38
2
lim ( ) tan

2
x
A x x
p
p
®
= - .
Giải:
1) Ta có:
37
1
sin (1 )
lim
sin (1 )
m
n
x
x
A
x
p
p
®
-
=
-
1 1 1
sin (1 ) (1 )
1
lim . lim . lim

(1 ) sin (1 ) 1
m n
n
m n m
x x x
x x
x
x x x
p p
p p
® ® ®
- -
-
=
- - -


1 2
1 2
1 1
(1 )( 1)
1
lim lim .
1 (1 )( 1)
n n
n
m m m
x x
x x x
x n

m
x x x x
- -
- -
® ®
- + + +
-
= = =
- - + + +

2) Ta có:
38
2 2 2
sin
2
lim ( ) lim . lim sin 1
2 cos x
sin( )
2
x x x
x
x
A x x
x
p p p
p
p
p
® ® ®
-

= - = =
-
.
Ví dụ 7: Tìm các giới hạn sau:
1)
39
0
1
lim sin ( 0)
x
A x
x
a
a
®
= >
2)
40
lim (sin 1 sin )
x
A x x
®+¥
= + -
Giải:
1) Ta có:
1
0 | sin |
x x
x
a a

£ < . Mà
0
lim 0
x
x
a
®
=

Nên theo nguyên lí kẹp
39
0
A
Þ =
.
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 15 -
2) Trước hết ta có:
sin 0
x x x
< " >

Ta có:
1 1 1
| sin 1 sin | | 2sin .cos |
2 2
1
x x x x
x x
x x

+ - + +
+ - = <
+ +
Mà
1
lim 0
1
x
x x
®+¥
=
+ +
nên
40
0
A
=
.
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau
1)
23
0
cos 3x cos 4x
lim
cos 5x cos 6x
x
B
®
-

=
-
2)
3
24
0
1 1 2sin2x
lim
sin 3x
x
B
®
- +
=
3)
25
2
cos 3 1 sin 3x
lim
1 sin
x
x
B
x
p
®
+ -
=
-
4)

4
26
4
0
sin 2x
lim
sin 3x
x
B
®
=
5)
27
0
1 sin( cos )
2
lim
sin(tan )
x
x
B
x
p
®
-
= 6)
28
3 sin 2 cos
lim
1

x
x x
B
x x
®+¥
+
=
+ +

7)
29
2
0
cos cos
lim
sin
m m
x
ax bx
B
x
®
-
= 8)
3
2 2
20
0
2x 1 3x 1
lim

1 cos x
x
B
®
+ - +
=
-





Giới hạn hàm số mũ và Lôgarít
Sử dụng giới hạn đặc biệt:
0 0
ln(1 )
1
lim lim 1
x
x x
x
e
x x
® ®
+
-
= =
.
Từ đây ta có hệ quả:
Nếu

0
lim ( ) 0
x x
u x
®
=
thì
0 0
( )
ln(1 ( ))
1
lim lim 1
( ) ( )
u x
x x x x
u x
e
u x u x
® ®
+
-
= =
.

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau
1)
41
0
lim
ax bx

x
e e
A
x
®
-
= 2)
3
2 1 1 1 3
42
0
lim
x x
x
e e
A
x
+ - -
®
-
= .
Giải:
1) Ta có:
41
0 0
1 1
A lim lim
ax bx
x x
e e

a b a b
ax bx
® ®
- -
= - = -
.
2) Ta có:
3
3
2 1 1 1 3x 1
42
3
0 0 0 0
1 2 1 1 1 1 3x 1
lim . lim lim . lim
2 1 1
1 3x 1
x
x x x x
e x e
A
x x
x
+ - - -
® ® ® ®
- + - - - -
= -
+ -
- -

Mà
3
2 1 1 1 3x 1
3
0 0
1 1
lim lim 1
2 1 1
1 3x 1
x
x x
e e
x
+ - - -
® ®
- -
= =
+ -
- -
;
0
2 1 1
lim 1
x
x
x
®
+ -
=

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 16 -
và
3
0
1 3x 1
lim 1
x
x
®
- -
= -
. Nên
42
A 1 1 2
Þ = + =
.

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
1)
44
0
1
lim
x
x
a
A
x
®

-
=
2)
3
43
0
ln | | ln( 3 1 1) | 1 1 |]
lim
x
x x x
A
x
®
- + + + -
= .
Giải:
1) Đặt
ln( 1)
1
ln
x
t
t a x
a
+
= - Þ = . Khi
0 0
x t
® Þ ®
44

0
.ln
lim ln
ln(1 )
t
t a
A a
t
®
Þ = =
+
.
Chú ý : Ta có dạng tổng quát của
44
A
như sau:
Nếu
( )
0 0
1
lim ( ) 0 lim ln
( )
u x
x x
a
u x a
u x
® ®
-
= Þ = .

2) Ta có:
3
3
( 3 1 1)
( 3 1 1)( 1 1)
1 1
x x
x x
x
+ +
+ + + - =
+ +

3 3
ln( 3 1 1) | 1 1 | ln | | ln( 3 1 1) ln( 1 1)
x x x x x
Þ + + + - = + + + - + +

3
45
0
ln( 3 1 1) ln( 1 1)
lim
x
x x
A
x
®
+ + - + +
Þ = =

3
0 0
ln(1 1 3x) ln 2 ln(1 1 ) ln 2
lim lim
x x
x
x x
® ®
+ + - + + -
= -

3
0 0
1 1
ln(1 ( 1 3x 1)) ln(1 ( 1 1))
2 2
lim lim
x x
x
I J
x x
® ®
+ + - + + -
= - = -

Mà
3
3

0
3
1
ln(1 ( 1 3 1))
1 1 3 1 1 1
2
lim . .1.1
2 1 2 2
( 1 3 1)
2
x
x
x
I
x
x
®
+ + -
+ -
= = =
+ -
.
0
1
ln(1 ( 1 1))
1 1 1 1 1 1
2
lim . .1. .
2 1 2 2 4
( 1 1)

2
x
x
x
J
x
x
®
+ + -
+ -
= = =
+ -

Vậy
45
1 1 1
.
2 4 4
A = - =
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1)
46
0
(1 ) 1
lim ( 0)
x
x
A
x
a

a
®
+ -
= >
2)
47
lim
x a
x a
a x
A
x a
®
-
=
-
.
Giải:
1) Ta có:
( )
ln(1 )
1 1 1
x
x e
a
a
+
+ - = -

Giới hạn hàm số

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 17 -
ln(1 )
(1 ) 1 ln(1 )
1
.
ln(1 )
x
x x
e
x x x
a
a
a
a
+
+ - +
-
Þ =
+
ln(1 )
46
0
ln(1 )
1
lim .
ln(1 )
x
x
x
e

A
x x
a
a
a
a
+
®
+
-
Þ = =
+
.
Chú ý : Tổng quát ta có: Nếu
0 0
(1 ( )) 1
lim ( ) 0 lim
( )
x x
u x
u x
u x
a
a
® ®
+ -
= Þ =
.
2) Ta có:
x

a ( 1) (1 ) 1
a a x a a a
x a
x a a a
a
-
é ù
-
- = - - + -
ê ú
ë û

1
(1 ) 1
1
a
x a x a
a a
x a
a x a
a
a a
x a x a x a
a
-
-
-
+ -
- -
Þ = -

- - -

1
47
1
(1 ) 1
1
lim lim
ln . ln
a
x a
a a
x a x a
a a a
x a
a
a
A a a
x a x a
a
a
a a a a a
e
-
-
® ®
-
-
+ -
-

Þ = -
- -
= - =
.
Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
4
2
48
0
3 1
lim
ln( 3 4 1)
x x
x
e x
A
x
-
®
- +
=
+ -
2)
3x+1 1
49
2
0
4 sin 3x

lim
ln( 1)
x
A
x x
-
®
-
=
- +
.
Giải:
1) Ta có:
2
2
4
2
4
2
2
3 1
ln( 3 4 1)
(2 1)
1 3 1 1 3 4 2
. .
(2 1)
ln(1 ( 3 4 2)) 3 4 2
2
x x
x x

e x
x
x x
e x x
x x
x x
x x
-
-
- +
=
+ -
é ù
-
- + - + -
ê ú
= -
ê ú
-
+ + - + -
-
ê ú
ë û
.
Mặt khác :
2
2
2
0 0
1 3 4 2

lim lim 1
ln(1 ( 3 4 2))
2
x x
x x
e x
x
x x
-
® ®
- + -
= =
+ + -
-

và
4 4
0 0 0
3 1 1 3 1 1 1 3
lim lim . lim
(2 1) 2 1 4
x x x
x x
x x x x
® ® ®
+ - + -
= = -
- -
;
0

(2 1)
2
lim
3
3 4 2
x
x x
x
®
-
= -
+ -

48
3 2 7
(1 ).1.( )
4 3 6
A
Þ = + - = -
.
2) Ta có:
3 1 1 3 1 1 2
2 2 2
4 cos 3 4 1 1 cos 3 3 1 1
3 1 1 3 1 1
ln( 1) ln( 1)
x x
x x x x x
x x
x x x x x x

+ - + -
é ù
- - - - + -
ê ú
= +
ê ú
+ - + -
- + - + -
ë û
.
Mà
3 1 1
0
4 1
lim 2 ln 2
3 1 1
x
x
x
+ -
®
-
=
+ -
;
2
0 0 0
3 1 1 3 1 1 1 3
lim lim . lim
1 2

x x x
x x
x x
x x
® ® ®
+ - + -
= = -
-
-

Gii hn hm s
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa - 18 -
2
2
0 0 0
2
3
sin ( )
1 cos 3 9
2
lim lim . lim 0
2 3
3 1 1 3 1 1
( )
2
x x x
x
x x
x x
x

đ đ đ
-
= =
+ - + -
;
2
2
0
lim 1
ln( 1)
x
x x
x x
đ
-
=
- +

49
3 ln 2
A
ị = - .


Gii hn
1
Ơ


Phng phỏp: Da vo cỏc gii hn c bit sau:

*
1
0
1 1
lim (1 ) lim (1 ) lim (1 )
x x
x
x x x
x e
x x
đ đ+Ơ đ-Ơ
+ = + = + =
.
* Nu
0
lim ( ) 1
x x
u x
đ
=
v
0
lim ( ) ( )
x x
v x
đ
= +Ơ -Ơ

thỡ
0 0

1
( ) .( ( ) 1) ( )
( ) 1
lim ( ) lim 1 ( ( ) 1)
v x u x v x
u x
x x x x
u x u x
-
-
đ đ
ộ ự ộ ự
= + -
ở ỷ ở ỷ


0
lim ( ( ) 1) ( )
x x
u x v x
e
đ
-
=
.

Vớ d 1: Tỡm cỏc gii hn sau:
1)
3 2
51

2
lim
1
x
x
x
A
x
+
đ+Ơ
ổ ử
+
=
ỗ ữ
+
ố ứ
2)
2
1
1
52
1
lim 2 )
x
x x
x
A e
-
-
đ

ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ
.
Gii:
1) Ta cú:
3 2
3 2
( 1).
lim
1
3
1
51
1
lim 1
1
x
x
x
x
x
x
x
A e e
x
đ+Ơ
+
+

+
+
+
đ+Ơ
ổ ử
= + = =
ỗ ữ
+
ố ứ
.
2) Ta cú:
2
2
2
2
1
1 1
1
.
lim
1
1
1
52
1
lim 1 (1 )
x x
x x
x x
x

e
e
x
x x
x
e
x
A e e
-
-
-
đ
-
-
-
-
-
-
đ
ổ ử
= + - =
ỗ ữ
ố ứ

M
2 2
2
1 1
1 1
lim lim . 1

1
x x x x
x x
e e
x
x
x x
- -
đ đ
- -
= = -
-
-
. Vy
1
52
A
e
-
= .

Vớ d 2: Tỡm cỏc gii hn sau:
1)
2
2 cot
53
0
lim (1 )
x
x

A x
đ
= + 2)
2 1
2
3
54
2
0
1
lim ( )
1
x
x
x
x x
A
x x
+
đ
- +
=
+ +
.
Gii:
1) Ta cú:
2 2
2 2 2
0
1

. lim
2
tan tan
53
0
lim (1 )
x
x x
x x x
x
A x e e
đ
đ
= + = =
.
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 19 -
2) Ta có
2
2 2
1 2
1
1 1
x x x
x x x x
- +
= -
+ + + +
và
2

2
2(2 1)
2 1 1
( )
3 2
3( 1)
x
x x x
x x
x x
- +
+ + +
= -
+ +

2
2 2
0
2(2 1) 2(2 1)
1
2
. lim
2
3( 1) 3( 1)
3
54
2
0
2
lim (1 )

1
x
x x
x x
x
x x x x
x
x
A e e
x x
®
- + - +
+ +
-
-
+ + + +
®
Þ = - = =
+ +

Ví dụ 3: Tìm giới hạn:
tan
55
2
lim (sin )
x
x
A x
p
®

=
Giải:
Ta có:
2
sin 1
lim
(sin 1)
1
cot
.
sin 1 cot
55
2
lim [1 (sin 1)]
x
x
x
x
x x
x
A x e
p
p
®
-
-
-
®
= + - =
Mà

2 2 2
sin sin 2 cos( ) sin( )
sin 1
2 2 4 2 4
lim lim lim
cot
tan( ) tan( )
2 2
x x x
x x
x
x
x
x x
p p p
p p p
p p
® ® ®
- + -
-
= =
- -


2
sin( )
2 4 2
lim [ cos( )] 0
2 4
tan( )

2 4 2
x
x
x
x
x
x
p
p p
p
p p
®
- -
= - + =
- -
.
Vậy
0
55
1
A e
= =
.

Bài tập:
Tìm các giới hạn sau