Đề tài : Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số pdf

Đề tài

Một số phương pháp xác định công
thức tổng quát của dãy số


Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 1 -
MỤC LỤC

MỤC LỤC 1
LỜI MỞ ĐẦU 2
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. 3
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23
III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 28
IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ 32
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 32
BÀI TậP ÁP DụNG 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 2 -
LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần
quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng

quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng
quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số.
Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ”
nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản
thân đúc rút được trong qua trình học tập.
Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :
I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số
có dạng công thức truy hồi đặc biệt.
II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số
III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số
IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy
nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến
phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho
các em học sinh.
Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt
thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.
Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất
mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt
hơn.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 3 -
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.

Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy
số có công thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các
kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết ta
nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC .

1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định nghĩa: Dãy số
( )
n
u
gọi là cấp số cộng nếu có một số thực
d
sao cho với mọi số
nguyên
2
n
³
ta có:
1
n n
u u d
-
= +
.
d
: gọi là công sai của CSC;
1
u

: gọi số hạng đầu,
n
u
gọi là số hạng tổng quát của cấp số
Định lí 1: Cho CSC
( )
n
u
. Ta có :
1
( 1)
n
u u n d
= + - (1).
Định lí 2: Gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu của CSC
( )
n
u
có công sai d. Ta có:

1
S [2 ( 1) ]
2
n
n
u n d
= + -

(2).
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Định nghĩa: Dãy số
( )
n
u
có tính chất
1
. *
n n
u q u n
+
= " Î
¥
gọi là cấp số nhân công
bội q
Định lí 3: Cho CSN
( )
n
u
có công bội q. Ta có:
1
1
n
n
u u q
-
=
(3).
Định lí 4: Gọi

n
S
là tổng n số hạng đầu của CSN
( )
n
u
có công bội q . Ta có:
1
1 -
1 -
n
n
q
S u
q
=
(4).







Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 4 -
2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt

Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số
( )

n
u
được xác định bởi
1 1
1, 2 2
n n
u u u n
-
= = - " ³
.
Giải:
Ta thấy dãy
( )
n
u
là một CSC có công sai
2
d
= -
. Áp dụng kết quả (1) ta có:
1 2( 1) 2 3
n
u n n
= - - = - +
.
Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
được xác định bởi

1 1
3, 2 2
n n
u u u n
-
= = " ³
.
Giải:
Ta thấy dãy
( )
n
u
là một CSN có công bội
2
q
=
. Ta có:
1
3.2
n
n
u
-
=
.
Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy
( )
n
u
được xác định bởi:

1 1
2, 3 1 2
n n
u u u n
-
= - = - " ³
.
Giải:
Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy
( )
n
u
không phải là CSC hay CSN!
Ta thấy dãy
( )
n
u
không phải là CSN vì xuất hiện hằng số
1
-
ở VT. Ta tìm cách làm
mất
1
-
đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện ý đồ này ta đặt
.
n n
u k v l
= +
;

,
k l
là
các hằng số và
0
k
¹
( ta sẽ chọn
,
k l
sau).
Khi đó, ta có:
1
2 1
. 3 . 3 1 3
n n n n
l
k v l k v l v v
k
-
-
+ = + - Û = +
.
Ta chọn
2 1 1
, : 0
2
l
k l l
k

-
= Û =
và
k
bất kì nên ta chọn
1
1
2
k
l
ì
=
ï
í
=
ï
î
.
1
1
3
( ) :
5
2
n n
n
v v
v
v
-

ì
=
ï
Þ
í
= -
ï
î
. Dễ thấy dãy
( )
n
v
là CSN với công bội
3
q
=

1 1
1
5
. .3
2
n n
n
v v q
- -
Þ = = -
. Suy ra:
1
1 5.3 1

2 2 2
n
n n
u v
-
= + = - +

Ta thấy
k
bất kì, do đó khi đặt ta chọn
1
k
=
.
Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau:

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 5 -
Dạng 1: Dãy số
1 0 1
( ) : , 2
n n n
u u x u au b n
-
= = + " ³
(
, 0
a b
¹
là các hằng số) có

CTTQ là:
1
1
1
1
( 1) khi 1

1
. khi a 1
1
n
n
n
u n b a
u
a
u a b
a
-
-
ì
+ - =
ï
=
í
-
+ ¹
ï
î -
.

Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy
( )
n
u
được xác định bởi
1 1
2; 2 3 2
n n
u u u n
+
= = + +
.

Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây không
phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến
n
. Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước
cách giải ở trên làm mất
3 2
n
+
ở VP, ta đặt :
. .
n n
u k v t n l
= + +
;
, ,
k t l

là các hằng số
0
k
¹
. Khi đó ta có:
1 1
3 2
( 1) 2 2 2 3 2 2 .
n n n n
t l t
kv t n l kv tn l n v v n
k k
+ +
+ - +
+ + + = + + + + Û = + +
.
Ta chọn
, ,
k t l
sao cho:
3
3
0
1
2
0
0
t
t
k

l
l t
k
k
ì
+
ì
= -
=
ï
ï
ï
Û = -
í í
- +
ï ï
=
¹
ï
î
î
, ta chọn
1
k
=
.
1
1
1
6

( ) : 6.2 3.2
2
n n
n n
n n
v
v v
v v
-
-
ì
=
ï
Þ Þ = =
í
=
ï
î
. Vậy
3 1 3.2 3 1
n
n n
u v n n
= - - = - -
.
Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào
k
, nên khi đặt ta có thể chọn
1
k

=
.

Ví dụ 1.5: Cho dãy số
1
1
2
( ) :
2 1
n
n n
u
u
u u n
-
ì
=
ï
í
= + +
ï
î
. Tìm CTTQ của dãy
( )
n
u
.

Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì
sau khi đặt ta có :

1
2 1
.
n n
t
v v n
k k
+
-
= + +
dẫn đến ta không thể làm mất
n
được.
Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho
dưới dạng sau
1
2 1
n n
u u n
-
- = +
. Từ đây ta có:
1 1 2 2 1 1
( ) ( ) ( )
n n n n n
u u u u u u u u
- - -
= - + - + + - +

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 6 -

2 1 2( 1) 1 2.2 1 2
n n
= + + - + + + + +
(
)
2 1 2 1 1
n n n
= + - + + + + -


2
( 1)
2 1 2 1
2
n n
n n n
+
= + - = + -
.
Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không
cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo
n
, mà với cách đặt ban
đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta có
thể giải bài toán trên theo cách khác như sau:
Đặt
2
n n

u v an bn c
= + + +
. Khi đó, ta có:
2 2
1
( 1) ( 1) 2 1
n n
v an bn c v a n b n c n
-
+ + + = + - + - + + +

1
2(1 ) 1
n n
v v a n a b
-
Û = + - + - +
.
Ta chọn
1 0 1
1 0 2
a a
a b b
ì ì
- = =
ï ï
Û
í í
- + = =
ï ï

î î
,
c
bất kì nên ta chọn
0
c
=
.
Khi đó:
1
1 2 1
1
1
( ) : 1
n n n n
n n
v
v v v v v
v v
- -
-
ì
= -
ï
Þ = = = = = -
í
=
ï
î

Vậy
2 2
2 2 1
n n
u v n n n n
= + + = + -
.
Vì
c
bất kì nên ta chỉ cần đặt
2
( )
n n n
u v an bn v n an b
= + + = + +


Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của
dãy
( )
n
u
được xác định bởi:
1 0
1
. ( )
n n
u x
u a u f n
-

ì
=
ï
í
= +
ï
î
, trong đó
( )
f n
là một đa thức bậc
k

theo
n
;
a
là hằng số. Ta làm như sau:
* Nếu
1
a
=
, ta đặt
. ( )
n n
u v n g n
= +
với
( )
g n

là một đa thức theo
n
bậc
k
, thay vào
công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn
( ) :
g n
( ) ( 1) ( 1) ( )
ng n n g n f n
- - - =
ta có được
dãy
(
)
n
v
là CSN với công bội
1
q
=
từ đó ta tìm được CTTQ của dãy
(
)
n
v
suy ra ta có
CTTQ của dãy
( )
n

u
.
* Nếu
1
a
¹
, ta đặt
( )
n n
u v h n
= +
với
( )
h n
là một đa thức theo
n
bậc
k
. Thay vào
công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn
( ) :
h n
( ) ( 1) ( )
h n ah n f n
- - =
ta có được dãy
(
)
n
v

là CSN với công bội
q a
=
từ đó ta tìm được CTTQ của dãy
(
)
n
v
. Suy ra ta có
CTTQ của dãy
( )
n
u
.

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 7 -
Ví dụ 1.6: Cho dãy số
1
1
1
( ) :
3 2 ; 2, 3,
n
n
n n
u
u
u u n
-

ì
=
ï
í
= + =
ï
î
.Tìm CTTQ của dãy
( )
n
u
.

Giải:
Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt:
.2
n
n n
u v a
= +
.
Ta có:
1
1 1
.2 3( .2 ) 2 3 2 ( 2)
n n n n
n n n n
v a v a v v a
-
- -

+ = + + Û = + +

Ta chọn
1 1
1 1
2 3 .3 5.3
n n
n n
a v v v
- -
-
= - Þ = = =

Vậy
1 1
5.3 2
n n
n
u
- +
= - .
Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy
1
( ) : . .
n
n n n
u u a u b
a
-
= +

, ta đặt
.
n
n n
u x y
a
= +
. Khi đó , ta có:
1
1
. . . .
n n n
n n
x y a x ay b
a a a
-
-
+ = + +

1
1
. ( )
n
n n
x a x y a b
a a a
-
-
é ù
Þ = + - +

ë û
. Do đó, nếu
a
a
¹
, ta chọn
b
y
a
a
a
=
-

1
1 1
. .
n
n n n
x a x x x a
-
-
Þ = Þ =
2
1
1
( ) .
n n
n
b b

u u a
a a
a a
a
a a
-
Þ = - +
- -

Trường hợp
1
. .
n
n n
a u a u b a
a
-
= Þ - =

2 1
1 1 2 2 1 1
( . ) ( ) ( ) .
n n
n n n n n
u u a u a u u a u au u a
- -
- - -
Þ = - + - + + - +

1

1
( 1)
n n
n
u b n a u a
-
Þ = - +
. Vậy ta có kết quả sau.
Dạng 3: Cho dãy
1
1
( ) :
. . 2
n
n
n n
u p
u
u a u b n
a
-
ì
=
ï
í
= + " ³
ï
î
. Khi đó ta có:

·
Nếu
1
1
( 1)
n
n
a u ab n u a
a
-
é ù
= Þ = - +
ë û
.

·
Nếu
2
1
1
( ) .
n n
n
b b
a u u a
a a
a a
a a
a a
-

¹ Þ = - +
- -
.
Chú ý : Trong trường hợp
a
a
=
ta có thể tìm CTTQ của dãy
( )
n
u
như sau:
Đặt
. .
n
n n
u x y n a
= +
. Khi đó ta có:
1
1
. . . ( 1). .
n n n
n n
x y n a x ay n a b a
a
-
-
+ = + - +

1
. ( ).
n
n n
x a x y b a
-
Þ = + - +
nên ta chọn
y b
=

1 1 1
1 1 1
. ( ) . ( 1)
n n n n
n n
x x a u u ab a bn a ab n u a
- - -
é ù
Þ = Þ = - + = - +
ë û
.

Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s
Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong - 8 -
Vớ d 1.7: Tỡm CTTQ ca dóy
1
1
2
( ) :

5 2.3 6.7 12 ; 2, 3,
n n
n
n n
u
u
u u n
-
ỡ
= -
ù
ớ
= + - + =
ù
ợ
.

Gii: t .3 .7
n n
n n
u v a b c
= + + +
. Khi ú , ta cú:
1 1
1
.3 .7 5( .3 .7 ) 2.3 6.7 12
n n n n n n
n n
v a b c v a b c
- -

-
+ + + = + + + + - +

1 1
1
5 3 (2 6) 7 (2 42) 4 12
n n
n n
v v a b c
- -
-
= + + - + + +
.
Ta chn
2 6 0 3
, , : 2 42 0 21
4 12 0 3
a a
a b c b b
c c
ỡ ỡ
+ = = -
ù ù
+ = = -
ớ ớ
ù ù
+ = = -
ợ ợ
.
Khi ú:

1 1
1 1
5 .5 157.5
n n
n n n
v v v v
- -
-
= ị = =

Vy
1 1 1 1 1
3 3.7 3 157.5 3 3.7 3
n n n n n
n n
u v
+ + - + +
= - - - = - - -
.
Qua vớ d trờn ta cú kt qu sau:

Dng 4: tỡm CTTQ ca dóy s
1
1
( ) :
. . . ; 2
n n
n
n n
u p

u
u a u b c d n
a b
-
ỡ
=
ù
ớ
= + + + "
ù
ợ
,
( trong ú
, , 0; , 1; .
a b c a
a b a b
ạ ạ ạ
) ta lm nh sau:

ã
Nu
1
1 . .
n n
n n
a u u b c d
a b
-
= ị - = + +

2
1 1
0
( )
n
n n i n i
i
u u u u
-
- - -
=
ị = + -
ồ


2 2 2
1 1
0 0 0
( . . ) .( 1)
n n n
n i n i n i n i
i i i
u b c d u b c d n
a b a b
- - -
- - - -
= = =
= + + + = + + + -
ồ ồ ồ

1
1 1
. . 1 . . 1 .( 1)
1 1
n n
n
u u b c d n
a b
a b
a b
ổ ử ổ ử
- -
ị = + - + - + -
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
- -
ố ứ ố ứ
.

ã
Nu
1
a
ạ
, ta t
. .
n n
n n
u v x y z
a b

= + + +

Ta cú:
1 1
1
. ( ) ( ) ( 1)
n n
n n
v a v ax x b by y c z a d
a a a b b b
- -
-
= + - + + - + + - +

Ta chn :
; ;
1
b c d
x y z
a b a
a b
a b
= = =
- - -
.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 9 -
Khi đó:
2 2
1 1

1 1 1
. .
1
n n
n n n
b c d
v a v v v a u a
a b a
a b
a b
- -
-
æ ö
= Þ = = - - -
ç ÷
ç ÷
- - -
è ø

2 2
1
1
1 1
n n n
n
b c d b c d
u u a
a b a a b a
a b
a b

a b a b
-
æ ö
= - - - + + +
ç ÷
ç ÷
- - - - - -
è ø
.

Chú ý : Nếu
a
a
=
hoặc
a
b
=
thì khi đặt
n
u
theo
n
v
thì ta nhân thêm
n
vào trước
n
a

hoặc
n
b
.

Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy
1
1
1
( ) :
2 3 ; 2
n
n
n n
u
u
u u n n
-
ì
=
ï
í
= + - " ³
ï
î
.

Giải: Để tìm CTTQ của dãy
(
)

n
u
ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3
Đặt .3
n
n n
u v a bn c
= + + +
.
Ta có:
(
)
1
1
.3 2 .3 ( 1) 3
n n n
n n
v a bn c v a b n c n
-
-
+ + + = + + - + + -

1
1
2 ( 1)3 ( 1) 2
n
n n
v v a b n b c
-
-

Û = + - + + - - +
.
Ta chọn
1; 2
a b c
= = =
. Khi đó:
1 1
1 1
2 .2 5.2
n n
n n n
v v v v
- -
-
= Þ = = -

Vậy
1
5.2 3 2
n n
n
u n
-
= - + + +
.

Dạng 5: Nếu dãy số
1
1

( ) :
. . ( ); 2
n
n
n n
u p
u
u a u b f n n
a
-
ì
=
ï
í
= + + " ³
ï
î
, trong đó
( )
f n
là đa
thức theo
n
bậc
k
ta tìm CTTQ của dãy như sau:
* Nếu
1
a
¹

ta đặt
. ( )
n
n n
u v x g n
a
= + + , với
( )
g n
là đa thức theo
n
bậc
k
. Ta sẽ
chọn sao cho dãy
( )
n
v
là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy
( )
n
v
từ đó ta
có CTTQ dãy
( )
n
u
.
* Nếu
1

a
=
thì ta tìm được
n
u
theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3.


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 10 -
Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy
0 1 1 1
( ) : 1, 3, 5 6 1.
n n n n
u u u u u u n
+ -
= - = = - " ³


Giải:
Ta viết công thức truy hồi của dãy lại như sau:
1 1
2 3( 2 )
n n n n
u u u u
+ -
- = -
(1)
Đặt
1 1

2
n n n
v u u
+ +
= -
, ta có:
1 1
1
1
1
5
5.3 2 5.3
3
n n
n n n
n n
v
v u u
v v
- -
-
+
ì
=
ï
Þ = Þ - =
í
=
ï
î

.
Sử dụng kết quả 2, ta có:
5.3 6.2
n n
n
u = -
.
Trong lời giải trên ta đã phân tích
5 2 3
= +
và
6 2.3
=
để viết lại công thức truy hồi
như (1), từ đó ta đưa vào được dãy phụ
( )
n
v
là một CSN. Các hệ số xuất hiện trong công
thức truy hồi là
5;6
nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổng quát ta
có luôn phân tích được các hệ số như vậy hay không ? Nếu được thì phân tích như thế
nào ?. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.10: Cho dãy số
(
)
n
u

được xác định bởi :
0 1
1 1
1; 2
4 1
n n n
u u
u u u n
+ -
ì
= =
ï
í
= + " ³
ï
î
.
Hãy xác định CTTQ của dãy
( )
n
u
.
Giải:
Gọi
,
x y
là hai số thỏa mãn:
4
,
1

x y
x y
xy
ì
+ =
ï
Û
í
= -
ï
î
là nghiệm PT:
2
4 1 0
X X
- - =

2 5
X
Û = ±
, ta chọn
2 5; 2 5
x y
= + = -
.
Ta có:
1 1 1 1
( ) . ( )
n n n n n n n
u x y u xyu u x u y u xu

+ - + -
= + - Û - = -
.
Đặt
1 1
. 2
n n n
v u x u v x
-
= - Þ = -
và
1 1
1 1
. . (2 )
n n
n n n
v y v v v y x y
- -
+
= Þ = = -

1
1
. (2 )
n
n n
u x u x y
-
-
Þ - = -

. Áp dụng kết quả 3, ta có:
2 2 1
(2 5) (2 5)
2
n n n n
n
y x
u x y
y x y x
- -
é ù
= + = + + -
ë û
- -
.

Ví dụ 1.11: Cho
, ,
a b c
là các số thực khác không và dãy
( )
n
u
được xác định bởi
0 1
1 1
;
. .
n n n
u p u q

u a u b u
+ -
ì
= =
ï
í
= +
ï
î
. Hãy xác định CTTQ của dãy
( )
n
u
?

Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s
Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong - 11 -
Gii:
Ta vit li cụng thc truy hi ca dóy ó cho nh sau:
1 1
. ( . )
n n n n
u x u y u x u
+ -
- = - .
Ta xỏc nh
,
x y
sao cho:
,

x y a
x y
xy b
ỡ
+ =
ù
ị
ớ
= -
ù
ợ
l nghim PT:
2
0
X aX b
- - =
(1).
Gi s tn ti ti
,
x y
, tc l phng trỡnh (1) cú nghim.
t
1
.
n n n
v u x u
-
= -
. Ta cú:
1

1
1
.
( )
n
n
n n
v q x p
v q xp y
v yv
-
+
ỡ
= -
ù
ị = -
ớ
=
ù
ợ

1
1
. ( )
n
n n
u x u q px y
-
-
ị - = -

.

ã
Nu (1) cú hai nghim phõn bit, hay
x y
ạ
. p dng kt qu 2, ta cú:
n n
n
yp q q xp
u x y
y x y x
- -
= +
- -
.

ã
Ta xột trng hp cũn li: (1) cú nghim kộp
2
a
x y
ị = =
.
1
1
( )( )
2 2 2
n
n n

a pa a
u u q
-
-
ị - = -
. p dng kt qu 2:
1
( )
2 2 2
n
n
a pa ap
u q n
-
ổ ử ộ ự
= + -
ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ở ỷ
.
Vy ta cú kt qu tng quỏt sau:

Dng 6: Cho
, ,
a b c
l cỏc s thc khỏc khụng;
2
4 0
a b
-

v dóy
( )
n
u
c xỏc nh
bi:
0 1
1 1
;
. .
n n n
u p u q
u a u b u
+ -
ỡ
= =
ù
ớ
= +
ù
ợ
. Khi ú:

ã
Nu
2
4 0
a b
- >
thỡ

0 1 1 0
. .
n n
n
y u u u x u
u x y
y x y x
- -
= +
- -
, trong ú
,
x y
l nghim ca
phng trỡnh :
2
0
X aX b
- - =
(1).

ã
Nu
2
4 0
a b
- =
thỡ
1
( )

2 2 2
n
n
a pa ap
u q n
-
ổ ử ộ ự
= + -
ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ở ỷ
.
Phng trỡnh (1) gi l phng trỡnh c trng ca dóy.
Chỳ ý : xỏc nh CTTQ ca dóy
( )
n
u
núi trờn ta cú th trỡnh by nh sau
Xột phng trỡnh c trng (1)

ã
Nu (1) cú hai nghim phõn bit
1 2
,
X X
thỡ
1 2
. .
n n
n

u x X y X
= +
, da vo
0 1
,
u u
ta tỡm
c
,
x y
.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 12 -

·
Nếu (1) có nghiệm kép
1 2
X X
a
= =
thì
( ).
n
n
u pn q
a
= + , dựa vào
0 1
,
u u

ta tìm
được
,
p q
.

Ví dụ 1.12: Cho dãy
0 1
2
1 2
1; 3
( ) :
5 6 2 2 1; 2
n
n n n
u u
u
u u u n n n
- -
ì
= - =
ï
í
- + = + + " ³
ï
î
. Xác định
CTTQ của dãy
( )
n

u
.
Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách:
Đặt
2
n n
u x an bn c
= + + +
. Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được
2 2
1 1
5 6 2 (14 2 ) 19 2 2 2 1
n n n
x x x an a b n a b c n n
- -
- + + - + + - + = + +

Ta chọn
2 2 1
, , : 14 2 2 8
19 2 1 13
a a
a b c a b b
a b c c
ì ì
= =
ï ï
+ = - Û = -
í í
ï ï

- + = = -
î î
. Khi đó:
0 1
1 2
12; 23
( ) :
5 6 0
n
n n n
x x
x
x x x
- -
ì
= =
ï
í
- + =
ï
î
. Áp dụng kết quả 3, ta có:
2
13.2 3 13.2 3 8 13
n n n n
n n
x u n n
= - Þ = - + - -
.

Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số:
1 2
1 1
;
( ) :
. . . ( ) ; 2
n
n n n
u p u q
u
a u b u c u f n n
+ -
ì
= =
ï
í
+ + = " ³
ï
î
,(
trong đó
( )
f n
là đa thức theo
n
và
2
4 0
b ac
- ³

).

Giải:
Đặt
( )
n n
u x g n
= +
với
( )
g n
là một đa thức theo
n
. Thay vào công thức truy hỗi của
dãy ta được:
1 2
. . . . ( ) . ( 1) ( 2) ( )
n n n
a x b x c x a g n b g n cg n f n
- -
+ + + + - + - =

Ta chọn
( ) : . ( ) ( 1) ( 2) ( )
g n a g n bg n cg n f n
+ - + - =
(*).
Khi đó:
1 2
. . 0

n n n
a x bx c x
- -
+ + =
. Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy
( )
n
x
,
từ đó ta tìm được CTTQ của dãy
( )
n
u
.
Vấn đề còn lại là giải phương trình (*).
Giả sử
1
1 1 0
( )
k k
k k
g n a n a n a n a
-
-
= + + + +
là đa thức bậc
k
. Khi đó hệ số của
k
x

và
1
k
x
-
trong VP là:
.( )
k
k
a a b c x
+ +
và
1
1
( 2 ) . ( )
k
k k
b c k a a b c a x
-
-
é ù
- + + + +
ë û
.Do đó :
Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s
Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong - 13 -
* Nu PT:
2
0
aX bX c

+ + =
(1) cú nghim hai nghim phõn bit khỏc
1
thỡ
0
a b c
+ + ạ
nờn VT(*) l mt a thc bc
k
.
* Nu PT (1) cú hai nghim phõn bit trong ú cú mt nghim
1
x
=

0
a b c
ị + + =

v
1
( 2 ) . ( ) ( 2 ). . 0
k k k
b c k a a b c a b c k a
-
- + + + + = - + ạ
nờn VT l mt a thc bc
1
k
-

.
* Nu PT (1) cú nghim kộp
1
x
=

0
a b c
ị + + =
v
1
1
( 2 ) . ( )
k
k k
b c k a a b c a x
-
-
ộ ự
- + + + +
ở ỷ
nờn VT(*) l mt a thc bc
2
k
-
.
Vy chn
( )
g n
ta cn chỳ ý nh sau:

v Nu (1) cú hai nghim phõn bit, thỡ
( )
g n
l mt a thc cựng bc vi
( )
f n

v Nu (1) cú hai nghim phõn bit, trong ú mt nghim bng
1
thỡ ta chn
( )
g n
l
a thc ln hn bc ca
( )
f n
mt bc.
v Nu (1) cú nghim kộp
1
x
=
thỡ ta chn
( )
g n
l a thc cú bc ln hn bc ca
( )
f n
hai bc.
Dng 7: tỡm CTTQ ca dóy
1 2

1 1
;
( ) :
. . . ( ) ; 2
n
n n n
u p u q
u
a u b u c u f n n
+ -
ỡ
= =
ù
ớ
+ + = "
ù
ợ
,
( trong ú
( )
f n
l a thc theo
n
bc
k
v
2
4 0
b ac
-

) ta lm nh sau:

ã
Xỏc nh a thc
+ - + - =
( ) : . ( ) ( 1) ( 2) ( )
g n a g n bg n cg n f n
, trong ú
( )
g n
l: a
thc theo
n
bc
k
nu PT (1) cú hai nghim phõn bit khỏc
1
; a thc bc
+
1
k
nu
(1) cú hai nghim phõn bit trong ú cú mt nghim bng
1
; a thc bc
+
2
k
nu (1)
cú nghim kộp

=
1
x


ã
Khi xỏc nh c
( )
g n
ta t
= +
( )
n n
u x g n
, ta cú dóy
( )
n
x
c xỏc nh bi:
+
ỡ
= - = -
ù
ớ
+ + = "
ù
ợ
0 1 1
1
(0); x (1)

. 0 1
n n
x p g u g
a x bx c n
. p dng kt qu 3 ta xỏc nh c CTTQ ca
( )
n
x
, t
ú ta tỡm c CTTQ ca dóy
( )
n
u
.

Vớ d 1.14: Tỡm CTTQ ca dóy s
0 1
1 2
1; 3
( ) :
5 6 5.2 2
n
n
n n n
u u
u
u u u n
- -
ỡ
= - =

ù
ớ
- + = "
ù
ợ
.
Gii: t
.2
n
n n
u x y
= +
. Khi thay vo cụng thc truy hi ta khụng lm mt
5.2
n
VT
Ta s i tỡm cỏch gii khỏc cho bi toỏn ny
Ta vit cụng thc truy hi ca dóy nh sau:
1 1 2
( 2 ) 3( 2 ) 5.2
n
n n n n
u u u u
- - -
- - - =

t
1 1
2 3 5.2
n

n n n n n
x u u x x
- -
= - ị - =
. p dng kt qu 2, ta cú:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 14 -
1 1
1
25.3 10.2 2 25.3 10.2
n n n n
n n n
x u u
- -
-
= - Þ - = -
Sử dụng chú ý ở kết quả 3, ta đặt
.3 .2
n n
n n
u v a bn
= + +

Ta được:
1
1
2 (25 )3 ( 10)2
n n
n n
v v a b

-
-
= + - - +
. Ta chọn
25, 10
a b
= = -

1
0
.2 26.2 25.3 (5 13).2
n n n n
n n
v v u n
+
Þ = = - Þ = - +
.

Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác
như sau:
Đặt
.2
n
n n
u x yn
= +
, ta có:
1
1 2
5 6 .2 5.2

n n
n n n
x x x y
-
- -
- + - =
, ta chọn
10
y
= -

0 1
1 2
1; 23
( ) :
5 6 0 2
n
n n n
x x
x
x x x n
- -
ì
= - =
ï
Þ
í
- + = " ³
ï
î

. Áp dụng kết quả 4, ta có:
1
26.2 25.3 25.3 (5 13).2
n n n n
n n
x u n
+
= - + Þ = - +
.
Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy
- -
ì
= =
ï
í
- + =
ï
î
0 1
1 2
1; 3
( ) :
4 4 3.2
n
n
n n n
u u
u
u u u
.

Giải:
Với dãy số này nếu ta đặt
= +
.2
n
n n
u x y
thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy
ta không xác định được
y
! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này.
Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:
- - -
- - - =
1 1 2
( 2 ) 2( 2 ) 3.2
n
n n n n
u u u u

Đặt
-
= -
1
2
n n n
x u u
, ta có:
-
- =

1
2 3.2
n
n n
x x
. Áp dụng kết quả 2, ta có:
1
(6 5).2
n
n
x n
-
Þ = -
1
1
2 (6 5).2
n
n n
u u n
-
-
Þ - = -

1
1 1 2 1 0 0
( 2 ) 2( 2 ) 2 ( 2 ) 2 .
n n
n n n n n
u u u u u u u u
-

- - -
Þ = - + - + + - +


1 1
1 1
2 (6 5) 2 2 6 5 2
n n
n n n
i i
i i n
- -
= =
é ù
= - + = - +
ê ú
ê ú
ë û
å å


1 2 1
( 1)
6 5 2 2 (3 2 2)2
2
n n
n n
n n n
- -
é ù

+
= - + = - +
ê ú
ë û
.
Lưu ý : Từ CTTQ của dãy
( )
n
u
ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau
Đặt
2
.2
n
n n
u x yn= +
. Ta có:
1 2
4 4 2 .2 3.2
n n
n n n
x x x y
- -
- + + =
. Ta chọn
3
2
y
=

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 15 -
0 1
1 2
1; 0
( ) :
4 4 0 2
n
n n n
x x
x
x x x n
- -
ì
= =
ï
Þ
í
- + = " ³
ï
î
. Áp dụng kết quả 4, ta được
1 1 2 1 2 1
(2 2 )2 (2 2 ).2 3 .2 (3 2 2)2
n n n n
n n
x n u n n n n
- - - -
= - Þ = - + = - + .
Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau:

Dạng 8: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi:
0 1
1 2
;
. . . ; 2
n
n n n
u u
u b u c u d n
a
- -
ì
ï
í
+ + = " ³
ï
î
. Để xác
định CTTQ của dãy
( )
n
u
ta làm như sau:

·
Nếu phương trình :

2
0 (1)
X bX c
+ + =
có hai nghiệm phân biệt khác
a
thì ta đặt
2
.
n
n n
d
u x
a b c
a
a
a a
= +
+ +
, ta có:
1 1
. . 0
n n n
a x bx c x
+ -
+ + =
.
Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được
n n
x u

Þ
.

·
Nếu
x
a
=
là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt:
2
.
2
n
n n
d
u x n
b c
a
a
= -
+
, ta có:
1 1
. . 0
n n n
a x bx c x
+ -
+ + =
.Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được
n n

x u
Þ .

·
Nếu
x
a
=
là nghiệm kép của (1) thì ta đặt:
2
2
. .
4
n
n n
d
u x n
b c
a
a
a
= +
+
, ta có:
1 1
. . 0
n n n
a x bx c x
+ -
+ + =

.Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được
n n
x u
Þ
.

Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau
Dạng 9: Cho dãy
( ):
n
u
1 2 3
2 1 1
, ,
0 2
n n n n
u x u y u z
au bu cu du n
+ + -
ì
= = =
ï
í
+ + + = " ³
ï
î
.Để xác định CTTQ
của dãy ta xét phương trình:
3 2
0

ax bx cx d
+ + + =
(1) ( (1)gọi là phương trình đặt
trưng của dãy).

·
Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt
1 2 3 1 2 3
, ,
n n n
n
x x x u x x x
a b g
Þ = + +
. Dựa vào
0 1 2
, ,
u u u
ta tìm được
, ,
a b g
.

·
Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép:
1 2 3 1 3
( ) .
n n
n
x x x u n x x

a b g
= ¹ Þ = + +

Dựa vào
0 1 2
, ,
u u u
ta tìm được
, ,
a b g
.

·
Nếu (1) có nghiệm bội 3
2
1 2 3 1
( )
n
n
x x x u n n x
a b g
= = Þ = + +
. Dựa vào
0 1 2
, ,
u u u

ta tìm được
, ,
a b g

.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 16 -

Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy
( ) :
n
u
1 2 3
1 2 3
0, 1, 3,
7 11. 5. , 4
n n n n
u u u
u u u u n
- - -
ì
= = =
ï
í
= - + " ³
ï
î

Giải : Xét phương trình đặc trưng :
3 2
7 11 5 0
x x x
- + - =

Phương trình có 3 nghiệm thực:
1 2 3
1, 5
x x x
= = =

Vậy
5
n
n
a n
a b g
= + +

Cho
1, 2, 3
n n n
= = =
và giải hệ phương trình tạo thành, ta được
1 3 1
, ,
16 4 16
a b g
= - = =

Vậy
( )
1
1 3 1
1 .5

16 4 16
-
= - + - +
n
n
a n
.
Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số
0 1 1
0 1 1
2; 2
( ),( ) : 1
1; 2
n n n
n n
n n n
u u u v
u v n
v v u v
- -
- -
ì
= = +
ï
" ³
í
= = +
ï
î
.

Giải:
Ta có:
1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2( 2 )
n n n n n n n n
u u u v u u u u
- - - - - - -
= + + = + + -
1 2
4 3
n n n
u u u
- -
Þ = -
và
1
5
u
=

Áp dụng kết quả 4, ta có:
1 1
1
1 3 1 3
2
2 2
n n
n n n n
u v u u
+ +

+
+ - +
= Þ = - = .
Tương tự ta có kết quả sau:

Dạng 10: Cho dãy
1 1
1 1

( ),( ) :

n n n
n n
n n n
x px qy x a
x y
y ry sx y b
+
+
ì
= + =
ï
í
= + =
ï
î
. Để xác định CTTQ của hai
dãy
( ),( )
n n

x y
ta làm như sau:
Ta biến đổi được:
1 1
( ) ( ) 0
n n n
x p s x ps qr x
+ -
- + + - =
theo kết quả 4 ta xác định được
n
x
, từ đây thay vào hệ đã cho ta có được
n
y
.
Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 17 -
Ta đưa vào các tham số phụ
l
,
'
l
1 1
1 1
( )( )
'
' ( ' )( )
'

n n n n
n n n n
q r
x y p s x y
s p
q r
x y p s x y
p s
l
l l
l
l
l l
l
+ +
+ +
ì
-
- = - -
ï
ï
-
Þ
í
+
ï
+ = + +
ï
+
î

Ta chọn
l
,
'
l
sao cho
1 1
1 1
( )( )
' ' ( ' )( ' )
'
'
n n n n
n n n n
q r
x y p s x y
s p
q r x y p s x y
s p
l
l
l l l
l
l l l l
l
l
+ +
+ +
ì

-
=
ï
ì
- = - -
ï ï
-
Þ
í í
+ + = + +
ï
ï
î
=
ï
+
î

1 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( )
' ( ' ) ( ' )
n
n n
n
n n
x y p s x y
x y p s x y
l l l
l l l

+ +
+ +
ì
- = - -
ï
í
+ = + +
ï
î
giải hệ này ta tìm được
(
)
(
)
,
n n
x y
.

Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy
1
1
1
1
( ) : 2
2
3 4
n n
n
n

u
u u
u n
u
-
-
ì
=
ï
í
= " ³
ï
+
î
.

Giải: Ta có
1
1 1
3 4
1 3 1
2
2 2
n
n n n
u
u u u
-
- -
+

= = + . Đặt
1
n
n
x
u
= , ta có:
1
1
1
3
2
2
n n
x
x x
-
ì
=
ï
í
= +
ï
î
. Áp dụng kết quả 1, ta được:
1
1
5.2 3 2
2
5.2 3

n
n n
n
x u
-
-
-
= Þ =
-

Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số
1
1
1
2
( ) : 9 24
2
5 13
n n
n
n
u
u u
u n
u
-
-
ì
=
ï

- -
í
= " ³
ï
+
î
.
Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,
do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng
cách đặt
n n
u x a
= +
. Thay vào công thức truy hồi, ta có:
2
1 1
1 1
9 9 24 ( 9 5 ) 5 22 24
5 5 13 5 5 13
n n
n n
n n
x a a x a a
x a x
x a x a
- -
- -
- - - - - - - -
+ = Þ =
+ + + +

Ta chọn
2
1
: 5 22 24 0 2 4
a a a a x
+ + = Þ = - Þ =

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 18 -
1
1
1
1 1
1 3 1 11.3 10 4
5
5 3 4
11.3 10
n
n
n n
n
n n n n
x
x x
x x x x
-
-
-
- -

-
Þ = Þ = + Þ = Þ =
+
-

1
1
22.3 24
2
11.3 10
n
n n
n
u x
-
-
- +
Þ = - =
-
.
Dạng 11: Cho dãy (x
n
):
1
1
1
; 2
n
n
n

pu q
u u n
ru s
a
-
-
+
= = " ³
+
. Để tìm CTTQ của dãy (x
n
)
ta làm như sau:
Đặt
n n
u x t
= +
, thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:
2
1 1
1 1
( ) ( )
n n
n
n n
px pt q p rt x rt p s t q
x t
ru rt s rx rt s
- -
- -

+ + - - + - +
= - =
+ + + +
(1).
Ta chọn
2
: ( ) 0
t rt s p t q
+ - - =
. Khi đó ta chuyển (1) về dạng:
1
1 1
n n
a b
x x
-
= +

Áp dụng kết quả 1, ta tìm được
1
n
x
, từ đó suy ra
n n
x u
Þ
.

Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số
1

1
2
( ),( ) :
1
n n
u
u v
v
ì
=
ï
í
=
ï
î
và
2 2
1 1
1 1
2
2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
- -
- -
ì

= +
ï
" ³
í
=
ï
î
.

Giải:
Ta có:
2 2
2
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2
2 ( 2 )
2 2 2
2 ( 2 )
n n n
n n n n
n n n
n n n n
u u v
u v u v
v u v
u v u v

- -
- -
- -
- -
ì
ì
= +
+ = +
ï ï
Þ
í í
=
- = -
ï ï
î
î

1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 ( 2 ) (2 2)
2 ( 2 ) (2 2)
n n
n n
n n
n n
u v u v

u v u v
- -
- -
ì
+ = + = +
ï
Þ
í
ï
- = - = -
î

1 1
1 1
2 2
2 2
1
(2 2) (2 2)
2
1
(2 2) (2 2)
2 2
n n
n n
n
n
u
v
- -
- -

ì
é ù
= + + -
ï
ê ú
ï
ë û
Þ
í
é ù
ï
= + - -
ê ú
ë û
ï
î
.
Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s
Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong - 19 -
Nhn xột: T
2
1
2 2
2 2
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1

1
2
2
2
2
2
2
n
n
n n n
n n n
n n n
n n n
n
n
u
v
u u v
u u v
v u v
v u v
u
v
-
-
- -
- -
- -
- -
-

-
ổ ử
+
ỗ ữ
ỗ ữ
ỡ
+
= +
ù
ố ứ
ị = =
ớ
=
ổ ử
ù
ợ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ

Do vy nu ta t
n
n
n
u
x
v
= ta c dóy s
1
2

1
1
2
( ) :
2
2
n
n
n
n
x
x
x
x
x
-
-
ỡ
=
ù
+
ớ
=
ù
ợ
. Ta cú bi toỏn sau:
Vớ d 1.22: Xỏc nh CTTQ ca dóy s
1
2
1

1
2
( ) :
2
2
2
n
n
n
n
x
x
x
x n
x
-
-
ỡ
=
ù
+
ớ
= "
ù
ợ
.

Gii:
Xột hai dóy
1

1
2
( ),( ) :
1
n n
u
u v
v
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
v
2 2
1 1
1 1
2
2
2
n n n
n n n
u u v
n
v u v
- -
- -
ỡ

= +
ù
"
ớ
=
ù
ợ
.

Ta chng minh
n
n
n
u
x
v
=
(*).

ã
2
2
2
2 2 2
u
n x n
v
= ị = = ị =
(*) ỳng.

ã
Gi s
2 2 2
1 1 1 1
1
1 1 1 1
2 2
(*)
2 2
n n n n n
n n
n n n n n
u x u v u
x x
v x u v v
- - - -
-
- - - -
+ +
= ị = = = ị c chng minh
Theo kt qu bi toỏn trờn, ta cú:
1 1
1 1
2 2
2 2
(2 2) (2 2)
2
(2 2) (2 2)
n n
n n

n
x
- -
- -
+ + -
=
+ - -
.
Dng 12:

1)
T hai vớ d trờn ta cú c cỏch tỡm CTTQ ca hai dóy s
( ),( )
n n
u v
c xỏc nh
bi:
2 2
1 1 1
1 1 1
. ;
2 ;
n n n
n n n
u u a v u
v v u v
a
b
- -
- -

ỡ
= + =
ù
ớ
= =
ù
ợ
(trong ú
a
l s thc dng) nh sau:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 20 -
Ta có:
2 2
2
1 1
1 1 1
2
1 1
1 1 1
.
( ( )
. 2 .
( ( )
n n n
n n n n
n n n
n n n n
u u a v
u au u au

a v a v u
u au u au
- -
- - -
- -
- - -
ì
ì
= +
+ = +
ï ï
Þ
í í
=
- = -
ï ï
î
î

1 1
1 1
2 2
2 2
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
2
n n

n n
n
n
u a a
v a a
a
a b a b
a b a b
- -
- -
ì
é ù
= + + -
ï
ê ú
ï
ë û
Þ
í
é ù
ï
= + - -
ê ú
ë û
ï
î
.
2)
Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy
1

2
1
1
( ) :
2
n
n
n
n
x
x
x a
x
x
a
-
-
ì
=
ï
+
í
=
ï
î
.
Xét hai dãy
2 2
1 1 1
1 1 1

. ;
( ),( ) :
2 ; 1
n n n
n n
n n n
u u a v u
u v
v v u v
a
- -
- -
ì
= + =
ï
í
= =
ï
î

Khi đó:
1 1
1 1
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
n n
n n
n

n
n
u
a a
x a
v
a a
a a
a a
- -
- -
+ + -
= =
+ + -
.

Ví dụ 1.23: Cho dãy
1
2
1 1
1
( ) :
5 24 8 2
n
n n n
u
u
u u u n
- -
ì

=
ï
í
= + - " ³
ï
î
. Tìm
n
u
?

Giải:
Ta có:
2 3 4
9; 89; 881
u u u
= = =
. Giả sử:
1 2
n n n
u xu yu
- -
= +

9 89 10
89 9 881 1
x y x
x y y
ì ì
+ = =

ï ï
Þ Û
í í
+ = = -
ï ï
î î
. Ta chứng minh:
1 2
10
n n n
u u u
- -
= -

3
n
" ³

Từ công thức truy hồi của dãy ta có:
2 2
1 1
( 5 ) 24 8
n n n
u u u
- -
- = -

2 2
1 1
10 8 0

n n n n
u u u u
- -
Û - + + =

(1)
thay
n
bởi
1
n
-
, ta được:
2 2
2 2 1 1
10 8 0
n n n n
u u u u
- - - -
- + - =

(2)
.
Từ
2
(1),(2) ,
n n
u u
-
Þ

là hai nghiệm của phương trình :
2 2
1 1
10 8 0
n n
t u t u
- -
- + - =

Áp dụng định lí Viet, ta có:
2 1
10
n n n
u u u
- -
+ =
.
Vậy
(
)
(
)
1 1
6 2 6 2
5 2 6 5 2 6
2 6 2 6
n n
n
u
- -

- +
= - + +
.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 21 -
Dạng 13:
1)
Dãy
1
2
1 1
1
( ) :
5 8 2
n
n n n
u
u
u u au n
- -
ì
=
ï
í
= + - " ³
ï
î
là dãy nguyên
24
a

Û =
.
Thật vậy:
2
5 8 5
u a t
= + - = +
(
8
t a
= - Î
¥
)
2 2
3
5 ( 8)( 5) 8
u t t
Þ = + + + -

2 2 2
3
( ) ( 8)( 5) 8 ( )
u f t t t m mÞ Î Û = + + - = Î
¢ ¢
.
Mà
2 2 2 2
( 5 4) ( ) ( 5 14)
t t f t t t
+ + < < + +

kết hợp với
( )
f t
là số chẵn ta suy ra
2
5
m t t x
= + +
với
{
}
6,8,10,12
x Î . Thử trực tiếp ta thấy
4 24
t a
= Þ =
.
2)
Với dãy số
1
2
1 1
( ) :
2
n
n n n
u
u
u au bu c n
a

- -
ì
=
ï
í
= + + " ³
ï
î
, với
2
1
a b
- =
ta xác định
CTTQ như sau:
Từ dãy truy hồi
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2 0
n n n n n n n
u au bu c u au u u c
- - - -
Þ - = + Û - + - =

Thay
n
bởi
1
n
-

, ta có:
2 2
2 1 2 1
2 0
n n n n
u au u u c
- - - -
- + - =
2 1
2
n n n
u u au
- -
Þ + =
.
3)
Với dãy
1
1
2
1
( ) :
2
n
n
n
n
u
u
u

u n
a cu b
a
-
-
ì
=
ï
ï
í
= " ³
ï
+ +
ï
î
,trong đó
0; 1
a
a
> >
;
2
1
a b
- =
ta
xác định CTTQ như sau:
Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng:
2
1

1
1
n n
n
a b
c
u u
u
-
-
= + + . Đặt
1
n
n
x
u
=
Ta có
2
1 1
n n n
u au bx c
- -
= + +
đây là dãy mà ta đã xét ở trên.


Ví dụ 1.24: Cho dãy
1 2
2

1
2
1
( ) :
2
2
n
n
n
n
u u
u
u
u n
u
-
-
ì
= =
ï
+
í
= " ³
ï
î
. Tìm
n
u
?

Giải:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 22 -
Ta có:
3 4 5
3; 11; 41
u u u
= = =
. Ta giả sử
1 2
n n n
u xu yu z
- -
= + +
.Từ
3 4
3; 11;
u u
= =

5
41
u
=
ta có hệ phương trình:
1 2
3 4
3 11 1 4
11 3 41 0
n n n

x y z x
x y z y u u u
x y z z
- -
ì ì
+ + = =
ï ï
+ + = Û = - Þ = -
í í
ï ï
+ + = =
î î

Ta chứng minh
1 2
1 2
1
( ) :
4 3
n
n n n
u u
u
u u u n
- -
ì
= =
ï
í
= - " ³

ï
î


·
Với
3 2 1
3 4 3 3
n u u u n
= Þ = - = Þ =
đúng

·
Giả sử
1 2
4
k k k
u u u
- -
= -
. Ta có:
( )
2
2 2 2
1 2
1 1 2 2
1
1 1 1
4 2
2 16 8 2

k k
k k k k k
k
k k k
u u
u u u u u
u
u u u
- -
- - - -
+
- - -
- +
+ - + +
= = =

2
1 1 2 1 3
1 2 3
1
16 8
16 8
k k k k k
k k k
k
u u u u u
u u u
u
- - - - -
- - -

-
- +
= = - +

1 2 2 3 1
4(4 ) (4 ) 4
k k k k k k
u u u u u u
- - - - -
= - - - = -

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm
(
)
(
)
1 1
3 1 3 1
2 3 2 3
2 3 2 3
n n
n
u
- -
+ -
Þ = - + +
.

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 23 -
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ

Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế
lượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công
thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 2.1: Cho dãy
1
2
1
1
( ) :

2
2 1 2
n
n n
u
u
u u n
-
ì
=
ï
í
ï
= - " ³
î
. Xác định CTTQ của dãy
( )
n
u
.
Giải:
Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin
Ta có:
2
1 2
1 2
cos 2 cos 1 cos
2 3 3 3
u u
p p p

= = Þ = - =

2
3 4
2 4 8
2 cos 1 cos cos
3 3 3
u u
p p p
Þ = - = Þ =

Ta chứng minh
1
2
cos
3
n
n
u
p
-
=
. Thật vậy

·
Với
2 1
2
2 2
2 cos cos

3 3
n u
p p
-
= Þ = =
(đúng)

·
Giả sử
2 1 1
2 2
1 1
2 2 2
cos 2 1 2 cos 1 cos
3 3 3
n n n
n n n
u u u
p p p
- - -
- -
= Þ = - = - =

Vậy
1
2
cos
3
n
n

u
p
-
=

1
n
" ³
.
Nhận xét:
Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi
1
1
u
£
. Vậy
trong trường hợp
1
1
u
>
thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của dãy
số
( )
n
u
ta đặt
1
1 1
( )

2
u a
a
= +
( trong đó
0
a
¹
và cùng dấu với
1
u
).
Khi đó
2 2 4
2 3
2 2 4
1 1 1 1 1 1
( 2 ) 1 ( ) ( )
2 2 2
u a a u a
a a a
= + + - = + Þ = +
Mt s phng phỏp xỏc nh cụng thc tng quỏt ca dóy s
Nguyn Tt Thu Trng THPT Lờ Hng Phong - 24 -
Ta chng minh c
1
1
2
2
1 1

( ) 1
2
n
n
n
u a n
a
-
-
= + "
. Trong ú
a
l nghim (cựng du
vi
1
u
) ca phng trỡnh :
2
1
2 1 0
a u a
- + =
. Vỡ phng trỡnh ny cú hai nghim cú
tớch bng
1
nờn ta cú th vit CTTQ ca dóy nh sau
1 1
2 2
2 2
1 1 1 1

1
1 1
2
n n
n
u u u u u
- -
ộ ự
ổ ử ổ ử
ờ ỳ
= - - + + -
ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.

Vớ d 2.2: Xỏc nh CTTQ ca dóy s
1
3
1 1
3
( ) :
2
4 3 2
n
n n n
u
u
u u u n

- -
ỡ
=
ù
ớ
ù
= - "
ợ
.
Gii:
Ta cú:
2
3
1 2 3
3 3
cos 4 cos 3 cos cos 3 cos
2 6 6 6 6 6
u u u
p p p p p
= = ị = - = ị =

Bng quy np ta chng minh c:
1
3
cos
6
n
n
u
p

-
=
.
Nhn xột:
1)
tỡm CTTQ ca dóy
1
3
1 1
( ) :
4 3 2
n
n n n
u p
u
u u u n
- -
ỡ
=
ù
ớ
= - "
ù
ợ
, ta lm nh sau

ã
Nu
| | 1 0; : cos
p p

a p a
ộ ự
Ê ị $ ẻ =
ở ỷ
.
Khi ú bng quy np ta chng minh c :
1
cos 3
n
n
u
a
-
=
.

ã
Nu
| | 1
p
>
, ta t
1
1 1
2
u a
a
ổ ử
= +
ỗ ữ

ố ứ
(
a
cựng du vi
1
u
)
Bng quy np ta chng minh c
1
1
3
3
1 1
2
n
n
n
u a
a
-
-
ổ ử
= +
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
Hay
1 1
3 3

2 2
1 1 1 1
1
1 1
2
n n
n
u u u u u
- -
ộ ự
ổ ử ổ ử
ờ ỳ
= - - + + -
ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.
2)
T trng hp th hai ca bi toỏn trờn, ta cú cỏch tỡm CTTQ ca dóy s