Phép biến đổi Laplace

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính
nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các
ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học
là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của
vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa
giữa toán học và vật lý học.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.
Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều
hiện tượng xét một cách tổng quát nhất.
Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất
phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành
như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích
phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh
viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác
trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của
họ sau khi ra trường.
1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng

dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong
số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp
chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi
chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán
dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong
nghiên cứu vật lý.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ
tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Vật lý lý thuyết
- Phương pháp giải tích toán học
- Đọc tài liệu và tra cứu
5. Cấu trúc khóa luận
Đề tài nghiên cứu gồm:
- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.
- Chương 3: Bài tập

2 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES
1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG

1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó
ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường
vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc
vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:
u = f (M) = f (x, y, z)
Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi
điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm
này.
Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của
trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc
cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để
biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất
cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức
tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các
giá trị khác nhau ta có họ mặt mức.
Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt
phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối
với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa
3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
độ, ví dụ đối với trường
2 2 2
1
y
x y z
=
+ +
mặt mức u = 4 là hình cầu

2 2 2
1
4
x y z
=
+ +
hay
2 2 2
1
4
x y z+ + =
.
Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng
nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng
(H.1.1).
Giả sử M và
1
M
là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu
S∆
là độ dài cung
1
MM
,
S∆
lấy dấu + nếu điểm
1
M
đứng sau điểm M và
lấy dấu - nếu điểm

1
M
đứng trước điểm M.
Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo
cung M
1
M
là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch
chuyển từ M đến
1
M
) và độ dài cung
S
∆
, tức bằng:

1
( ) ( )f M f M
S
−
∆
Đạo hàm theo đường cong L tại điểm
1
M
là giới hạn của tỷ số:
1
( ) ( )f M f M
S
−
∆

khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm
1
M
. Kí hiệu đạo hàm qua
f
L
∂
∂
, ta có:

f
L
∂
∂
=
1
1
( ) ( )
lim
M M
f M f M
S
→
−
∆
(1.1)
Ta có thể dễ dàng chứng minh:

1
M

f
L
∂

∂
=
1 1 1
cos cos cos
M M M
f f f
x y z
∂ ∂ ∂
 α +  β+  γ
∂ ∂ ∂
(1.2)
trong đó
α,β,γ
là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các
đểm
1
M
và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm
1
M
không phụ
thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến
4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

M
1

M
L
H.1.1
•
•
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
với L tại điểm
1
M
nói cách
khác, nếu các đường cong
1
L
và
2
L
đi qua
1
M
có tại
điểm này cùng một vectơ
tiếp tuyến, thì đạo hàm tại
điểm này theo đường cong
1
L
bằng đạo hàm theo
đường cong
2
L
(H. 1.2).

1.2 Gradien của trường vô
hướng
Ta xét trường vô
hướng u = f(x, y, z) và tính
đạo hàm của u theo hướng
vectơ
ℑ
ur
, trong đ ó
ℑ
ur
=
ai
r
+
b j
r
+
ck
r
. Người ta gọi đạo
hàm theo hướng của vectơ
ℑ
ur
tại điểm M là đạo hàm
theo cung L bất kỳ đi qua
M và tiếp xúc với
ℑ
ur
. Đạo

hàm riêng
u
x
∂
∂
là đạo hàm
theo hướng vectơ
i
r
, đạo
hàm riêng
u
y
∂
∂
là đạo hàm
5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

1
M
H. 1.2
τ
r
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
theo hướng vectơ
j
r
, đạo hàm riêng
u
z

∂
∂
là đạo hàm theo hướng vectơ
k
r
.
Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ
ℑ
ur
.

2 2 2
cos
a
a b c
α =
+ +
;
2 2 2
cos
b
a b c
β =
+ +
;
2 2 2
cos
c
a b c
γ =

+ +
Do đó

2 2 2
u u u
a b c
u
x y z
a b c
∂ ∂ ∂
+ +
∂
∂ ∂ ∂
=
∂ℑ
+ +
ur
(1.3)
Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ
ℑ
ur
và vectơ có toạ
độ là (
u
x
∂
∂
,
u
y

∂
∂
,
u
z
∂
∂
). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:
Gradu =
u
x
∂
∂
i
r
+
u
y
∂
∂
j
r
+
u
z
∂
∂
k
r
(1.4)

Do đó:
u gradu∂ .ℑ
=
∂ℑ | ℑ|
uur
ur ur
Hay là:
. cos( , )u gradu gradu∂ | | | ℑ| ℑ
=
∂ℑ | ℑ|
ur ur
ur ur
Vậy:

.cos( , )
u
gradu gradu
∂
=| | ℑ
∂ℑ
ur
ur
(1.5)
Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng
ℑ
ur
. Từ đây
ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là
vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất.
Ví dụ 1: Cho trường vô hướng

3 2
x y
u
z
=
xuất phát từ M (1, 2, 1) theo
hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.
Giải:

2 2 3 3 2
2
3 2u u u x y x y x y
gradu i j k i j k
x y z z z z
∂ ∂ ∂
= + + = + −
∂ ∂ ∂
r r r r r r
6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
gradu tại M

12 4
M
gradu i j k = + − 4
r r
Đạo hàm theo hướng gradien, tức

2 2 2

ax
( 12 4 ( 4) 176 13.3
m
u∂
) = + + − = ≈
∂ℑ
ur
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số
2 2
u x y x= +
tại điểm
0
(1,2)M
theo
hướng vectơ
0 1
M M
uuuuuur
trong đó
1
(3,0)M
.
Giải:
Ta thấy
0 1
(2, -2)M M
ℑ = =
ur uuuuuur

2| ℑ|= 2
ur
;
2
2
u
x y
x
∂
= +
∂
;
2
u
xy
y
∂
=
∂
Do đó:

0
(6,4)
M
gradu =
và
.
2
u gradu∂ ℑ
= =

∂ℑ | ℑ|
ur
ur ur
Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z)
tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với
đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt
mức u(x, y, z) = C, C là hằng số.
Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l
nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi
nó chuyển động theo đường cong l, nên
0
u
l
∂
=
∂
r
. Nhưng đạo hàm theo cung l
bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế
0
u∂
=
∂ℑ
ur
.
Theo công thức:
.cos( , )
u
gradu gradu
∂

=| | ℑ
∂ℑ
ur
ur
, do
0
u∂
=
∂ℑ
ur
và gradu ≠ 0 nên
cos( , ) 0gradu ℑ =
ur
. Tức là góc giữa
ℑ
ur
và
gradu
bằng
0
90
.
7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

gradu
l
M
H.1.3
ℑ
ur

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm
0
M
với các đường cong nằm trong mặt
mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm
0
M
. Nếu
0
M
có các toạ độ
0 0 0
( , , )x y z
thì:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
) . ) . ) .
M x y z x y z x y z
u u u
gradu i j k
x y z
∂ ∂ ∂
 = ( + ( +(
∂ ∂ ∂
r r r
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là:

0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0

) .( ) ) .( ) ) .( ) 0
x y z x y z x y z
u u u
x x y y z z
x y z
∂ ∂ ∂
( − + ( − + ( − =
∂ ∂ ∂
(1.6)
Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt
mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc
với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6).
Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic
2 2
z x y= +
tại điểm M (2, 1, 5).
Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm
2 2
u z x y= − −
.
Bởi vì:

2 2 1gradu xi y j k= − − +
r r r
,
cho nên

0
4. 2.
M

gradu i j k = − − +
r r r
.
Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho
tại M có dạng:

4( 2) 2( 1) 1( 5) 0x y z− − − − + − =

hay

4 2 5 0x y z− − + + =
1.3 Các tính chất của Gradien
Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng
trong chứng minh các công thức vật lý:
a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7)
8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8)
c/ grad
2
u vgradu ugradv
v v
−
=
(v≠0) (1.9)
1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien
Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.
Cho nên trong vật lý người ta
dùng phương pháp trong đó tính

một đại lượng vô hướng (không
đơn trị) một cách đơn giản hơn,
nhưng gradien của nó lại cho ta
một đại lượng vật lý thực dưới
dạng vectơ, đơn trị, có thể đo
được trên thực nghiệm. Thí dụ,
trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng
E grad
ϕ
=
ur
là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm.
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ
2.1 Trường vectơ-đường vectơ
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ
Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,
trường từ hay trường điện như
E grad
ϕ
=
ur
được nêu ở trên. Để biểu diễn hình
học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà
tại mỗi điểm của nó vectơ
A
ur
nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các
đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien
A grad

ϕ
=
ur

đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng
u tăng với vận tốc lớn nhất.
Để tìm đường vectơ của trường
9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

H.1.4
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

( , , ) ( , , ) ( , , )A P x y z i Q x y z j R x y z k= + +
ur r r r
Ta tiến hành như sau:
Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là
x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t)
Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng

x y z
i j k
t t t
∂ ∂ ∂
ℑ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r
Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ
của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các
vectơ này tỉ lệ với nhau.

( , , ) ( , , ) ( , , )
dx dy dz
dt dt dt
P x y z Q x y z R x y z
= =
(2.1)
Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là Φ(x, y, z) ta có:

( , , , ) ( , , )
dx
x y z t P x y z
dt
= Φ
;

( , , , ) ( , , )
dy
x y z t Q x y z
dt
= Φ
; (2,2)

( , , , ) ( , , )
dz
x y z t R x y z
dt
= Φ
.
Chú ý: vì hàm Φ(x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của
đường vectơ là không duy nhất.

Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất
điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ
là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống
vectơ trong trường này có dạng hình nón với
đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1).
2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt
2.1.2.1 Thông lượng
10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

O
z
x
y
H.2.1
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ
A
ur
nào đó.
Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương
hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định
hướng.
Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ
này hướng từ âm sang dương là vectơ
n
r
. Vị trí của vectơ
n
r
phụ thuộc vào vị

trí điểm M trên mặt.
Xét hàm f (M) = (
A
ur
,
n
r
) được xác định tại mọi điểm của mặt S.
Nếu
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
và các góc chỉ phương của vectơ
n
r
tương ứng
bằng α, β, γ tức là:
n cos cos cosi j k= α + β + γ
r r r r
thì
f(M) cos cos cosP Q R= α + β+ γ

hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.
Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu
bằng chữ Φ:

S S
= ( , )dS= (Pcos Qcos R cos ) A n dS
α β γ
Φ + +
∫∫ ∫∫

uurr
(2.2)
Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng.
Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên
ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm.
2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng
Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được định
hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời
gian.
Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều
này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn
bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng
âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S.
Ví dụ: Cho trường vectơ
11 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

( ) ( )A x y i y x j zk= + + − +
ur r r r
Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với
tâm tại gốc toạ độ.
Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo
bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị

2 2 2
n
R xi y j zk
xi y j zk
R

x y z
+ +
= = = + +
+ +
ur r r r
r r r r
do
2 2 2
1x y z+ + =
đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:

2 2 2
( , ) ( ) ( )A n x y x y x y zz x y z= + + − + = + +
ur r

Vì thế thông lượng bằng

2 2 2
( , ) ( ) 4
S S S
A n dS x y z dS dS S
π
= + + = = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
ur r
.
2.2 Dive của trường vectơ
2.2.1 Dive của trường vectơ
Dive (divergen) của trường vectơ
A

ur
tại điểm M là giới hạn của tỉ số
thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi
bề mặt này

( , )
lim
S
V M
A n dS
divA
V
→
=
∫∫
ur r
ur
(2.3)
Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm
nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút.
Giả sử trường vectơ

A Pi Q j Rk= + +
ur r r r

trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì

( , ) ( cos cos cos )
lim lim
S S

V M V M
A n dS P Q R
divA
V V
α β γ
→ →
+ +
= =
∫∫ ∫∫
ur r
ur
(2.4)
trong đó α, β, γ là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.
12 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:

( )
lim
V
V M
P Q R
dV
x y z
divA
V
→
∂ ∂ ∂
+ +

∂ ∂ ∂
=
∫∫∫
ur
(2.5)
Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm
TB
M
sao
cho:

( ) ( ) .
TB
M
V
P Q R P Q R
dV V
x y z x y z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = + + 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∫∫∫
vì thế

( )
lim lim ( )
TB
V
M
V M V M

P Q R
dV
x y z
P Q R
divA
V x y z
→ →
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = + + 
∂ ∂ ∂
∫∫∫
ur
Khi V→ M thì
TB
M
→M, vì thế

P Q R
divA
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
ur
(2.6)
Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:

( , )
S V
A n ds divAdV=
∫∫ ∫∫∫
uuruur ur
(2.7)
Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích
phân 3 lớp của
divA
ur
trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức
này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi
divA
ur
liên tục trong miền V.
Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ

( ) ( )A x y i y x j zk= + + − +
ur r r r

qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.
Giải:
( ) ( )
3
x y y x z
divA
x y z
∂ + ∂ − ∂
= + + =
∂ ∂ ∂

ur
Vậy thông lượng

4
( , ) 3 3 3. 4
3
S V V
A n dS divAdV dV V
π π
Φ = = = = = =
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ur r ur
13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
2.2.2 Trường hình ống
Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường
A
ur
bằng
không, thì ta nói rằng
A
ur
là trường hình ống của miền này.
Ví dụ: Cho trường hấp dẫn
3
mR
F
R
γ

= −
ur
ur
trong miền G nào đó không chứa
gốc tọa độ. Hãy tính
divF
ur
.
Giải:
2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2
( ) ( ) ( )
mx my mz
F i j k
x y z x y z x y z
γ γ γ
= − − −
+ + + + + +
ur r r r
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:

0divF =
ur
tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy
F
ur
là trường hình ống trong miền G.
Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ.
Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π
m
γ

, tỉ số thông
lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng

3
3
4 3
4
3
m m
a
a
πγ γ
π
− −
=
Theo định nghĩa:

(0,0,0)
3
0
3
( ) lim
a
m
divF
a
γ
→
= − = −∞
uur

.
2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive
Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của
trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người
ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học

Ddiv
ρ
=
ur
trong đó
D
ur
là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do.
3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến
14 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Ta xét trường vectơ:

A Pi Q j Rk= + +
ur r r r

và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường

l
Pdx Qdy Rdz+ +
∫
(3.1)

là lưu thông của trường vectơ
A
ur
theo chu tuyến.
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào
A
ur
và l, mà còn
cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay
đổi dấu.
Ví dụ 1: Nếu
A
ur
là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l.
Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:
x = ϕ(t), y = ψ(t) , z = χ(t) với
0
t t T≤ ≤
ta có:
[ ] [ ] [ ]
{ }
0
' ' '
( ) ( ) ( )
t
t
l
Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t R t t t t dt
+ + = ϕ( ), ψ( ), χ( ) ϕ + ϕ( ), ψ( ), χ( ) ψ + ϕ( ), ψ( ), χ ( ) χ

∫ ∫

Như vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức
stockes

( ) os +( ) os ( ) os
l S
R Q P R Q P
Pdx Qdy Rdz c c c dS
y z z x x y
α β γ
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = − − + −
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫∫
Trong trường hợp đặc biệt

( )
l S
Q P
Pdx Qdy dS
x y
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
∫ ∫∫
(3.4)

3.2 Rota của trường
Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ

A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
15 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc
S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao
quanh điểm
M
rồi chọn hướng xác định trên
chu tuyến này và tính
Adl
∫
ur r
Ñ
.
Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện
tích σ của bề mặt S được giới hạn bởi chu
tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung
bình

l
Adl
σ
∫
ur r
Ñ

(3.5)
ta gọi giới hạn :
lim
l M
Adl
σ
→
∫
ur r
Ñ
là mật độ lưu thông tại điểm
M
trên bề mặt S. Ta
có:

lim lim
l l
l M l M
Adl Pdx Qdy Rdz
σ σ
→ →
+ +
=
∫ ∫
ur r
Ñ Ñ

0
( ) os +( ) os ( ) os
lim

R Q P R Q P
c c c d
y z z x x y
σ
σ
α β γ σ
σ
→
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − + −
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
=
∫∫

0
( ) os +( ) os ( ) os
lim
TB
M
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y
σ
α β γ
σ
→
 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − + − |
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
=

( ) os +( ) os ( ) os
M
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y
α β γ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − − + − |
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(3.6)
Vậy nếu
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r

os cos osn c i j c k
α β γ
= + +
r r r r
thì mật độ lưu thông tại điểm
M
theo hướng
n
r

bằng:

( ) os +( ) os ( ) os
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y
α β γ
Μ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − + − |
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
16 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

z
O
x
y
n
S
M
o
σ l
M
o
H.3.1
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ
n
r
và vectơ

( ) +( ) ( )
R Q P R Q P
i j k
y z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r r r
Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho
A
ur
. Ta kí hiệu là rot
A
ur
Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ
A
ur
theo hướng
n
r
bằng rot
A
ur
.
n
r
Rota của trường vectơ
A
ur

( ) +( ) ( )
R Q P R Q P
rot A i j k
y z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur r r r
(3.7)
có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường
đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới.
Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:

i j k
rot A
x y z
P Q R
∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
r r r
ur
(3.8)
Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ
A
ur
cho bởi công thức:

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )A x y i y z j z x k= + + + + +
ur r r r
Giải: Theo công thức (3.8) ta nhận được

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )rot A z i x j y k= − + − + −
ur r r r
nói riêng, tại điểm (0, 0, 1)

2rot A i= −
ur r
Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với
vận tốc góc không đổi
0
ω
quanh trục Oz.
Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức:

0 0
A yi x j
ω ω
= − +
ur r r
Do đó
17 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

0 0 0
( ) 2rot A k k
ω ω ω

= + =
ur r r
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ

n
l S
Adl rot AdS=
∫ ∫∫
ur r ur
(3.9)
trong đó
n
rot
A
ur
là hình chiếu của vectơ rot
A
ur
lên pháp tuyến của mặt S. Như
vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của
rot
A
ur
của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l.
3.4 Ý nghĩa vật lý của rota
Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ
quan trọng như rota của thông lượng của trường từ
H
uur
thì sinh ra dòng điện

với mật độ
j
r

rotH j=
uur r
(3.10)
còn rota của thông lượng trường điện
E
ur
thì sinh ra sự biến thiên của vectơ
cảm ứng từ
B
ur
theo thời gian

B
rotE
t
∂
= −
∂
ur
ur
(3.11)
Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell
4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA
4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không
Thật vậy, nếu
A ai b j ck= + +

ur r r r
trong đó a, b, c là hằng số thì

0
a b c
divA
x y z
∂ ∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
ur
(4.1)
Tương tự

0rot A =
ur
(4.2)
4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính
Điều này có nghĩa là nếu
C A B
α β
= +
ur ur ur
trong đó
A
ur
,
B
ur
là các trường

vectơ;
α
,
β
là các hằng số thì
18 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

divC divA divB
α β
= +
ur ur ur

rotC rot A rotB
α β
= +
ur ur ur
Chứng minh: Giả sử

1 1 1
A Pi Q j R k= + +
ur r r r

2 2 2
B P i Q j R k= + +
ur r r r
Khi đó:

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( )C P P i Q Q j R R k
α β α β α β
= + + + + +
ur r r r
và

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )divC P P Q Q R R
x y z
α β α β α β
∂ ∂ ∂
= + + + + +
∂ ∂ ∂
ur
1 1 1 2 2 2
( ) ( )
P Q R P Q R
x y z x y z
α β
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
divA divB
α β
= +
ur ur
4.3 Các phép tính đối với tích
a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta
có:
graduv = ugradv+vgradu

b/ Giả sử u là trường vô hướng,
A
ur
là trường vectơ. Khi đó u
A
ur
là trường vectơ
và

( , )divuA gradu A udivA= +
ur ur ur

( )rotu A gradu A urot A= × +
ur ur ur
Để chứng minh ta viết vectơ
A
ur
dưới dạng
A P i Q j R k= + +
ur r r r
c/ Giả sử
A
ur
,
B
ur
là các trường vectơ. Khi đó (
A
ur
,

B
ur
) là trường vô hướng, còn (
A B∧
ur ur
) là trường vectơ và
( ) ( ) ( )div A B Brot A ArotB∧ = −
ur ur ur ur ur ur
Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan
trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô
19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh