TS. ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC phần 8 pps

92
Khai triển định thứccấp hai (7) ta có:
22
11 11 22 22
22
12 12 21 21
()( )
()()0
cmcm
cmcm
ωω
ωω
−−−
−− − =
Đưavàokýhiệu:
() ()
21
/
ii
i
vaa=
Thì ta có:
22
11 11 12 12
()()0;1,2
i
cmvcm i
ωω
−+−==
22
21 21 22 22

()()0;1,2
i
cmvcm i
ωω
−+−==
Hoặc
Ta được:
12
11
V
vv
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
93
b. Tính chấttrựcgiaocủacác
vectơ riêng
Xét phương trình dao động tự do không cảncủahệ n bậc
tự do:
0Mq Cq
+
=
&&
Nếucácma trậnkhốilượng M và ma trận độ cứng C là
các ma trậnthực, đốixứng thì các vectơ riêng v
k

tương
ứng vớicáctầnsố riêng ω
k
sẽ trựcgiaovớima trậnkhối
lượng M và ma trận độ cứng C. Ta có:
0;
T
ji
vMv= 0;
T
ji
vCv=
ij
khi
ω
ω
≠
94
c. Các toạđộchính
Mục đích: Sử dụng toạđộchính để thu được phương trình
dao động củahệ có dạng đơngiảnhơn.
Phương trình vi phân dao động củahệ n bậctự do có dạng:
0Mq Cq
+
=
&&
Đây là hệ n phương trình vi phân cấp 2 mà các toạđộsuy
rộng có liên kếtvới nhau (các phương trình hoàn toàn không
độclậpvới nhau).
Để đượcmộthệ dao động đơngiảnhơn, ngườitathường

thay toạđộsuy rộng q bằng toạđộsuy rộng p, chẳng hạn
sao cho hệ phương trình vi phân chuyển động đốivớitoạđộ
mới p sẽ gồm n phương trình vi phân độclập nhau hoàn
toàn. Trường hợpnày, p đượcgọilàtoạđộchính củacơ hệ.
(1)
95
Thựchiện phép đổibiến:
qVp
=
(2)
Thế (2) vào (1) ta có:
0MV p CV p
+
=
&&
Nhân cả hai vế của phương trình trên với V
T
ta được:
0
TT
V MVp VCVp
+
=
&&
(3)
96
Do tính chấttrực giao, nên:
1
2
0 0

0 0
00 0
000
T
n
VMV
μ
μ
μ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
1
2
0 0
0 0
00 0
000
T
n
VCV
γ
γ
γ
⎡
⎤

⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Do vậy phương trình (3) có dạng:
0; 1
ii ii
pp i n
μ
γ
+= =→
&&
(4)
Trong đó:
;;1
TT
ii iiii
vMv vCv i n
μγ
===→
Nếu đặt:
2
i

i
i
γ
ω
μ
=
Thì các phương trình (4) đưavề dạng:
2
0; 1
iii
p
pin
ω
+= =→
&&
(5)
97
Ví dụ 1: Cho cơ hệ như hình vẽ, biếtm
1
= m
2
=m; c
1
= c
2
= c
3
= c
m
1

m
2
c
1
c
2
c
3
q
1
q
2
1. Thành lập phương trình vi phân chuyển động.
2. Tìm tầnsố dao động riêng và ma trậndạng riêng V.
3. Tìm quy luật chuyển động củacơ hệ.
98
Ví dụ 1: Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l, khối lượng
mỗi vật điểm là m. Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ
số cứng là c, ở vị trí cách trục quay một đoạn là d. Độ dài của lò xo
ở trạng thái không biến dạng bằng khoảng giữa hai trục con lắc. Bỏ
qua khối lượng của thanh, lò xo và bỏ qua lực cản.
a. Xác định các toạ độ chính của hệ.
b. Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:
102
12
(0) , (0) 0
(0) 0, (0) 0
ϕ
ϕϕ
ϕϕ

=
=
=
=
&&

l
d
φ
2
φ
1
99
Ví dụ 2: Mô hình dao động ngang của toà nhà 3 tầng. Xem rằng
khối lượng của các tầng bằng nhau m
1
= m
2
= m
3
= m = 262,69.10
3
kg. Độ cứng uốn của các bức tường ở các tầng là c
1
= 3c, c
2
= 2c,
c
3
= c = 88,56.10

6
N/m. Xác định các tần số riêng và các dạng dao
động riêng của cơ hệ.
x
1
x
2
x
3
C
1
/2 C
1
/2
C
2
/2
C
3
/2 C
3
/2
C
2
/2
100
d. Các toạđộchuẩn
Nhưđãbiết, bằng phép thế q = V p ( V là ma trậndạng
riêng, p là vectơ các toạđộchính) ta có thểđưa phương
trình vi phân dao động :

0Mq Cq
+
=
&&
về dạng vế tách rời nhau:
0; 1
ii i i
pp i n
μ
γ
+
==→
&&
Trong đó:
;
TT
ii i iii
vMv vCv
μγ
==
101
Do các phầntử củavectơ v
i
củama trận V đượcxác
định sai khác nhau mộthằng số nhân, cho nên ta có
thể chọn các vectơ v
i
một cách thích hợpsaocho:
10 0
01 0

00 0
00 1
T
VMV E
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Ma trậndạng riêng đượcchọnnhư vậy đượcgọilàma
trậndạng riêng chuẩn. Ta ký hiệuma trậndạng riêng
chuẩnbằng V
n
. Ta có:
2
1
2
2
2
0 0
0 0
0 0 0
0 0
T
nn
n
VCV D

ω
ω
ω
ω
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
==
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
T
nn
VMV E=
102
Bằng phép thế q = V
n
p ta có thểđưa phương trình dao
động ban đầuvề:
0Ep D p
ω
+
=
&&
Các toạđộchính p = [p
1
, p
2
, , p

n
]
T
trong phép thế:
q = V
n
p đượcgọilàcáctoạđộchuẩn.
Toạđộchuẩnlàcáctoạđộchính đặcbiệt.
Nếutabiết đượcma trậndạng riêng:
T
12 n
[v , v , , v ]V =
Thì ma trậndạng riêng chuẩn đượcxácđịnh bởi:
T
12 n
12
11 1
[ v , v , , v ]
n
n
V
αα α
=
Trong đó:
T
iiii
vMv
αμ
=± =±
103

§3. Dao động tự do có cản
a. Phương pháp trựctiếp
b. Phương pháp ma trậndạng riêng
104
a. Phương pháp trựctiếp
Phương trình vi phân dao động tự do có lựccảntỷ lệ với
vậntốccủahệ n bậctự do có dạng:
0Mq Bq Cq
+
+=
&& &
(1)
Ta tìm nghiệmcủa phương trình (1) dướidạng:
ˆ
()
t
qt qe
λ
=
ˆ
q
Là vectơ hằng.
(2)