Bài giảng môn: Phương pháp tính potx

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
        
Biên soạn: GV.Đỗ Thị Tuyết Hoa
BÀI GIẢNG MÔN
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
(Dành cho sinh viên khoa Công nghệ thông tin)
( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ )
ĐÀ NẴNG,
NĂM 2007
2
MỤC LỤC
CHƯƠNG I NHẬP MÔN 5
1.1. Gi
ới thiệu môn phương pháp tính 5
1.2. Nhi
ệm vụ môn học 5
1.3. Trình t
ự giải bài toán trong phương pháp tính 5
CHƯƠNG II SAI SỐ 7
2.1. Khái ni
ệm 7
2.2. Các lo
ại sai số 7
2.3. Sai s
ố tính toán 7
CHƯƠNG III TÍNH GIÁ TRỊ HÀM 9
3.1. Tính giá tr
ị đa thức. Sơ đồ Hoocner 10
3.1.1. Đặt vấn đề 10

3.1.2. Phương pháp 10
3.1.3. Thu
ật toán 10
3.1.4. Chương trình 11
3.2. Sơ đồ Hoocner tổng quát 12
3.2.1. Đặt vấn đề 12
3.2.2. Phương pháp 12
3.2.3. Thu
ật toán 13
3.3. Khai tri
ển hàm qua chuỗi Taylo 13
BÀI T
ẬP 14
CHƯƠNG IV GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH 15
4.1. Gi
ới thiệu 15
4.2. Tách nghi
ệm 15
3.3. Tách nghi
ệm cho phương trình đại số 17
4.4. Chính xác hoá nghi
ệm 18
4.4.1. Phương pháp chia đôi 18
4.4.2. Phương pháp lặp 20
4.4.3. Ph
ương pháp tiếp tuyến 22
4.4.4. Phương pháp dây cung 23
3
BÀI TẬP 26
CHƯƠNG V GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 27
5.1. Gi
ới thiệu 27
5.2. Phương pháp Krame 27
5.3. Phương pháp Gauss 28
5.3.1. N
ội dung phương pháp 28
5.3.2. Thu
ật toán 28
5.4. Phương pháp lặp Gauss - Siedel (tự sửa sai) 29
5.4.1. N
ội dung phương pháp 29
5.4.2. Thu
ật toán 31
5.5. Phương pháp giảm dư 32
5.5.1. N
ội dung phương pháp 32
5.5.2. Thu
ật toán 33
BÀI T
ẬP 35
CHƯƠNG VI TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG 37
6.1. Gi
ới thiệu 37
6.2. Ma tr
ận đồng đạng 37
6.3. Tìm giá tr
ị riêng bằng phương pháp Đanhilepski 38
6.3.1. N

ội dung phương pháp 38
6.3.2. Thu
ật toán 40
6.4. Tìm vect
ơ riêng bằng phương pháp Đanhilepski 41
6.4.1. Xây d
ựng công thức 41
6.4.2. Thu
ật toán 42
CHƯƠNG VII NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP
BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 44
7.1. Gi
ới thiệu 44
7.2. Đa thức nội suy Lagrange 45
7.3. Đa thức nội suy Lagrange với các mối cách đều 46
7.4. B
ảng nội suy Ayken 48
7.4.1. Xây d
ựng bảng nội suy Ayken 48
7.4.2. Thu
ật toán 49
7.5. B
ảng nội suy Ayken (dạng 2) 49
4
7.6. Nội suy Newton 51
7.6.1. Sai phân 51
7.6.2. Công th
ức nội suy Newton 52
7.7. N
ội suy tổng quát (Nội suy Hecmit) 54

7.8. Phương pháp bình phương bé nhất 57
BÀI T
ẬP 61
CHƯƠNG VIII TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 64
8.1. Gi
ới thiệu 64
8.2. Công th
ức hình thang 64
8.2.1. Xây d
ựng công thức 64
8.2.2. Thu
ật toán 65
8.3. Công th
ức Parabol 65
8.3.1. Xây d
ựng công thức 65
8.3.2. Thu
ật toán 66
8.4. Công th
ức Newton-Cotet 67
BÀI T
ẬP 69
M
ỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH THAM KHẢO 70
TÀI LI
ỆU THAM KHẢO 80
5
CHƯƠNG I NHẬP MÔN
1.1. Giới thiệu môn phương pháp tính
Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số

cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán
trong th
ực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa
toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế.
Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính càng
trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán.
1.2. Nhiệm vụ môn học
- Tìm ra các phương pháp giải cho các bài toán gồm: phương pháp (PP)
đúng và phương pháp gần đúng.
+ Phương pháp: chỉ ra kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích cụ thể.
+ Phương pháp gần đúng: thường cho kết quả sau một quá tr
ình tính
l
ặp theo một quy luật nào đó, nó được áp dụng trong trường hợp bài
toán không có l
ời giải đúng hoặc nếu có thì quá phức tạp.
- Xác định tính chất nghiệm
- Giải các bài toán về cực trị
- Xấp xỉ hàm: khi khảo sát, tính toán trên một hàm f(x) khá phức tạp, ta có
th
ể thay hàm f(x) bởi hàm g(x) đơn giản hơn sao cho g(x)  f(x). Việc lựa
chọn g(x) được gọi là phép xấp xỉ hàm
-
Đánh giá sai số : khi giải bài toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số
xuất hiện do sự sai lệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài
toán. Vì v
ậy ta phải đánh giá sai số để từ đó chọn ra được phương pháp tối
ưu nhất
1.3. Trình tự giải bài toán trong phương pháp tính
- Khảo sát, phân tích bài toán

- L
ựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau:
+ Kh
ối lượng tính toán ít
+ Đơn giản khi xây dựng thuật toán
+ Sai số bé
6
+ Khả thi
- Xây dựng thuật toán: sử dụng ngôn ngữ giả hoặc sơ đồ khối (càng mịn
càng tốt)
- Viết chương trình: sử dụng ngôn ngữ lập trình (C, C++, Pascal,
Matlab,…)
- Th
ực hiện chương trình, thử nghiệm, sửa đổi và hoàn chỉnh.
7
CHƯƠNG II SAI SỐ
2.1. Khái niệm
Giả sử x là số gần đúng của x* (x* : số đúng),
Khi đó

 xx gọi là sai số thực sự của x
Vì không xác định được

nên ta xét đến 2 loại sai số sau:
- Sai số tuyệt đối: Giả sử tồn tại ∆x dương đủ bé sao cho
xxx
*

Khi đó


x gọi là sai số tuyệt đối của x
- Sai số tương đối :
x
x
x



2.2. Các loại sai số
Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có các loại sau:
- Sai số giả thiết: xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều
kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán.
- Sai s
ố do số liệu ban đầu: xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu
vào không chính xác.
- Sai s
ố phương pháp : xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp
gần đúng.
- Sai s
ố tính toán : xuất hiện do làm tròn số trong quá trình tính toán, quá
trình tính càng nhi
ều thì sai số tích luỹ càng lớn.
2.3. Sai số tính toán
Giả sử dùng n số gần đúng
)n,1i(x
i

để tính đại lượng y,
với y = f(x
i

) = f(x
1
, x
2
, , x
n
)
Trong đó : f là hàm khả vi liên tục theo các đối số x
i
Khi đó sai số của y được xác định theo công thức sau:
Sai số tuyệt đối:






n
1i
i
i
x
x
f
y
Sai số tương đối:







n
1i
i
i
x
x
fln
y
- Trường hợp f có dạng tổng:
n21i
x xx)x(fy






8
Khi đó:
,i1
x
f
i



suy ra:




n
1i
i
xy
- Trường hợp f có dạng tích:
n
1
k
k21
x* *x
x* *x*x
)
i
x(fy


n1k
k21
x* *x
x* *x*x
lnfln


)xln x(ln)xln xlnx(lnfln
n1kk21










i
x
1
x
fln
ii



suy ra:





n
1i
i
n
1i
i
i
y
x

x
x
Vậy 


n
1i
iy
x
- Trường hợp f dạng luỹ thừa: y = f(x) =
)0(x 


xlnflnyln




xx
fln




suy ra
x
x
x
.y 



Vậy
x
x
x
.y 


Ví dụ. Cho các số gần đúng:
13
.
12
c
;
324
.
0
b
;
25
.
10
a



Tính sai số của:

cbay;
cb

a
y
3
2
3
1

;
9
Giải
cba3)cb()a(y
3
1



2
/
c
b
a
3






=
c

c
2
1
b
b
a
a
3






)cb(cb)a(a)cb()a(y
333
2



)2/cb(cbaa3
3



)
c
c
2
1

b
b
(cb
a
a
a3
3






Bài tập. Cho các số gần đúng:
4
.
21
c
;
52
.
0
b
;
125
.
1
a




Tính sai số của:
)cb/(a3ybc2/)1a(y
2
3
1


10
CHƯƠNG III TÍNH GIÁ TRỊ HÀM
3.1. Tính giá trị đa thức. Sơ đồ Hoocner
3.1.1. Đặt vấn đề
Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát :
p(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x+ a
n
(a
0
# 0)
Tính giá tr
ị đa thức p(x) khi x = c (c: giá trị cho trước)

3.1.2. Phương pháp
Áp dụng sơ đồ Hoocner nhằm làm giảm đi số phép tính nhân (chỉ thực
hiện n phép nhân), phương pháp này được phân tích như sau:
p(x) = ( ((a
0
x + a
1
)x +a
2
)x+ +a
n-1
)x + a
n
p(c) = ( ((a
0
c + a
1
)c +a
2
)c+ +a
n-1
)c + a
n
Đặt p
0
= a
0
p
1
= a

0
c + a
1
= p
0
c + a
1

p
2
= p
1
c + a
2
. . . . . . . .
p
n
= p
n-1
c + a
n
= p(c)
Sơ đồ Hoocner
a
0
a
1
a
2
a

n-1
a
n
p
0*
c p
1*
c p
n-2*
c p
n-1*
c
p
0
p
1
p
2
p
n-1
p
n
= p(c)
Ví dụ 1. Cho p(x) = x
6
- 5x
4
+ 2x
3
- x - 1 Tính p(-2)

Áp d
ụng sơ đồ Hoocner:
1 0 -5 2 0 -1 -1
-2 4 2 -8 16 -30
1
-2 -1 4 -8 15 -31
Vậy p(-2) = -31
3.1.3. Thuật toán
Cách 1:
11
- Nhập vào: n, c, các hệ số a
i
(
n,0i 
)
- X
ử lý: Gán p = a
0
Lặp i = 1  n : p = p * c + a
i
- Xuất kết quả: p
Cách 2:
- Nh
ập vào: n, c, các hệ số a
i
(
n,0i 
)
- X
ử lý: Lặp i = 1  n : a

i
= a
i-1
* c + a
i
- Xuất kết quả: a
n
3.1.4. Chương trình
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
main()
{ int i,n; float c, p, a[10];
clrscr();
printf("Nhap bac da thuc: "); scanf("%d", &n);
printf("Nhap cac he so \n");
for(i = 0; i<=n; i++)
{ printf("a[%d] = ", i);
scanf("%f", &a[i]);
}
printf("Nhap gia tri can tinh: "); scanf("%f", &c);
p = a[0];
for(i=1; i<=n; i++) p = p*c + a[i];
printf("Gia tri cua da thuc: %.3f", p);
getch();
}
12
3.2. Sơ đồ Hoocner tổng quát
3.2.1. Đặt vấn đề
Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát :
p(x) = a

0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x
+
a
n
(a
0
# 0) (1)
Xác định các hệ số của p(y + c), trong đó y: biến mới, c: giá trị cho trước
3.2.2. Phương pháp
Giả sử: p(y+c) = b
0
y
n
+ b
1
y
n-1
+ + b
n-1
y + b
n

(2)
Nh
ư vậy ta phải xác định các hệ số b
i

)n,0i( 
 Xác định b
n
Xét y=0, từ (2) => p(c) = b
n
 Xác định b
n-1
p(x) = (x-c) p
1
(x) + p(c) (1
’
)
Trong
đó p
1
(x) : đa thức bậc n-1

n1n2n
2n
1
1n
0
b)byb ybyb(y)cy(p 



Đặt x=y+c ta có:

n1n2n
2n
1
1n
0
b)byb ybyb)(cx()x(p 


(2’)
Đồng nhất (1’) & (2’) suy ra:
p
1
(x) = b
0
y
n-1
+ b
1
y
n-2
+ + b
n-2
y + b
n - 1
Xét y = 0, p
1
(c) = b
n-1

Tương tự ta có: b
n-2
= p
2
(c), …, b
1
= p
n-1
(c)
V
ậy b
n-i
= p
i
(c) (i = 0 >n) , b
0
=a
0
Với p
i
(c) là giá trị đa thức bậc n-i tại c
Sơ đồ Hoocner tổng quát:
a
0
a
1
a
2
a
n-1

a
n
p
0*
c p
1*
c p
n-2*
c p
n-1*
c
p
0
p
1
p
2
p
n-1
p
n
= p(c)=b
n
p
0
’
*
c p
1
’

*
c p
n-2
’
*
c
p
0
p
1
’
p
2
’
p
n-1
’
= p
1
(c)=b
n-1
…
13
Ví dụ 2. Cho p(x) = 2x
6
+ 4x
5
- x
2
+ x + 2. Xác định p(y-1)

Áp d
ụng sơ đồ Hoocner tổng quát :
p(x) 2 4 0 0 -1 1 2
-2 -2 2 -2 3 -4
p
1
(x) 2 2 -2 2 -3 4 -2
-2 0 2 -4 7
p
2
(x) 2 0 -2 4 -7 11
-2 2 0 -4
p
3
(x) 2 -2 0 4 -11
-2 4 -4
p
4
(x) 2 -4 4 0
-2 6
p
5
(x) 2 -6 10
-2
p
6
(x) 2 -8
Vậy p(y-1) = 2y
6
- 8y

5
+ 10y
4
- 11y
2
+11y- 2
3.2.3. Thuật toán
- Nhập n, c, a [i] (i =
n,0
)
- L
ặp k = n → 1
Lặp i = 1 → k : a
i
= a
i-1
* c + a
i
- Xuất a
i
(i =
n,0
)
3.3. Khai triển hàm qua chuỗi Taylo
Hàm f(x) liên tục, khả tích tại x
0
nếu ta có thể khai triển được hàm f(x) qua
chu
ỗi Taylor như sau:



!
n
)xx)(x(f

!
2
)xx)(x(f
!
1
)xx)(x(f
)x(f)x(f
n
00
n2
0000
0








khi x
0
= 0, ta có khai triển Macloranh:
!
n

x)0(f

!
2
x)0(f
!
1
x)0(f
)0(f)x(f
n)n(2






Ví dụ 3.

!
6
x
!
4
x
!
2
x
1Cosx
642


14
BÀI TẬP
1. Cho đa thức p(x) = 3x
6
+ 8x
3
–2x
2
+ x – 5
a. Tính p(3), p(2.5)
b. Tính p(-2), p(-3)
2. Cho
đa thức p(x) = x
5
+ 8x
3
–2x
2
+ x – 1
a. Xác
định đa thức p(y+1), p(y+3)
b. Xác định đa thức p(y-1), p(y-4)
3. Khai báo (định nghĩa) hàm trong C để tính giá trị đa thức p(x) bậc n
tổng quát theo sơ đồ Hoocner
4. Vi
ết chương trình (có sử dụng hàm ở câu 3) nhập vào 2 giá trị a, b.
Tính p(a) + p(b)
5. Vi
ết chương trình nhập vào 2 đa thức p
n

(x) bậc n, p
m
(x) bậc m và hai
giá tr
ị c, d. Sử dụng hàm ở câu 3 tính:
a. p
n
(c) + p
m
(c)
b. p
n
(c) + p
m
(d)
6. Cho
đa thức p(x) bậc n. Viết chương trình xác định các hệ số của đa
th
ức p(y+c) theo sơ đồ Hoocner tổng quát.
7. Khai báo hàm trong C để tính giá trị các hàm e
x
, sinx, cosx theo khai
tri
ển Macloranh.
15
CHƯƠNG IV GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
4.1. Giới thiệu
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 ta tiến hành qua 2 bước:
 Tách nghiệm: xét tính chất nghiệm của phương trình, phương trình có
nghi

ệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa nghiệm nếu
có. Đối với bước n
ày, ta có thể dùng phương pháp đồ thị, kết hợp với
các định lý m
à toán học hỗ trợ.
 Chính xác hoá nghiệm: thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được
đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép. Trong bước n
ày
ta có th
ể áp dụng một trong các phương pháp:
- Phương pháp chia đôi
- Phương pháp lặp
- Phương pháp tiếp tuyến
- Phương pháp dây cung
4.2. Tách nghiệm
* Phương pháp đồ thị:
Trường hợp hàm f(x) đơn giản
- Vẽ đồ thị f(x)
- Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của f(x) với trục x, từ đó suy
ra s
ố nghiệm, khoảng nghiệm.
Trường hợp f(x) phức tạp
- Biến đổi tương đương f(x)=0 <=> g(x) = h(x)
- V
ẽ đồ thị của g(x), h(x)
- Hoành độ giao điểm của g(x) và h(x) là nghiệm phương trình, từ đó suy
ra s
ố nghiệm, khoảng nghiệm.
* Định lý 1:
Giả sử f(x) liên tục và trái dấu trên (a,b). Khi đó trên (a,b) tồn tại một số lẻ

nghiệm thực của phương trình f(x)=0. Nghiệm là duy nhất nếu f’(x) tồn tại
và không đổi dấu tr
ên (a,b).
16
Ví dụ 1. Tách nghiệm cho phương trình: x
3
- x + 5 = 0
Gi
ải: f(x) = x
3
- x + 5
f’(x) = 3x
2
- 1 , f’(x) = 0 <=> x =
3/1
Bảng biến thiên:
x -

3/1

3/1
+
f
’
(x) + 0 - 0 +
f(x)
y
CĐ
>0 +
-  y

CT
>0
Từ bảng biến thiên, phương trình có 1 nghiệm x <
3/1
f(-1)* f(-2) < 0, vậy phương trình trên có 1 nghiệm x  (-2, -1)
Ví dụ 2. Tách nghiệm cho phương trình sau: 2
x
+ x - 4 = 0
Gi
ải: 2
x
+ x - 4 = 0  2
x
= - x + 4
Áp d
ụng phương pháp đồ thị:
Từ đồ thị suy ra: Phương trình có 1 nghiệm x  (1, 2)
* Định lý 2: (Sai số)
Giả sử  là nghiệm đúng và x là nghiệm gần đúng của phương trình
f(x)=0, cùng n
ằm trong khoảng nghiệm [a, b] và f'(x)  m  0 khi ax b.
Khi đó
m
)x(f
x

4
4
2
1

1
y = 2
x
y = -x + 4
2
x
y
17
Ví dụ 3. Cho nghiệm gần đúng của phương trình x
4
- x - 1 = 0 là 1.22.
Hãy
ước lượng sai số tuyệt đối là bao nhiêu?
Giải:
f (x) = f (1.22) = 1.22
4
- 1.22 - 1 = - 0,0047 < 0
f(1.23) = 0.588 > 0
 nghiệm phương trình x  (1.22, 1.23)
f '(x) = 4 x
3
-1 > 4*1.22
3
- 1 = 6.624 = m x  (1.22 , 1.23)
Theo định lý 2 : x = 0.0047/6.624 = 0.0008 (vç |x -  | < 0.008)
3.3. Tách nghiệm cho phương trình đại số
Xét phương trình đại số: f(x) = a
0
x
n

+ a
1
x
n-1
+ … + a
n-1
x + a
n
= 0 (1)
Định lý 3:
Cho phương trình (1) có m
1
= max {a
i
} i =
n,1
m
2
= max {a
i
} i =
1n,0 
Khi đó mọi nghiệm x của phương trình đều thoả mãn:
2
0
1
n2
n
1
x

a
m
1x
am
a
x 


Định lý 4:
Cho phương trình (1) có a
0
> 0, a
m
là hệ số âm đầu tiên. Khi đó mọi nghiệm
dương của phương trình đều
m
0
a/a1N  , với a = max {a
i
}
sao cho a
i
< 0,
n,0i 
.
Ví dụ 4. Cho phương trình: 5x
5
- 3x
3
+ 2x

2
- 6x + 9 = 0
Tìm c
ận trên nghiệm dương của phương trình trên
Gi
ải: Ta có a
2
= -3 là hệ số âm đầu tiên, nên m = 2
a = max( 3, 6) = 6
V
ậy cận trên của nghiệm dương:
5/61N 
* Định lý 5:
Cho phương trình (1), xét các trường hợp:

1
(x) = x
n
f (1/x) = a
0
+ a
1
x + + a
n
x
n

2
(x) = f(-x) = (-1)
n

(a
0
x
n
- a
1
x
n-1
+ a
2
x
n-2
- + (-1)
n
a
n
)

3
(x) = x
n
f(-1/x) = (-1)
n
(a
n
x
n
- a
n-1
x

n-1
+ a
n-2
x
n-2
- + (-1)
n
a
0
)
18
Giả sử N
0
, N
1
, N
2
, N
3
là cận trên các nghiệm dương của các đa thức f(x),

1
(x), 
2
(x), 
3
(x). Khi đó mọi nghiệm dương của phương trình (1) đều
nằm trong khoảng [1/N
1
, N

0
] và mọi nghiệm âm đều nằm trong khoảng
[-N
2
, -1/N
3
]
Ví dụ 5. Xét phương trình
3x
2
+ 2x - 5 = 0  N
0
= 1 +
3/5
(định lý 4)

1
(x) = 3 + 2x - 5x
2
 N
1
không tồn tại (a
0
< 0)

2
(x) = 3x
2
- 2x - 5  N
2

= 1 + 5/3 (định lý 4)

3
(x) = 3 - 2x - 5x
2
 N
3
không tồn tại (a
0
< 0)
V
ậy: mọi nghiệm dương x < 1 +
3/5
mọi nghiệm âm x > - (1 +5/3) = - 8/3
4.4. Chính xác hoá nghiệm
4.4.1. Phương pháp chia đôi
a. Ý tưởng
Cho phương tr
ình f(x) = 0, f(x) liên tục và trái dấu tại 2 đầu [a,b]. Giả sử
f(a) < 0, f(b) > 0 (nếu ngược lại thì xét –f(x)=0 ). Theo định lý 1, trên [a,b]
phương trình có ít nhất 1 nghiệm .
Cách tìm nghi
ệm :
Đặt [a
0
, b
0
] = [a, b] và lập các khoảng lồng nhau [a
i
, b

i
] (i=1, 2, 3, …)
[a
i-1
, (a
i-1
+ b
i-1
)/2 ] nếu f((a
i-1
+ b
i-1
)/2) >0
[a
i
, b
i
] =
[(a
i-1
+ b
i-1
)/2, b
i
] nếu f((a
i-1
+ b
i-1
)/2) < 0
Nh

ư vậy:
- Hoặc nhận được nghiệm đúng ở một bước nào đó:

 = (a
i-1
+ b
i-1
)/2 nếu f((a
i-1
+ b
i-1
)/2) = 0
- Ho
ặc nhận được 2 dãy {a
n
} và {b
n
}, trong đó:
{a
n
}: là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên
{b
n
}: là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới
19
nên







nn
n
blimalim
là nghiệm phương trình
Ví dụ 6. Tìm nghiệm phương trình: 2
x
+ x - 4 = 0 bằng ppháp chia đôi
Gi
ải:
- Tách nghi
ệm: phương trình có 1 nghiệm x  (1,2)
- Chính xác hoá nghi
ệm: áp dụng phương pháp chia đôi ( f(1)=-1< 0)
B
ảng kết quả:
a
n
b
n
)
2
ba
(f
nn

1 2 +
1.5 -
1.25 -

1.375 +
1.438 +
1.406 +
1.391 -
1.383 +
1.387 -
1.385 -
1.386 1.387
386.1blimalim
n
10n
n
10n



Kết luận: Nghiệm của phương trình: x  1.386
b. Thu
ật toán
- Khai báo hàm f(x) (hàm đa thức, hàm siêu việt)
- Nhập a, b sao cho f(a)<0 và f(b)>0
- L
ặp
c = (a+b)/2
n
ếu f(c) > 0  b = c
ngược lại a = c
trong khi (f(c)> ) /* a - b >  và f(c) != 0 */
20
- Xuất nghiệm: c

4.4.2. Phương pháp lặp
a. Ý tưởng
Biến đổi tương đương: f(x) = 0 <=> x = g(x)
Ch
ọn giá trị ban đầu x
0
khoảng nghiệm (a, b),
tính x
1
= g(x
0
), x
2
= g(x
1
), … , x
k
= g(x
k-1
)
Nh
ư vậy ta nhận được dãy {x
n
}, nếu dãy này hội tụ thì tồn tại giới hạn


 nn
xlim
(là nghiệm gần đúng của phương trình )
b. Ý ngh

ĩa hình học
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y=x và y=g(x) là nghiệm phương trình
x=g(x) ( c
ũng là nghiệm phương trình f(x)=0 )
Tr
ường hợp hình a: hội tụ đến nghiệm 
Trường hợp hình b: không hội tụ đến nghiệm  (phân ly nghiệm)
Sau đây ta xét định lý về điều kiện hôi tụ đến nghiệm sau một quá trình lặp
Định lý (điều kiện đủ)
Giả sử hàm g(x) xác định, khả vi trên khoảng nghiệm [a,b] và mọi giá trị g(x)
đều thuộc [a,b]. Khi đ
ó nếu  số q sao cho g’(x)q<1 x (a,b) thì:
+ Quá trình l
ặp hội tụ đến nghiệm không phụ thuộc vào x
0
 [a,b]
+ Gi
ới hạn


 nn
xlim
là nghiệm duy nhất trên (a,b)
L
ưu ý:

x
2
x
1

x
0
x

x
0
x
1
x
2
x
y
y
y = x
y = x
y=g(x)
A
B
C
C
B
A
Hình a Hình b
21
- Định lý đúng nếu hàm g(x) xác định và khả vi với
R
x


mà

điều kiện g
’
(x) thoả mãn.
- Trong tr
ường hợp tổng quát, để nhận được xấp xỉ x
n
với độ chính
xác  cho trước, ta tiến hành phép lặp cho đến khi 2 xấp xỉ liên tiếp
thoả mãn:

q
q1
xx
n1n



Ví dụ 7. Tìm nghiệm: x
3
- x - 1 = 0 bằng phương pháp lặp
Giải: - Tách nghiệm: phương trình có một nghiệm  (1,2)
- Chính xác hoá nghi
ệm:
3
2
33
1xx;
x
1x
x;1xx01xx




Chọn g(x) =
3
1
x

1
)1x(
1
3
1
)x('g 3
2



)2,1(x


Áp dụng phương pháp lặp (thỏa mãn định lý điều kiện đủ)
Chọn x
0
= 1 ta có bảng giá trị sau:
x
g(x) =
3
1
x


1 1.260
1.260 1.312
1.312 1.322
1.322 1.324
1.324 1.325
1.325 1.325
Nghiệm phương trình x  1.325 ( vì x
4
- x
5
<  = 10
-3
)
c. Thu
ật toán
- Khai báo hàm g(x)
- Nh
ập x
- Lặp: y = x
x = g(y)
22
trong khi x - y> 
- Xuất nghiệm: x (hoặc y)
4.4.3. Phương pháp tiếp tuyến
a. Ý tưởng
Chọn x
0
 khoảng nghiệm (a, b)
Tiếp tuyến tại A

0
(x
0
, f(x
0
)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x
1
,
Ti
ếp tuyến tại A
1
(x
1
, f(x
1
)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x
2
, …,
Ti
ếp tuyến tại A
k
(x
k
, f(x
k
)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x
k+1
, …
C
ứ tiếp tục quá trình trên ta có thể tiến dần đến nghiệm  của phương trình.

* Xây d
ựng công thức lặp:
Phương tr
ình tiếp tuyến tại A
k
(x
k
, f(x
k
))
y - f(x
k
) = f’(x
k
)*(x - x
k
)
Ti
ếp tuyến cắt trục x tại điểm có toạ độ (x
k+1
, 0)
Do v
ậy: 0 – f(x
k
) = f’(x
k
)*(x
k+1
- x
k

)

)x('f
)x(f
xx
k
k
k1k


b. Ý nghĩa hình học
Định lý (điều kiện hội tụ theo Furiê_điều kiện đủ)
Giả sử [a,b] là khoảng nghiệm của phương trình f(x)=0. Đạo hàm f’(x),
f”(x) liên t
ục, không đổi dấu, không tiêu diệt trên [a,b]. Khi đó ta chọn xấp
xỉ nghiệm ban đầu x
0
[a,b] sao cho f(x
0
)*f”(x
0
) > 0 thì quá trình lặp sẽ hội
tụ nhanh đến nghiệm.
a

x
2
x
1
x

0
b
x
[ ]
A
1
f(x)

tiếp tuyến
y
A
0
23
Ví dụ 8. Giải phương trình: x
3
+ x - 5 = 0 bằng phương pháp tiếp tuyến
Giải: - Tách nghiệm:
f(x) = x
3
+ x - 5
f’(x) = 3x
2
+ 1 > 0 x





)x(flim
x

,




)x(flim
x
Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất
f(1)* f(2) = (-3)*5 < 0
V
ậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x  (1, 2)
- Chính xác hoá nghi
ệm:
f”(x) = 6x > 0 x  (1, 2)
f’(x) > 0
x
Áp d
ụng phương pháp tiếp tuyến (thoả mãn điều kiện hội tụ Furiê).
Ch
ọn với x
0
= 2 ( vì f(2)*f”(2) > 0) ta có bảng kết quả sau:
x f(x)/f’(x)
2 0.385
1.615 0.094
1.521 0.005
1.516 0.000
1.516
Vậy nghiệm x  1.516
c. Thu

ật toán
- Khai báo hàm f(x), fdh(x)
- Nh
ập x
- Lặp y= x
x = y – f(y)/fdh(y)
trong khi
x - y> 
- Xuất nghiệm: x (hoặc y)
4.4.4. Phương pháp dây cung
a. Ý tưởng
24
Giả sử [a, b] là khoảng nghiệm phương trình f(x)=0. Gọi A, B là 2 điểm
trên đồ thị f(x) có hoành độ tương ứng là a, b. Phương trình đường thẳng
qua 2 điểm A(a, f(a)), B(b, f(b)) có dạng:
ab
ax
)a(f)b(f
)a(fy





Dây cung AB cắt trục x tại điểm có toạ độ (x
1
, 0)
Do
đó:
ab

ax
)a(f)b(f
)a(f0
1






)a(f)b(f
)a(f)ab(
ax
1



Nếu f(a)*f(x
1
) <0, thay b=x
1
ta có khoảng nghiệm mới là (a, x
1
)
N
ếu f(b)*f(x
1
) <0, thay a=x
1
ta có khoảng nghiệm mới là (x

1
, b)
Ti
ếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng nghiệm mới ta được
giá trị x
2
. Lại tiếp tục như thế ta nhận được các giá trị x
3
, x
4
, … càng tiến
gần với giá trị nghiệm phương trình.
b. Ý ngh
ĩa hình học
Ví dụ 9. Giải phương trình 2
x
+ x - 4 = 0 bằng phương pháp dây cung
Giải:
- Tách nghiệm: Phương trình có 1 nghiệm x(1, 2)
- Chính xác hoá nghi
ệm:
B
x
y
0
a
x
2
x
1

b
C
D
A

25
f(1) = -1 < 0, f(2) = 2 > 0
333.1
)1(2
)1)(12(
1x 




f(x) = f(1.333) = -0.447<0
B
ảng kết quả:
a b x f(x)
1
1.333
1.379
1.385
1.386
2 1.333
1.379
1.385
1.386
1.386
-0.447

-0.020
-0.003
-0.000
Vậy nghiệm phương trình: x 1.386
c. Thu
ật toán
- Khai báo hàm f(x)
- Nh
ập a, b
- Tính x = a – (b-a)f(a) / (f(b)-f(a))
- N
ếu f(x)*f(a) <0
Lặp b = x
x = a – (b-a)f(a) / (f(b)-f(a))
trong khi
x - b> 
Ngược lại
Lặp a = x
x = a – (b-a)f(a) / (f(b)-f(a))
trong khi
x - a> 
- Xuất nghiệm: x