Khảo sát hàm số ôn thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.36 MB, 82 trang )
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.Kiến thức cơ bản:
1. Định lý:
)(0)(*
/
xfDxxf ⇒∈∀>
đồng biến trên D.
)(0)(*
/
xfDxxf ⇒∈∀<
nghịch biến trên D.
2. Định lý mở rộng:
Dxxf ∈∀≥ 0)(*
/
và
0)(
/
=xf
tại một số hữu hạn điểm
)(xf⇒
đồng biến trên D.
Dxxf ∈∀≤ 0)(*
/
và
0)(
/
=xf
tại một số hữu hạn điểm
)(xf⇒
nghịch biến trên D.
3. Chú ý:
( )
baxxf ;0)(*
/
∈∀>
và f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
)(xf⇒
đồng biến trên
[ ]
ba;
.
( )
baxxf ;0)(*
/
∈∀<
và f(x) liên tục trên
[ ]
ba;
)(xf⇒
nghịch biến trên
[ ]
ba;
.
4. Điều kiện không đổi dấu trên R:
Cho
)0()(
2
≠++= acbxaxxf
.
≤∆
>
⇔∈∀≥
0
0
0)(*
a
Rxxf
≤∆
<
⇔∈∀≤
0
0
0)(*
a
Rxxf
<∆
>
⇔∈∀>
0
0
0)(*
a
Rxxf
<∆
<
⇔∈∀<
0
0
0)(*
a
Rxxf
II. Các dạng toán:
1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trước:
Phương pháp:
* Tính y
/
.
* Cho y
/
= 0.
Có các cách sau
Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y
/
)
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y
/
= 0 về dạng g(x) = h(m))
+ Xét sự biến thiên của g(x).
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên )
+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Ví dụ 1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 2 1 6
3
y x m x m x= − + + + +
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
( )
∞+;2
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
[ ]
1;3−
Giải:
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 1 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
a. Tập xác định: D = R.
( )
1212
2/
+++−= mxmxy
Hàm số đồng biến trên R
≤∆
>
⇔∈∀≥⇔
0
0
0
/
/
a
Rxy
0
0
0
01
2
=⇔
=
∈
⇔
≤
>
⇔ m
m
Rm
m
b. Tập xác định: D = R.
( )
1212
2/
+++−= mxmxy
( )
/ 2
1
0 2 1 2 1 0
2 1
x
y x m x m
x m
=
= ⇔ − + + + = ⇔
= +
* Trường hợp 1:
2 1 1 0m m+ = ⇔ =
.
Ta có bảng biến thiên:
x
∞−
1
∞+
y
/
+ 0 +
∞+
y
∞−
3
1
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên
( )
∞+;2
.
Do đó m = 0 thỏa mãn.
* Trường hợp 2 :
0112
>⇔>+
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
∞−
1 2m+1
∞+
y
/
+ 0 - 0 +
y(1)
∞+
y
∞−
y(2m+1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên
( )
∞+;2
2
1
212 >⇔>+⇔ mm
( thỏa đk m>0)
* Trường hợp 3 :
0112
<⇔<+
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
∞−
2m+1 1
∞+
y
/
+ 0 - 0 +
y(2m+1)
∞+
y
∞−
y(1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến
trên
( )
∞+;2
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Vậy hàm số đồng biến trên
( )
∞+;2
khi m = 0 hoặc
2
1
>m
c. Tập xác định: D = R.
( )
1212
2/
+++−= mxmxy
( )
+=
=
⇔=+++−⇔=
12
1
012120
2/
mx
x
mxmxy
* Trường hợp 1:
0112
=⇔=+
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
∞−
1
∞+
y
/
+ 0 +
∞+
y
∞−
3
1
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên
[ ]
1;3−
Do đó m = 0 không thỏa mãn.
* Trường hợp 2 :
0112
>⇔>+
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
∞−
1 2m+1
∞+
y
/
+ 0 - 0 +
y(1)
∞+
y
∞−
y(2m+1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch
biến trên
[ ]
1;3−
* Trường hợp 3 :
0112
<⇔<+
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
∞−
2m+1 1
∞+
y
/
+ 0 - 0 +
y(2m+1)
∞+
y
∞−
y(1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
[ ]
1;3−
2312
−≤⇔−≤+⇔
mm
( Thỏa mãn điều kiện m <0 )
Vậy
2−≤m
hàm số nghịch biến trên
[ ]
1;3−
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 3 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Ví dụ 2. Cho hàm số
102
3
1
23
−−+= mxxxy
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
[
)
∞+;0
c. Xác định m để hàm số đồng biến trên
( )
1;∞−
d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Giải:
a. Tập xác định: D = R.
mxxy −+= 4
2/
Hàm số đồng biến trên R
≤∆
>
⇔∈∀≥⇔
0
0
0
/
/
a
Rxy
4
404
01
−≤⇔
−≤
∈
⇔
≤+
>
⇔ m
m
Rm
m
b. * Tập xác định: D = R.
mxxy −+= 4
2/
* Hàm số đồng biến trên
[
)
∞+;0
[
)
∞+∈∀≥⇔ ;00
/
xy
[
)
[
)
∞+∈∀≥+⇔∞+∈∀≥−+⇔ ;04;004
22
xmxxxmxx
* Xét hàm số
xxxf 4)(
2
+=
trên
[
)
∞+;0
Ta có
42)(
/
+= xxf
20)(
/
−=⇔= xxf
(loại)
Ta có bảng biến thiên:
x 0
∞+
f
/
(x) +
∞+
f(x)
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
0
≤⇔
m
Vậy
0≤m
hàm số đồng biến trên
[
)
∞+;0
.
c. * Tập xác định: D = R.
mxxy −+= 4
2/
* Hàm số đồng biến trên
( )
1;∞−
( )
1;0
/
∞−∈∀≥⇔ xy
( ) ( )
1;41;04
22
∞−∈∀≥+⇔∞−∈∀≥−+⇔ xmxxxmxx
* Xét hàm số
xxxf 4)(
2
+=
trên
( )
1;∞−
Ta có
42)(
/
+= xxf
20)(
/
−=⇔= xxf
( nhận )
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 4 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Ta có bảng biến thiên:
x
∞−
-2 1
f
/
(x) - 0 +
∞+
f(x) -4 5
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
4
−≤⇔
m
d. * Tập xác định: D = R.
mxxy −+= 4
2/
/ 2
0 4 0y x x m= ⇔ + − =
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
⇔
phương trình
0=ý
có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
sao cho
1
21
=− xx
( )
=−+
−>
⇔
=−+
>+
⇔
=−
>∆
⇔
14
4
12
04
1
0
21
2
2121
2
2
2
1
2
21
/
xxxx
m
xxxx
m
xx
( )
4
3
4
3
4
1)(42
4
2
−=⇔
−=
−>
⇔
=−−−
−>
⇔ m
m
m
m
m
Vậy
4
3
−=m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 3. Cho hàm số
112
23
−+−= xmxxy
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
( )
+∞;1
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
( )
2;1
d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
Giải:
a. Tập xác định: D = R.
1223
2/
+−= mxxy
Hàm số đồng biến trên R
≤∆
>
⇔∈∀≥⇔
0
0
0
/
/
a
Rxy
66
66
036
03
2
≤≤−⇔
≤≤−
∈
⇔
≤−
>
⇔ m
m
Rm
m
b. Tập xác định: D = R.
1223
2/
+−= mxxy
* Hàm số đồng biến trên
( )
+∞;1
( )
+∞∈∀≥⇔ ;10
/
xy
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 5 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
( ) ( )
+∞∈∀
+
≤⇔+∞∈∀≥+−⇔ ;1
123
2;101223
2
2
x
x
x
mxmxx
Xét hàm số
( )
+∞
+
= ;1
123
)(
2
trên
x
x
xf
Ta có
2
2
/
123
)(
x
x
xf
−
=
−=
=
⇔=
−
⇔=
)(2
)(2
0
123
0)(
2
2
/
lx
nx
x
x
xf
Ta có bảng biến thiên:
x 1 2
∞+
f
/
(x) - 0 +
15
∞+
f(x)
12
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
6122
≤⇔≤⇔
mm
Vậy
6
≤
m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
c. Tập xác định: D = R.
1223
2/
+−= mxxy
* Hàm số nghịch biến trên
( )
2;1
( )
2;10
/
∈∀≤⇔ xy
( ) ( )
2;1
123
22;101223
2
2
∈∀
+
≤⇔∈∀≤+−⇔ x
x
x
mxmxx
Xét hàm số
( )
2;1
123
)(
2
trên
x
x
xf
+
=
Ta có
2
2
/
123
)(
x
x
xf
−
=
−=
=
⇔=
−
⇔=
)(2
)(2
0
123
0)(
2
2
/
lx
lx
x
x
xf
Bảng biến thiên:
x 1 2
f
/
(x) -
15
f(x)
12
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 6 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
6122
≤⇔≤⇔
mm
Vậy
6
≤
m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
d. * Tập xác định: D = R.
1223
2/
+−= mxxy
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2
⇔
phương trình
0=ý
có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
sao cho
2
21
=− xx
( ) ( )
( )
=−+
∞+∪−∞−∈
⇔
=−+
>−
⇔
=−
>∆
⇔
44
;66;
42
036
4
0
21
2
21
21
2
2
2
1
2
2
21
/
xxxx
m
xxxx
m
xx
( ) ( )
( ) ( )
φ
∈⇔
−=
=
∞+∪−∞−∈
⇔
=−
∞+∪−∞−∈
⇔ m
m
m
m
m
m
6
6
;66;
44.4
3
2
;66;
2
Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Cho hàm số
mx
mx
y
+
+
=
9
.
a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
( )
∞+;2
.
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
( )
1;−∞−
Giải:
a. TXĐ:
{ }
mRD −= \
( )
2
2
/
9
mx
m
y
+
−
=
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
mxy −≠∀>⇔ 0
/
( )
3;309
2
−∈⇔>−⇔ mm
Vậy:
( )
3;3−∈m
thỏa điều kiện bài toán.
b. TXĐ:
{ }
mRD −= \
( )
2
2
/
9
mx
m
y
+
−
=
Hàm số đồng biến trên
( )
∞+;2
( )
mxvàxy −≠∞+∈∀>⇔ ;20
/
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2
;33;
2
;33;
;2
09
2
>⇔
−≥
∞+∪−∞−∈
⇔
≤−
∞+∪−∞−∈
⇔
∞+∉−
>−
⇔ m
m
m
m
m
m
m
Vậy:
3
>
m
thỏa điều kiện bài toán.
c. TXĐ:
{ }
mRD −= \
( )
2
2
/
9
mx
m
y
+
−
=
Hàm số nghịch biến trên
( )
1;−∞−
( )
mxvàxy −≠−∞−∈∀<⇔ 1;0
/
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 7 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
( )
( ) ( )
13
1
3;3
1
3;3
1;
09
2
≤<−⇔
≤
−∈
⇔
−≥−
−∈
⇔
−∞−∉−
<−
⇔ m
m
m
m
m
m
m
Vậy:
13
≤<−
m
thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 5. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013)
Cho hàm số
3 2
y x 3x 3mx 1 (1)= − + + −
, với m là tham số thực. Tìm m để hàm số
(1) nghịch biến trên khoảng (0; +
∞
)
Giải:
Ta có y’ = -3x
2
+ 6x+3m
Yêu cầu bài toán ⇔ y’
( )
0, 0;x
≤ ∀ ∈ +∞
2
2
3 6 3 0 (0; )
2 (0; )
x x m x
m x x x
⇔ − + + ≤ ∀ ∈ +∞
⇔ ≤ − ∀ ∈ +∞
Xét hàm số
2
( ) 2g x x x= −
với x > 0
Ta có
/
( ) 2 2g x x= −
/
( ) 0 1g x x= ⇔ =
Ta có bảng biến thiên:
x 0 1
∞+
g
/
(x) - 0 +
0
∞+
g(x)
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
1m⇔ ≤ −
Vậy
1m ≤ −
hàm số nghịch biến trên
(0; )+∞
.
BÀI TẬP TỰ LÀM
1. Cho hàm số
3 2
3 4y x x mx= − − + +
có đồ thị
( )C
. Xác định m để hàm số nghịch
biến trên khoảng
( )
0;+∞
. ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009)
2. Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
+∞;2
.
3. (Dự bị 1 khối D 2003) Cho hàm số:
2 2
x 5x m 4
y
x 3
+ + +
=
+
, (1)
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 8 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1.
b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( )
1;+∞
.
2 .Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
a. sinx < x
∈∀
2
;0
π
x
b.
∈∀<
2
;0tan
π
xxx
c.
[ ]
1;102
24
−∈∀≤− xxx
Giải:
a. Ta có: sinx < x
0sin
>−⇔
xx
Xét
xxxf sin)( −=
Với
∈∀
2
;0
π
x
Ta có
∈∀≥=−=
2
;00
2
sin2cos1)(
2/
π
x
x
xxf
)
2
;0(02
2
0
2
sin0)(
/
∈=⇔=⇔=⇔=⇔=
π
ππ
xDoxkxk
xx
xf
Suy ra,
)(xf
đồng biến trên
2
;0
π
Do đó,
∈∀
2
;0
π
x
Ta có
( )
xxxxxffx <⇔−<⇔<⇒< sinsin0)(00
Vậy: sinx < x
∈∀
2
;0
π
x
b. Ta có:
0tantan
<−⇔<
xxxx
Xét hàm số
xxxf tan)( −=
trên
2
;0
π
Ta có
∈∀≤−=−=
2
;00tan
cos
1
1)(
2
2
/
π
xx
x
xf
)
2
;0(00tan0)(
/
∈=⇔=⇔=⇔=
π
π
xDoxkxxxf
Suy ra,
)(xf
nghịch biến trên
2
;0
π
Do đó,
∈∀
2
;0
π
x
Ta có
( )
xxxxxffx tantan0)(00 <⇔−>⇔>⇒<
Vậy
∈∀<
2
;0tan
π
xxx
c.
[ ]
1;102
24
−∈∀≤− xxx
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 9 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Xét hàm số
24
2)( xxxf −=
với
[ ]
1;1−∈x
Ta có
xxxf 44)(
3/
−=
( )
−=
=
=
⇔=−⇔=−⇔=
1
1
0
0140440)(
23/
x
x
x
xxxxxf
Bảng biến thiên:
x -1 0 1
f
/
(x) + 0 -
0
f(x)
-1 -1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
[ ]
1;102)(
24
−∈∀≤−= xxxxf
(đpcm)
CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm:
Cách 1. ( Thường dùng cho hàm đa thức )
* f(x) đạt cực trị tại x = x
0
≠
=
⇔
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy
* f(x) đạt cực đại tại x = x
0
<
=
⇔
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy
* f(x) đạt cực tiểu tại x = x
0
>
=
⇔
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy
Cách 2. ( Thường dùng cho hàm phân thức )
* Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x
0
thì
0)(
0
/
=xy
.
* Giải phương trình
0)(
0
/
=xy
tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số .
* Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
( )
5231
3
1
223
++−+−−= xmmxmxy
.
a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0.
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Giải:
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 10 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
a. TXĐ: D = R
( )
2312
22/
+−+−−= mmxmxy
( )
122
//
−−= mxy
Hàm số đạt cực trị tại x = 0
( )
2
1
2
1
012
023
0)0(
0)0(
2
//
/
=⇔
≠
=
=
⇔
≠−−
=+−
⇔
≠
=
⇔ m
m
m
m
m
mm
y
y
Vậy Hàm số đạt cực trị tại x = 0
b. TXĐ: D = R
( )
2312
22/
+−+−−= mmxmxy
( )
122
//
−−= mxy
Hàm số đạt cực đại tại x = 1
2
55
2
2
55
2
55
024
055
0)1(
0)1(
2
//
/
+
=⇔
>
−
=
+
=
⇔
<−
=+−
⇔
<
=
⇔ m
m
m
m
m
mm
y
y
c. TXĐ: D = R
( )
2312
22/
+−+−−= mmxmxy
( )
122
//
−−= mxy
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3
φ
φ
∈⇔
<
∈
⇔
>−
=+−
⇔
>
=
⇔ m
m
m
m
mm
y
y
4
028
0179
0)3(
0)3(
2
//
/
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3
1
2
1
3
1
23
+++−= bxaxxy
. Xác định a và b để hàm số đạt cực
đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2.
Giải:
* TXĐ: D = R
*
baxxy ++−=
2/
axy +−= 2
//
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2
=
<
=
⇔
2)1(
0)1(
0)1(
//
/
y
y
y
=
−=
⇔
<
=
−=
⇔
=+
<+−
=++−
⇔
3
2
2
3
2
2
2
1
02
01
b
a
a
b
a
ba
a
ba
Vậy
=
−=
3
2
b
a
thỏa mãn điều kiện bài toán.
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 11 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Ví dụ 3. Xác định m để hàm số
52
224
+−= xmxy
a. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1
b. Hàm số đạt cực đại tại x = - 2.
Giải:
a. TXĐ: D = R
22//
23/
412
44
mxy
xmxy
−=
−=
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1
( )
−∈
−=
=
⇔
>−
=+−
⇔
>−
=−
⇔
3;3
1
1
0412
044
0)1(
0)1(
2
2
//
/
m
m
m
m
m
y
y
−=
=
⇔
1
1
m
m
b. TXĐ: D = R
22//
23/
412
44
mxy
xmxy
−=
−=
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2
( ) ( )
2
:3232;
2
2
0448
0832
0)2(
0)2(
2
2
//
/
=⇔
∞+∪−∞−∈
−=
=
⇔
<−
=+−
⇔
<−
=−
⇔ m
m
m
m
m
m
y
y
Ví dụ 4. Xác định m để hàm số
1
52
2
+
+−
=
x
mxx
y
đạt cực tiểu tại x = 3.
Giải:
TXĐ:
{ }
1\ −= RD
( )
2
2
/
1
522
+
−−+
=
x
mxx
y
* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì
0)3(
/
=y
⇔
50
16
210
=⇔=
−
m
m
* Với
5
=
m
ta có
( )
2
2
/
1
152
+
−+
=
x
xx
y
/
3
0
5
x
y
x
=
= ⇔
= −
x
∞−
- 5 3
∞+
y
/
+ 0 - 0 +
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 12 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
CĐ
∞+
y
∞−
CT
Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu.
Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Ví dụ 5. Xác định m để hàm số
22
2
2
2
+−
++
=
xx
mxx
y
đạt cực đại tại
2=x
.
Giải:
TXĐ: D = R
*
( )
2
2
2
/
22
2244
+−
+−+−
=
xx
mmxxx
y
* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại
2=x
thì
0)2(
/
=y
( )
( )
220
224
212824
2
−=⇔=
−
−+−
⇔ m
m
* Với
22−=m
ta có
( )
( )
2
2
2
/
22
242444
+−
−++−
=
xx
xx
y
=
=
⇔=
1
2
0
/
x
x
y
Bảng biến thiên:
x
∞−
1
2
∞+
y
/
- 0 + 0 -
1 CĐ
y
CT 1
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại
2=x
.
Vậy
22−=m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
2. Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước:
Ví dụ 1. Cho hàm số
( ) ( )
14112
3
1
23
+−+−−= xmxmxy
a. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
sao cho
4
21
=− xx
.
c. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
sao cho
43
21
=+ xx
.
d. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
.2
2
2
2
1
≤+ xx
e. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục
tung.
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 13 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Giải:
a. TXĐ: D = R
( )
mxmxy 41122
2/
−+−−=
( )
(*)0411220
2/
=−+−−⇔= mxmxy
Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0m m m∆ = > ⇔ > ⇔ ≠
Vậy
0
≠
m
hàm số có cực đại và cực tiểu.
b. TXĐ: D = R
( )
mxmxy 41122
2/
−+−−=
( )
(*)0411220
2/
=−+−−⇔= mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
⇔
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0m m m⇔ ∆ = > ⇔ > ⇔ ≠
* Với
0
≠
m
hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
( )
−=
−=+
mxx
mxx
41.
122
21
21
Theo đề ta có
4
21
=− xx
( )
164162
21
2
2121
2
2
2
1
=−+⇔=−+⇔ xxxxxxxx
( )
[ ]
( )
1641.4122
2
=−−−⇔ mm
2
1 ( )
16 16
1 ( )
m n
m
m n
=
⇔ = ⇔
= −
Vậy m = 1; m = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
c. TXĐ: D = R
( )
mxmxy 41122
2/
−+−−=
( )
(*)0411220
2/
=−+−−⇔= mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
⇔
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0m m m∆ = > ⇔ > ⇔ ≠
* Với
0
≠
m
hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
( )
−=
−=+
)2(41.
)1(122
21
21
mxx
mxx
Theo đề ta có
43
21
=+ xx
(3)
Từ (3)
12
34 xx −=⇒
thay vào (1) và (2) ta được
( )
( )
−=−
−=−
mxx
mx
4134
12224
11
1
−=−
−=
⇔
)4(4134
)3(23
2
11
1
mxx
mx
Thay
mx 23
1
−=
vào (4) ta được
( ) ( )
mmm 41233234
2
−=−−−
=
=
⇔=−+−
)(2
)(
3
2
0163212
2
nm
nm
mm
Vậy
2;
3
2
== mm
thỏa TĐKBT.
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 14 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
d. TXĐ: D = R
( )
mxmxy 41122
2/
−+−−=
( )
(*)0411220
2/
=−+−−⇔= mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
⇔
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0m m m∆ = > ⇔ > ⇔ ≠
* Với
0
≠
m
hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
( )
−=
−=+
mxx
mxx
41.
122
21
21
Theo đề ta có
2
2
2
2
1
≤+ xx
( ) ( )
[ ]
( )
241212222
2
21
2
21
≤−−−⇔≤−+⇔ mmxxxx
2
1
00816
2
≤≤⇔≤−⇔ mmm
Vậy
2
1
0 ≤≤ m
thỏa TĐKBT.
e. TXĐ: D = R
( )
mxmxy 41122
2/
−+−−=
( )
(*)0411220
2/
=−+−−⇔= mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị
⇔
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0m m m∆ = > ⇔ > ⇔ ≠
* Với
0
≠
m
hàm số có hai điểm cực trị . Gọi x
1
, x
2
là hai điểm cực trị của hàm
số.
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
( )
−=
−=+
mxx
mxx
41.
122
21
21
Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung
4
1
0410.
21
<⇔>−⇔>⇔ mmxx
Kết hợp với điều kiện
0≠m
ta được
4
1
;0 <≠ mm
Vậy
4
1
;0 <≠ mm
thỏa TĐKBT.
Ví dụ 2. Cho hàm số
22
24
+−= mxxy
a. Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị.
b. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông
cân.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều.
d. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có
diện tích bằng 1.
Giải:
a. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
−=
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 15 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
( )
=
=
⇔=−⇔
=−⇔=
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
Hàm số có ba điểm cực trị
⇔
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
>⇔
≠
>
⇔
≠
>
⇔ m
m
m
m
m
Vậy m > 0 thỏa mãn TĐKBT.
b. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
−=
( )
=
=
⇔=−⇔
=−⇔=
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
* Hàm số có ba điểm cực trị
⇔
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
>⇔
≠
>
⇔
≠
>
⇔ m
m
m
m
m
* Với
0>m
, ta có
mx ±=⇔)2(
nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị
A( 0; 2), B
)2;(
2
mm −−
, C
)2;(
2
mm −
.
Ta có
ACABmmACmmAB =⇒+=+=
44
;
nên tam giác ABC cân tại A.
Do đó tam giác ABC vuông cân
ABC∆⇔
vuông tại A
0. =⇔ ACAB
(**)
Có
( ) ( )
22
;;; mmACmmAB −=−−=
Vậy (**)
=
=
⇔=+−⇔=−−+−⇔
)(1
)(0
00)).((m.
422
nm
lm
mmmmm
Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.
c. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
−=
( )
=
=
⇔=−⇔
=−⇔=
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
* Hàm số có ba điểm cực trị
⇔
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
>⇔
≠
>
⇔
≠
>
⇔ m
m
m
m
m
* Với
0>m
, ta có (2)
mx ±=⇔)2(
nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị
A( 0; 2), B
)2;(
2
mm −−
, C
)2;(
2
mm −
.
Tam giác ABC đều
mmm
mmm
mmmm
BCAC
ACAB
BCACAB 4
4
4
4
44
=+⇔
=+
+=+
⇔
=
=
⇔==⇔
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 16 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
( )
=
=
⇔−⇔=−⇔
)(3
)(0
303
3
34
nm
lm
mmmm
Vậy
3
3=m
thỏa mãn ĐKBT.
d. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
−=
( )
=
=
⇔=−⇔
=−⇔=
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
* Hàm số có ba điểm cực trị
⇔
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
>⇔
≠
>
⇔
≠
>
⇔ m
m
m
m
m
* Với
0>m
, ta có (2)
mx ±=⇔)2(
nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị
A( 0; 2), B
)2;(
2
mm −−
, C
)2;(
2
mm −
.
.
mBC 4=
.
( )
( )
0;1.20;2 mmBC ==
⇒
vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là
( )
1;0=n
Nên BC có phương trình:
02
2
=−+ my
d( A; BC)=
22
mm =
Ta có,
1);(
2
1
== BCAdBCS
ABC
)(111.4.
2
1
52
nmmmm =⇔=⇔=⇔
Vậy m = 1 thỏa ĐKBT.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
- 1)x - 3m
2
- 1 (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
(1) cách đều gốc tọa độ O.
Giải:
TXĐ: D = R
y’ = –3x
2
+ 6x + 3(m
2
- 1),
y' = 0
⇔
x
2
- 2x - (m
2
- 1) = 0
⇔
x = 1 - m hoặc x = 1 +m
Do đó (1) có cực đại và cực tiểu
⇔
phương trình y
/
= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
1 - m
≠
1 + m
⇔
m
≠
0
Gọi A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
⇒
A(1 + m; 2(m
3
- 1)); B(1 - m; -2(m
3
+1))
x y x y m m m (vìm ) m
2 2
Ta coù : OA = OB
⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ≠ ⇔ = ±
2 2 2 2 3 2
1 1 2 2
1 1
4 16 0
4 2
Ví dụ 4. Cho hàm số
( )
1
241
22
−
−+−+−
=
x
mmxmx
y
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 17 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
a. Xác định m để hàm số có cực trị.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải:
a. TXĐ:
( )
2
22
/
1
332
−
+−+−
=
x
mmxx
y
=+−+−
≠
⇔=
)2(0332
)1(1
0
22
/
mmxx
x
y
Hàm số có cực trị
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
21
023
023
0331.21
0
2
2
22
/
<<⇔
≠+−
>−+−
⇔
≠+−+−
>∆
⇔ m
mm
mm
mm
b. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
(
] [
)
∞+∪∞−∈⇔≤−+−⇔
≤∆
>
⇔∈∀≥+−+−⇔
≠∀≥+−+−⇔≠∀≥⇔
;21;023
0
01
0332
1033210
2
/
22
22/
mmmRxmmxx
xmmxxxy
Ví dụ 5. Cho hàm số
mx
mxx
y
+
++
=
1
2
Chứng minh rằng với mọi m để hàm số có cực trị.
Giải:
TXĐ:
{ }
mRD −= \
( )
2
22
/
12
mx
mmxx
y
+
−++
=
=−++
−≠
⇔=
)2(012
)1(
0
22
/
mmxx
mx
y
Hàm số có cực trị
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
( )
Rm
mmmm
∈⇔
≠−
>
⇔
≠−+−+−
>∆
⇔
01
01
01).(2
0
2
2
/
Vậy với mọi m hàm số luôn có cực trị.
Ví dụ 6. Cho hàm số
4 2
2 1y x ( m )x m= − + +
. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có
ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc
trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
(ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Khối B NĂM 2011)
Giải:
y’ = 4x
3
– 4(m + 1)x
y’ = 0 ⇔
2
0 (1)
1 (2)
x
x m
=
= +
Hàm số có 3 cực trị ⇔ phương trình y
/
= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
phương (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 18 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
2
1 0
0 1
m
m
+ >
⇔
≠ +
⇔ m > -1
Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0; m), B (
1m +
; -m
2
– m – 1),
C (-
1m +
; -m
2
– m – 1)
Ta có: OA = BC ⇔ m
2
= 4(m + 1) ⇔ m = 2 ±
2 2
(thỏa m > -1)
Ví dụ 7. Cho hàm số
3 2
1
2 5 4 3 1
3
y x ( m )x ( m )x m= + − + + + +
. Tìm m để hàm số đạt
cực trị tại x
1
, x
2
sao cho x
1
< 2 < x
2
.
Giải:
* TXĐ: D = R.
*
2
2 2 5 4
/
x ( m )x my = + − + +
2
0 2 2 5 4 0
/
x ( m )x m (*)y = ⇔ + − + + =
* Hàm số có hai cực trị
⇔
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔
2 2
2 5 4 9 0 0
/
( m ) ( m ) m m m∆ = − − + = − > ⇔ <
hoặc
9m >
(1)
* Khi
0m <
hoặc
9m >
, hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
sao cho x
1
< 2 < x
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( 2)( 2) 0 2 2 4 0 2( ) 4 0x x x x x x x x x x⇔ − − < ⇔ − − + < ⇔ − + + <
5 4 2.( 2)( 2) 4 0 9 0 0m m m m⇔ + − − − + < ⇔ < ⇔ <
(2)
Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0.
Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài toán.
BÀI TẬP TỰ LÀM
1. Cho hàm số
mxxmxy −++−= 9)1(3
23
. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực
trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
≤− xx
.
2. Cho hàm số
4 2
( 1) ( 2) 3y m x m x m= − − + −
. Xác định m để hàm số có ba điểm cực
trị.
3. Cho hàm số
3 2
3y x x m= + +
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai
điểm cực trị A, B sao cho
·
0
120AOB =
.
4. Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +
. Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có
ba điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 120
0
.
5. Cho hàm số
4 2 2
2( 1) 1y x m m x m= + − + + −
. Xác định m để đồ thị của hàm số đã
cho có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
3. Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm
số:
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 19 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
A. Kiến thức cơ bản:
a/ Cho hàm số
dcxbxaxy +++=
23
.
Thực hiện phép chia đa thức cho y cho y
/
ta được:
( )
DCxBAxyy +++= .
/
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó,
y
1
= Cx + D và y
2
= Cx + D
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Cx + D.
b/ Cho hàm số
edx
cbxax
y
+
++
=
2
.
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khi đó,
d
bx
y
+
=
1
1
2
và
d
bx
y
+
=
2
2
2
.
Suy ra, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
d
bx
y
+
=
2
c/ Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khi đó,
* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hoành
0.
21
>⇔ yy
* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hoành
0.
21
<⇔ yy
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số
37
23
+++= xmxxy
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu đó.
Giải:
TXĐ: D = R
723
2/
++= mxxy
(*)07230
2/
=++⇔= mxxy
*Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
>
−<
⇔>−=∆⇔
21
21
021
2/
m
m
m
*Với
>
−<
21
21
m
m
hàm số có hai điểm cực trị
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Thực hiện phép chia đa thức y cho y
/
ta được:
mx
m
mxyy
9
7
3
9
2
3
14
9
1
3
1
.
2
/
−+
−+
+=
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có:
mx
m
y
9
7
3
9
2
3
14
1
2
1
−+
−=
mx
m
y
9
7
3
9
2
3
14
2
2
2
−+
−=
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 20 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là
mx
m
y
9
7
3
9
2
3
14
2
−+
−=
Ví dụ 2. Cho hàm số
( )
6236
23
−−++−= mxmxxy
.
a. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so
với trục hoành.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so
với trục tung.
Giải:
a. Ta có
63123
2/
++−= mxxy
* Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
phương trình
0
/
=y
có hai nghiệm phân biệt
2018936
/
<⇔>−−=∆ mm
* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Chia
/
ychoy
ta được
( ) ( )( )
1222
3
1
/
+−+−= xmxyy
Ta có
( )( )
122
11
+−= xmy
;
( )( )
122
22
+−= xmy
Suy ra
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
124212122.
2121
2
21
2
21
+++−=++−= xxxxmxxmyy
Do x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
0
/
=y
nên
+=
=+
2
4
21
21
mxx
xx
Do đó
( ) ( )
1742.
2
21
+−= mmyy
Vậy
21
yvày
cùng dấu
( ) ( )
≠
−>
⇔>+−⇔>⇔
2
17
017420.
2
21
m
m
m
mmyy
Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được
2
4
17
<<− m
b. Ta có
63123
2/
++−= mxxy
* Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
phương trình
0
/
=y
có hai nghiệm phân biệt
2018936
/
<⇔>−−=∆ mm
* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Chia
/
ychoy
ta được
( ) ( )( )
1222
3
1
/
+−+−= xmxyy
Ta có
( )( )
122
11
+−= xmy
;
( )( )
122
22
+−= xmy
Suy ra
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
124212122.
2121
2
21
2
21
+++−=++−= xxxxmxxmyy
Do x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
0
/
=y
nên
+=
=+
2
4
21
21
mxx
xx
Do đó
( ) ( )
1742.
2
21
+−= mmyy
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 21 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành
2
17
2
17
2
0.
21
−<⇔
−<
≠
⇔< m
m
m
yy
Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được
2
17
−<m
Vậy
2
17
−<m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 3. Cho hàm số
mxxy +−=
23
3
. Xác định m để
a. Đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm (2; -1)
b. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một
tam giác vuông tại O. Tính diện tích tam giác đó.
c. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Giải:
a. TXĐ: D = R
=
=
⇔=
−=
2
0
0
63
/
2/
x
x
y
xxy
Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Thực hiện phép chia đa thức
/
ychoy
ta được
xmxyy 2
3
1
3
1
/
−+
−=
Ta có
2211
2;2 xmyxmy −=−=
Suy ra đường thẳng nối hai điểm cực trị là d:
xmy 2−=
Đường thẳng d đi qua điểm (2; -1)
32.21
=⇔−=−⇔
mm
Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.
b. TXĐ: D = R
=
=
⇔=
−=
2
0
0
63
/
2/
x
x
y
xxy
Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
( ) ( )
4;2,;0 −== mOBmOA
Tam giác OAB vuông tại O
( )
=
≡=
⇔=−⇔=⇔
4
)()(0
040.
m
OADolm
mmOBOA
Vậy m =4 thỏa điều kiện bài toán.
* Với m = 4
)0;2()4;0( BvàA⇒
42.4.
2
1
.
2
1
===⇒ OBOAS
OAB
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 22 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
c. TXĐ: D = R
=
=
⇔=
−=
2
0
0
63
/
2/
x
x
y
xxy
Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
0)4(0. <−⇔< mmyy
BA
40
<<⇔
m
Vậy
40
<<
m
thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Cho hàm số
323
43 mmxxy +−=
.
a. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau
qua đường thẳng y = x.
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu .
c. Xác định m để độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị bằng
52
.
Giải:
a. TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
−=
=
=
⇔=−⇔=
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
⇔
phương trình
0
/
=y
có hai nghiệm phân biệt
002
≠⇔≠⇔
mm
* Với
0≠m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là
)0;2(,)4;0(
3
mBmA
.
Hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x
=
−=
⇔≠=⇔≠=⇔
2
1
2
1
0240
3
m
m
mmxy
BA
Vậy
2
1
=m
;
2
1
−=m
thỏa điều kiện bài toán.
b. Cách 1.
TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
−=
=
=
⇔=−⇔=
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
⇔
phương trình
0
/
=y
có hai nghiệm phân biệt
002
≠⇔≠⇔
mm
*Với
0≠m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là
)0;2(,)4;0(
3
mBmA
.
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 23 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
Vectơ chỉ phương của AB là
3
(2 ; 4 )AB m m= −
uuur
Suy ra vectơ pháp tuyến của AB là:
3
(4 ;2 )n m m=
r
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là:
3 3 2 3
4 ( 0) 2 ( 4 ) 0 2 4m x m y m y m x m− + − = ⇔ = − +
Cách 2. TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
−=
=
=
⇔=−⇔=
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
⇔
phương trình
0
/
=y
có hai nghiệm phân biệt
002
≠⇔≠⇔
mm
*Với
0
≠
m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu.
Thức hiện phép chia đa thức y cho y
/
ta được:
/ 2 3
1
2 4
3 3
m
y y x m x m
= − − +
÷
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
2 3
2 4y m x m= − +
c. TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
−=
=
=
⇔=−⇔=
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
⇔
phương trình
0
/
=y
có hai nghiệm phân biệt
002
≠⇔≠⇔
mm
*Với
0
≠
m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là
)0;2(,)4;0(
3
mBmA
.
Ta có
2 6
4 16 2 5AB m m= + =
6 2 2
4 5 0 1 1( )m m m m n⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ±
Ví dụ 5. Cho hàm số
1
2
2
−
+−
=
x
mxx
y
.
a. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b. Xác định m để hai cực trị cùng dấu.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục
Ox.
d. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục
Oy.
Giải:
a. TXĐ:
{ }
1\RD =
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 24 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
( )
2
2
/
1
22
−
−+−
=
x
mxx
y
( )
=−+−
≠
⇔=
−
−+−
⇔=
)2(022
)1(1
0
1
22
0
2
2
2
/
mxx
x
x
mxx
y
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
khác 1
3
3
3
021.21
03
2
/
<⇔
≠
<
⇔
≠−+−
>−=∆
⇔ m
m
m
m
m
* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có
1
2
;
1
2
2
2
1
1
mx
y
mx
y
−
=
−
=
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m
Vậy m < 3 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m
b. TXĐ:
{ }
1\RD =
( )
2
2
/
1
22
−
−+−
=
x
mxx
y
( )
=−+−
≠
⇔=
−
−+−
⇔=
)2(022
)1(1
0
1
22
0
2
2
2
/
mxx
x
x
mxx
y
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
khác 1
3
3
3
021.21
03
2
/
<⇔
≠
<
⇔
≠−+−
>−=∆
⇔ m
m
m
m
m
* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có
1
2
;
1
2
2
2
1
1
mx
y
mx
y
−
=
−
=
Nên
( )( ) ( )
2
21212121
2422. mxxmxxmxmxyy ++−=−−=
Do x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
0
/
=y
nên
−=
=+
2
2
21
21
mxx
xx
Do đó
( )
82.224.
22
21
−=+−−= mmmmyy
Vậy,
21
yvày
cùng dấu
0.
21
>yy
( ) ( )
∞+∪−∞−∈⇔>−⇔ ;2222;08
2
mm
c. TXĐ:
{ }
1\RD =
( )
2
2
/
1
22
−
−+−
=
x
mxx
y
( )
=−+−
≠
⇔=
−
−+−
⇔=
)2(022
)1(1
0
1
22
0
2
2
2
/
mxx
x
x
mxx
y
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
khác 1
3
3
3
021.21
03
2
/
<⇔
≠
<
⇔
≠−+−
>−=∆
⇔ m
m
m
m
m
* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 25 WWW.ToanCapBa.Net
