KỸ THUẬT GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN doc

www.VNMATH.com
Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=

∫
xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan

cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫

α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫

sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx

bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
Cudu +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫

uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos

1
2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b
.
Bước 3.
b
/

a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =Þ
2
x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ
2
2
1
1
dt

I ln t ln 2
t
= = =Þ
ò
.
Vậy
I ln 2=
.
www.VNMATH.com
1
www.VNMATH.com
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
p
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x

p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tan x 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2

=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt

t tan u= L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính

/
( )dx u t dt=
.
Bước 2. Đổi cận:
, x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
.
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ò

.
Giải
Đặt
x sin t, t ; dx cos t dt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= = = =Þ Þ
www.VNMATH.com
2
www.VNMATH.com
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
p p
= =Þ
-
ò ò
6

6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ò
.
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x 2 sin t=
ĐS:
I = p
.

Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x t an t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= - = +Î Þ
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t
4
p

= = = =Þ Þ
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 t an t
p p
+ p
= = =Þ
+
ò ò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=

+ +
ò
.
Hướng dẫn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 t an t+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x

=
-
ò
.
ĐS:
I
2
p
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
ĐS:
I
12
p
=
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
www.VNMATH.com
3
www.VNMATH.com
Đặt
t cos x=
ĐS:
2
I
15
=
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.

Hướng dẫn:
Đặt
t sin x=
ĐS:
8
I
15
=
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2

0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç

÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
p
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
=
.
ĐS:
I ln 2=

.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=
+
ò
.
Giải

Đặt
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
-p
p
= - = -Þ
- + + +p
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= - =p Þ
+ +
ò ò
( )
( )
2
2

0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p p
æ ö
p
÷

ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p p p
÷
ç
= = - = p
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

ò
.
www.VNMATH.com
4
www.VNMATH.com
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.

Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - = -Þ
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
= -Þ
p p
- + -
ò
2
2007

2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n
0 0

sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = Î
+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
p

=
+
ò
.
Giải
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ò ò
Đặt
t x dt dx
3
p
= + =Þ
⇒
1
I J ln 3

4
+ =
(2).
Từ (1) và (2)⇒
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x t an t dx (1 tan t)dt= = +Þ
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =Þ Þ

( )
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 t an t dt ln(1 tan t)dt
1 t an t
p p
+
= + = +Þ
+
ò ò
.
www.VNMATH.com
5
www.VNMATH.com
t
t u dt du
4
p
= - = -ị
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= = = =ị ị
0
4
0
4

I ln(1 t an t)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
= + = - + -ị
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 t an u 1 t an u
p p
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0
ln 2du ln 1 t an u du ln 2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.
Vy
I ln 2
8
p
=
.
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
4
x
4
cos x
I dx

2007 1
p
p
-
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
x t= -
S:
2
I
2
=
.
Tng quỏt:
Vi
a > 0
,
0>a
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on
[ ]
; - aa
thỡ
x
0

f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ũ ũ
.
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Ă
v tha
f( x) 2f(x) cos x- + =
.
Tớnh tớch phõn
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ũ
.
Gii
t
2
2
J f( x)dx
p

p
-
= -
ũ
,
x t dx dt= - = -ị
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - = = = -ị ị
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
= - = = + = - +ị ị
ũ ũ
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
p p
p
-
= = =
ũ ũ
.
www.VNMATH.com

6
www.VNMATH.com
Vy
2
I
3
=
.
3.3. Cỏc kt qu cn nh
i/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a
a
f(x)dx 0
-
=
ũ
.
ii/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-

=
ũ ũ
.
iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
2 2
n n
0 0
(n 1) !!
,
n !!
cos xdx sin xdx
(n 1) !!
. ,
n !! 2
p p
ỡ
-
ù
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
-
p
ù
ù
ù

ù
ợ
ũ ũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0 !! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;= = = = = =
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Vớ d 21.
2
11
0
10 !! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9 !! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512
p

p p p
= = =
ũ
.
II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s
u(x), v(x)
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
( ) ( )
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + = +ị
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv= + = +ị ị
ũ ũ ũ
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu= + = -ị ị
ũ ũ ũ ũ
.
Cụng thc:
b b
b
a
a a

udv uv vdu= -
ũ ũ
(1).
Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ũ ũ
(2).
2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
www.VNMATH.com
7
www.VNMATH.com
Bước 1. Đặt
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
v(x)
và vi phân
/
du u (x)dx=

không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
ò
phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx
ò ò ò
với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x)=
.
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx
ò
thì đặt
u ln x=
.
Cách 2.
Viết lại tích phân
b b
/
a a

f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=
ò ò
và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=

ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ
ò ò
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I x ln xdx=
ò
.
Giải
Đặt
2
dx
du
u ln x
x
dv xdx

x
v
2
ì
ï
=
ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4

+
= - =Þ
ò ò
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2
x
0
I e sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
x x
u sin x
du cos xdx
dv e dx v e
=
=
ì
ì
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï

î
î
2 2
x x x
2
2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
p p
p
p
= = - = -Þ
ò ò
.
Đặt
x
x
u cos x
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ

í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
www.VNMATH.com
8
www.VNMATH.com
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
p p
p
= = + = - +Þ
ò ò
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
p
p
+
= - - + =Þ Þ
.

Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t x=
2
0
I 2 t cos t dt 2
p
= = = -Þ p
ò
L L
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
ĐS:
(sin 1 cos1)e 1

I
2
- +
=
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
a

1
x

2
x

b
f(x)

+

0

-

0

+
Bước 2. Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
Vậy
59
I
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân

2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx
p
= - -
ò
.
www.VNMATH.com
9
www.VNMATH.com
ĐS:
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a

I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
( )
2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
( )
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
- - -
= - - = - -
ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò

0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x
– 0 +  +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò

( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-
= - + - + =
.
Vậy
I 0=
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
{ }
b
a
I max f(x), g(x) dx=
ò
và
{ }
b
a
J min f(x), g(x) dx=
ò
, ta thực hiện các
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)= -

trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0>
thì
{ }
max f(x), g(x) f(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
www.VNMATH.com

10
www.VNMATH.com
t
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +
.
Bng xột du
x 0 1 3 4
h(x) + 0 0 +
( )
( )
( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + - + + =
ũ ũ ũ
.
Vy
80
I
3
=
.
Vớ d 13. Tớnh tớch phõn

{ }
2
x
0
I min 3 , 4 x dx= -
ũ
.
Gii
t
( )
x x
h(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + -
.
Bng xột du
x 0 1 2
h(x) 0 +
( )
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
ổ ử
ữ

ỗ
= + - = + - = +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ ũ
.
Vy
2 5
I
ln 3 2
= +
.
IV. BT NG THC TCH PHN
Phng phỏp gii toỏn
1. Dng 1
chng minh
b
a
f(x)dx 0
ũ
(hoc
b
a
f(x)dx 0Ê
ũ
) ta chng minh
f(x) 0

(hoc
f(x) 0Ê
) vi
[ ]
x a; b" ẻ
.
Vớ d 14. Chng minh
1
3
6
0
1 x dx 0-
ũ
.
Gii
Vi
[ ]
1
3 3
6 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" - -ẻÊị ị
ũ
.
2. Dng 2
chng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx
ũ ũ

ta chng minh
f(x) g(x)
vi
[ ]
x a; b" ẻ
.
Vớ d 15. Chng minh
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
Ê
+ +
ũ ũ
.
Gii
Vi
11 10
x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
p
ộ ự
" ẻÊÊịÊÊ
ờ ỳ
ở ỷ
10 11
10 11
1 1

1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
+ + >ị ị Ê
+ +
.
www.VNMATH.com
11
www.VNMATH.com
Vậy
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
3. Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B£ £
ò
ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được
m f(x) M£ £
.
Bước 2. Lấy tích phân

b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - - =££
ò
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5+£ £
ò
.
Giải
Với
[ ]
2 2
x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5" + +Σ £Þ£ £
.
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5+£ £
ò
.
Ví dụ 17. Chứng minh
3
4
2
4

dx
4 2
3 2 sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.
Giải
Với
2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
p p
é ù
" Σ£Þ££
ê ú
ë û
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2
3 2 sin x
-Þ £ £ Þ £ £
-
( ) ( )

3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2 sin x
p
p
p p p p
- -Þ £ £
-
ò
.
Vậy
3
4
2
4
dx
4 2
3 2 sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.

Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò
.
Giải
Xét hàm số
cotx
f(x) , x ;
x 4 3
é ù
p p
ê ú
= Î
ê ú
ë û
ta có
2
/
2
x
cotx
sin x
f (x) 0 x ;

4 3
x
-
-
é ù
p p
ê ú
= < " Î
ê ú
ë û
( ) ( )
f f(x) f x ;
3 4 4 3
p p p p
é ù
"Þ £ £ Î
ê ú
ë û
www.VNMATH.com
12
www.VNMATH.com
3 cot x 4
x ;
x 4 3
ộ ự
p p
ờ ỳ
"ị Ê Ê ẻ
ờ ỳ
p p

ở ỷ
3
4
3 cot x 4
dx
3 4 x 3 4
p
p
ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ
ỗ ỗ
- -ị Ê Ê
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
p p
ũ
.
Vy
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
p
p

Ê Ê
ũ
.
4. Dng 4 (tham kho)
chng minh
b
a
A f(x)dx BÊ Ê
ũ
(m dng 3 khụng lm c) ta thc hin
Bc 1. Tỡm hm s g(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
ỡ
"Ê ẻ
ù
ù
ù
ù
ị Ê
ớ
ù
=
ù

ù
ù
ợ
ũ
ũ
.
Bc 2. Tỡm hm s h(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
ỡ
"Ê ẻ
ù
ù
ù
ù
ị Ê
ớ
ù
=
ù
ù
ù
ợ
ũ

ũ
.
Vớ d 19. Chng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
Ê Ê
-
ũ
.
Gii
Vi
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
ộ ự
" ẻÊÊÊ
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1

2
1 x 1 x
- -ị Ê Ê Ê ị Ê Ê
- -
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
ị Ê Ê
- -
ũ ũ ũ
.
t
x sin t dx cos tdt= =ị
2
x 0 t 0, x t
2 4
p
= = = =ị ị
2
2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 4
1 x
p

p
= =ị
-
ũ ũ
.
Vy
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
Ê Ê
-
ũ
.
Vớ d 20. Chng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
Ê Ê
+ -
ũ
.

Gii
www.VNMATH.com
13
www.VNMATH.com
Vi
[ ]
2
x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1" - + - -ẻ Ê Ê
2
x x x
3 1 2 1
x 2 1
ị Ê Ê
- -
+ -
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1
x 2 1
ị Ê Ê
- -
+ -
ũ ũ ũ
.
Vy
1
2
0

3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
Ê Ê
+ -
ũ
.
V. NG DNG CA TCH PHN
A. TNH DIN TCH HèNH PHNG
1. Din tớch hỡnh thang cong
Cho hm s
f(x)
liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi cỏc ng
y f(x), x a, x b= = =
v trc honh l
b
a
S f(x) dx=
ũ
.
Phng phỏp gii toỏn
Bc 1. Lp bng xột du hm s f(x) trờn on [a; b].
Bc 2. Da vo bng xột du tớnh tớch phõn
b
a
f(x) dx
ũ
.
Vớ d 1. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi

y ln x, x 1, x e= = =
v Ox.
Gii
Do
[ ]
ln x 0 x 1; e" ẻ
nờn
( )
e e
e
1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1= = = - =
ũ ũ
.
Vy
S 1=
(vdt).
Vớ d 2. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = =
v Ox.
Gii
Bng xột du
x 0 1 3
y 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1

S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ũ ũ
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + + + - + + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
8
S
3
=
(vdt).
2. Din tớch hỡnh phng
2.1. Trng hp 1.
Cho hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn on [a; b]. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x), x a, x b= = = =
l

b
a
S f(x) g(x) dx= -
ũ
.
Phng phỏp gii toỏn
www.VNMATH.com
14
www.VNMATH.com
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx-
ò
.
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x)= =
là
S f(x) g(x) dx
b
a
= -
ò
. Trong đó
, a b
là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

phương trình
f(x) g(x)=

( )
a b<£ a b £
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)=
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn
[ ]
; a b
.
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-
ò
.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
,
x 0, x 2= =
.
Giải

Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =Û Ú Ú
(loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + - + - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

.
Vậy
5
S
2
=
(đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =Û Ú Ú
.
Bảng xét dấu
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0
( ) ( )
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + -
ò ò
2 3
4 2 4 2
3 3
1 2

x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + - - - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
1
S
2
=
(đvdt).
Chú ý:
www.VNMATH.com
15
www.VNMATH.com
Nu trong on
[ ]
; a b
phng trỡnh
f(x) g(x)=
khụng cũn nghim no na thỡ ta cú th dựng cụng
thc

[ ]
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- = -
ũ ũ
.
Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
3
y x , y 4x= =
.
Gii
Ta cú
3
x 4x x 2 x 0 x 2= = - = =
( ) ( )
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
-
= - + -ị
ũ ũ
0 2
4 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4

-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
S 8=
(vdt).
Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4 x 3= - +
v trc honh.
Gii
Ta cú
2 2
x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = - + = =
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
= = =
ộ ộ ộ
ờ ờ ờ

ờ ờ ờ
= = =

ở ở ở
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-
= - + = - +ị
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + + - +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ

ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + + - + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.
Vy
16
S
3
=
(vdt).
Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3= - +
v
y x 3= +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2
x 4x 3 x 3- + = +
2
2
x 3 0

x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ộ ờ
- + = +

ớ
ờ ờ
=
ù
ù
ở
ờ
ù
- + = - -
ờ
ù
ợ ở
.
Bng xột du
x 0 1 3 5

2
x 4x 3- +
+ 0 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx= - + - + - + -ị
ũ ũ ũ
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + + - + - =
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Vy
109
S
6

=
(vdt).
www.VNMATH.com
16
www.VNMATH.com
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
ù
ù

ù
ộ
- = +
=
ớ ớ
ờ
=ù ù
ù ù
ợ
ờ
ù
- = - -
ờ
ù
ợ ở
( ) ( )
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
-
= - - + = - - +ị
ũ ũ
Bng xột du
x 0 1 3
2
x 1-
0 +
( ) ( )
1 3

2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx= - - - + - -ị
ũ ũ
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + - - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
73
S
3
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh (tuy nhiờn thi H thỡ khụng cú).
B. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY

1. Trng hp 1.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
y f(x) 0 x a; b= " ẻ
,
y 0=
,
x a=
v
x b (a b)= <
quay quanh trc Ox l
b
2
a
V f (x)dx= p
ũ
.
Vớ d 9. Tớnh th tớch hỡnh cu do hỡnh trũn
2 2 2
(C) : x y R+ =
quay quanh Ox.
Gii
Honh giao im ca (C) v Ox l
2 2
x R x R= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x+ = = -
( ) ( )

R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
-
= - = -ị p p
ũ ũ
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
ổ ử
p
ữ
ỗ
= - =p
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
3
4 R
V
3

p
=
(vtt).
2. Trng hp 2.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
x g(y) 0 y c;d= " ẻ
,
x 0=
,
y c=
v
y d (c d)= <
quay quanh trc Oy l
d
2
c
V g (y)dy= p
ũ
.
www.VNMATH.com
17
www.VNMATH.com
Vớ d 10. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
+ =

quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im ca (E) v Oy l
2
2
y
1 y b
b
= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
+ = = -
b b
2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ

= - = -ị p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ũ ũ
R
2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
3
3b
ổ ử
p
ữ
ỗ
= - =p
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
2
4 a b

V
3
p
=
(vtt).
3. Trng hp 3.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x)= =
,
x a=
v
[ ]
x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b )= < " ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= -p
ũ
.
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
y x=
,
2
y x=
quay quanh
Ox.
Gii
Honh giao im

4
x 0
x 0
x 1
x x

=
ỡ
ộ
ù
ù
ờ

ớ
ờ
=ù
=
ù
ở
ợ
.
( )
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx= - = -ị p p
ũ ũ
( )
1
5 2

0
1 1 3
x x
5 2 10
p
= - =p
.
Vy
3
V
10
p
=
(vtt).
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x f(y), x g(y)= =
,
y c=
v
[ ]
y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d )= < " ẻ
quay quanh trc Oy l
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= -p
ũ
.
Vớ d 12. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng

2
x y 5= - +
,
x 3 y= -

quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im
2
y 1
y 5 3 y
y 2
= -
ộ
ờ
- + = -
ờ
=
ở
.
( )
( )
2
2
2
2
1
V y 5 3 y dy
-
= - + - -ị p

ũ
www.VNMATH.com
18
www.VNMATH.com
( )
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
-
= - + +p
ò
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
-
æ ö
p
÷
ç
= - + + =p
÷
ç
÷
ç
÷

è ø
.
Vậy
153
V
5
p
=
(đvtt).
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1. Tính I=
( )
1
10
0
1−
∫
x dx
Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
1 2 10
10 10 10
1 1 1
1
2 3 11
= − + − +
S C C C
2. Tính:
( )
1
19

0
1I x x dx= −
∫
. Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 20 21
S C C C C C= + − + −−
.
3. Chứng minh rằng:
1
1 2
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=
sin cos
sin cos

x x
x x
+
−
, biết rằng
ln2
4
F
π
 
 ÷
 
− =
2. Tính các tích phân sau:
A=
2
1
2 5-7
e
x x
dx
x
+
∫
B=
2
2
-2
-1x dx
∫

C=
2
0
2 ln 2
x
dx
∫
3. Tính các tích phân sau:
A=
3
3 cos
0
sin
x
e xdx
π
∫
B=
4
1
ln
e
x
dx
x
∫
C
*
=
2 3

2
5
4
dx
x x
+
∫
D
*
=
2
1
1 -1
x
dx
x
+
∫
4. Tính các tích phân sau:
I=
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
J=
4
2

6
sin cot
dx
x x
π
π
∫
K=
10
1
lg xdx
∫
L=
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
M=
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
xdx
x x

π
+
∫
N=
2
2
1
- 9
dx
x
∫
C=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
x
dx
x
π
+
∫
5. Tính các tích phân sau:
A=
1
2
0
4 -
dx

x
∫
B=
3
2
3
3
dx
x
+
∫
C=
4
2
0
16-
dx
x
∫
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e
dx
e
+

∫
E=
3
2
2
2
1
dx
x −
∫
6. Tính các tích phân sau:
www.VNMATH.com
19
www.VNMATH.com
A=
2
1
ln
e
x
dx
x
∫
B
*
=
2
0
sin
1 cos

x x
dx
x
π
+
∫
C
*
=
2
2
1
ln x
dx
x
∫
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
E=
2
4
3
1

3 2x x
dx
x
−
∫
1
2
*
4
1
1
1
x
F dx
x
−
−
=
+
∫
7. Tính:
A=
4
2
0
cos xdx
π
∫
B=
2

3
0
cos xdx
π
∫
C=
1
0
x
xe dx
∫
D=
4
1
x
e
dx
x
∫
E=
2
1
lnx xdx
∫
F=
1
ln 1
e
x
dx

x
+
∫
G=
2
2
0
1 2x x dx+
∫
H=
4
0
1 2x xdx+
∫
I=
2
1
1
x
dx
x +
∫
J=
1
2
0
1
x
dx
x+

∫
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 ln x
x
+
b. y=2
x
; y=3−x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=
3
π
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x
3
−2x
2
+4x−3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
2
=x
3
và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
A) Trục Ox.
B) Trục Oy.

−Hết−
www.VNMATH.com
20