Chương 4: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến pdf

Chương 4
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM
NHIỀU BIẾN
4.1 Khái niệm mở đầu
4.1.1 Không gian R
n
a. Không gian R
n
Tập R
n
= R.R R
n
= {(x
1
, x
2
, , x
n
), x
i
∈ R, i = 1, 2, , n}.
Cho x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1

, y
2
, y
n
) ∈ R
n
, k ∈ R ta có
x + y = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
kx = (kx
1
, kx
2
, , kx
n
) ∈ R

Khi đó R
n
cùng hai phép toán trên lập thành không gian vector.
b. Khoảng cách, chuẩn trong R
n
Giả sử M (x
1
, x
2
, , x
n
) , N (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
. Khoảng cách giữa hai điểm M và N, kí hiệu
d(M, N ), được định nghĩa bằng
d(M, N ) =
n
i=1
(x
i
− y
i
)
1

2
Chú ý: ∀A, B, C ∈ R thì d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) (bất đẳng thức tam giác).
Ta gọi chuẩn của x = (x
1
, x
2
, x
n
) ∈ R
n
là số
||x|| = x
2
1
+ x
2
2
+ + x
2
n
.
Nếu n = 1 thì ||x|| = |x|.
c. Lân cận, điểm tụ
M
0
∈ R. Ta gọi −lân cận của M
0
là tập hợp tất cả những điểm M ∈ R sao cho d(M
0
, M) < .

Ta cũng gọi mọi tập hợp chứa một  -lân cận của M
0
là lân cận của điểm M
0
. Kí hiệu B

(a).
Cho X ⊂ R
n
. Điểm a ∈ R
n
gọi là điểm tụ của tập X nếu mọi  > 0, B

(a) đều chứa những điểm
thuộc X khác a. (∀ > 0, ∃x ∈ X : 0 < ||x − a|| < .)
4.1.2 Định nghĩa hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 4.1. Cho tập X ⊂ R
n
. Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ X
với một số thực u = f(x
1
, x
2
, x

n
) ∈ R
n
gọi là một hàm n biến số có miền xác định là tập X.
Kí hiệu u = f(x), x ∈ X hoặc x → f(x), x ∈ X.
39
Ví dụ 4.1. f(x, y) = ln(1 − x
2
− y
2
) là hàm hai biến có miền xác định là hình tròn mở (không kể
biên) tâm O, bán kính 1.
Ví dụ 4.2. f (x, y, z) =
xyz
x
2
+ y
2
+ z
2
là hàm ba biến có miền xác định là R
3
\{0, 0, 0}
4.1.3 Giới hạn của hàm số nhiều biến số
1. Định nghĩa.
Định nghĩa 4.2. Cho hàm u = f(x) xác định trên tập X ⊂ R
n
, a là một điểm tụ của X. Khi đó
ta nói hàm f(x) có giới hạn là A khi x dần đến a nếu mọi dãy {a
k

} ⊂ {a} mà lim
x→∞
a
k
= a ta đều có
lim
x→∞
{a
k
} = A.
Kí hiệu lim
x→a
f(x) = A hay f(x) → A, x → a.
Chú ý rằng, x = (x
1
, x
2
, x
n
) → a = (a
1
, a
2
, a
n
) khi x
i
→ a
i
(i = 1, , n).

2. Tính chất
i) Giới hạn của hàm số nhiều biến là duy nhất.
ii) Nếu có lim
x→a
f (x) = A, lim
x→a
g (x) = B thì
lim
x→a
(f (x) ± g (x)) = A ± B;
lim
x→a
f (x) g (x) = AB;
lim
x→a
f (x)
g (x)
=
A
B
(B = 0) .
3. Ví dụ
Ví dụ 4.3. Tính lim
x→0
y→1
2x − 3
x
2
+ y
2

HD. Hàm f (x) =
2x − 3
x
2
+ y
2
có miền xác định R
2
\{0, 0}.
Xét dãy tuỳ ý {(x
n
, y
n
)} ⊂ R
2
\{(0, 0) ; (0, 1)}, x
n
→ 0, y
n
→ 1 ta có:
2x
n
− 3
x
2
n
+ y
2
n
→

2.0 − 3
0
2
+ 1
2
= −3
Vậy,
l
imf (x)
x→0
y→1
= −3
Ví dụ 4.4. Tính lim
x→0
y→0
x
y −x
HD. Chọn dãy x
n
=
1
n
, y
n
=
2
n
thì (x
n
, y

n
) → (0, 0) và
x
n
y
n
− x
n
= 1 → 1. Mặt khác nếu ta
chọn dãy x

n
=
1
n
, y

n
=
3
n
thì và
x
n
y
n
− x
n
=
1

2
→
1
2
. Như vậy giới hạn trên là không tồn tại.
4. Giới hạn lặp
Cho hàm hai biến f (x, y) xác định trên tập X, (x
0
, y
0
) là điểm tụ của tập X, với y = y
0
đặt :
g(y) = lim
x→x
0
f (x, y) .
Nếu tồn tại lim
y→y
0
g (y) = A thì ta gọi A là giới hạn lặp của hàm f (x, y) khi x → x
0
, y → y
0
và
kí hiệu là : lim
y→y
0
lim
x→x

0
f (x, y) .
Tương tự ta có giới hạn lặp : lim
x→x
0
lim
y→y
0
f (x, y) .
40
Ví dụ 4.5. a.
lim
y→0
lim
x→0
x
y −x
= lim
y→0
0 = 0
lim
x→0
lim
y→0
x
y −x
= lim
x→0
x
−x

= −1
* Giới hạn lim
x→0
y→0
x
y −x
là không tồn tại.
b. Tồn tại giới kép lim
x→0
y→0
x sin
1
y
= 0 x sin
1
y
≤ |x| → 0 . Nhưng không tồn tại giới hạn lặp vì
không tồn tại lim
y→y
0
sin
1
y
.
4.1.4 Tính liên tục và liên tục đều của hàm số nhiều biến
Định nghĩa 4.3. Cho hàm u = f (x) xác định trên tập X ⊂ R
n
. Hàm f(x) gọi là liên tục tại điểm
x
0

∈ X nếu lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
).
Nếu f(x) liên tục tại mọi x ∈ X ta nói f (x) liên tục trên tập X.
Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên tập X nếu :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ X : x − y < δ ⇒ f(x) −f(y) < ε
Nhận xét: Nếu f(x) liên tục đều trên X thì liên tục trên X. Ngược lại nói chung không đúng.
Định nghĩa 4.4. Tập K ⊂ R
n
được gọi là tập compăc nếu mọi dãy a
k
= x
k
1
, x
k
2
, , x
k
n
⊂ K đều
có dãy con hội tụ tới a ∈ K.
i) Nếu hàm f (x) liên tục trên tập compăc K nằm trong R
n
thì đạt cận trên đúng và cận dưới
đúng trên K, tức là tồn tại a, b ∈ K sao cho f (a) ≤ f(x) ≤ f (b), ∀x ∈ K
ii) Nếu hàm f(x) liên tục trên tập compăc K ⊂ R

n
thì f(x) liên tục đều trên K.
4.2 Đạo hàm riêng
4.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 4.5. Giả sử hàm số z = f(x, y) xác định trên một -lân cận của điểm (x
0
, y
0
). Cho x
số gia ∆x . Khi đó ta có số gia hàm số tại (x
0
, y
0
) là : ∆
x
f = f (x
0
+ ∆x, y
0
) − f (x
0
, y
0
)
Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn lim
∆x→0
∆
x
f
∆x

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z = f (x, y)
theo biến x tại điểm (x
0
, y
0
) và ký hiệu là
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) hoặc f

x
(x
0
, y
0
) .
Nhận xét : Đạo hàm riêng theo biến x là đạo hàm của hàm z = f (x, y) theo biến x nếu coi y là
hằng số.
Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y. Kí hiệu là z = f(x, y) hoặc f

y
(x
0
, y
0
)

Cho hàm n biến u = f (x
1
, x
2
, , x
n
) thì đạo hàm riêng theo biến x
i
là đạo hàm của hàm theo x
i
(như hàm một biến) nếu coi tất cả các biến khác là hằng số. Kí hiệu
∂f
∂x
i
hoặc f

x
i
.
Ví dụ 4.6. a. Cho f (x, y) = x
3
− 2xy
2
+ y ta có
∂f
∂x
(x, y) = 3x
2
− 2y
2

,
∂f
∂y
(x, y) = −4xy + 1
∂f
∂x
(1, 0) = 3,
∂f
∂y
(1, 0) = 1
41
b) f (x, y) = |x| ta có f (0, y) = 0 ⇒
∂f
∂y
(0, 0) = 0 nhưng f (x, 0) = |x| là hàm một biến không
có đạo hàm tại x = 0 nên không tồn tại
∂f
∂x
(0, 0)
4.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao, định lý Schawartz
a. Định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao
Xét hàm hai biến z = f(x, y) ta có:
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
2
f

∂x
2
= f

xx
= f

x
2
∂
∂y
∂f
∂x
=
∂
2
f
∂x∂y
= f

xy
∂
∂x
∂f
∂y
=
∂
2
f
∂y∂x

= f

yx
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
2
f
∂y
2
= f

yy
= f

y
2
Ví dụ 4.7. Cho hàm f (x, y) = x
3
y + e
y
sin x
Ta có
∂f
∂x
= 3x
2

y + e
y
cos x;
∂f
∂y
= x
3
+ e
y
sin x
∂
2
f
∂x
2
= f

x
2
= 6xy −e
y
sin x
∂
2
f
∂x∂y
= f

xy
= 3x

2
+ e
y
cos x
∂
2
f
∂y∂x
= f

yx
= 3x
2
+ e
y
cos x
∂
2
f
∂y
2
= f

y
2
= e
y
sin x
b. Định lý Schawartz
Nếu các đạo hàm hỗn hợp f


xy
, f

yx
xác định và liên tục trong một  -lân cận của điểm x
0
, y
0
thì
: f

xy
(x
0
, y
0
) = f

yx
(x
0
, y
0
)
4.3 Vi phân của hàm hai biến số
4.3.1 Định nghĩa
Cho hàm số hai biến z = f (x, y) xác định trong một lân cận của điểm (x
0
, y

0
). Cho x số gia
∆x , y số gia ∆y . Khi đó ta gọi số gia toàn phần của hàm f (x, y) tại (x
0
, y
0
) là : ∆f (x
0
, y
0
) =
f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f (x
0
, y
0
)
Hàm f (x, y) được gọi là khả vi tại (x
0
, y
0
) nếu số gia toàn phần ∆f tại (x
0
, y
0
) có thể viết dưới
dạng :

∆f (x
0
, y
0
) = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y
trong đó A, B là các hằng số, α → 0 & β → 0 khi ∆x → 0 &∆y → 0 . Kí hiệu là df (x
0
, y
0
) =
A∆x + B∆y và gọi là vi phân của hàm f (x, y) tại điểm (x
0
, y
0
) .
42
4.3.2 Điều kiện khả vi
Định lý 4.1. Nếu hàm f(x, y) khả vi tại (x
0
, y
0
) thì nó liên tục tại (x
0
, y
0
) .
Định lý 4.2. Nếu hàm f (x, y) khả vi tại (x
0
, y
0

) thì nó có các đạo hàm riêng tại (x
0
, y
0
) , hơn nữa
f

x
(x
0
, y
0
) = A; f

y
(x
0
, y
0
) = B.
Định lý 4.3. Nếu hàm f(x, y) xác định trong một − lân cận của điểm (x
0
, y
0
), có các đạo hàm
riêng f

x
, f


y
liên tục tại điểm (x
0
, y
0
) thì hàm f(x, y) khả vi tại (x
0
, y
0
).
4.3.3 Đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm ẩn
a. Đạo hàm hàm hợp
Cho hàm z = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một miền mở D, x = x (t) , y =
y (t) , t ∈ (a, b) là các hàm khả vi sao cho (x (t) , y (t)) ∈ D. Ta có
dz
dt
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
.
Nếu hàm z = f (x, y) = f (x (u, v) , y (y, v)) thì khi lấy đạo hàm theo u ta coi v như là hằng số và
ngược lại nên ta có :
∂z

∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
Trường hợp đặc biệt z = f (x, y) = f (x, y (x)) thì ta có
dz
dx
=
∂f
∂x
+

∂f
∂y
dy
dx
.
b. Đạo hàm của hàm ẩn
Cho phương trình F (x, y) = 0 trong đó F (x, y) xác định trong một miền mở D ⊂ R
2
.
Nếu tồn tại khoảng (a, b) để mọi x ∈ (a, b), tồn tại y = y(x) sao cho F (x, y(x)) thì ta nói
F (x, y) = 0 xác định một hàm ẩn y theo x.
Định lý 4.4. Cho hàm F (x, y) thỏa mãn các điều kiện:
i) Xác định và liên tục trong lân cận B
ε
(x
0
, y
0
) ;
ii) F (x
0
, y
0
) = 0;
iii) F

x
, F

y

tồn tại và liên tục trong lân cận B
ε
(x
0
, y
0
) ;
iv) F

y
(x
0
, y
0
) = 0.
Khi đó phương trình F (x, y) = 0 xác định một hàm ẩn y = y(x), x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) sao cho
y (x
0
) = y
0
và F (x, y (x)) = 0 với mọi x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) .
Hàm y = y(x) có đạo hàm liên tục trên (x

0
− δ, x
0
+ δ) và có các công thức y

x
= −
F

x
F

y
F

y
= 0 .
Định lý 4.5. Cho hàm số F (x, y, z) thoả mãn các điều kiện
i) Xác định và liên tục trong lân cận B
ε
(x
0
, y
0
, z
0
) ;
ii) F (x
0
, y

0
, z
0
) = 0;
iii) F

x
, F

y
, F

z
tồn tại và liên tục trong B
ε
(x
0
, y
0
, z
0
) ;
iv) F

z
(x
0
, y
0
, z

0
) = 0.
Khi đó phương trình F (x, y, z) = 0 xác định một hàm ẩn Z = Z (x, y) , (x, y) ∈ B
δ
(x
0
, y
0
) sao
cho Z (x
0
, y
0
) = Z
0
và F (x, y, Z (x, y)) = 0, ∀(x, y) ∈ B
δ
(x
0
, y
0
) .
Hàm Z = Z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trên B
δ
(x
0
, y
0
) và
Z


x
= −
F

x
F

z
; Z

y
= −
F

y
F

z
(F

z
= 0)
43
4.4 Cực trị của hàm hai biến số
4.4.1 Công thức Taylor của hàm hai biến số
Cho hàm f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong -lân cận B
ε
(x
0

, y
0
) . Với các giá trị
h, k đủ bé |h| <
ε
√
2
, |y| <
ε
√
2
. đặt F (t) = f (x, y) = f (x
0
+ ht, y
0
+ kt) , t ∈ [0, 1]
Do hàm F(t) khả vi đến cấp n + 1 trên đoạn [0, 1] nên theo công thức Taylor của hàm một biến
ta có :
F (1) = F (0) +
F

(0)
1!
+
F

(0)
2!
+ +
F

(n)
(0)
n!
+
F
(n+1)
(0)
(n + 1)!
, θ ∈ (0, 1)
Ta có F

(t) = hf

x
(x, y) + kf

y
(x, y) với x = x
0
+ h, y = y
0
+ k.
Từ đó ta cũng có F

(t) = h
2
f

x
2

(x, y) + k
2
f

y
2
(x, y)
Hay có thể viết một cách hình thức F

(t) =
d
2
F
dt
2
=
∂
∂x
h +
∂
∂y
k
2
f (x, y)
Bằng qui nạp ta có
d
n
F
dt
n

=
∂
∂x
h +
∂
∂y
k
n
f (x, y) .
4.4.2 Cực trị của hàm hai biến số
a. Định nghĩa.
Định nghĩa 4.6. Cho hàm hai biến số z = f (x, y) xác định trong một lân cận điểm (x
0
, y
0
). Điểm
(x
0
, y
0
) được gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm z = f (x, y) nếu tồn tại  > 0 sao cho
f (x, y) ≤ f (x
0
, y
0
) f (x, y) ≥ f (x
0
, y
0
) với mọi (x, y) ∈ B

ε
(x
0
, y
0
) .
Nếu các bất đẳng thức trên là thực sự tại (x, y) ∈ B
ε
(x
0
, y
0
) , (x, y) = (x
0
, y
0
) thì ta nói các điểm
là cực đại (hay cực tiểu) thực sự.
Các điểm cực đại (cực tiểu) gọi chung là các điểm cực trị.
b. Điều kiện cần và đủ để hàm hai biến có cực trị
Định lý 4.6 (Điều kiện cần). Nếu hàm f(x, y) có cực trị tại điểm (x
0
, y
0
) mà tồn tại các đạo hàm
riêng f

x
, f


y
thì các đạo hàm đó bằng 0.
* Các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là các điểm dừng.
Định lý 4.7 (Điều kiện đủ). Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong một
lân cận của từng điểm dừng (x
0
, y
0
).
Đặt A = f

x
2
(x
0
, y
0
) , B = f

xy
(x
0
, y
0
) , C = f

y
2
(x
0

, y
0
) và ∆ = AC −B
2
Khi đó :
i) Nếu ∆ > 0 thì hàm đạt cực trị tại (x
0
, y
0
)., hơn nữa nếu A > 0 thì hàm đạt cực tiểu thực sự,
A < 0 thì hàm đạt cực đại thực sự tại (x
0
, y
0
).
ii) Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (x
0
, y
0
).
iii) Nếu ∆ = 0 thì hàm có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại (x
0
, y
0
).
Ví dụ 4.8. Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x
3
+ y
3
− 3xy

HD. Ta có f

x
(x, y) = 3x
2
− 3y, f

y
(x, y) = 3y
2
− 3x
Giải hệ
3x
2
− 3y = 0
3y
2
− 3x = 0
ta tìm được hai điểm dừng là (1, 1)và (0, 0).
44
Vì f

x
2
= 6x, f

xy
= −3, f

y

2
= 6y nên :
+ Tại điểm (1, 1) có A = 6, B = −3, C = 6. Vì ∆ = 27 > 0 và A > 0 nên (1, 1) là điểm cực tiểu
và f(1, 1) = −1
+ Tại (0, 0) có A = 0, B = −3, C = 0 suy ra ∆ = −9 < 0 nên điểm (0, 0) không phải là điểm cực
trị.
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
 4.1. Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau:
a) f(x, y) =
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
;
b) f(x, y) = ln(x +
√
x
2
+ y
2
);
c) f(x, y) = y
2
sin
x
y

;
d) f(x, y) = ln(x + ln y);
e) f(x, y) = e
xy
cos x sin y;
f)f(x, y) = x
y
3
(x > 0).
 4.2. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau:
a) z = e
u
2
−2v
2
, u = cos x, v =
√
x
2
+ y
2
;
b) z = ln(x
2
+ v
2
), u = xy, v =
x
y
;

c) z = x
2
ln y, x =
u
v
, v = 3u − 2v;
d) z = ue
v
+ ve
−u
, u = e
x
, v = yx
2
;
e) z = xe
x
y
, x = cos t, y = e
2t
;
f) z = x
√
1 + y
2
, x = te
2t
, y = e
−t
.

 4.3. Tính vi phân toàn phần của các hàm số:
a) z = sin(x
2
+ y
2
);
b) z = e
x
(cos y + x sin y);
c) z = ln tg
y
x
;
d) z = arctg
x + y
x − y
;
e) z = e
x
y
+ e
−
y
x
;
f) z =
y
x
e
t

2
dt;
g) z =
x
y
xy
t
2
cos 2tdt;
h) u = y
2
√
x
3
− 3y
3
√
z
2
;
i) u = xe
y
+ ye
z
+ ze
x
;
j) u = x
y
2

z
, (x > 0).
 4.4. Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau:
a)
3
(1, 02)
2
+ (0, 05)
2
;
b) ln(
3
√
1, 03 +
4
√
0, 98 − 1);
c) 9.(1, 95)
2
+ (8, 1)
2
;
d) sin
2
1, 55 + 8.e
0,015
.
 4.5. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau:
a) x
3

y −y
3
x = a
4
, tính y

;
b) xe
y
+ ye
x
− e
xy
tính y

;
c) y
5
+ 3x
2
y
2
+ 5x
4
= 0 tính y

;
d) 3 sin
√
x

y
− 2 cos
√
x
y
+ 1 = 0 tính y

;
e) x + y + z = e
z
, tính z

x
, z

y
;
f) x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz, tính z

x
, z

y
;

g) xy
2
z
3
+ x
3
y
2
z = x + y + z, tính z

x
, z

y
;
45
h) xe
y
+ yz + ze
x
= 0, tính z

x
, z

y
; i)xyz = cos(x + y + z), tính z

x
, z


y
;
j) y
2
ze
x+y
− sin(xyz) = 0 tính z

x
, z

y
.
 4.6. Tìm cực trị của các hàm số
a) z = 4(x − y) − x
2
− y
2
;
b) z = x
2
+ xy + y
2
+ x − y + 1;
c) z = x + y −xr
y
;
d) z = 2x
4

+ y
4
− x
2
− 2y
2
;
e) z = xy ln(x
2
+ y
2
);
f) z = (x − y)
2
+ (x + y)
3
;
g) z = x
2
y
3
(3x + 2y + 1);
h) z = x
4
+ y
4
− 2(x − y)
2
.
 4.7. Chứng minh rằng:

a) Hàm số u(x, y) = ln
1
√
x
2
+ y
2
thỏa mãn: ∆u =
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0
b) Hàm số u(x, y, z) = ln
1
√
x
2
+ y
2
+ z
2
thỏa mãn phương trình ∆u =

∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= 0.