Đạo hàm và vi phân của hàm một biến thực

Chương 3
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM MỘT BIẾN THỰC
3.1. Đạo hàm - Đạo hàm cấp cao
3.1.1. Định nghĩa
Cho hàm f xác định trên N
δ
(x
0
). Ta nói f có đạo hàm tại x
0
nếu tồn tại giới
hạn (có thể vô hạn)
f

(x
0
) := lim
h→0
f(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
.
f

(x
0
) được gọi là đạo hàm của hàm f tại x

0
. Nếu f

(x
0
) hữu hạn ta nói f khả vi
tại x
0
. Ta cũng gọi đạo hàm trái, phải của f tại x
0
lần lượt là các giới hạn sau
f

−
(x
0
) := lim
h→0−
f(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
;
f

+
(x
0

) := lim
h→0+
f(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
.
Rõ ràng, f có đạo hàm tại x
0
khi và chỉ khi tồn tại các đạo hàm trái, phải tại
điểm đó và f

−
(x
0
) = f

+
(x
0
). Nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a; b) ta nói f khả vi
trên (a; b). Ta nói f khả vi trên [a; b] nếu f khả vi trên (a; b) và có các đạo hàm hữu
hạn f

+
(a), f

−

(b).
Ý nghĩa hình học f

(x
0
) (f

−
(x
0
), f

+
(x
0
)) chính là hệ số góc của tiếp tuyến (tiếp
tuyến trái, tiếp tuyến phải) của đồ thị hàm f tại điểm M
0
(x
0
, f(x
0
)).
Ý nghĩa cơ học Nếu s(t) là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của quãng đường đi vào
thời gian, thì s

(t) thể hiện vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Còn
nếu v(t) là hàm biểu diễn vận tốc tức thời của chất điểm thì v

(t) thể hiện gia tốc

tức thời của chuyển động.
49
Đạo hàm cấp cao Giả sử f khả vi trên khoảng (a; b). Lúc đó f

là một hàm số
trên (a; b). Hàm số này có thể lại có đạo hàm. Nếu đạo hàm đó tồn tại ta gọi đó
là đạo hàm cấp hai của f, và ký hiệu là f

. Vậy, f

:= (f

)

. Tương tự, ta có định
nghĩa đạo hàm cấp ba f
(3)
= (f

)

, và các cấp cao hơn bằng công thức quy nạp
f
(n+1)
:= (f
(n)
)

, với quy ước f
(0)

= f, f
(1)
= f

. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm
ta thấy s

(t) là gia tốc tức thời của chuyển động khi s(t) là hàm biểu diễn quãng
đường đi.
Tính chất của hàm khả vi
Mệnh đề 3.1. f khả vi tại x
0
khi và chỉ khi f được biểu diễn dưới dạng
f(x) = f(x
0
) + A(x − x
0
) + α(x − x
0
),
với A là một hằng số và α(x − x
0
) là một vô cùng bé của x − x
0
tại x
0
. Lúc đó,
A = f

(x

0
).
Hệ quả 3.1. Nếu f khả vi tại x
0
thì f liên tục tại điểm đó.
3.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm
Định lý 3.2. Cho f và g là hai hàm khả vi tại x
0
. Lúc đó các hàm f ± g, fg, λf
và
f
g
(nếu g(x
0
) = 0) cũng khả vi tại x
0
. Hơn nữa, ta có
a) (f ± g)

(x
0
) = f

(x
0
) ± g

(x
0
);

b) (λf)

(x
0
) = λf

(x
0
);
c) (fg)

(x
0
) = f

(x
0
)g(x
0
) + f(x
0
)g

(x
0
);
d)

f
g



(x
0
) =
f

(x
0
)g(x
0
) − g(x
0
)f

(x
0
)
g(x
0
)
2
.
Định lý 3.3. Nếu ϕ khả vi tại x
0
và f khả vi tại ϕ(x
0
), thì f ◦ ϕ khả vi tại x
0
và

(f ◦ ϕ)

(x
0
) = f

[ϕ(x
0
)].ϕ

(x
0
).
Định lý 3.4. Nếu f : (a; b) → (c; d) là song ánh liên tục và khả vi tại x
0
∈ (a; b)
sao cho f

(x
0
) = 0. Lúc đó ánh xạ ngược f
−1
cũng khả vi tại y
0
= f(x
0
) và ta có
(f
−1
)


(y
0
) =
1
f

(x
0
)
.
3.1.3. Đạo hàm các hàm sơ cấp
Sử dụng định nghĩa ta có thể tính được đạo hàm của các hàm hằng (f(x) = C),
hàm đồng nhất (f(x) = x), hàm sin, hàm cos và hàm e
x
. Từ đó, sử dụng các quy
50
tắc tính đạo hàm trong Mục 3.1.2. chúng ta dễ dàng suy ra các công thức tính đạo
hàm của các hàm sơ cấp như sau:
1. y = C (= const) y

= 0, ∀x.
2. y = x y

= 1, ∀x.
3. y = e
x
y

= e

x
, ∀x.
y = a
x
(a > 0) y

= a
x
ln a, ∀x.
4. y = ln x y

=
1
x
, ∀x > 0.
y = log
a
(x) (a > 0) y

=
1
x ln a
, ∀x > 0.
5. y = x
α
(α ∈ R) y

= αx
α−1
, ∀x > 0.

6. y = sin(x) y

= cos(x), ∀x.
7. y = cos(x) y

= − sin(x), ∀x.
8. y = tan(x) y

=
1
cos
2
(x)
, ∀x = (2n + 1)
π
2
.
9. y = cot(x) y

= −
1
sin
2
(x)
, ∀x = nπ.
10. y = arcsin(x) y

=
1
√

1 − x
2
, − 1 < x < 1.
11. y = arccos(x) y

= −
1
√
1 − x
2
, − 1 < x < 1.
12. y = arctan(x) y

=
1
1 + x
2
, ∀x.
13. y = arccot(x) y

= −
1
1 +
x
2
, ∀x.
3.2. Vi phân
3.2.1. Vi phân bậc nhất
Cho hàm f xác định trên khoảng (a; b)  x
0

. Với mỗi số gia của biến số ∆x,
ta ký hiệu số gia của hàm số bởi ∆y = f(x
0
+ ∆x)− f(x
0
). Ta muốn biểu diễn ∆y
bằng một xấp xỉ tuyến tính của ∆x, cụ thể, ta cần tìm số A sao cho
∆y = A.∆x + ◦(∆x), với x
0
+ ∆x ∈ (a; b). (3.1)
Từ Mệnh đề 3.1 ta thấy biểu diễn (3.1) có được khi và chỉ khi f có đạo hàm
hữu hạn tại x
0
, và A chính là đạo hàm của f tại điểm đó. Từ đó,
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) = f

(x
0
).∆x + ◦(∆x).
51
Lúc này f khả vi tại x
0
và biểu thức:
df(x
0
) := f


(x
0
).∆x
được gọi là vi phân bậc nhất của hàm f tại x
0
ứng với số gia ∆x của biến số.
Từ định nghĩa ta có ngay vi phân của biến độc lập đúng bằng số gia của biến
số: dx = ∆x. Do đó, người ta thường viết vi phân dưới dạng df(x
0
) = f

(x
0
).dx.
Bây giờ nếu f khả vi tại một điểm x ∈ (a; b) tuỳ ý thì ta cũng có vi phân của
f tại điểm đó là biểu thức df(x) = f

(x).dx. Trong thực hành ta thường viết tắt:
dy = df = f

dx. Từ các quy tắc tính đạo hàm ta dễ dàng suy ra các quy tắc tính vi
phân tương ứng:
d(f + g) = df + dg.
d(λ.f) = λ.df.
d(f.g) = f.dg + g.df.
d

f
g


=
g.df − f.dg
g
2
.
Tính bất biến của vi phân bậc nhất.
Giả sử hàm số hợp y = g(t) là hợp của hai hàm khả vi: y = f(x) và x = ϕ(t).
Lúc đó nếu xem x như biến độc lập, ta có vi phân của y theo dx là:
dy = f

(x).dx. (3.2)
Mặt khác, nếu xem x là hàm của biến độc lập t thì y cũng là một hàm của t và ta
có:
dy = g

(t).dt = f

[ϕ(t)].ϕ

(t).dt, (3.3)
dx = ϕ

(t).dt. (3.4)
Chú ý rằng ϕ(t) = x, từ (3.3) và (3.4) ta nhận được trở lại công thức (3.2) nhưng
dx lúc đó là vi phân của hàm x = ϕ(t). Ta nói vi phân bậc nhất có tính bất biến
đối với phép đổi biến.
Ứng dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của hàm. Từ định nghĩa vi phân
ta có, với số gia ∆x đủ nhỏ:
f(x

0
+ ∆x) ≈ f(x
0
) + df(x
0
) = f(x
0
) + f

(x
0
).∆x.
Do đó giá trị ở vế phải thường được dùng để xấp xỉ giá trị hàm f tại x
0
+∆x. Chẳng
hạn, tính gần đúng
3
√
65; arctan(1, 02).
3.2.2. Vi phân cấp cao
Giả sử hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b). Lúc đó df(x) là một
hàm của x. Ta định nghĩa vi phân bậc hai của f là vi phân của df (nếu nó tồn tại)
52
và ký hiệu là d
2
f. Vậy: d
2
f := d(df). Một cách quy nạp, ta định nghĩa vi phân bậc
n của f là
d

n
f := d(d
n−1
f).
Chú ý rằng nếu x là biến độc lập thì đại lượng dx được xem là không đổi tại
các điểm x khác nhau. Vì vậy d
n
x = 0 với mỗi n ≥ 2. Do đó
d
n
f(x) = f
(n)
(x).(dx)
n
= f
(n)
(x).dx
n
.
Vi phân cấp cao không có tính bất biến. Thật vậy, với y = f(x) và x = ϕ(t),
bằng cách đặt g(t) = f[ϕ(t)] ta có vi phân bậc hai của y theo biến t là:
d
2
y(t) = g

(t).dt
2
= (f

[ϕ(t)].ϕ


(t))

.dt
2
= f

[ϕ(t)].ϕ

(t)
2
.dt
2
+ f

[ϕ(t)].ϕ

(t).dt
2
= f

(x).dx
2
+ f

(x).d
2
x. (3.5)
Trong khi đó, vi phân bậc hai của y theo biến x là
d

2
y(x) = f

(x).d
2
x. (3.6)
Từ (3.5) và (3.6) ta thấy vi phân bậc hai của y không bất biến qua phép đổi biến
x = ϕ(t).
3.3. Các định lý cơ bản
3.3.1. Các định lý giá trị trung bình
Cho hàm số f xác định trong một lân cận của điểm x
0
. x
0
được gọi là điểm cực
tiểu (cực đại) địa phương của f nếu tồn tại  > 0 sao cho
∀x ∈ N

(x
0
) : f(x) ≥ f(x
0
) (f(x) ≤ f(x
0
)).
Trong cả hai trường hợp ta đều gọi x
0
là điểm cực trị (địa phương) của f hay f đạt
cực trị tại x
0

.
Định lý 3.5 (Fermat). Nếu f đạt cực trị địa phương tại x
0
và khả vi tại điểm đó
thì
f

(x
0
) = 0.
Định lý 3.6 (Rolle). Giả sử f liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b) và f (a) = f(b).
Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f

(c) = 0.
Định lý 3.7 (Lagrange). Giả sử f liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b). Lúc đó,
tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho
f

(c) =
f(b) − f(a)
b − a
. (3.7)
53
Chú ý rằng, nếu chọn trước c thì không chắc tồn tại hai số a, b để a < c < b và
(3.7) thoả mãn. Chẳng hạn, xét hàm f (x) = x
3
và c = 0.
Định lý 3.8 (Cauchy). Cho f và g là các hàm liên tục trên [a; b], khả vi trên (a; b).
Ngoài ra, g


(x) = 0 với mọi x ∈ (a; b). Lúc đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f

(c)
g

(c)
.
Hệ quả 3.2. Nếu f có đạo hàm bằng 0 trên khoảng (a; b) thì f là hàm hằng trên
khoảng đó.
Một hàm f được gọi là Lipschitz trên một tập A nếu tồn tại số dương L (gọi
là hằng số Lipschitz) sao cho
|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|; ∀x, y ∈ A.
Hệ quả 3.3. Một hàm có đạo hàm bị chặn trên khoảng (a; b), thì Lipschitz trên
khoảng đó.
Ngoài ra, ứng dụng Định lý Fermat ta còn nhận được một kết quả quan trọng
khác nói rằng hàm đạo hàm f

(cho dù không liên tục) cũng có tính chất là nhận
mọi giá trị trung gian. Trước hết, ta có bổ đề sau
Bổ đề 3.1. Giả sử f có đạo hàm trên đoạn [a; b] sao cho f

+
(a) < 0 < f

−
(b). Lúc

đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f

(c) = 0.
Định lý 3.9. Giả sử f có đạo hàm trên đoạn [a; b] sao cho f

+
(a) < λ < f

−
(b). Lúc
đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f

(c) = λ.
3.3.2. Quy tắc L’Hospital
Định lý 3.10. Cho f và g là các hàm khả vi trên (a; b), với −∞ ≤ a < b ≤ +∞,
sao cho tồn tại các giới hạn
lim
x→a+
f(x) = lim
x→a+
g(x) = 0, lim
x→a+
f

(x)
g

(x)
= A ∈ R.
Lúc đó, ta cũng có

lim
x→a+
f(x)
g(x)
= lim
x→a+
f

(x)
g

(x)
= A.
Kết quả tương tự cũng đúng cho trường hợp x → b− hay x → x
0
∈ (a, b).
Chứng minh.
Trường hợp a > −∞. Đặt f(a) := 0, g(a) := 0. Áp dụng Định lý Cauchy.
Trường hợp a = −∞. Xét các hàm F (t) := f(ln(t)), G(t) := g(ln(t)); t ∈
(0, e
b
).