Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến pdf

Chương 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM
MỘT BIẾN
3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 3.1. Dãy số thực là một ánh xạ
a : N → R
n → a(n) = a
n
Khi đó ta được một dãy các số thực a
1
, a
2
, a
n
,
+ Kí hiệu là {a
n
}.
+ a
n
gọi là số hạng tổng quát thứ n của dãy. Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng
tổng quát của nó.
- Dãy con.
Cho dãy số thực a
n
. Giả sử n
1
< n
2
< n

k
< là một dãy tăng thực sự các số tự nhiên thì dãy
n
n
1
, a
n
2
, , a
n
k
, là dãy con của dãy {a
n
} và viết là {a
n
k
} ⊂ {a
n
} .
Định nghĩa 3.2. Ta nói rằng: a = lim
n→∞
a
n
⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |a
n
− a| < ε
- Khi đó ta nói dãy {a
n
} hội tụ đến a.
- Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ.

Định lý 3.1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞
a
n
= a . Nếu có số b = a cũng là giới hạn của dãy {a
n
} . Khi đó với
ε =
|b −a|
2
> 0 , thì: ∃N
1
∀n > N
1
: |a
n
− a| < ε, ∃N
2
∀n > N
2
: |a
n
− b| < ε
Chọn N
0
= max{N
1
, N
2

} , thì với mọi n > N
0
ta có:
|a −b| = |a − a
n
+ a
n
− b| < |a −a
n
| + |a
n
− b| < ε + ε = 2.ε = |a −b|
Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai, định lý được chứng minh.
Định lý 3.2. Nếu dãy số thực {a
n
} có giới hạn là a , thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn là a.
Ví dụ 3.1. Xét dãy {a
n
} sao cho a
n
= a , với mọi n , ta có lim
n→∞
a
n
= a. Thật vậy,
∀ε > 0 ∃N = 0 ∀n > N : |a
n
− a| = |a − a| = 0 < ε
Tức là lim
n→∞

a
n
= a
21
Ví dụ 3.2. Giới hạn lim
n→∞
1
n
= 0. Thật vậy, với mọi ε > 0 chọn N =
1
ε
+ 1, thì với mọi n ta có:
|a
n
− 0| =
1
n
− 0 =
1
n
<
1
N
< ε
.
Ví dụ 3.3. Giới hạn lim
n→∞
q
n
= 0 nếu |q| < 1. Thật vậy

- Nếu q = 0 , thì lim
n→∞
q
n
= 0 (Theo ví dụ 1).
- Nếu q = 0, thì ∀ε > 0 ∃N = log
|q|
ε + 1 ∀n > N : |a
n
− 0| = |q
n
− 0| < ε.
Ví dụ 3.4. Giới hạn lim
n→∞
(−1)
n
không tồn tại.
Cách 1. Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại giới hạn lim
n→∞
(−1)
n
. Khi đó:
với ε = 1 ∃N ∀n > N : |(−1)
n
− a| < 1
Khi n chẵn và n lẻ, ta có:|1 −a| < 1 và |−1 − a| < 1
Ta đi đến mâu thuẫn
2 = |1 + 1| = |1 − a + a + 1| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1 + 1 = 2.
Cách 2. Xét hai dãy con với các chữ số chẵn và lẻ không cùng một giới hạn.
Định nghĩa 3.3. Dãy {a

n
} được gọi là bị chặn trên, bị chặn dưới nếu tập A = {a
n
: n ∈ N} có tính
chất tương ứng.
Định lý 3.3. Dãy số {a
n
} hội tụ thì nó bị chặn.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞
a
n
= a. Khi đó với ε = 1 ∃N
0
∀n > N
0
: |a
n
− a| < 1.
Do đó |a
n
| < a + 1, ∀n > N
0
Chọn M = max {|a
1
|, |a
2
|, , |a
N
0

|, |a| + 1}, thì rõ ràng −M < a
n
< M, ∀n = 1, 2,
Mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số.
Dãy số {a
n
} gọi là có giới hạn +∞ viết là lim
n→∞
a
n
= +∞ , nếu: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : a
n
> M.
Dãy số {a
n
} gọi là có giới hạn −∞ viết là lim
n→∞
a
n
= −∞ , nếu: ∀M > 0 ∃N ∀n > N : a
n
< −M.
Trong trường hợp này ta không nói các dãy hội tụ mà gọi chúng là các dãy phân kỳ đến ±∞ .
Ví dụ 3.5. Xét dãy {a
n
=
√
n} , ta có: lim
n→∞
√

n = +∞ . Thật vậy, ∀M > 0 ∃N = M
2
∀n > N :
a
n
=
√
n >
√
N =
√
M
2
= M
Ví dụ 3.6. Xét dãy {a
n
= 1 −n
2
} , ta có: lim
n→∞
1−n
2
= −∞. Thật vậy ∀M > 0 ∃N =
√
1 + M ∀n >
N : a
n
= 1 −n
2
< 1 − (

√
1 + M )
2
= −M
3.1.2 Định lí về giới hạn của dãy số
1. Định lý
Định lý 3.4. Nếu các dãy a
n
và b
n
hội tụ và lim
n→∞
a
n
= a, lim
n→∞
b
n
= b thì các dãy {a
n
± b
n
}, {a
n
.b
n
},
a
n
b

n
(nếu b
n
= 0 ∀n và b = 0 ) cũng hội tụ. Hơn nữa, ta có:
(i) lim
n→∞
(a
n
± b
n
) = a ± b
(ii) lim
n→∞
(a
n
.b
n
) = a.b
(iii) lim
n→∞
a
n
b
n
=
a
b
.
22
Chú ý. - Định lý có thể mở rộng thêm cho các dạng sau đây:

i) a + (+∞) = +∞
ii) a −(+∞) = −∞
iii) a.(+∞) =
+∞ nếu a > 0
−∞ nếu a < 0
iv)
a
±∞
= 0
v)
a
0
= +∞
- Ta cũng có các dạng chưa xác định sau đây gọi là các dạng vô định: ∞− ∞; 0.∞;
∞
∞
;
0
0
Ví dụ 3.7. Cho hai dãy {a
n
= n +
1
n
}; {b
n
= n + a +
1
n
}, rõ ràng lim

x→∞
(a
n
− b
n
) có dạng ∞ − ∞
và trong trường hợp này lim
x→∞
(a
n
− b
n
) = a với a tuỳ ý mà ta chọn.
Ví dụ 3.8. Cho hai dãy {a
n
=
a
n
}; {b
n
=
1
n
} , thì lim
n→∞
a
n
b
n
có dạng

0
0
và lim
n→∞
a
n
b
n
= a với a tuỳ ý
chọn.
2. Vô cùng bé và vô cùng lớn.
Định nghĩa 3.4. . Ta gọi dãy số {a
n
} là:
+ Đại lượng vô cùng bé (VCB), nếu lim
n→∞
a
n
= 0;
+ Đại lượng vô cùng lớn (VCL), nếu lim
n→∞
|a
n
| = ∞ .
Ví dụ. Các dãy số: {
1
n
, {q
n
}} với |q| < 1 là các VCB. Các dãy số: {n}, {−n}, {(−1)

n
n} là các
VCL.
Một số tính chất của VCB và VCL.
1. Tổng hoặc tích của hai VCB là một VCB.
2. Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB.
3. Dãy {a
n
} là một VCB khi và chỉ khi {|a
n
|} làmột VCB.
4. lim
n→∞
a
n
= a ⇔ {a
n
− a} là một VCB.
5. {a
n
} là VCL và |b
n
| ≥ |a
n
| với mọi n, thì là một VCL.
6. Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL.
7. Dãy {a
n
} là VCL thì {
1

a
n
} là VCB.
8. Dãy {a
n
} là VCB và a = 0 , với mọi n thì {
1
a
n
} là VCL.
3. Một số tính chất về giới hạn.
Định lý 3.5. Nếu lim
n→∞
a
n
= a , thì dãy {|a
n
|} cũng hội tụ và lim
n→∞
|a
n
| = a.
Chứng minh. Từ giả thiết lim
n→∞
a
n
= a ⇔ ∀ε > 0 ∃N
0
∀n > N
0

: |a
n
− a| < ε.
Mặt khác, ta có: ||a
n
| −|a|| < |a
n
− a| < ε , với mọi n > N
0
Định lý 3.6. . Nếu lim
n→∞
a
n
= a, lim
n→∞
b
n
= b và a
n
≤ b
n
với mọi n , thì a ≤ b.
Chứng minh.
23
Giả sử rằng a > b . Khi đó với ε
0
=
a −b
2
∃N

1
∀n ≥ N
1
: |a
n
− a| < ε
0
∃N
2
∀n ≥ N
2
:
|b
n
− b| < ε
0
Chọn N
0
= max{N
1
, N
2
} , thì với mọi n ≥ N
0
ta nhận được đồng thời hai bất đẳng thức trên.
Do đó: a
N
0
> a − ε
0

= b + ε
0
> b
N
0
.
Điều đó mâu thuẫn với giả thiết a
n
≤ b
n
với mọi n và định lý được chứng minh.
Định lý 3.7. Định lý 7 (Giới hạn kẹp). Nếu lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= d và a
n
≤ c
n
≤ b
n
với mọi n , thì
{c
n
} cũng hội tụ và lim
n→∞

c
n
= d
Chứng minh. Từ giả thiết lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
, ta suy ra:
∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |a
n
− d| < ε, |b
n
− d| < ε
Mặt khác vì a
n
≤ c
n
≤ b
n
, với mọi n; ta nhận được a
n
− d ≤ c
n
− d ≤ b
n
− d, với mọi n>m.

Do đó |c
n
− d| < max {|a
n
− d|, |b
n
− d|} < ε với mọi n>m
Vậy c
n
cũng hội tụ và lim
n→∞
c
n
= d.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy số
a
n
=
√
n
2
+ 1
n
2
+
√
n
2
+ 2
n

2
+ +
√
n
2
+ n
n
2
Ta có
n
√
n
2
+ 1
n
2
≤ a
n
≤
n
√
n
2
+ n
n
2
⇔ 1 +
1
n
2

≤ a
n
≤ 1 +
1
n
↓ ↓
1 1
Do đó
lim
n→∞
a
n
= 1
3.2 Hàm số một biến số
3.2.1 Hàm số
Định nghĩa 3.5. Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số của đại lượng biến thiên x trong miền biến
thiên X của nó nếu có một quy tắc để mỗi giá trị x ∈ X đều được đặt tương ứng với một giá trị xác
định y ∈ Y.
- Đại lượng x gọi là đối số hay biến độc lập. Miền biến thiên X của x gọi là miền xác định của
hàm số. Đại lượng y gọi là biến phụ thuộc. Nếu quy tắc tương ứng giữa x và y là f thì ta viết
y = f(x), x ∈ X
- Tập f(X) = {f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của hàm số f.
Trong trường hợp hàm số cho bởi một công thức y = f(x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền
xác định của hàm số là tập tất cả các x mà công thức có nghĩa.
Ngoài ra đôi khi ta còn dùng từ hàm thay cho hàm số.
Ví dụ 3.9. y =
√
1 −x
2
có miền xác định là [-1,1];

Ví dụ 3.10. y = ln x +
√
1 −x có miền xác định là (0,1].
24
3.2.2 Các loại hàm đặc biệt.
(i). Hàm đơn điệu:
- Hàm y = f(x), x ∈ X gọi là đơn điệu tăng nếu x
1
, x
2
∈ X, x
1
< x
2
thì f(x
1
) ≤ f(x
2
),, gọi là
đơn điệu giảm nếu x
1
, x
2
∈ X, x
1
> x
2
thì f (x
1
) ≥ f (x

2
).
- Đơn điệu tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu.
- Nếu x
1
< x
2
kéo theo f(x
1
) < f (x
2
) thì hàm gọi là tăng ngặt hay đồng biến, tương tự ta có
khái niệm giảm ngặt hay nghịch biến.
Ví dụ 3.11. y = x đồng biến trên R.
Ví dụ 3.12. y = x
2
nghịch biến trên (−∞, 0], đồng biến trên [0, +∞).
Ví dụ 3.13. Hàm Dirichlet D(x) =
1 nếu x ∈ Q
0 nếu x ∈ I
Không đơn điệu trên bất kỳ khoảng nào của R.
ii) Hàm chẵn, hàm lẻ.
Cho hàm y = f(x) có miền xác định X . Khi đó
+y = f(x) gọi là hàm chẵn ⇔
x ∈ X ⇒ −x ∈ X
f(−x) = f(x), ∀x ∈ X
+ y = f (x) gọi là hàm lẻ ⇔
x ∈ X ⇒ −x ∈ X
f(−x) = −f(x), ∀x ∈ X
Ví dụ 3.14. Hàm y = x

2
, y = D(x) là hàm chẵn, y = x
3
là hàm lẻ; y =
√
1 −x hàm là không chẵn,
không lẻ.
iii) Hàm tuần hoàn.
Hàm y = f (x), x ∈ X gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại T > 0 sao cho x ∈ X thì x + T ∈ X và
f(x + T ) = f(x) .
Số dương T nhỏ nhất (nếu có) gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn.
Ví dụ 3.15. 1. Các hàm sinx, cosx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π còn tanx, cotx là hàm tuần hoàn
với chu kỳ π.
2. Hàm Dirichlet D(x) là tuần hoàn (Có thể chọn T là số hữu tỷ dương bất kỳ). Hàm D(x) không
có chu kỳ.
3.2.3 Hàm ngược và hàm hợp
i) Hàm ngược
Cho hàm số y = f(x), mà nó là 1-1, tức là nếu x
1
= x
2
thì f(x
1
) = f(x
2
). Đặt Y = f (X) . Khi
đó mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất x ∈ X để f(x) = y . Coi x ∈ X là biến độc lập thì mọi x ∈ X tồn
tại duy nhất y = f
−1
(x), x ∈ X để y = f(x) . Ta có hàm y = f

−1
(x), x ∈ X , gọi là hàm ngược
của hàm y = f(x).
Chú ý rằng, chỉ có hàm đơn trị 1-1 mới có hàm ngược.
ii) Hàm hợp
Cho hai hàm y = f(x), x ∈ X và z = g(y), y ∈ Y sao cho f(X) ⊂ Y. Khi đó ta có hàm
(gof)(x) = g(f(x)), x ∈ X gọi là hàm hợp của hai hàm đã cho.
Ví dụ 3.16. f (x) = x
2
+ 1 và g(x) = cos x thì (gof)(x) = cos(x
2
+ 1); (fog)(x) = cos
2
x + 1.
Ví dụ 3.17. h(x) = cos
2
x + 2 cos x + 5 có thể coi là hàm hợp của hàm y(x) = cos x và g(y) =
y
2
+ 2y + 5.
25
Ví dụ 3.18. Từ định nghĩa hàm ngược ta có:
f
−1
of(x) = x với ∀x ∈ X
fof
−1
(y) = y với ∀y ∈ Y.
3.2.4 Các hàm sơ cấp
Ta gọi hàm sơ cấp đơn giản là những hàm thuộc một trong các loại sau đây

i) Hàm hằng số y = f(x) = c, c là hằng số.
Hàm hằng số có miền xác định R, miền giá trị là R
ii) Hàm luỹ thừa
y = x
α
, α ∈ R
Nếu α là số hữu tỷ thì miền xác định của hàm luỹ thừa phụ thuộc vào α. Ví dụ: y = x
1
2
có miền
xác định là x ≥ 0, y = x
−
1
3
có miền xác định là x = 0.
Khi α là số vô tỷ thì ta qui ước miền xác định là x ≥ 0 nếu α > 0và x ≤ 0 nếu α > 0.
iii) Hàm mũ: y = a
x
, a > 0, a = 1
Hàm mũ có miền xác định là R , miền giá trị là 0, +∞ . Nếu α > 1 thì hàm đồng biến, 0 < α < 1
thì hàm nghịch biến.
iv) Hàm lôgarit y = log
a
x, a > 0, a = 1
Hàm lôgarit có miền xác định là 0, +∞ , miền giá trị là R . Nếu a>1 thì hàm đồng biến, 0 < a < 1
thì hàm nghịch biến.
Hàm y = log
a
x, là hàm ngược của hàm y = x
α

.
v) Hàm lượng giác
Hàm y = sin x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Hàm y = cos x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ π.
vi) Hàm lượng giác ngược
Hàm y = arcsin x, x ∈ [−1, 1] là hàm ngược của hàm y = sin x, x ∈ [−
π
2
;
π
2
]. Miền xác định của
hàm là [-1,1], miền giá trị là [−
π
2
;
π
2
]. Ta có
y = arcsin x ⇔ sin y = x, y ∈ [−
π
2
;
π
2
]
Chú ý rằng arcsinx là ký hiệu tất cả các giá trị y mà sinyC =x còn y =arcsinx là giá trị duy nhất
y ∈ [−
π
2

;
π
2
] để siny =x.
Hàm y = arccos x, x ∈ [−1, 1] có miền xác định là [0, π].
Hàm y = arctgx, x ∈ R có miền xác định là (−
π
2
;
π
2
).
Hàm y = arc cot gx, x ∈ R có miền xác định là (0, π).
Ta gọi các hàm sơ cấp là hàm cho bởi một công thức trong đó có các hàm sơ cấp đơn giản và
một số hữu hạn các phép toán hàm: cộng, trừ, nhân, chia và lấy hàm hợp.
Ví dụ 3.19. Các hàm hyperbolic là hàm sơ cấp:
shx =
e
x
− e
−x
2
, chx
e
x
+ e
−x
2
, thx =
e

x
− e
−x
e
x
+ e
−x
, cthx =
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
26
Các hàm này có tên gọi theo thứ thự là sin hyperbolicC, cosin hyperbolic, tang hyperbolic và cotang
hyperbolic. Các hàm hyperbolic có các tính chất gần tương tự với hàm lượng giácC:
thx =
shx
chx
; cthx =
chx
shx
;
chx(x ±y) = chxchy ± shxshy;
sh(x ±y) = shxchy ± chxshy
ch
2

x −sh
2
y = 1; ch2x = ch
2
x + sh
2
x; sh2x = 2shx.chx.
Ví dụ 3.20. y = |x| không phải là hàm sơ cấp.
3.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số
3.3.1 Giới hạn của hàm số
1. Định nghĩa theo ngôn ngữ dãy.
Định nghĩa 3.6. Giả sử x là một tập tuỳ ý trong R. Điểm x
0
∈ R gọi là điểm tụ của X nếu tồn tại
dãy {x
n
} ⊂ X\{x
0
} sao cho {x
n
} ⊂ X\{x
0
}.
Nếu có thể chọn dãy {x
n
} như trên nhưng x
n
> x
0
hoặc x

n
< x
0
với mọi n ≥ 1 ta nói dãy x
0
là
điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X.
Định nghĩa 3.7. Cho hàm số y = fx trên X\{x
0
} với x
0
là điểm tụ của X.
A = lim
x→x
0
f(x) ⇔ ∀{x
n
} ⊂ X\{x
0
}, x
n
→ x
0
: f(x
n
) → A. (3.1)
Nếu x
0
là điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X mà (3.1) thoả mãn với mọi dãy {x
n

} ⊂
X\{x
0
}, x
n
→ x
0
, x
n
> x
0
hoặc x
n
< x
0
ta nói A là giới hạn bên phải hoặc bên trái của hàm
y = f(x) khi x → x
+
0
hoặc x → x
−
0
. Ký hiệu lần lượt là
A = lim
x→x
+
0
f(x), A = lim
x→x
−

0
f(x).
Ta thường gặp trường hợp X = (a, b) và khi đó x
0
∈ [a, b]. Lưu ý rằng khi x
0
= a hoặc x
0
= b
ta chỉ có thể nói tới giới hạn bên phải hoặc bên trái của hàm đã cho. Để đơn giản trong phát biểu,
từ nay nếu không có gì nói thêm ta luôn coi X = (a, b). Trong trường hợp x
0
= a = −∞ thì ta viết
lim
x→−∞
f(x) = A. Nếu x
0
= b = +∞ thì ta viết lim
x→+∞
f(x) = A.
Ví dụ 3.21. lim
x→2
x
2
− 1
x
.
Với dãy số bất kỳ {x
n
}, {x

n
} → 2, x
n
= 2 , ta có
x
2
n
− 1
x
n
→
2
2
− 1
2
=
3
2
Vậy lim
x→2
x
2
− 1
x
=
3
2
.
Ví dụ 3.22. lim
x→+∞

1
x
.
Với dãy số bất kỳ {x
n
}, x
n
→ +∞ , ta có
1
x
n
→ 0. Do đó lim
x→+∞
1
x
= 0.
27
Ví dụ 3.23. lim
x→0
+
1
x
Với dãy bất kỳ, {x
n
}, x
n
→ 0, x
n
> 0, ta có
1

x
n
→ +∞. Do đó lim
x→0
+
1
x
= +∞
Ví dụ 3.24. Giới hạn lim
x→∞
sin x không tồn tại.
Thậy vậy,
+ Với {x
n
= nπ} thì x
n
→ +∞ và sin x
n
→ 0;
+ Với x
,
n
=
π
2
+ 2nπ , thì x
,
n
→ +∞ và sin x


n
→ 1.
Do đó theo định nghĩa giới hạn trên không tồn tại.
2. Định nghĩa theo ngôn ngữ  −δ
Định nghĩa 3.8. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b)\x
0
, x
0
∈ [a, b]
lim
x→x
0
f(x) = A
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b) 0 < |x − x
0
| < δ : |f (x) −A| < ε (3.2)
Định nghĩa này chỉ xác định khi x
0
và A thuộc R.
Trước hết ta sẽ chứng minh trong trường hợp này định nghĩa theo ngôn ngữ dãy và ngôn ngữ
 −δ là tương đương.
(3.1) ⇒ (3.2). Nếu trái lại, (3.1) xảy ra nhưng không có (3.2), nghĩa là: ∃
0
> 0 ∀δ =
1
n
∃x
n
∈
(a, b)0 < |x

n
− x
0
| <
1
n
: |f(x
n
) −A| ≥ 
0
.
Khi đó ta có dãy {x
n
} ⊂ (a, b), x
n
→ x
0
, x
n
= x
0
nhưng không có f(x
n
) → A . Vậy ta gặp mâu
thuẫn với (3.1).
(3.2) ⇒ (3.1). Giả sử có (3.2), nghĩa là
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b) 0 < |x − x
0
| < δ : |f (x) −A| < ε.
Xét dãy {x

n
} ⊂ (a, b), x
n
→ x
0
, x
n
= x
0
. Chọn N sao cho ∀n > N thì |x
n
− x
0
| < δ. Khi đó, ta
cũng có: |f (x
n
) −A| < ε, ∀n > N.
Vậy f(x
n
) → A và ta có (3.1).
3.3.2 Một số định lí về giới hạn của hàm số
Định lý 3.8. Nếu tồn tại các giới hạn lim f (x)
x→x
0
= A, lim
x→x
0
g(x) = B thì tồn tại các giới hạn sau đây
nếu vế phải là xác định:
(i) lim

x→x
0
[f(x) ± g(x)] = A ± B
(ii) lim
x→x
0
[f(x).g(x)] = A.B
(iii) lim
x→x
0
f(x)
g(x)
=
A
B
Chứng minh. (i) Xét dãy tùy ý {x
n
}, x
n
→ x
0
. Vì lim f (x)
x→x
0
= A. và lim
x→x
0
g(x) = B, nên f(x
n
) → A

và g(x
n
) → B . Do đó ta có: g(x
n
) ±f (x
n
) → A ± B. Vậy
lim
x→x
0
[f(x) ± g(x)] = A ± B
Các tính chất khác chứng minh tương tự .
28
Định lý 3.9 (Nguyên lý kẹp giữa). Cho hàm f(x), g(x), h(x) xác định trên (a, b) \{x
0
}, x
0
∈ [a, b]
và thỏa mãn f (x) ≤ g(x)h(x). Khi đó nếu lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x
0
h(x) = A, thì tồn tại lim
x→x
0
(x) = A.
Chứng minh. Với dãy tuỳ ý {x
n

} ⊂ (a, b)\{x
0
}, x
n
→ x
0
. Bởi vì f(x
n
) ≤ g(x
n
) ≤ h(x
n
) và
lim
n→∞
f(x
n
) = lim
n→∞
h(x
n
) = A nên lim
n→∞
g(x
n
) = A. Vì dãy {x
n
} tuỳ ý, nên lim
x→x
0

g(x) = A
Ví dụ 3.25. Tìm giới hạn lim
x→o
x sin
1
x
.
Ta có: x sin
1
x
≤ |x| suy ra
−|x| ≤ x sin
1
x
≤ |x|
↓ ↓
0 0
Do đó: lim
x→0
x sin
1
x
= 0
3.3.3 Một số ví dụ về tính giới hạn
Khi tính giới hạn, ngoài hai giới hạn cơ bản
i) lim
x→0
sin x
x
= 1

ii) lim
x→±∞
1 +
1
x
x
= e
từ định nghĩa các hàm sơ cấp đơn giản ta cần chú ý :
lim
x→±∞
1 +
1
x
x
= e
lim
x→+∞
ln x = +∞, lim ln x = −∞
x→0
+
lim
x→+∞
arctgx =
π
2
, lim
x→−∞
arctgx = −
π
2

.
Từ hai giới hạn cơ bản và định lý 4.1 ta có:
lim
α(x)→0
sin α(x)
α(x)
= 1, lim
α(x)→0
(1 + α(x))
1
α(x)
= e
Ví dụ 3.26. lim
x→0
sin 2x
sin 3x
=
2
3
. lim
x→0
sin 2x
2x
.
3x
sin 3x
=
2
3
Ví dụ 3.27. lim

x→0
(1 + 2 sin x)
1
x
= lim
x→0
(1 + 2 sin x)
1
2 sin x
.
2 sin x
x
= lim
x→0
[(1 + 2 sin x)
1
2 sin x
]
2 sin x
x
= e
2
3.3.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn
1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.9. Cho đại lượng α(x) xác định trên (a, b), x
0
∈ [a, b]. Khi đó α(x) gọi là vô cùng
bé (VCB) trên (a,b) khi x → x
0
nếu lim

x→x
0
α(x) = 0 ; α(x) gọi là vô cùng lớn (VCL) trên (a, b) khi
x → x
0
nếu lim
x→x
0
|α(x)| = +∞.
29
2. Tính chất
Vì VCB và VCL là những giới hạn, nên theo tính chất của giới hạn ta có:
+ Tổng hai VCB là một VCB;
+ Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB;
+ Tích hai VCL là một VCL;
+ Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL;
+ α(x) là VCB và α(x) = 0 thì
1
α
là VCL;
+ α(x) là VCL thì
1
α
là VCB;
+ lim
x→x
0
f(x) = A ⇔ f(x) = A + α(x); là VCB khi x → x
0
.

3. So sánh các VCB
Nếu α(x) là VCB và α(x) = 0 thì
1
α
là VCL. Do đó ta chỉ xét phân loại VCB.
Cho α(x) và β(x) là hai VCB khi x → x
0
. Khi đó ta nói:
+α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) ⇔ lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= 0, kí hiệu α(x) = O(β(x)).
Như vậy, α(x) = O(β(x)). nếu α(x) → 0 ”nhanh hơn” β(x) → 0.
+ α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp ⇔ lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= A ∈ R\{0}.
+ α(x) và β(x) là hai VCB tương đương ⇔ lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= 1 , kí hiệu α(x) ∼ β(x).
Ví dụ 3.28.
3
√

x, x, x
2
, sin x, 1 − cos x là các VCB khi x → 0 . + Vì lim
x→0
x
3
√
x
= lim
x→0
x
2
x
= 0 nên
x = O(
3
√
x), x
2
= O(x).
+ Vì lim
x→0
sin x
x
= 1 nên sin x ∼ x.
+ Vìlim
x→0
1 −cos x
x
2

= lim
x→0
sin
2
x
2
2
x
2
2
=
1
2
nên 1 − cos x và x
2
là hai VCB cùng cấp. Ta cũng thấy
1 −cos x ∼
1
2
.
4. Ứng dụng VCB để tính giới hạn
Trước hết ta nhận xét rằng nếu các VCB α(x) ∼ α
∗
(x), β(x) ∼ β
∗
(x) khi x → x
0
thì
lim
x→x

0
α(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α
∗
(x)
β
∗
(x)
.
α(x)
α
∗
(x)
β(x)
β
∗
(x)
= lim
x→x
0
α
∗
(x)
β
∗
(x)

.
Do đó có thể dùng VCB để tính giới hạn.
Ví dụ 3.29. Tìm lim
x→0
sin 2x
sin 3x
.
Ta có: sin 2x ∼ 2x, sin 3x ∼ 3x. Do đó
lim
x→0
sin 2x
sin 3x
= lim
x→0
2x
3x
=
2
3
.
30
Ví dụ 3.30. Tìm lim
x→0
1 −
√
cos x
1 −cos x
√
x
.

Ta có:
1 −
√
cos x
1 −cos x
√
x
=
1 −cos x
(1 −cos
√
x)(1 +
√
cos x)
.
Chú ý rằng: 1 − cos x ∼
1
2
x
2
, 1 −cos x
√
x ∼
1
2
x,
nên ta nhận được
lim
x→0
1 −

√
cos x
1 −cos
√
x
= lim
x→0
1
2
x
2
1
2
x
2
.
1
1 +
√
cos x
= 0.1 = 0.
3.3.5 Sự liên tục của hàm số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.10. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X ⊂ R và x
0
∈ X. Hàm số được gọi là
liên tục tại x
0
nếu: lim
x→x

0
f(x) = f(x
0
).
Nếu chỉ tồn tại lim
x→x
+
0
f(x) = f(x
0
), hoặc lim
x→x
−
0
f(x) = f(x
0
). ta gọi lần lượt là liên tục phải, liên
tục trái tại.
Cho hàm f(x) xác định tại x
0
∈ (a, b). Nếu f(x) không liên tục tại x
0
, thì ta gọi x
0
là điểm gián
đoạn của hàm f(x).
Định lý 3.10. Hàm số f(x) gọi là liên tục tại x
0
nếu và chỉ nếu f (x) liên tục phải và liên tục trái
tại x

0
.
Ví dụ 3.31. Xét hàm
f(x) =
x nếu x ≤ 1
2x + 1 nếu x > 1
.
Ta có lim
x→1
−
f(x) = 1 = f (1), lim
x→1
+
f(x) = 3
Do đó f (x) là hàm số gián đoạn tại điểm x = 1 , liên tục trái tại x = 1.
Ví dụ 3.32. Xét hàm
g(x) =
x
2
nếu x = 0
1 nếu x = 0
Ta có lim
x→0
−
g(x) = lim
x→0
+
g(x) = 0 = g(0) = 1. Do đó hàm gián đoạn tại x = 1.
Ví dụ 3.33. Xét hàm
h(x) =

ln x nếu x > 0
1 nếu x ≤ 0.
Ta có lim
x→0
+
h(x) = −∞ lim
x→0
−
h(x) = 1 = h(0). Do đó, h(x) gián đoạn tại x = 0 , liên tục trái tại đó.
Ví dụ 3.34. Xét hàm k(x) = sin
1
x
Hàm số đã cho là gián đoạn tại x = 0 vì không tồn tại các giới hạn lim
x→0
−
k(x) và lim
x→0
+
k(x).
2. Phép toán trên hàm liên tục
31
Định lý 3.11. Nếu hàm y = f(x) liên tục tại x
0
∈ (a, b), hàm z = g(y) xác định trong một khoảng
chứa y
0
= f(x
0
) và liên tục tại y
0

, thì g ◦ f(x) liên tục tại x
0
.
Định lý 3.12. Nếu các hàm f (x) và g(x) liên tục tại x
0
, thì các hàm
f(x) ± g(x); f (x).g(x);
f(x)
g(x)
(g(x
0
) = 0)
cũng liên tục tại x
0
.
Định lý 3.13. Nếu hàm y = f(x) là một hàm sơ cấp và x
0
thuộc miền xác định của nó thì liên tục
tại đó.
3. Một số tính chất của hàm liên tục trên một đoạn
Định nghĩa 3.11. Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng
(a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
Định lý 3.14 (Weierstrass). Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] , thì đạt cận trên đúng và cận
dưới đúng trên đoạn đó. Nghĩa là tồn tại c
1
, c
2
∈ [a, b] sao cho:
f(c
1

) ≤ f (x) ≤ f(c
2
); ∀x ∈ [a, b]
Bổ đề. Nếu hàm ϕ(x) liên tục trên đoạn [a, b] thoả mãn ϕ(a)ϕ(b) < 0 , thì tồn tại ít nhất một
điểm c ∈ (a, b) để ϕ(x) = 0.
Định lý 3.15 (Bolzano-Cauchy). Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a)=A, f(b)=B , thì mọi
α nằm giữa A và B đều tồn tại c ∈ (a, b) để f(c) = α.
Hệ quả. Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và
M = sup {f (x) : x ∈ [a, b]}; m = inf {f (x) : x ∈ [a, b]}.
Khi đó, với mọi α ∈ [m, M] tồn tại c ∈ [a, b] sao cho: f(c) = α.
3.4 Đạo hàm và vi phân
3.4.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của đạo hàm
1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.12. Cho Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b), x
0
∈ [a, b], ∆x = x − x
0
, gọi
là số gia của x tại x
0
; ∆y = f (x + ∆x) − f(x
0
), gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x.
Nếu tồn tại và hữu hạn lim
∆x→0
∆y
∆x
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại x
0
và được kí

hiệu là f

(x
0
). Vậy f

(x
0
) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Nếu chỉ tồn tại f

(x
+
0
) = lim
∆x→0
+
∆y
∆x
và f

(x
−
0
) = lim
∆x→0

−
∆y
∆x
thì các giới hạn đó lần lượt gọi là các
đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái của hàm f(x) tại x
0
.
Định lý 3.16. f(x) có đạo hàm tại khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại
x
0
32
Ví dụ 3.35. Tính đạo hàm của y = x
2
− 1 tại x
0
= 3.
Cho số gia ∆x ta có ∆y = (x
0
+ ∆x)
2
− 1 (x
2
0
− 1) = (3 + ∆x)
2
− 3
2
= 5∆x + (∆x)
2
.

Suy ra f

(x
0
) = lim
∆→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
(6 + ∆x) = 6.
2. Ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm
a) Ý nghĩa hình học: Trong mặt phẳng tọa độ xét đường cong có phương trình y = f(x) và điểm
M
0
(x
0
, f(x
0
)) thuộc đường cong này. Trong chương trình toán phổ thông ta đã biết. Nếu tồn tại
f

(x
0
) thì phương trình tiếp tuyến với đường cong tại M
0
(x
0
, f(x
0

)) là y − f(x
0
) = f

(x
0
)(x −x
0
).
b) Ý nghĩa cơ học: Một chất điểm chuyển đông thẳng có phương trình quãng đường đi được s
theo thời gian t là s = s(t). Xét tại điểm t
0
khi đó
∆s
∆t
là vận tốc trung bình của chất điểm trong
khoảng thời gian từ t
0
đến t
0
+ ∆t . Vì vậy s

(t
0
) = lim
∆t→0
∆s
∆t
là vận tốc tức thời của chất điểm tại
thời điểm t

0
.
3. Các quy tắc tính đạo hàm
Định lý 3.17. Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x .
1. (u + v)

= u

+ v

v(u −v)

= u

− v

2. (u.v)

= uv

+ u

v
3. (
u
v
)

=
u


v − vu

v
2
Định lý 3.18 (Đạo hàm của hàm hợp). Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, kí hiệu là u

x
và
hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u, kí hiệu là y

u
thì hàm số y = f(g(x)) có đạo hàm theo x, kí hiệu
là y

x
và y

x
= y

u
.u

x
3. Bảng đạo hàm
3.4.2 Vi phân.
1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.13. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x
0

∈ (a, b).
Ta nói f(x) khả vi tại x
0
nếu có thể viết ∆y = A.∆x + O(∆x). Trong đó A là hằng số O(∆x) là một
VCB cấp cao hơn ∆x. Nếu f(x) khả vi tại x
0
thì biểu thức dy = A∆x gọi là vi phân của hàm f(x)
tại x
0
Từ định nghĩa ta thấy với ∆x bé thì dy ≈ ∆y
Định lý 3.19. y = f(x) khả vi tại x
0
khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm tại x
0
và dy = f

(x)dx .
2. Áp dụng vi phân vào tính gần đúng
Từ định nghĩa trên ta thấy, khi ∆x đủ nhỏ thì:
f

(x
0
) ≈
∆y
∆x
⇔ ∆y ≈ f

(x
0

).∆x (3.3)
Mà ∆y = f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
) nên
(3.3) ⇔ f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
) ≈ f

(x
0
)∆x
⇔ f (x
0
+ ∆x) ≈ f(x
0
) + f

(x
0
)∆x (3.4)
Ví dụ 3.36. Tính gần đúng
√
4, 01 .
Ví dụ 3.37. Tính gần đúng ln(1,01)
33
3.4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao.

1. Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa 3.14. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm y

= f

(x). Nếu y

= f

(x) có đạo hàm thì đạo
hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y

hay f

(x). Nếu đạo hàm
cấp hai lại có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số y = f(x) và kí hiệu
là y” hay f”’(x) v.v Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n -1 được gọi là đạo hàm cấp n của hàm
số y =f(x) và kí hiệu là y
(n)
hay f
(n)
(x).
Vậy, f
(n)
(x) = [f
(n−1)
(x)]

và qui ước f
(0)

(x) = f (x).
Ví dụ 3.38. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số:
a) y = e
mx
m ∈ R b) y = sinx
Giải.
a) y
(n)
= m
n
e
mx
, n ∈ N
∗
b)
y =
cos x , n = 4k + 1
−sin x , n = 4k + 2
−cos x , n = 4k + 3
sin x , n = 4k
2. Vi phân cấp cao
Tương tự như đạo hàm cấp cao ta có thể nói về vi phân cấp cao. Cho hàm y = f(x) khả vi trên
(a; b). Như đã biết biểu thức dy = f

(x
0
)∆x gọi là vi phân cấp 1 của hàm f(x). Hàm này phụ thuộc
vào hai biến độc lập là x và ∆x . Tuy nhiên nếu cố định ∆x thì nó trở thành hàm một biến đối với
x. Nếu hàm này khả vi trên (a; b) thì nó được gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x)và kí hiệu là d
2

y
như vậy d
2
y = d(y

∆x) = (y

∆x)

∆x = y

(∆x)
2
Bởi vì dx = ∆x nên d
2
y = y

dx
2
Một cách tổng quát ta có thể xác định d
n
y = y
(n)
dx
n
nếu y khả vi cấp n trên (a, b).
Vì hệ thức này nên đạo hàm cấp n còn có thể viết y
(n)
=
d

n
dx
n
Vi phân cấp cao không có dạng thức bất định như vi phân cấp 1. Thật vậy:
- Nếu y = f(u), u là biến độc lập thì d
2
y = f

udu
2
(∗)
- Nếu u = u(x) thì d
2
y = (f(u(x)))

dx
2
= (f

(u).u

(x))

dx
2
== [f

(u).(u

(x))

2
+f

(u)u

(x)]dx
2
=
f

(u)du
2
+ f

(u)d
2
(u) (∗∗)
Vì (∗) và (∗) nên vi phân cấp 2 nói chung không có dạng thức bất biến.
3.5 Một số định lý về hàm khả vi
3.5.1 Các định lý về giá trị trung bình
1. Định lý Fecmat
Định nghĩa 3.15 (Khái niệm cực trị địa phương). Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a,b).
Điểm x
0
∈ (a, b) gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) địa phương của hàm số y=f(x) trên (a,b) nếu
∃δ > 0 sao cho B
δ(x
0
)
= (x

0
− δ; x
0
+ δ) ⊂ (a, b) để ∀x ∈ B
δ(x
0
)
thì f(x) ≤ f (x
0
) f (x) ≥ f(x
0
) .
Điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Định lý 3.20 (Fecmat). Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại x
0
và có đạo hàm tại x
0
thì f

(x
0
) = 0.
34
Định lý 3.21 (Rolle). Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên (a, b)và
f(a)=f(b). khi đó tồn tại c ∈ (a, b) để f’(c)=0.
Định lý 3.22 (Lagrange). Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên (a, b).
Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) đẻ f

(c) =
f(b) − f(a)

a −b
.
Định lý 3.23 (Cauchy). Cho các hàm số y=f(x), y=g(x) xác định, liên tục trên đoạn [a, b], khả vi
trên (a, b), và g

(x) = 0 trên (a, b). Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) để
f

(c)
g

(c)
=
f(b − f(a))
g(b) −g(a)
.
3.5.2 Định lý Taylor
1. Công thức Taylor
Định lý 3.24 (Công thức Taylor). Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], có đạo hàm đến cấp
(n+1) trên khoảng (a;b) và x
0
∈ (a; b). Khi đó mọi x ∈ [a; b], ta có
f(x) =
n
k=o
f
(k)
(x
0
)

k!
(x −x
0
)
k
+
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x −x
0
)
n+1
,
trong đó c là một số nằm giữa x
0
và x.
Kí hiệu P
n
(x) =
n
k=o
f
(k)
(x
0
)
k!
(x −x

0
)
k
gọi là đa thức Taylor bậc n của hàm f(x) tại lân cận của
điểm x
0
.
2. Khai triển Taylor một số hàm sơ cấp đơn giản
Dựa vào định lý Taylor ta có các công thức sau đây
(i)e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+ +
x
n
n!
+
+
x
n+1
(n + 1)!
e, 0 < θ < 1
(ii) sin x = x −
x
3
3!
+

x
5
5!
− + (−1)
k−1
x
2k−1
(2k − 1)!
+
+(−1)
k
x
2k+1
(2k + 1)!
cos θx, 0 < θ < 1
(iii) cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
− + (−1)
k−1
x
2k−2
(2k − 2)!
+
+(−1)

k
x
2k
(2k)!
cos θx, 0 < θ < 1
(iv) ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
4
− + (−1)
n−1
x
n
n −1
+
+(−1)
n
x
n+1
n + 1
(1 + θx)
−(n+1)
, 0 < θ < 1
(v)(1 + x)
α
= 1 + αx +

α(α − 1)
2!
x
2
+ +
+
α(α − 1) (α − n −1)
n!
x
n
+
α(α − 1) (α − n)
(n + 1)!
(1 + θx)
α−n
,
0 < θ < 1
3. Một số áp dụng của khai triển Taylor
35
Ví dụ 3.39. Tính gần đúng số e với sai số nhỏ hơn 0,001.
Giải. Ta có khai triển Taylor của hàm e
x
e = 1 + 1 +
1
2!
+ +
1
n!
+
1

(n + 1)!
e
θ
, 0 < θ < 1 nên suy ra
e = 1 + 1 +
1
2!
+ +
1
n!
+
1
(n + 1)!
e
θ
, 0 < θ < 1
Vậy ta cần chọn số tự nhiên n sao cho
e
θ
(n + 1)!
<
3
(n + 1)
< 0, 001. suy ra n ≥ 6
Suy ra e ≈ 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!

+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
= 2, 718
Ví dụ 3.40. Biểu diễn f(x) = 2x
3
− 3x
2
+ 5x + 1 dưới dạng tổng lũy thừa của (x + 1)
Giải. Ta có f
(n)
(x) = 0 với mọi n ≥ 4
Vậy áp dụng công thức Taylor vào hàm số f(x) trong lân cận của điểm x
0
= −1 ta có
f(x) = f(−1) +
f

(−1)
1!
(x + 1) +
f

(−1)

2!
(x + 1) +
f

(−1)
3!
(x + 1)
Mà f(−1) = −9, f

(−1) = 17, f

(−1) = −18, f

(−1) = 12
nên f(x) = −9 + 17(x + 1) − 9(x + 1)
2
+ 2(x + 1)
3
.
Ví dụ 3.41. Tính = lim
x→0
1
x
1
x
− cot gx
Giải. Ta có
L = lim
x→0
1

x
sin x −x cos x
x sin x
= lim
x→0
x −
x
3
3!
+ 0(x
3
) −x(1 −
x
2
2!
+ 0(x
2
))
x
2
(x + 0(x
2
))
=
1
2
−
1
6
=

1
3
3.5.3 Quy tắc L’Hospital
Định lý 3.25 (Quy tắc L’Hópital). Cho f(x) và g(x) là những hàm liên tục trên (a; b)\{x
0
}, g

(x) =
0 với mọi x ∈ (a, b)\{x
0
}.
Cho lim
x→x
0
f

(x)
g

(x)
= A (hữu hạn và vô hạn).
Khi đó nếu lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x
0
g(x) = 0 (1)
Hoặc nếu lim
x→x

0
g(x) = +∞ (2)
thì lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= A
Ví dụ 3.42. lim
x→0
+
ln x
x
= lim
x→0
+
1
x
1
= +∞
Ví dụ 3.43. lim
x→0
+
x ln x = lim
x→0
+
ln x
1
x
= lim

x→0
+
1
x
−1
x
2
= 0
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
 3.1. Tìm giới hạn các hàm số sau
36
a. lim
x→∞
3x
2
+ 2x + 8
4x
2
+ 4x − 1
b. lim
n→∞
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
2n
4
c. lim
n→∞
(n + 2)! + (n + 1)!
(n + 1)! − (n + 2)!
d. lim
x→∞

2
x
+ 4
x
4
x
− 3
x
 3.2. Tìm giới hạn các hàm số sau
a. lim
x→∞
(
√
x + 1 −
√
x)
b. lim
x→0
3
√
1 + x −
3
√
1 −x
x
c. lim
x→−2
x
3
+ 3x

2
+ 2x
x
2
− x − 6
d. lim
x→
π
6
2 sin
2
x + sin x − 1
2 sin
2
x −3 sin x + 1
e. lim
n→∞
1
1.2
+
1
2.3
+ +
1
(n −1)n
f. lim
n→∞
1 −2 + 3 − 4 + − 2n
√
n

2
+ 1
g. lim
n→∞
(
1
n
2
+
2
n
2
+ +
n −1
n
2
)
h. lim
n→∞
1 +
1
2
+ +
1
2
n
1 +
1
3
+ +

1
3
n
 3.3. Tìm giới hạn của các hàm sau:
1. lim
x→0
e
x
− e
−x
− 2x
1 −sin x
2. lim
x→a
3
√
x −
3
√
a
√
x −
√
a
a > 0.
3. lim
x→0
ln sin mx
ln sin nx
; m, n là nguyên dương n = m.

4. lim
x→0
1 + sin ax − cos ax
1 + sin bx − cos bx
5. lim
x→1
sin πx
α
sin πx
β
6. lim
x→0
√
cos x −
3
√
cosx
sin
2
x
7. lim
x→1
sin
2
(π2
x
)
ln cos(π2
x
)

8. lim
x→1
x
x
− 1
ln x −x + 1
9. lim
x→0
e
−1/x
2
x
−100
10. lim
x→1
tg
πx
2
ln(2 −x)
11. lim
x→+∞
x ln(
2
π
arctgx)
12. lim
x→0
1
ln(x +
√

1 + x
2
)
−
1
ln(1 + x)
 3.4. Xác định các hằng số a, b để các hàm số sau liên tục tại mọi x.
a. y
1
=
e
x
nếu x < 0
a + x nếu x ≤ 0
b. y
2
=
−2 sin x nếu x ≤ −
π
2
a sin x + b nếu |x| <
π
2
cos x nếu x ≥
π
2
c. y
3
=
(e

x
2
− cos x)
x
2
nếu x = 0
a nếu x = 0
d. y
4
=
x
2
− 3x + 2
x −2
khi x = 0
a khi x = 0
 3.5. Tính đạo hàm của các hàm số sau.
37
1. y = sin[cos
2
(tg
3
x)]
2. y = 1 +
3
1 +
4
√
1 + x
4

3. y = (sin x)
x
4. y = x
x
x
5. y = x + x
x
+ x
x
x
6. y = x
3
e
x
2
sin 2x
7. y =
(x −2)
2
3
√
x + 1
(x −5)
3
8. y = (1 + x)
√
2 + x
2
3
√

3 + x
3
 3.6. Biến đổi phương trình y

− y
2
+ 2xy
3
= 0 bằng cách coi x là hàm của biến y.
 3.7. Tìm y

, y

, y

nếu:
a) x
2
+ xy + y
2
= 3
b) x
2
− xy + 2y
2
+ x − y − 1 = 0 khi x = 0, y = 1
 3.8. Cho y là hàm số của x xác định bởi x =
t
2
1 −t

; y =
t
t
2
− 1
. Tính y

(x), y

(x).