Biểu diễn bất khả quy của các đại số LIE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
*********
HÀ NGỌC DƯ
BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY
CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
QUY NHƠN - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
*********
HÀ NGỌC DƯ
BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY
CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN AN KHƯƠNG
QUY NHƠN - 2011
i
MỤC LỤC
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 kiến thức cơ sở 3
1.1 Định nghĩa và ví dụ về đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Iđêan và đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Biểu diễn của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Tính giải được và tính lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Định lý Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Định lý Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Tiêu chuẩn Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Biểu diễn của sl
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 lý thuyết cấu trúc 20
2.1 Đại số con Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Dạng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Các tính chất của hệ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Dạng chuẩn Weyl-Chavalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Các tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chương 3 lý thuyết biểu diễn 40
3.1 Biểu đồ Cartan-Stiefel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Trọng và vectơ trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Sự hoàn toàn khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Phân loại các đại số Lie đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.1 A
l
= sl(l + 1, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 B
l
= o(2l + 1, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 C
l
= sp(l, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.4 D
l
= o(2l, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.5 G
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ii
3.4.6 F
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.7 E
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.8 E
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.9 E
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Biểu diễn trực giao và đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 4 biểu diễn bất khả quy của các đại số lie nửa đơn có
chiều thấp 62
4.1 Biểu diễn bất khả quy của sl
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Bảng các biểu diễn bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1
LỜI MỞ ĐẦU
Đại số Lie và lý thuyết biểu diễn của các đại số Lie là một trong những lĩnh
vực quan trọng nhất của toán học vì tính đẹp đẽ của nó cũng như sự ứng dụng
rộng rãi của nó trong toán học và các khoa học khác. Hiện đã có rất nhiều
chuyên khảo kinh điển và công cụ tính toán mạnh mẽ hỗ trợ cho lý thuyết này.
Trong một bài báo gần đây ([6]), do nhu cầu biểu diễn nghiệm của một
phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất thông qua nghiệm của các phương

trình bậc thấp hơn, thông qua lý thuyết Galois vi phân, hai tác giả Nguyễn An
Khương và Marius van der Put đã dùng phần mềm trực tuyến LiE ([7]) để tính
toán và thiết lập các biểu diễn bất khả quy có chiều nhỏ hơn 11 cho các đại số
Lie nửa đơn có chiều thấp. Bảng kết quả này càng lớn thì ta càng có thể mở
rộng được lớp các phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có nghiệm có
thể biểu diễn được thông qua nghiệm của các phương trình có bậc thấp hơn.
Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu và trình bày lại một cách hệ thống,
chứng minh chi tiết các kết quả về biểu diễn của các đại số Lie nửa đơn, dùng
phần mềm trực tuyến LiE để tính lại bảng kết quả nói trên cho các đại số Lie
nửa đơn có chiều thấp trong [7, Mục 1.2].
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn được chia làm bốn chương. Chương
1 dành để trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản về các đại số Lie sẽ dùng
trong các chương sau. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lý thuyết cấu trúc
của các đại số Lie nửa đơn. Chương 3 dành để mô tả biểu diễn của các đại số
Lie nửa đơn. Cuối cùng, trong Chương 4, chúng tôi sử dụng phần mềm trực
tuyến LiE để tính lại các biểu diễn bất khả quy có chiều không quá 11 của các
đại số Lie nửa đơn có chiều thấp trong [6].
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng
dẫn của thầy Nguyễn An Khương. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và kính trọng sâu sắc đối với thầy. Thầy không chỉ cung cấp những tài
liệu quý giá, hướng dẫn, truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và
những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà còn thông cảm, khuyến khích,
động viên tác giả vượt qua những khó khăn trong suốt thời gian tác giả học
tập và nghiên cứu đề tài.
2
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Khoa
Toán, cùng quý thầy cô đã tận tình tham gia giảng dạy Lớp Cao học Toán
khóa XI, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu đề tài.
Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến lãnh đạo Sở Giáo dục

và Đào tạo tỉnh Gia Lai, Phòng Giáo dục Trung học nơi tác giả đang công tác;
Trường THPT Chu Văn An - Gia Lai nơi tác giả đã từng công tác. Quý thầy,
cô đã hết sức quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện kế
hoạch học tập và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, các anh chị trong lớp
Cao học Toán khóa X, khóa XI của Trường Đại học Quy Nhơn cùng những
người thân trong gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên, khích lệ và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù tác giả đã cố gắng rất nhiều nhưng kết quả đạt được trong luận văn
vẫn còn khiêm tốn và khó tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác giả mong nhận
được những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy Cô và độc giả để luận văn
hoàn thiện hơn.
3
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm, các kết quả (hầu
như không chứng minh) sẽ được dùng trong các chương sau.
1.1 Định nghĩa và ví dụ về đại số Lie
Định nghĩa 1.1.1. Cho K là một trường, charK = 2, 3. Một đại số Lie g là
một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K được trang bị một ánh xạ song
tuyến tính (được gọi là ngoặc Lie) [, ] : g × g −→ g cùng với hai tính chất sau đây
(i) [X, Y ] = −[Y, X] (tính đối xứng lệch), và
(ii) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 (hệ thức Jacobi),
với mọi phần tử X, Y, Z ∈ g.
Ví dụ 1.1.2. Các không gian vectơ dưới đây đều là các đại số Lie với ngoặc
Lie xác định bởi [A, B] = AB − BA, với A, B là các ma trận vuông cấp n.
(1) Đại số Lie tuyến tính tổng quát gl
n
= {A ∈ Mat
n

}.
(2) Đại số Lie tuyến tính đặc biệt sl
n
= {A ∈ Mat
n
|tr(A) = 0}.
(3) Đại số Lie trực giao o
n
=

A ∈ Mat
n
|A + A
T
= 0

.
(4) Đại số Lie unitary u
n
= {A ∈ Mat
n
|A + A
∗
= 0},
(5) Đại số Lie unitary đặc biệt su
n
= {A ∈ u
n
|tr(A) = 0}.
(6) Đại số Lie đối ngẫu (symplectic) sp

n
=

A ∈ Mat
2n
|A
T
J + JA = 0

,
trong đó
J = diag(J
1
, J
1
, , J
1
) với J
1
=

0 1
−1 0

.
Định nghĩa 1.1.3. Cho g là một đại số Lie và {X
1
, X
2
, , X

n
} là một cơ sở
của (không gian vectơ) g. Ánh xạ song tuyến tính [, ] hoàn toàn xác định khi
4
các giá trị [X
i
, X
j
] đã biết. Các hệ số c
k
ij
trong quan hệ [X
i
, X
j
] = c
k
ij
X
k
được
gọi là các hằng số cấu trúc của g.
1.2 Iđêan và đồng cấu
Định nghĩa 1.2.1. Một đại số Lie con của g là một không gian con p của g
đóng kín với phép toán ngoặc Lie, tức là [p, p] ⊂ p. Nói cách khác, p là một đại
số Lie với phép toán tuyến tính và phép toán ngoặc Lie cảm sinh từ g.
Định nghĩa 1.2.2. Một đại số Lie con p là một iđêan của g nếu [g, p] ⊂ p,
tức là nếu X ∈ g và Y ∈ p thì [X, Y ] ∈ p.
Nếu p là một iđêan của g thì không gian vectơ thương g/p = {X + p|X ∈ g}
cùng với phép toán ngoặc [, ] cảm sinh trên g/p xác định một đại số Lie được

gọi là đại số Lie thương của g bởi p.
Định nghĩa 1.2.3. Cho g, g
1
là các đại số Lie. Một ánh xạ tuyến tính ϕ : g → g
1
bảo toàn phép toán ngoặc Lie, nghĩa là ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )] được gọi là
một đồng cấu giữa hai đại số Lie g, g
1
.
Nếu g
1
= g thì ϕ gọi là một tự đồng cấu. Một đồng cấu được gọi là đẳng
cấu nếu là song ánh. Một đẳng cấu của một đại số Lie vào chính nó gọi là tự
đẳng cấu.
Hạt nhân của một đồng cấu ϕ : g → g
1
là tập hợp {X ∈ g|ϕ(X) = 0}, kí
hiệu là ker ϕ.
Mệnh đề 1.2.4. Cho g, g
1
là các đại số Lie và một đồng cấu ϕ : g → g
1
.
Khi đó,
(i) Nếu q là một đại số Lie con của g
1
thì ϕ
−1
(q) là một đại số Lie con của g;
(ii) Nếu q là một iđêan của g

1
thì ϕ
−1
(q) là một iđêan của g;
(iii) Im ϕ là một đại số Lie con của g
1
.
1.3 Biểu diễn của đại số Lie
Định nghĩa 1.3.1. Một biểu diễn của một đại số Lie g trên một không gian
vectơ V là một đồng cấu của đại số Lie ϕ : g −→ gl(V ). Ta nói rằng g tác động
5
trên V hoặc V là một g-không gian hoặc V là một g-môđun.
Định nghĩa 1.3.2. Một biểu diễn ϕ gọi là biểu diễn trung thành nếu ker ϕ = 0,
nghĩa là ϕ(X) = 0 ⇔ X = 0. Đặc biệt, nếu ker ϕ = q thì nó cảm sinh nên một
biểu diễn trung thành của g/q một cách tự nhiên.
Một biểu diễn tầm thường của một đại số Lie g là biểu diễn của g trên không
gian 1 chiều với tất cả các phần tử trong g thành toán tử 0.
Định nghĩa 1.3.3. Cho ϕ
1
, ϕ
2
là hai biểu diễn của g trên các không gian
vectơ tương ứng V
1
, V
2
. Một ánh xạ tuyến tính T : V
1
→ V
2

được gọi là đẳng
biến đối với ϕ
1
, ϕ
2
nếu nó thỏa mãn quan hệ
T ◦ ϕ
1
(X) = ϕ
2
(X) ◦ T, ∀X ∈ g.
Nếu đẳng biến T là một đẳng cấu thì ta nói ϕ
1
và ϕ
2
là tương đương. Khi
đó,
ϕ
2
(X) = T ◦ ϕ
1
(X) ◦ T
−1
, ∀X ∈ g.
Thông thường ta chỉ cần quan tâm đến một lớp tương đương của các biểu diễn.
Định nghĩa 1.3.4. Cho g tác động trên V qua ϕ. Một không gian con ổn định
(hay không gian con bất biến) W của biểu diễn ϕ là một không gian con của
V sao cho
ϕ(X)(W ) ⊆ W, ∀X ∈ g.
Khi đó, có một biểu diễn cảm sinh tự nhiên của g trên không gian thương

V/W , và phép chiếu chính tắc V → V/W là đẳng biến.
Định nghĩa 1.3.5. Biểu diễn ϕ của g trên V được gọi là biểu diễn bất khả quy
(hay còn gọi là biểu diễn đơn) nếu nó không có không gian con bất biến không
tầm thường (nghĩa là khác 0 và V ).
Biểu diễn ϕ của g trên V được gọi là biểu diễn hoàn toàn khả quy (hay còn
gọi là biểu diễn nửa đơn) nếu mọi không gian con bất biến của V đều có một
không gian con bù bất biến trong V . Hay nói một cách tương đương, biểu diễn
ϕ của g trên V được gọi là hoàn toàn khả quy nếu nó được phân tích thành
tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy theo nghĩa dưới đây.
6
Định nghĩa 1.3.6. Cho ϕ
1
, ϕ
2
là hai biểu diễn của g trên các không gian tương
ứng V
1
, V
2
. Khi đó, tổng trực tiếp ϕ
1
⊕ ϕ
2
: g −→ gl(V
1
⊕ V
2
) của hai biểu diễn
ϕ
1

, ϕ
2
là biểu diễn trên V
1
⊕ V
2
và tích tensor ϕ
1
⊗ ϕ
2
: g −→ gl(V
1
⊗ V
2
) của
hai biểu diễn ϕ
1
, ϕ
2
là biểu diễn trên V
1
⊗ V
2
được xác định như sau:
ϕ
1
⊕ ϕ
2
(X)(v
1

, v
2
) = (ϕ
1
(X)(v
1
), ϕ
2
(X)(v
2
)),
ϕ
1
⊗ ϕ
2
(X)(v
1
, v
2
) = ϕ
1
(X)(v
1
) ⊗ v
2
+ v
1
⊗ ϕ
2
(X)(v

2
)).
Định nghĩa 1.3.7. Cho g là một đại số Lie. Ánh xạ đạo hàm D : g → g trên
g là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn
D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ].
Định nghĩa 1.3.8. Với mỗi X ∈ g, ta định nghĩa ánh xạ
ad(X) : g −→ g
Y −→ [X, Y].
Định nghĩa 1.3.9. Cho g là một đại số Lie. Tâm của g là iđêan
{X ∈ g : [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g} = ker(ad: g →Endg).
Kí hiệu là C(g).
Định nghĩa 1.3.10. Cho g là một đại số Lie. Một dạng song tuyến tính đối
xứng ., . : g × g → K được gọi là bất biến nếu [X, Y ], Z = X, [Y, Z].
Định nghĩa 1.3.11. Cho g là một đại số Lie. Một dạng song tuyến tính đối
xứng trên g xác định bởi
k(X, Y ) = tr(ad X ◦ ad Y )
được gọi là dạng Killing trên g. Ta thường viết X, Y  = tr(ad X ◦ ad Y ).
1.4 Tính giải được và tính lũy linh
Định nghĩa 1.4.1. Cho g là một đại số Lie. Đại số dẫn xuất của g là đại số
Lie con g
(1)
= [g, g] = [X, Y ] : X, Y ∈ g.
7
Định nghĩa 1.4.2. Cho g là một đại số Lie. Chuỗi giảm trong g được xác
định bởi g
0
= g, g
n
= [g
n−1

, g], có nghĩa là
g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], g] ⊇
Dãy dẫn xuất của g được xác định bởi g
(0)
= g, g
(n)
= [g
(n−1)
, g
(n−1)
], có nghĩa
là
g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], [g, g]] ⊇
Rõ ràng ta có g
(n)
⊆ g
n
.
Định nghĩa 1.4.3. Đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu g
n
= 0 với n > 0,
có nghĩa là chuỗi giảm của nó dừng. Đại số Lie g được gọi là giải được nếu
g
(n)
= 0 với n > 0, có nghĩa là dãy dẫn xuất của nó dừng.
Mệnh đề 1.4.4. Cho 0 → q → g → p → 0 là một dãy khớp ngắn các đại số
Lie. Khi đó, g giải được nếu và chỉ nếu p và q đều giải được .
Mệnh đề 1.4.5. Nếu a và b là các iđêan giải được (tương ứng lũy linh) của g
thì a + b cũng vậy.
Chứng minh. Với trường hợp giải được, ta xét dãy khớp ngắn

0 → a → a + b → (a + b)/a → 0.
Thành phần thứ 3 trong dãy là đẳng cấu với b/(a ∩ b). Vì vậy, a + b là giải
được. Áp dụng Mệnh đề 1.4.4 ta được điều phải chứng minh.
Với trường hợp lũy linh, xét ∀a
1
, a
2
∈ a, ∀b ∈ b ta có [a
2
, b] ∈ a. Suy ra
[a
1
[a
2
, b]] ∈ a
1
. Do đó ∀a
1
, a
2
, , a
s
∈ a, ∀b ∈ b ta có [a
1
[a
2
[ [a
s+1
, b]]]] ∈ a
s

.
Vì vậy, tất cả các ngoặc dài của a + b đều bằng 0 vì chúng hoặc thuộc a
s
với s
đủ lớn hoặc thuộc b
t
với t đủ lớn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.5 Định lý Engel
Mệnh đề 1.5.1. Cho g là đại số Lie tác động trên không gian vectơ V khác 0
bởi các toán tử lũy linh. Khi đó, hạt nhân
N = {v ∈ V : Xv = 0, ∀X ∈ g} = 0.
8
Chứng minh. Ta chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp trên số chiều
của g. Trường hợp dim g = 0 là hiển nhiên.
Giả sử mệnh đề đúng cho mọi trường hợp có chiều < n. Lấy g có dim g = n,
(n > 0). Ta giả sử ϕ : g → gl(V ) là biểu diễn trung thành vì nếu không đại
số Lie g/ker ϕ có số chiều < n. Do đó, ta có thể xét g như là đại số Lie con
của gl(V ). Bây giờ, g tác động trên chính nó bởi toán tử ad và mọi toán tử
ad X, X ∈ g đều là lũy linh. Ta có
ad X.Y = XY − Y X,
(ad X)
2
.Y = ad X(ad X.Y ) = ad X(XY − Y X)
= X(XY − Y X) − (XY − Y X)X
= X
2
Y − XY X − XY X + Y X
2
= X
2

Y − 2XY X + Y X
2
,
và các nhân tử X xếp thành lũy thừa trên một phía hoặc khác phía.
Nếu X
k
= 0 thì (ad X)
2k
= 0. Gọi m là đại số Lie con cực đại của g, m khác
g. Khi đó, m tác dụng trên g bởi hạn chế của ad. Vì m là đại số Lie con nên
toán tử này để lại m bất biến. Vì vậy, tồn tại biểu diễn cảm sinh trên g/m. biểu
diễn này vẫn còn các toán tử lũy linh. Do đó, hạt nhân bằng 0 bởi giả thiết
quy nạp.
Một phần tử khác 0 thuộc không gian này được biểu diễn bởi một phần tử
X
0
/∈ m. Thực tế X
0
≡ 0 modulo m bởi m dịch chuyển [m, X
0
] ⊂ m. Do đó,
((m, X
0
)) là một đại số Lie con của g. Bởi tính cực đại của m nên ((m, X
0
)) = g.
Bởi giả thiết quy nạp hạt nhân U của m trong V ban đầu là khác 0 và quan
hệ Y X
0
= X

0
Y + [Y, X
0
] chứng tỏ rằng X
0
ánh xạ U vào chính nó (nghĩa là
nếu Y u = 0, ∀Y ∈ m thì X
0
u = 0). Toán tử X
0
vẫn là toán tử lũy linh trên
U. Vì vậy, U có một vectơ hạt nhân v khác 0. Do đó, v là vectơ hạt nhân khác
0 của mọi toán tử trên g.
Định lý 1.5.2 (Định lý Engel). Cho V là một không gian vectơ. Gọi g là một
đại số Lie con của đại số Lie tuyến tính tổng quát gl(V ) gồm các toán tử lũy
linh. Khi đó, g là một đại số Lie lũy linh.
Một cách tương đương, nếu g là một đại số Lie thỏa mãn mọi toán tử
ad X, X ∈ g là lũy linh thì g là lũy linh.
9
Chứng minh. Xem [8, 1.7, tr. 19-20].
1.6 Định lý Lie
Mệnh đề 1.6.1 (Bổ đề Dynkin). Cho g là một đại số Lie tác động trên không
gian vectơ V , gọi a là một iđêan của g và λ là một hàm tuyến tính trên a. Gọi
W là không gian con của V bao gồm tất cả các vectơ riêng liên kết của a với
giá trị riêng λ (có nghĩa là W = {v ∈ V : λ(X)v = Xv, X ∈ a}). Khi đó, W
là bất biến dưới mọi phần tử của g.
Chứng minh. Với v ∈ V , A ∈ a và X ∈ g ta có
AXv = XAv + [A, X]v = λ(A)Xv + λ([A, X])v.
Để ý rằng [A, X] ∈ a. Do đó, để chứng tỏ Xv ∈ W ta chỉ cần chứng tỏ
λ([A, X]) = 0. Thật vậy, với X cố định ta thành lập các vectơ v

0
= v, v
1
= Xv,
v
2
= X
2
v, , v
i
= X
i
v, và dãy tăng các không gian U
i
= ((v
0
, v
1
, , v
i
)),
i ≥ 0. Gọi k là số nhỏ nhất trong tất cả các số i sao cho U
i
= U
i+1
. Ta chứng
minh bằng phương pháp quy nạp rằng tất cả các U
i
đều bất biến dưới mọi
A ∈ a và ma trận của A trên U

k
đối với cơ sở {v
0
, v
1
, , v
k
} là ma trận tam
giác với tất cả các phần tử trên đường chéo là λ(A).
Với i = 0, bởi giả thiết ta có Av
0
= λ(A)v
0
. Với i > 0 ta có
Av
i
= AX
i
v = XAX
i−1
v + [A, X]X
i−1
v = XAv
i−1
+ [A, X]v
i−1
.
Theo giả thiết quy nạp và [A, X] ∈ a nên số hạng thứ hai thuộc U
i−1
. Với số

hạng đầu ta có Av
i−1
= λ(A)v
i−1
mod U
i−2
. Vì vậy, XAv
i−1
= λ(A)v
i
mod U
i−1
.
Hoàn toàn tương tự, Av
i
= λ(A)v
i
mod U
i−1
. Rõ ràng điều này đã chứng tỏ
khẳng định của chúng ta.
Bằng cách lấy vết trên U
k
ta tìm được tr(A) = (k + 1)λ(A). Đặc biệt,
tr([A, X]) = (k + 1)λ([A, X]).
Mà U
k
cũng bất biến qua X. Vì vậy ta có tr([A, X]) = tr(AX −XA) = 0.Vì
k + 1 > 0 nên λ([A, X]) = 0.
10

Định lý 1.6.2 (Định lý Lie). Cho V là không gian vectơ trên trường số phức
C. Gọi g là một đại số Lie giải được tác động trên V bởi một biểu diễn ϕ. Khi
đó, tồn tại một vectơ liên kết v
0
∈ V, v
0
= 0 thỏa mãn Xv
0
= λ(X)v
0
, ∀X ∈ g
trong đó λ : g → C.
Một cách tương đương, một biểu diễn bất khả quy phức của một đại số Lie
phức giải được có số chiều ≤ 1.
Nói cách khác, bất kì một biểu diễn phức của một đại số Lie phức giải được
là tương đương với ma trận tam giác trên.
Trường hợp đặc biệt chỉ có các biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều của g
là biểu diễn con 1 chiều.
Chứng minh. Xem [8, 1.8, tr. 22].
Hệ quả 1.6.3. Trong trường có đặc số 0, nếu g là đại số Lie giải được hữu
hạn chiều thì [g, g] là lũy linh.
1.7 Tiêu chuẩn Cartan
Mệnh đề 1.7.1. Cho g là đại số Lie con của gl(V ) đối với không gian vectơ
V cùng với tính chất tr(XY ) = 0, ∀X, Y ∈ g. Khi đó, đại số Lie dẫn xuất g
(1)
là lũy linh.
Chứng minh. Để chứng minh ta sử dụng dạng toán tử Jordan.
Lấy X ∈ g

ta có X = S + N với SN = NS, N lũy linh và S đường chéo

(tức là S = diag(λ
1
, λ
2
, , λ
n
)) quan hệ với một cơ sở của V thích hợp. Ta
xét tất cả các toán tử trên V như là các ma trận đối với cơ sở này và thường
lấy ma trận đơn vị là E
ij
với 1 tại vị trí ij, còn 0 tại các vị trí còn lại. Khi đó,
{E
ij
} là cơ sở của gl(V ).
Đặt S = diag(λ
1
, λ
2
, , λ
n
) là liên hợp phức của S. Khi đó, S có thể được
viết như một đa thức trong S bởi phép nội suy Lagrange (vì λ
i
= λ
j
⇒ λ
i
= λ
j
nên tồn tại một đa thức p(x) với p(λ

i
) = λ
i
).
Bây giờ, ta xét biểu diễn ad của gl(V ) hạn chế trên g. Ta có
g ⊆ gl(V ), g
(1)
⊆ g; X ∈ g
(1)
⇒ X ∈ g
11
và
ad X : g → g
Y → ad X(Y ) = [X, Y] = XY − YX.
Với mọi Y ∈ g, ta có
ad X(Y ) = ad (S + N)(Y ) = [S + N, Y ] = (S + N)(Y ) − (Y )(S + N)
= SY + NY − Y S − Y N = (SY − Y S) + (NY − Y N)
= ad S(Y ) + ad N(Y ) = (ad S + ad N)(Y ).
Vì vậy, ad X = ad S + ad N.
Ở đây [S, N] = 0 suy ra [ad S, ad N] = 0, ad N là lũy linh (như trong chứng
minh của Định lý 1.6.2) và cuối cùng ad S là đường chéo với giá trị riêng λ
i
−λ
j
trên E
ij
. Vì vậy, g
(1)
là nửa đơn. Do đó, ad S + ad N là sự phân tích Jordan của
ad X. Vì vậy, ad S là một đa thức trong ad X. Ngoài ra, ad S cũng là đường

chéo với giá trị riêng λ
i
−λ
j
trên E
ij
. Mặt khác ad S là một đa thức trong ad S.
Khi đó, ad S là một đa thức trong ad X. Cuối cùng điều này suy ra ad S(g) ⊂ g
hay [S, Y ] ∈ g, Y ∈ g.
Từ S = p(S) ta kết luận rằng S và N là giao hoán. Vì vậy, tích SN là lũy
linh và đặc biệt SN có vết bằng 0. Vì thế tr SX = trSS =

λ
i
λ
i
.
Vì X ∈ g
(1)
nên X =

[A
r
, B
r
] với A
r
, B
r
∈ g. Với mỗi số hạng ta có

trS[A, B] = tr(SAB − SBA) = trSAB − trASB = tr[S, A]B.
Vì [S, A] ∈ g nên tr[S, A]B = 0 bởi giả thuyết trên g. Do đó,

λ
i
λ
i
= 0
với mọi λ
i
. Vì vậy, S = 0. Ta đã chứng tỏ mọi X ∈ g
(1)
đều lũy linh. Do đó,
theo Định lý Engel 1.5.2 g
(1)
là lũy linh.
Định lý 1.7.2 (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất). Cho g ⊆ gl(V ) và K là một
trường với charK = 0. Khi đó, g là giải được nếu và chỉ nếu dạng Killing k
của nó đồng nhất bằng 0 trên đại số Lie dẫn xuất g
(1)
= g

, nghĩa là với mỗi
X ∈ g và Y ∈ [g, g] ta có X, Y  = 0 hay [g, g] ⊆ g
⊥
.
Chứng minh. Xem [8, 1.9, 1.10, tr. 20-24].
Định lý 1.7.3 (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai). Một đại số Lie g là nửa đơn nếu
và chỉ nếu số chiều của nó dương và dạng Killing k của nó là không suy biến.
(k không suy biến có nghĩa là: Nếu X

0
∈ g, k(X
0
, Y ) = 0, ∀Y ∈ g thì X
0
= 0.)
12
Chứng minh. Xem [8, 1.9, 1.10, tr. 20-24].
Hệ quả 1.7.4 ([8, Corollary B ]). Một đại số Lie g là nửa đơn nếu và chỉ nếu
nó là tổng trực tiếp của các đại số Lie đơn.
Chứng minh. Cho g là một đại số Lie nửa đơn và gọi a là một iđêan tùy ý khác
0. Đặt a
⊥
= {X ∈ g| k(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a}. Bởi tính bất biến của dạng Killing
k ta có k(X, [Y, Z]) = k([X, Y ], Z). Vì vậy [X, Y ] ∈ a
⊥
nếu X ∈ a
⊥
. Khi đó, a
⊥
cũng là một iđêan. Từ tính không suy biến của k suy ra dim a+dim a
⊥
= dim g.
Mặt khác, a ∩ a
⊥
cũng là iđêan của g. Bởi tiêu chuẩn Cartan thứ nhất 1.7.2
và tính triệt tiêu dạng Killing nên a ∩ a
⊥
là giải được. Bởi tính nửa đơn của
g nên a ∩ a

⊥
= 0. Vì a và a
⊥
không có các iđêan giải được hoặc dạng Killing
của chúng không suy biến nên a và a
⊥
phải là nửa đơn. Hơn nữa, tính đơn bao
hàm nửa đơn.
Từ đó suy ra g là tổng trực tiếp của a và a
⊥
.
Mệnh đề 1.7.5. Mọi đạo hàm của một đại số Lie đều là tích trong.
Chứng minh. Gọi g là đại số Lie nửa đơn và D : g → g là một đạo hàm. Xét
hàm tuyến tính
l : g → K
X → tr(D.ad X).
Vì g nửa đơn nên dạng Killing là tích trong không suy biến cho ta một phép
đẳng cấu với đối ngẫu. Do đó, tồn tại Y ∈ g sao cho l(X) = Y, X. Nhiệm vụ
của ta là chứng tỏ rằng D = ad Y , có nghĩa là E = D − ad Y = 0.
Điều này tương đương với việc chứng tỏ rằng EX = 0, ∀X ∈ g hay tương
đương với EX, Z = 0, ∀Z ∈ g. Vì
ad (EX)(Z) = [EX, Z] = E[X, Z] − [X, EZ]
nên
ad (EX) = E.ad X − ad X.E = [E, ad X] : g → g.
Do đó
EX, Z = tr(ad (EX).ad Z) = tr([E, ad X].ad Z) = tr(E.[ad X, ad Z]).
Bởi định nghĩa của E ta có tr(E.ad a) = tr(D.ad a) − Y, a = 0.
13
Định nghĩa 1.7.6. Cho g là một đại số Lie. Radical của g là iđêan cực đại
giải được của g. Kí hiệu là R(g).

Định nghĩa 1.7.7. Một đại số Lie g được gọi là đại số Lie đơn nếu g chỉ có
duy nhất các iđean là 0 và g (có nghĩa là g không giao hoán). Nói cách khác,
g không có các iđêan không tầm thường khác 0 và g và dim g > 1.
Đại số Lie g được gọi là nửa đơn nếu Radical của g bằng 0 và dim g > 0.
Nhận xét 1.7.8.
(i). R(g) là tổng của tất cả các iđêan giải được trong g.
(ii). Rõ ràng R(g/R(g)) = 0 và dãy 0 → R(g) → g  g/R(g) → 0 là khớp,
trong đó g là đại số Lie bất kì, R(g) là iđêan giải được, g/R(g) là nửa đơn.
Bổ đề 1.7.9. R(g) = 0 ⇔ g không có các iđêan giao hoán khác 0.
Bổ đề 1.7.10. Cho g là đại số Lie. Khi đó R(g) ⊇ g
⊥
⊇ [R(g), R(g)].
Định lý 1.7.11. Trong trường có đặc số 0, các tính chất sau đây là tương
đương.
(i). g là nửa đơn;
(ii). R(g) = 0;
(iii). Dạng Killing là không suy biến (tiêu chuẩn Killing).
Chứng minh. (iii) ⇒ (ii) : Ta chứng tỏ rằng nếu a là một iđêan của g thì
a ⊆ g
⊥
. Ta viết g = a + h, trong đó h là một không gian vectơ phần bù đối với
a. Bởi vì a là một iđêan nên [a, X] ∈ a, ∀X ∈ g. Hơn nữa, ad a tác động bởi 0
trên a. Vì vậy, với a ∈ a, ad a có ma trận

0 ∗
0 0

.
Với X ∈ g, ad X có ma trận


∗ ∗
0 ∗

.
Do đó,
tr(ad a.ad X) = tr(

0 ∗
0 0

) = 0,
tức là a, g = 0. Vì dạng Killing không suy biến nên a = 0.
(ii) ⇒ (iii) : Gọi r ⊆ g
⊥
là một iđêan và giả sử r = 0. Khi đó, r ⊆ gl(g) qua
toán tử ad và X, Y  = 0, ∀X, Y ∈ r. Bởi tiêu chuẩn Cartan thứ nhất 1.7.2,
14
ad r = r/C(r) là giải được. Vì vậy, r là giải được. Do đó, R(g) = 0. Mâu thuẫn
với R(g) = 0.
(ii), (iii) ⇒ (i) : Cho ., . là không suy biến và a ⊆ g là iđêan cực tiểu
khác 0. Ta khẳng định rằng ., .|
a
là khác 0 hoặc không suy biến. Thật vậy,
hạt nhân của ., .|
a
là {X ∈ a : X, a = 0} = a ∩ a
⊥
là một iđêan. Tiêu chuẩn
Cartan thứ nhất 1.7.2 suy ra rằng a giải được nếu ., .|
a

= 0. Vì R(g) = 0 nên
ta kết luận rằng ., .|
a
không suy biến. Do đó, g = a ⊕ a
⊥
, trong đó a là một
iđêan cực tiểu, có nghĩa g là đơn. (Chú ý R(g) = 0 nên a không thể giao hoán.)
Mặt khác các iđêan của a
⊥
là các iđêan của g. Vì vậy, ta có thể áp dụng lí
luận tương tự đối với a
⊥
. Vì R(g) = 0 nên R(a
⊥
) = 0. Do đó g = ⊕a
i
, trong
đó a
i
là các đại số Lie nửa đơn.
(i) ⇒ (ii) : Theo Hệ quả 1.7.4, g là tổng trực tiếp của các iđêan cực tiểu
trong một tác động duy nhất. Điều này có nghĩa là nếu g = ⊕a
i
trong đó a
i
là
các iđêan cực tiểu và b là iđêan cực tiểu của g thì b = a
i
với i nào đó. Do đó,
g không có iđêan cực đại nào. Kết luận rằng (i) ⇒ (ii).

1.8 Biểu diễn của sl
2
Kí hiệu A
1
= sl
2
= sl(2, C). Ta có sl
2
= {A ∈ Mat
2
|tr(A) = 0}. Đại số Lie
sl
2
với cơ sở được cho {H, X
+
, X
−
}, trong đó
H =

1 0
0 −1

, X
+
=

0 1
0 0


, X
−
=

0 0
1 0

và quan hệ
[H, X
+
] = 2X
+
, [H, X
−
] = −2X
−
, [X
+
, X
−
] =H.
Định nghĩa 1.8.1. Không gian con λ−trọng của V là tập hợp tất cả các vectơ
riêng của H với giá trị riêng λ, kí hiệu V
λ
= {v ∈ V : Hv = λv}.
Mệnh đề 1.8.2. Nếu v ∈ V
λ
thì X
+
v và X

−
v cũng là các vectơ riêng của H
với giá trị riêng tương ứng λ + 2 và λ − 2 (tức là X
+
v ∈ V
λ+2
, X
−
v ∈ V
λ−2
).
15
Chứng minh. Ta có Hv = λv và [H, X
+
] = HX
+
− X
+
H.
Do đó,
HX
+
v = (HX
+
− X
+
H + X
+
H)v = [H, X
+

]v + X
+
(Hv)
= 2X
+
v + X
+
λv = (λ + 2)X
+
v.
Tương tự [H, X
−
] = HX
−
− X
−
H.
Do đó,
HX
−
v = (HX
−
− X
−
H + X
−
H)v = [H, X
−
]v + X
−

(Hv)
= (−2X
−
)v + X
−
λv = (λ − 2)X
−
v.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ, ta phân tích tác động của A
1
. Trước tiên ta chú ý rằng sự tồn tại
các vectơ riêng của H là hiển nhiên do C là trường đóng đại số. Lấy một vectơ
v của H và hình thành dãy v, X
+
v, (X
+
)
2
v,
Do Mệnh đề 1.8.2, tất cả các vectơ này hoặc là 0 hoặc là các vectơ riêng
của H sao cho không có hai vectơ nào có cùng một giá trị riêng. Vì H chỉ có
một số hữu hạn các giá trị riêng nên ta đi đến một vectơ v
0
khác 0 thỏa mãn
Hv
0
= λv
0
với λ nào đó và X

+
v
0
= 0. Ta định nghĩa v
1
= X
−
v
0
, v
2
= X
−
v
1
,
với v
−1
= 0. Gọi v
r
là vectơ khác 0 cuối cùng trong dãy trên.
Bởi Mệnh đề 1.8.2 ta có Hv
i
= (λ − 2i)v
i
với mọi i ≥ −1. Ta chứng minh
bằng quy nạp rằng quan hệ X
+
v
i

= µ
i
v
i−1
với µ
i
= i(λ + 1 − i), ∀i ≥ 0.
Trường hợp i = 0 là hiển nhiên và µ
0
= 0.
Bước quy nạp bao gồm việc tính toán
X
+
v
i+1
= X
+
X
−
v
i
= X
−
X
+
v
i
+ [X
+
, X

−
]v
i
= X
−
µ
i
v
i−1
+ Hv
i
= µ
i
v
i
+ (λ − 2i)v
i
= (µ
i
+ λ − 2i)v
i
,
với µ
i
+ λ − 2i = (i + 1)[λ + 1 − (i + 1)] = µ
i+1
.
Bây giờ, ta lấy i = r+1 sao cho v
r
= 0 và v

r+1
= 0. Từ 0 = X
+
v
r+1
= µ
r+1
v
r
ta được µ
r+1
= 0. Điều này cho phép λ = r.
Các vectơ v
0
, v
1
, , v
r
là các vectơ riêng của H với các giá trị riêng phân
biệt. Vì vậy, nó độc lập tuyến tính. Các công thức tác động của X
+
và X
−
chứng tỏ không gian W = v
0
, v
1
, , v
r
 là bất biến dưới tác động của A

1
. Đặc
16
biệt, nếu V bất khả quy thì W = V . Do đó, các biểu diễn bất khả quy phải
giống như trên.
Rõ ràng một biểu diễn bất khả quy loại này là tồn tại. Lấy một số tự nhiên
bất kì r ≥ 0. Lấy một không gian vectơ có số chiều r + 1 với cơ sở v
0
, v
1
, , v
r
và xác định một tác động của A
1
bởi công thức trên
Hv
i
= (r − 2i)v
i
,
X
−
v
i
=

v
i+1
khi i < r
0 khi i = r

,
X
+
v
i
=

µ
i
v
i−1
khi i = 0
0 khi i = 0
, µ
i
= i(r + 1 − i).
Thật vậy, đây là một biểu diễn của A
1
, nghĩa là quan hệ [X
+
, X
−
]v = Hv
đúng cho mọi vectơ v thuộc không gian này. Hơn nữa, biểu diễn này là bất khả
quy.
Đặt r = 2s với s = 0,
1
2
, 1,
3

2
, và kí hiệu biểu diễn vừa mô tả bởi D
s
.
Nó có số chiều là 2s + 1. Ta có µ
i
= i(2s + 1 − i). Ta viết các ma trận đối với
H, X
+
, X
−
dưới D
s
đối với cơ sở {v
i
} như sau
H → diag(2s, 2s − 2, , 2 − 2s, −2s),
X
+
→











0 µ
1
0
0 µ
2
.
.
.
0 µ
r
0 0










, X
−
→











0 0
1 0
1 0
.
.
.
0 1 0










.
Định lý 1.8.3. Các biểu diễn D
s
với s = 0,
1
2
, 1,
3
2

, có số chiều 2s + 1
hoàn thành danh sách các biểu diễn bất khả quy của A
1
.
D
0
là biểu diễn tầm thường có số chiều bằng 1, nghĩa là tất cả các toán tử
đều bằng 0. D
1
2
là biểu diễn của A
1
theo dạng ban đầu sl(2, C). D
1
là biểu diễn
17
liên hợp v
0
, v
1
, v
2
giống như X
+
, H, X
−
. Ta có
ad H =





2 0 0
0 0 0
0 0 −2




, ad X
+
=




0 −2 0
0 0 1
0 0 0




, ad X
−
=





0 0 0
−1 0 0
0 2 0




.
Định lý 1.8.4 ([2, Theorem 2.1]). (i) Với mọi n ≥ 0 tồn tại duy nhất một
biểu diễn bất khả quy của g = sl
2
có số chiều bằng n + 1.
(ii) Mọi biểu diễn hữu hạn chiều của sl
2
là một tổng trực tiếp của các biểu
diễn bất khả quy.
Chứng minh. Xem [8, 1.11, 1.12, tr. 27-30].
Định lý 1.8.5 (Tính hoàn toàn khả quy của A
1
). Mọi biểu diễn của A
1
đều
là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy.
Chứng minh. Trước tiên, ta xét biểu diễn trên một không gian vectơ V cùng
với không gian con V

bất biến bất khả quy và một tác động cảm sinh bất khả
quy trên không gian thương W = V/V

. Kí hiệu π : V → W để chỉ phép chiếu

đẳng biến. Gọi biểu diễn trong V

là D
s
với cơ sở v
0
, v
1
, , v
r
trong đó r = 2s,
gọi biểu diễn trong W là D
q
với cơ sở w
0
, w
1
, , w
p
trong đó p = 2q.
Ta phải tạo ra một phần bù bất biến U đối với V

trong V . Các giá trị riêng
của H trên V đều là các giá trị riêng của D
s
cũng là các giá trị riêng của D
q
.
Có hai trường hợp xảy ra.
(1) Trường hợp q > s hoặc 2s và 2q có tính chẵn lẻ khác nhau. Gọi u

0
là
một vectơ riêng của H trong V với giá trị riêng 2q. Rõ ràng u
0
/∈ V

. Bởi Mệnh
đề 1.8.2 ta có X
+
u
0
= 0 vì 2q + 2 không là giá trị riêng của H. Khi đó, u
0
sinh
ra một không gian con bất biến U kiểu D
q
. Hiển nhiên U là phần bù đối với
V

.
(2) Trường hợp q ≤ s và 2s và 2q có cùng tính chẵn lẻ. Đặt d = 2e = r − p.
Bởi r − 2e = 2q nên ta có Hv
e
= 2qv
e
. Trước tiên, ta chứng tỏ rằng H còn
có một vectơ riêng khác ứng với giá trị riêng này. Nếu không thì tồn tại một
vectơ u
0
/∈ V


thỏa mãn Hu
0
= 2qu
0
+ v
e
. Khi đó,
(H − 2q)
2
u
0
= (H − 2q)v
e
= 0.
18
Ta có thể sắp xếp π(u
0
) = w
0
. Ta thành lập u
1
= X
−
u
0
, u
2
= X
−

u
1
, và
chứng minh bằng quy nạp quan hệ Hu
i
= (2q − 2i)u
i
+ v
e+i
.
Thật vậy, bởi HX
−
= X
−
H − 2X
−
ta có
Hu
i
= HX
−
u
i−1
= X
−
Hu
i−1
− 2X
−
u

i−1
= X
−
[(2q − 2(i − 1))u
i−1
+ v
e+i−1
] − 2X
−
u
i−1
= (2q − 2i)X
−
u
i−1
+ X
−
v
e+i−1
= (2q − 2i)u
i
+ v
e+i
.
Bây giờ ta phân biệt trường hợp q < s và q = s.
(i) Nếu q < s thì u
p+1
∈ V

. Bởi tính đẳng biến nên ta có

π(u
p+1
) = X
−
(w
p
) = 0.
Nhưng không có v ∈ V

có thể thỏa mãn quan hệ Hv = (2q − 2p − 2)v + v
e+p+1
(viết v =

a
i
v
i
và áp dụng ma trận đường chéo H). Vì vậy trường hợp này
không thể xảy ra.
(ii) Nếu q = s (có nghĩa là e = 0) thì ta tìm Hu
r+1
= (−2s − 2)u
r+1
,
do v
r+1
= 0. Vì −2s − 2 không là giá trị riêng của H trên V nên u
r+1
= 0.
Bây giờ, ta chứng minh bằng quy nạp công thức X

+
u
i
= µ
i
u
i−1
+ iv
i−1
, với
µ
i
= i(2s + 1 − i). Bởi vì X
+
v
0
= 0 và 2s + 2 không là giá trị riêng của H nên
từ
HX
+
u
0
= X
+
Hu
0
+ 2X
+
u
0

= (2s + 2)X
+
u
0
,
suy ra X
+
u
0
= 0. Tiếp theo,
X
+
u
1
= X
+
X
−
u
0
= X
−
X
+
u
0
+ X
+
X
−

u
0
− X
−
X
+
u
0
= X
−
X
+
u
0
+ Hu
0
= 2su
0
+ v
0
.
Đối với nhân tử µ
i
. Chú ý X
+
u
i
≡ µ
i
u

i−1
mod V

bằng cách áp dụng π. Đối
với i = r + 1 ta có u
r+1
và µ
r+1
triệt tiêu nhưng v
r
là không triệt tiêu. Do đó,
ta có mâu thuẫn.
Do đó, H có một vectơ riêng thứ hai đối với giá trị riêng 2q thêm vào v
e
.
Thực tế có một vectơ như thế là u
0
thỏa mãn X
+
u
0
= 0. Điều này là hiển nhiên
nếu q = s. Vì giá trị riêng 2q + 2 của H có số bội 1 nên trường hợp q < s suy
ra từ Mệnh đề 1.8.2. Bây giờ, vectơ u
0
sinh ra không gian con bù U. Đó là cái
ta cần tìm.
19
Bây giờ, ta đến trường hợp tổng quát. Cho A
1

tác động trên V và gọi
V
1
là một không gian con bất biến bất khả quy. Xét phép chiếu đẳng biến
π : V → W = V/V
1
. Bởi quy nạp trên số chiều ta có thể giả sử tác động của
A
1
trên W là hoàn toàn khả quy. Do đó, W là tổng trực tiếp của các không
gian con bất biến bất khả quy W
i
với i = 2, , k. Đặt W

i
= π(W
i
). Ta có các
dãy khớp ngắn 0 → V
1
→ W

i
→ W
i
→ 0. Như đã chứng minh ở trên tồn tại
phần bù bất biến bất khả quy V
i
của V
1

trong W

i
. Bây giờ dễ dàng thấy rằng
V là tổng trực tiếp của các V
i
với i = 1, , k. Tính hoàn toàn khả quy đã được
thiết lập.
Chú ý 1.8.6. Số lần xuất hiện D
s
trong sự phân tích biểu diễn ϕ thành tổng
trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy được gọi là số bội n
s
của D
s
trong ϕ.
Ta thường viết ϕ =

n
s
D
s
.
20
Chương 2
LÝ THUYẾT CẤU TRÚC
Chương này ta phát triển lý thuyết cấu trúc của đại số Lie nửa đơn tổng
quát trên trường C (dạng chuẩn Weyl-Chevalley) và đi đến phân loại các đại
số Lie nửa đơn. Xuyên suốt chương ta luôn giả thiết g là đại số Lie phức có số
chiều n.

2.1 Đại số con Cartan
Định nghĩa 2.1.1. Cho g là một đại số Lie và a là một đại số con của g. Cái
chuẩn tắc hóa của a trong g là n(a) = {X ∈ g|ad X(a) ⊆ a} là đại số con lớn
nhất của g chứa a như một iđêan.
Một đại số con h của g được gọi là một đại số con Cartan của g (viết tắt
CSA h) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây
(i) h là lũy linh;
(ii) h chính là cái chuẩn tắc hóa của nó, nghĩa là h = n(h).
Ta xây dựng các tính chất quan trọng sau đây: Gọi X ∈ g và ad X là một
toán tử trên không gian vectơ g. Khi đó, tồn tại sự phân tích nguyên sơ
g =

λ
g
λ
(X),
trong đó λ chạy khắp tập các giá trị riêng của ad X và
g
λ
(X) = {Y ∈ g|(ad X − λ)
r
(Y ) = 0} ,
g
λ
(X) = 0 nếu và chỉ nếu λ là giá trị riêng của ad X.
Mệnh đề 2.1.2.
[g
λ
(X), g
µ

(X)] ⊂ g
λ+µ
(X).
21
Chứng minh. Điều này suy ra từ đồng nhất Jacobi
(ad X − (λ + µ))[Y, Z] = [(ad X − λ)Y, Z] + [Y, (ad X − µ)Z],
và kết quả của biểu thức (ad X − (λ + µ))
r
[Y, Z] bằng cách lặp đi lặp lại nhiều
lần.
Nhận xét 2.1.3. Vì ad X(X) = [X, X] = 0 nên g
0
(X) = {Y ∈ g|(ad X)
r
(Y ) = 0}
là một đại số Lie con của g chứa X.
Một phần tử X ∈ g gọi là chính quy nếu tính nility của ad X (số bội đại số
của 0 là giá trị riêng) càng nhỏ càng tốt (so với tất cả các phần tử khác của
g). Ngược lại gọi là kì dị.
Với bất kì X ∈ g các hệ số của đa thức đặc trưng
det(ad X − t) = (−1)
n
(t
n
− D
1
(X)t
n−1
+ D
2

(X)t
n−2
+ · · · )
là các hàm đa thức của X, trong đó D
n
(X) = det(ad X).
Gọi D
r
(X) là thành phần cuối cùng có các hệ số không đồng nhất bằng 0.
Khi đó, X là chính quy nếu D
r
(X) khác 0. Nếu g là abel thì mọi phần tử đều
chính quy.
Mệnh đề sau chứng tỏ rằng đại số con Cartan là tồn tại và đưa ra cách xây
dựng chúng.
Mệnh đề 2.1.4. Nếu X chính quy thì g
0
(X) = {Y ∈ g|(ad X)
r
(Y ) = 0} là
một CAS.
Chứng minh. Xem [8, 1.7, tr. 34].
2.2 Dạng compact
Định nghĩa 2.2.1. Một đại số Lie thực được gọi là dạng compact nếu dạng
Killing của nó xác định âm.
Một đại số Lie thực g
0
được gọi là một dạng thực của một đại số Lie phức
g nếu g là đẳng cấu với sự phức hóa của g
0

.
Chú ý 2.2.2. g có thể có nhiều hơn ba dạng thực không đẳng cấu trên R.