Chuyên đề hình học Cực và đối cực

KHÁM PHÁ ͨNG DͤNG CͦA CͰC VÀ Ĉ͐I
CͰC
Hoàng Qu͑c Khánh
Cͱc và ÿ͑i cͱc là m͙t công cͥ mɞnh và thú vʈ cͧa hình h͍c.V͛i cͱc và ÿ͑i
cͱc ta có thʀÿɉa ra cách nhìn khá nhɢt quán v͛i m͙t s͑ dɞng toán ÿɴc
trɉng (quan hʄ vuông góc,thɰng hàng,ÿ͓ng quy, ).
Cͱc và ÿ͑i cͱc mà thɉ͝ng gɴp ͟ bɪc THPT là cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i ÿɉ͝ng
tròn hoɴc cɴp ÿɉ͝ng thɰng.Ĉây là m͙t bài viɼt ÿɾ cɪp ÿɼn ͩng d
ͥng c
ͧa
cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn !!!!
A/ ĈIɽU KIʃN CͦA BɝN Ĉ͌C.
Ĉʀ có thʀ hiʀu cɴn kɺ bài viɼt này m͗i bɞn ÿ͍c cɤn trang bʈ cho mình
nhͯng kiɼn thͩc cɇ s͟ vɾ hình h͍c phɰng và vɾ phép nghʈch ÿɠo, hàng
ÿiʀm ÿiɾu hòa,chùm ÿiɾu hòa,tͩ giác ÿiɾu hòa,ÿɉ͝ng tròn trͱc giao,ÿʈnh
lí Pappus,ÿʈnh lí Pascal
(các bɞn có thʀ xem m͙t chút ͟ÿây
B/ KIɻN THͨC CɆ S͞ Vɽ CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC Ĉ͐I V͚I
M͘T ĈɈ͜NG TRÒN
I/ĈʇNH NGHŚA
Ĉʈnh nghśa : Trên mɴt phɰng cho ÿɉ͝ng tròn (O,R) và m͙t ÿiʀm S khác O.
Phép nghʈch ÿɠo cͱc O phɉɇng tích biɼn S thành S'.
G͍i d là m͙t ÿɉ͝ng thɰng qua S' và vuông góc v͛i OS. Khi ɢy ta g͍i:
d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O)
S là cͱc cͧa d ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O).
*Ghi chú: Có thʀ nhiɾu bɞn sɺ thɢy ÿʈnh nghśa này hình nhɉ khác v͛i các ÿʈnh
nghśa ph͕ biɼn ͟ Viʄt Nam (chɰng hɞn xem [2] hoɴc [4]) tuy nhiên tác giɠ thɢy
rɮng ÿʈnh nghśa trên ngɬn g͍n hɇn mà vɨn ÿɠm bɠo tính chính xác cͧa vɢn ÿɾ
nên ÿã ch͍n nó và cŸng rɢt vui vì thɢy trong [5] cŸng dùng nó.
II/M͘T S͐ĈʇNH LÍ:
Trong mͥc này ,các ÿʈnh lí sɺ chɉa ÿɉa ra chͩng minh ngay vì lí do riêng.

Mong b
ɞn
ÿ͍c thông cɠm.Khi nào có ÿiɾu kiʄn tôi sɺ gi͛i thiʄu ÿɤy ÿͧ
chͩng minh cͧa chúng.
Ĉʈnh lí 1: Tɪp hͣp các ÿiʀm P liên hͣp v͛i ÿiʀm S (cho trɉ͛c) ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn
(O) là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S. (Ta nói hai ÿiʀm S và P liên hͣp v͛i nhau ÿ͑i v͛i
ÿɉ͝ng tròn (O) nɼu ÿɉ͝ng tròn ÿɉ͝ng kính SP trͱc giao v͛i (O).)
Tͫÿây ta thu ÿɉͣc :
Hʄ quɠ 1: V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà P nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S
ÿ͑i v͛i (O) và SP cɬt (O) ͟ M,N thì b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu
hòa.
Hʄ quɠ 2: (ÿɠo cͧa hʄ quɠ 1).V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà SP cɬt (O) ͟
M,N th͏a mãn b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa thì P nɮm trên
ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S và S nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P.
Ĉʈnh lí 2: OS vuông góc v͛i ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S. (hiʀn nhiên!)
Ĉʈnh lí 3:V͛i hai ÿiʀm S, Q.Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿi qua Q khi và chʆ
khi ÿɉ͝ng
ÿ͑i cͱc cͧa Q sɺÿi qua S.(Ĉʈnh lí La Hire)
Ĉʈnh lí 4 : Ba ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) thɰng hàng khi và
chʆ khi ba ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng ÿ͓ng quy hoɴc song song.
Ĉʈnh lí 5: B͑n ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) lɪp thành 1 hàng
ÿiʀm ÿiɾu hòa khi và chʆ các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng lɪp thành 1 chùm ÿiɾu
hòa.
III/M͘T S͐ CÁCH XÁC ĈʇNH ĈɈ͜NG Ĉ͐
I CͰ
C THÔNG DͤNG
Ĉây sɺ là m͙t phɤn rɢt quan tr͍ng ÿʀ bɞn có thʀ tɉ duy nhanh theo l͑i cͱc ÿ͑i
cͱc!
Trɉ͝ng hͣp 1: Khi cͱc S ͟ ngoài ÿɉ͝ng tròn (O)
Ta có 2 cách dͱng ÿɇn giɠn sau ÿây :

_Cách 1: Tͫ S kɸ t͛i (O) hai tiɼp tuyɼn SA,SB (A,B là tiɼp ÿiʀm ) .Khi ÿó ÿɉ͝ng
ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là AB
Gͣi ý chͩng minh: Dͱa vào ÿʈnh nghśa.
_Cách 2:Tͫ S kɸ t͛i (O) hai cát tuyɼn SAB,SCD. Giɠ sͭ AD cɬt BC ͟ E, AC cɬt BD
͟
F.Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là EF.
Gͣi ý chͩng minh: Giɠ sͭ FE cɬt AB,CD lɤn lɉͣt ͟ M,N.Hãy dùng ÿʈnh lí Menelaus
hoɴc kiɼn thͩc vɾ tʆ s͑ kép ÿʀ chͩng minh: (SMAB)=(SNCB) =-1 r͓i dùng hʄ quɠ
2 là ra.
Trɉ͝ng hͣp 2 :Khi cͱc S nɮm trong ÿɉ͝ng tròn(O)
_Cách 1:Qua S dͱng ÿɉ͝ng vuông góc v͛i OS, ÿɉ͝ng này cɬt (O) ͟ A ,B. Tiɼp
tuyɼn cͧa
(O) tɞi A,B cɬt nhau ͟ P .Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là ÿɉ͝ng thɰng
qua P
vuông góc v͛i OS.
_Cách 2:Qua S dͱng hai dây cung AB và CD . Giɠ sͭ AD cɬt BC ͟ E, AC cɬt BD ͟
F.Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là EF.
Trɉ͝ng hͣp 3; S nɮm trên (O)
Rɢt ÿɇn giɠn : tiɼp tuyɼn cͧa (O) tɞi S chính là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O)!!
IV/M͘T S͐ CÁCH XÁC ĈʇNH CͰC THÔNG DͤNG
Ĉiɾu này dành cho bɞn ÿ͍c tͱ tìm hiʀu dͱa vào mͥc trên!
C/ KHÁM PHÁ ͨNG DͤNG CͦA CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC!
Nhͯng bài toán dɉ͛i ÿây ÿɾu là nhͯng bài toán hay và ÿa phɤn chúng có thʀ giɠi bɮng
phɉɇng pháp khác ,tuy nhiên nhͯng l͝i giɠi ÿɉͣc ch͍n tɢt nhiên sɺ thʀ hiʄn ý tɉ͟ng cͧa
bài viɼt.Chúc các bɞn sɺ có nhiɾu niɾm vui khi theo dõi nó !
I/BÀI TOÁN Vɽ QUAN Hʃ VUÔNG GÓC VÀ SONG SONG GIͮA HAI ĈɈ͜NG THɯNG:
Ĉʈnh lí 2 chính là "chͧ tɉ͛ng" cͧa nhͯng ý tɉ͟ng ÿʀ giɠi quyɼt các bài toán ͟ mͥc này.!!
Chúng ta hãy ÿɼn v͛i bài toán sau:
Bài toán 1:Giɠ sͭÿɉ͝ng tròn(O) v͛i tâm O và bán kính R.Qua M vɺ hai dây cung CD và
EF không ÿi qua tâm O.Hai tiɼp tuyɼn tɞi C,D cͧa (O) cɬt nhau tɞi A,hai tiɼp tuyɼn tɞi

E,F cͧa (O) cɬt nhau tɞi B.Chͩng minh rɮng OM và AB vuông góc v͛i nhau.
(T7/362 Tɞp chí toán h͍c và tu͕i trɸ )
Giɠi:
Ta xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O).
Ta thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là CD ÿi qua M nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M sɺÿi qua A (ÿʈnh lí 3)(1)
Tɉɇng tͱ có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M ÿi qua B (2)
Tͫ (1) và (2) suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M chính là AB
Ĉɼn ÿây theo ÿʈnh lí 2 ta có ÿiɾu phɠi chͩng minh!
Tiɼp theo là m͙t ÿʈnh lí rɢt n͕i tiɼng cͧa hình h͍c phɰng cùng cách chͩng minh vô
cùng ngɬ
n g͍
n dͱa trên cͱc và ÿ͑i cͱc!!
Bài toán 2 (Ĉʈnh lí Brokard) :Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp ÿɉ͝ng tròn (O). Giɠ sͭ AC cɬt BD ͟ M, A
B
cɬt CD ͟ N, AD cɬt BC ͟ P.Chͩng minh rɮng O là trͱc tâm cͧa tam giác MNP.
Giɠi
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O).
Ta thɢy PM là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa N nên theo ÿʈnh lí 2 có ON vuôn góc v͛i PM (1)
Tɉɇng tͱ có : OM vuông góc v͛i PN (2)
Tͫ (1) và (2) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh!
Và có m͙t ví dͥ ý nghśa nͯa mà các bɞn nên suy nghś trɉ͛c khi ÿ͍c l͝i giɠi:
Bài toán 3:Cho tam giác ABC cân tɞi A.Hai ÿɉ͝ng thɰng d1,d2 bɢt kì qua A. Các ÿɉ͝ng thɰng qua
B,C tɉɇng ͩng vuông góc v͛i d1,d2 cɬt nhau tɞi D. Ĉɉ͝ng thɰng qua B vuông góc v͛i AB cɬt d1 tɞi
E.Ĉɉ͝ng thɰng qua C vuông góc v͛i AC cɬt d2 tɞi F. Chͩng minh rɮng AD vuông góc v͛i EF (Bài tɪ
p
5.12 trong [3])
Giɠi
Bɞn có thɢy xuɢt hiʄn ÿɉ͝ng tròn nào ͟ÿɾ toán không? Rõ ràng là không nhʆ?
Ĉúng là bài toán không có ÿɉ͝ng tròn trong ÿɾ nhɉng xuɢt hiʄn m͙t "yɼu t͑ tròn" ÿáng
quan tâm là AB=AC ,ÿʀ tͫÿó "ÿɉ͝ng tròn có ích "xuɢt hiʄn: Ĉɉ͝ng tròn tâm A bán kính

AB.(g͍i tɬt là (A) ).
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (A)
Ta thêm m͙t s͑ kí hiʄu:
d3 là ÿɉ͝ng thɰng qua B và vuông góc v͛i d1
d4 là ÿɉ͝ng thɰng qua C và vuông góc v͛i d2
Dʂ nhɪn thɢy BE,CF là các tiɼp tuyɼn cͧa (A).
Nhɪn thɢy : Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa E sɺÿi qua B và vuông góc v͛i AE , hay chính là d3
Tɉɇng tͱÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa F sɺ là d4
Chú ý ÿɼn ÿʈnh lí 3 ta sɺ có cͱc cͧa EF chính là D, do vɪy theo ÿʈnh lí 2 thì bài toán ÿɉͣc giɠi
quyɼt.!
Tiɼp ÿɼ
n là 3 bài toán có mͩc ÿ͙ cao hɇn m͙t chút:
Bài toán 4:Cho tam giác ABC v͛i các ÿɉ͝ng cao BB',CC'.G͍i E,F lɤn lɉͣt là trung ÿiʀm cͧa AC,AB.
EF cɬt B'C' ͟ K. Chͩng minh rɮng AK vuông góc v͛i ÿɉ͝ng thɰng Euler
cͧa tam giác ABC
Giɠi
Ta sɺ xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn Euler cͧa tam giác ABC ( kí hiʄu là (S) v͛i S là tâm)
G͍i I là giao ÿiʀm cͧa FB' và EC',G là giao ÿiʀm cͧa CF và BE,H là giao ÿiʀm cͧa BB' và CC'
Sͭ dͥng ÿʈnh lí Pappus cho hai b͙ 3 ÿiʀm (F,C',B) và (E,B',C) ta suy ra H,G,I thɰng hàng, do ÿó SI
chính là ÿɉ͝ng thɮng Euler cͧa tam giác ABC.(1)
Mɴt khác ,chú ý E,F,B',C' cùng nɮm trên (S) thì suy ra AK chính là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I,ÿɼn ÿây dùn
g
ÿʈnh lí 2 ta có SI vuông góc v͛i AK.(2)
Tͫ (1) và (2) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Bình luɪn:Nhɉ các bɞn ÿã biɼt H và O là hai ÿiʀm ÿɰng giác và nhɉ vɪy bài toán sau xuɢt hiʄn:
Bài toán 4.1G͍i hai ÿiʀm P,Q là hai ÿiʀm ÿɰng giác ÿ͑i v͛i tam giác ABC.Kɸ PH,PK lɤn lɉͣt vuông
góc v͛i AB,AC ;kɸ QM,QN lɤn lɉͣt vuông góc v͛i AB,AC.Giɠ sͭ HK cɬt MN ͟ S.Khi ÿó AS có vuông
góc v͛i PQ hay không?
Thɪt tuyʄt v͝i là chúng vɨn vuông góc v͛i nhau!!! Tuy nhiên bɞn cŸng sɺ dʂ dàng cɠm nhɪn ÿɉͣc
nɼu làm hoàn toàn tɉɇng tͱ trong bài 4 thì không "trɠm" ÿɉͣc bài này,nói rõ ràng hɇn là ÿʈnh lí

Pappus ÿã bʈ rɇi vào thɼ yɼu,chúng ta vɨn dùng
ÿɉͣc ý tɉ͟ng cͧa cͱc và ÿ͑i cͱc nhɉng cɤn m͙t
công cͥ khác hͯu ích hɇn khi chͩng minh tính thɰng hàng.Các bɞn thͭ suy nghś xem và vɢn ÿɾ sɺ
ÿɉͣc giɠi quyɼt trong m͙t bài viɼt t͛i cͧa tác giɠ
Bài toán 5: (Hoàng Qu͑c Khánh) Cho tam giác ABC n͙i tiɼp ÿɉ͝ng tròn (O,R).Các phân giác
trong BE,CF cɬt lɞi (O) lɤn lɉͣt ͟ M,N .Ĉɉ͝ng thɰng qua M vuông góc v͛i BM cɬt ÿɉ͝ng thɰng qua N
vuông góc v͛i CN tɞi S. Chͩng minh rɮng SO vuông góc v͛i EF.
Giɠi:
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i (O)
Ta sɺ xác ÿʈnh ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S , r͓i chͩng minh nó song song v͛i EF
SN,SM cɬt lɞi (O) lɤn lɉͣt ͟ L,G
Chú ý rɮng ta có C,O,G thɰng hàng;B,O,L thɰng hàng.
Tiɼp tuyɼn cͧa (O) tɞi G,N cɬt nhau ͟ Q
Tiɼp tuyɼn cͧa (O) ͟ L,M cɬt nhau ͟ P
OP cɬt LM ͟ H , OQ cɬt NG ͟ K.
Ta thɢy
Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa Q là GN ÿi qua S nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧ
a S ÿi qua Q.(ÿʈnh lí 3)
Tɉɇng tͱ có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S cŸng ÿi qua P
Do ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S là PQ.
Bây gi͝ ta cɤn chͩng minh PQ //EF
Chú ý rɮng IE//OP,IF//OQ thɼ nên ÿʀ có PQ//EF ta chʆ cɤn chͩng minh
Mɴt khác nhɪn thɢy :
Tͫÿó suy ra Q,K,H,P ÿ͓ng viên nên
Suy ra ta cɤn có (*)
Kɸ ID ,IV lɤn lɉͣt vuông góc v͛i AC,AB chú ý rɮng :
(vì ID=IV) (theo ÿʈnh lý hàm sin) (1)(Vì
OK là ÿɉ͝ng trung bình cͧa tam giác GNC, OH là ÿɉ͝ng trung bình cͧa tam giác LBM)
Lɞi có IE//OH,IF//OK nên
Tͫ (1) và (2) suy ra tam giác IEF ÿ͓ng dɞng v

͛i tam giác OKH .Do ÿó (*) ÿúng nên có ÿiɾu cɤn
chͩng minh
Bài toán 5.1:Giɠ sͭ AD,BE,CF là các ÿɉ͝ng cao và H là trͱc tâm cͧa tam giác nh͍n
ABC.G͍i M,N lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (DE,CF) và (DF,BE)
.Chͩng minh rɮng ÿɉ͝ng thɰng qua A vuông góc v͛i ÿɉ͝ng thɰng MN ÿi qua tâm ÿɉ͝ng
tròn ngoɞi tiɼp tam giác BHC.
(Tɞp chí toán h͍c và tu͕i trɸ)
Bài toán 5 mình nghś ra ÿ͙c lɪp v͛i bài 5.1 nhɉng có 1 ÿiɾu khá thú vʈ là hai bài trên gɤn nhɉ tɉɇn
g
ÿɉɇng!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Bài toán 6:Cho tͩ giác ABCD ngoɞi tiɼp (I) và n͙i tiɼp (O).Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên AB,BC,CD,DA lɤn
lɉͣt là M,N,P,Q.Chͩng minh rɮng MP vuông góc v͛i NQ.
Giɠi
Trɉ͝ng hͣp tͩ giác ABCD có ít nhɢt 1 cɴp cɞnh ÿ͑i song song thì ÿɇn giɠn, ta sɺ giɠi bài toán trong
trɉ͝ng hͣp còn lɞi.
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I)
AB cɬt CD ͟ E
AD cɬt BC ͟ F
Ta thɢy cͱc cͧa MP là E ,cͱc cͧa NQ là F. Ĉʀ giɠi bài toán ta cɤn chͩng minh IE và IF vuông góc v͛i
nhau.
Thɪt vɪy
Chú ý IE,IF lɤn lɉͣt là phân giác cͧa
Nên g͍i giao ÿiʀm cͧa IF v͛i AB và CD lɤn lɉͣt là S,V thì ta cɤ
n chͩng minh tam giác ESV cân tɞi E
Ta thɢy
suy ra tam giác
ESV cân ͟ E.
Suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Bài toán 7:Cho tam giác ABC có ÿɉ͝ng trong n͙i tiɼp là (I).Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên
BC,CA,AB lɤn lɉͣt là D,E,F. AD cɬt lɞi (I) ͟ M.Ĉɉ͝ng thɰng qua M vuông góc v͛i AD

cɬt EF ͟ N.Chͩng minh rɮng AN//BC.
Giɠi
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I)
G͍i P là giao ÿiʀm thͩ hai cͧa MN v͛i (I),dʂ thɢy D,P,I thɰng hàng
EF cɬt IP,IA lɤn lɉͣt ͟ J,G.
Ta thɢy suy ra M,G,I,D ÿ͓ng viên.
Do ÿó :
Suy ra MGJP n͙i tiɼp
Tͫÿó có :
Chú ý rɮng G là trung ÿiʀm cͧa FE nên suy ra (NJEF)=-1 (Theo Maclaurine)
Hay N thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa J (theo hʄ quɠ 2) (1)
Mɴt khác ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là EF ÿi qua J nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa J ÿi qua A (Ĉʈnh lí 3) (2)
Tͫ (1) và (2) suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa J là AN ,theo ÿʈnh lí (2) ta có :
IJ vuông góc v͛i AN
Mà IJ vuông góc v͛i BC nên suy ra ÿiɾu phɠi chͩng minh.
Bình luɪn:
+) Có thʀ khái quát ý tɉ͟ng dùng cͱc và ÿ͑i cͱc ÿʀ chͩng minh tính song song nhɉ sau: Giɠ sͭ có
hai ÿɉ͝ng thɰng d,d' và ÿɉ͝ng tròn (O).Ĉʀ chͩng minh d//d' ta cɤn chͩng minh tâm O nɮm trên
ÿɉ͝ng n͑i hai cͱc cͧa d và d' ÿ͑i v͛i (O)(Trɉ͝ng hͣp có m͙t trong 2 ÿɉɇng ÿi quan tâm ÿɉ͝ng tròn
xét cͱc và ÿ͑i cͱc thì ÿɇn giɠn hɇn ).Và tɢt nhiên ÿʀ chͩng minh tính thɰng hàng liên quan t͛i tâm
ÿɉ͝ng tròn ta có thʀ làm ngɉͣc lɞi,ÿiɾu ÿ
ó sɺÿɉͣc bàn chi tiɼt hɇn ͟ phɤn sau.
Ĉây là dɞng ͩng dͥng ph͕ biɼn và có lɺÿɉͣc nhiɾu bɞn quen dùng nhɢt.Vɾ phɤn
này , các bài toán ví dͥ sɺ có mͩc ÿ͙ không cao lɬm nhɉng ÿͧ ÿʀ thʀ hiʄn cách thͩc
sͭ dͥng,nhͯng bài toán khó hɇn sɺÿɉͣc ÿɴt ͟ phɤn bài tɪp. Chúng ta sɺ bɬt ÿɤu
bɮng bài toán sau:
Bài toán 8: Cho tam giác ABC v͛i (I) là ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp .Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên BC,CA,AB lɤn
lɉͣt là D,E,F.G͍i M,N,P lɤn lɉͣt là ÿiʀm chung cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (EF,BC) ,(DF,CA)
,(DE,AB).Chͩng minh rɮng M,N,P thɰng hàng
Giɠi

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I).
Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là EF ÿi qua M,nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M ÿi qua A.(ÿʈnh lí 3)
Mɴt khác dʂ thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M ÿi qua D nên suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M là AD.
Hoàn toàn tɉɇng tͱ ta có:
Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa N là BE và ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P là CF
Mɴt khác dùng ÿʈnh lí Ceva ta sɺ có AD,BE,CF ÿ͓ng quy nên theo ÿʈnh lí 4 ta có M,N,P thɰng
hàng!
Bình luɪn: Bài toán trên có thʀ m͟ r͙ng nhɉ sau:
Bài toán 8.1: Cho tam giác ABC và 3 ÿiʀm D,E,F theo thͩ tͱ thu͙c BC,CA,AB sao cho
AD,BE,CF ÿ͓ng quy và D,E,F khác trung ÿiʀm ÿoɞn thɰng.G͍i M,N,P lɤn lɉͣt là ÿiʀm chung cͧa
các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (EF,BC) ,(DF,CA) ,(DE,AB).Chͩng minh rɮng M,N,P hɰng hàng
Bɞn có thʀ giɠi bài toán 8.1 bɮng ÿʈnh lí Menelaus nhɉng thɪm chí bài toán m͟ r͙ng này
cŸng chʆ là trɉ͝ng hͣp ÿɴc biʄt cͧa ÿʈnh lí Desargues mà thôi!!!!
Trong bài toán 8 có sͭ dͥng kɼt quɠ AD,BE,CF ÿ͓ng quy và ngay sau ÿây tôi sɺ trình bày
m͙t kɼt quɠ m͟ r͙ng hɇn cͧa nó:
Bài toán 9: (Ĉʈnh lí Brianchon) Chͩng minh rɮng ba ÿɉ͝ng chéo cͧa m͙t lͥc giác ngoɞi tiɼp
ÿ͓ng quy .
Giɠi
Ta kí hiʄu ABCDEF là lͥc giác ngoɞi tiɼp (O).Tiɼp ÿiʀm cͧa (O) trên
AB,BC,CD,DE,EF,FA lɤn lɉͣt là M,N,P,Q,R,S.
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O)
G͍i I,J,K lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (SM,PQ) ,(MN,QR),(NP,RS)
Dùng ÿʈnh lí Pascal cho lͥc giác n͙i tiɼp MNPQRS ta có I,J,K thɰng hàng.
Theo ÿʈnh lí 4 thì các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I,J,K ÿ͓ng quy.
Mà dʂ thɢy các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I,J,K lɤn lɉͣt là AD,BE,CF nên ta có AD,BE,CF ÿ͓ng quy .
Nhɉ vɪy ta có ÿ
iɾu cɤn chͩng minh!
Bài toán sau là m͙t sͱ phát triʀn tͫ bài toán 8 và có nhiɾu ÿiʀm thú vʈ.
Bài toán 10:Cho tam giác ABC, ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tiɼp xúc v͛i BC, CA, AB lɤn lɉͣt tɞi D, E, F.
Ĉɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tam giác DEF tiɼp xúc v͛i EF, FD, DE lɤn lɉͣt tɞi M,P , N. Chͩng minh rɮng

AM, BP, CN ÿ͓ng quy.
Giɠi:
G͍i I ,O lɤn lɉͣt là tâm ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tam giác DEF và ABC
G͍i H,K,L lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (MP,EF),(MN,FD),(MP,DE)
Theo bài toán 8 ta có H,K,L thɰng hàng.(*)
Chú ý rɮng DM,FN,EP ÿ͓ng quy nên (HMFE)=-1
Do ÿó M thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa H ÿ͑i v͛i (O) (theo hʄ quɠ 2)
Mɴt khác dʂ thɢy A thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa H ÿ͑i v͛i (O) nên ta có AM là ÿɉ͝ng ÿ͑i
cͱc cͧa H ÿ͑i v͛i (O). (1)
Tɉɇng tͱ có
BP là
ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa K ÿ͑i v͛i (O) (2).
CN là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa L ÿ͑i v͛i (O). (3)
Tͫ (1),(2),(3), (*) và ÿʈnh lí 4 ta có ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Bình luɪn: Bài toán này có thʀ m͟ r͙ng nhɉ sau:
Bài toán 10.1:Cho tam giác ABC. D, E, F thu͙c BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF ÿ͓ng quy. M, P, N
thu͙c EF, FD, DE sao cho DM, EP, FN ÿ͓ng quy. Chͩng minh rɮng AM, BP, CN ÿ͓ng quy.
Chͩng minh cͧa bài 10.1 bɞn có thʀ tìm trong [1].
Qua 3 bài toán trên hɰn các bɞn ÿã thɢy rõ hiʄu lͱc cͧa ÿʈnh lí 4 cho nhͯng bài toán ͟
phɤn này.Tuy nhiên có nhͯng trɉ͝ng hͣp mà ÿʈnh lí 4 lɞi làm phͩc tɞp vɢn ÿɾ và có thʀ
làm bài toán khó lên rɢt nhiɾu b͟i vì viʄc dͱng cͱc hoɴc ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc là phͩc tɞp.
Trong nhͯng trɉ͝ng hͣp ɢ
y ta cɤn linh hoɞt và tinh ý hɇn, không thʀ cͩ áp dͥng máy
móc ÿɉͣc.M͙t ví dͥ hay mà ý tɉ͟ng giɠi là phɉɇng pháp tɪp hͣp ÿiʀm ÿɉͣc ÿɾ cɪp ngay
sau ÿây:
Bài toán 11: Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp (O).M,N lɤn lɉͣt là trung ÿiʀm cͧa AB,CD. (ABN) cɬt lɞi
AB ͟ P.(CDM) cɬt lɞi CD ͟ Q .Chͩng minh rɮng AC,PQ,BD ÿ͓ng quy.
Giɠi
Khi AB//CD thì bài toán ÿɇn giɠn,ta sɺ xét trɉ͝ng hͣp còn lɞi:
G͍i S là giao ÿiʀm cͧa AB và CD.

G͍i d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O)
G͍i I là giao ÿiʀm cͧa AC và BD thì dʂ thɢy I thu͙c d (1)
Ta thɢy :
Chú ý M là trung ÿiʀm cͧa AB nên ta có (SQAB)=-1
Theo hʄ quɠ 2 sɺ có Q thu͙c d (2)
Tɉɇng tͱ có P thu͙c d (3)
Tͫ (1),(2) và (3) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh
Có nhͯng trɉ͝ng hͣp mà có ÿɉ͝ng thɰng tham gia ÿ͓
ng quy không có cͱc hoɴc ÿiʀm
tham gia thɰng hàng không có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc v͛i ÿɉ͝ng tròn.Ta sɺ xét bài toán sau:
Bài toán 12:Trong tam giác ABC kɸ các ÿɉ͝ng cao AA',BB',CC' và g͍i H là trͱc tâm cͧa tam giác.
G͍i J là m͙t giao ÿiʀm cͧa AA' v͛i ÿɉ͝ng tròn (I) ÿɉ͝ng kính BC.Chͩng minh rɮng BC,B'C' và tiɼp
tuyɼn tɞi J cͧa (I) ÿ͓ng quy.
Giɠi:
G͍i giao ÿiʀm cͧa AH v͛i (I) là nhɉ hình vɺ , thɼ thì J sɺ là hoɴc . Ta sɺ chͩngminh
BC,B'C' và tiɼp tuyɼn tɞi cͧa (I) ÿ͓ng quy. (v͛i thì tɉɇng tͱ)
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I).
Ta thɢy BC không hɾ có cͱc,nên ÿʈnh lí 4 hoàn toàn bɢt lͱc!!
Ta sɺ sͭ dͥng m͙t phɉɇng thͩc khác:
G͍i giao ÿiʀm cͧa BC và B'C' là S
Ta thɢy
AH là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S , mà AH ÿ
i qua nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa sɺÿi qua S (ÿʈnh lí 3)
hay tiɼp tuyɼn tɞi
ÿi qua S. Vɪy ta có ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Bình luɪn:
+) Ĉây là m͙t bài tɪp trong cu͑n :"Bài tɪp hình h͍c 10 nâng cao" ÿi kèm SGK.
+) Bài toán thɪt ÿɇn giɠn khi ta thay ÿ͕i cách nhìn .
+) Ta thɢy SH là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A nên AI vuông góc v͛i SH ( N͙i dung m͙t bài trong [3])
+) B'C' ÿi qua cͱc cͧa nên cͱc cͧa B'C' nɮm trên ,lɪp bài toán ÿɠo và thay ÿ͕i ÿôi

chút ta có thʀÿi ÿɼn bài toán sau:
Bài toán 12.1:Cho tam giác nh͍n ABC.G͍i M là trung ÿiʀm cͧa BC và BE,CF là các
ÿɉ͝ng cao cͧa tam giác .Lɢy D (khác M) là m͙t ÿiʀm nɮm trên ÿɉ͝ng tròn ngoɞi tiɼp cͧa
tam giác EFM th͏a mãn DE=DF. Chͩng minh rɮng AD vuông góc v͛i BC.
(Mathlinks Contest)
+) Trong bài 12.1 nhìn ÿʆnh tam giác vuông là trͱc tâm cͧa tam giác ɢy thì ta có thʀ m͟ r͙ng nhɉ
sau:
Bài toán 12.2:Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp (O). AC và BD cɬt nhau ͟ I. G͍i H,K lɤn lɉͣt
là trͱc tâm cͧa các tam giác AID và BIC. HK cɬt (O) ͟ M và N. G͍i J là giao ÿiʀm cͧa
tiɼp tuyɼn tɞi M,N cͧa (O).S là giao ÿiʀm cͧa AD và Bc. Chͩng minh rɮng S,I,J thɰng hàng.
Tiɼp ÿɼn ta xét bài toán sau:
Bài toán 13:G͍i O là tâm ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tͩ giác ABCD. Qua A,B,C,D lɤn lɉͣt vɺ các ÿɉ͝ng
thɰng dA, dB ,dC và dD tɉɇng ͩng vuông góc v͛i OA,OB,OC,OD.Các cɴp ÿɉ͝ng thɰng dA và dB ,dB
và dC ,dC và dD ,dD và dA tɉɇng ͩng cɬt nhau ͟ K,L,M,N.Chͩng minh rɮng KM và LN cɬt nhau tɞi
O.
(Trích cu͙c thi toán mùa ÿông tɞi Bulgaria ,1996 )
Giɠi:
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O)
Ta thɢy O không có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc ,ÿʈnh lí 4 lɞi vô dͥng .Rɢt thú vʈ rɮng ͟ÿây ÿʈnh lí 2 lɞi cho
thɢy sͩc mɞnh cͧa mình!!!!!!
G͍i I,J,P,Q lɤn lɉͣt là tiɼp ÿiʀm cͧa (O) trên AB,BC,CD,DA.
G͍i E,F,G,H lɤn lɉͣt là giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng:
(OA,IQ),(OB,IJ),(OC,JP),(OD,PQ).
Ta sɺ chͩng minh K,O,M thɰng hàng, còn lɞi tɉɇng tͱ.
Theo giɠ thiɼ
t bài toán ta sɺ
có:
dA là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa E
dB là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa F
Tͫÿó dʂ có EF là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa K (1)

Tɉɇng tͱ thì GH là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M. (2)
Mɴt khác dʂ thɢy EF//GH (3)
Tͫ (1),(2),(3) ,ÿʈnh lí 2 và tiên ÿɾ Euclid ta dʂ có ÿiɾu cɤn chͩng minh.
M͙t bài nͯa v͛i cùng ý tɉ͟ng:
Bài toán 14 (Hoàng Qu͑c Khánh) Cho tam giác ABC ngoɞi tiɼp (I).Tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên
BC,CA,AB lɤn lɉͣt là D,E,F.Trên BC ta lɢy ÿiʀm M,trên AC lɢy ÿiʀm N sao cho IM//EF,IN
//DF.Chͩng minh rɮng AM,BN,IF ÿ͓ng quy.
Giɠi:
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I).
Kɸ DP,EQ lɤn lɉͣt vuông góc v͛i FE,FD.
G͍i giao ÿiʀm cͧa AM và BN là S , ta sɺ chͩng minh I,F,S thɰng hàng.
Ta thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M phɠi ÿi qua D và vuông góc v͛i IM mà IM//EF nên suy ra DP là ÿɉ͝ng
ÿ͑i cͱc cͧa M.
Suy ra P thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M (1)
Mà P thu͙c EF là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A (2)
Tͫ (1),(2) và ÿʈnh lí 3 ta sɺ suy ra AM là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P (3)
Tɉɇng tͱ BN là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa Q (4)
Tͫ (3),(4) và ÿʈnh lí 3 ta lɞi suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i c
ͱc cͧa S là PQ .
Mɴt khác
suy ra PQ//AB
Tͫÿó dʂ có ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Hai bài sau lɢy ý tɉ͟ng chính tͫ [1]
Bài toán 15:G͍i M,N,P là các giao ÿiʀm cͧa ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tam giác ABC v͛i các cɞnh
AB,BC,CA tɉɇng ͩng .Chͩng minh rɮng trͱc tâm tam giác MNP,tâm ÿɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tam giác
ABC ,tâm ÿɉ͝ng tròn ngoɞi tiɼp tam giác ABC thɰng hàng.
(1995 Iranian Math Olympiad)
Giɠi:
G͍i (I),(O )lɤn lɉͣt là các ÿɉ͝ng tròn n͙i,ngoɞi tiɼp tam giác ABC.
G͍i H là trͱc tâm tam giac MNP.

Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I).
Kɸ ND vuông góc v͛i MP ,ME vuông góc v͛i NP.
Trên BC lɢy ÿiʀm S sao cho IS vuông góc v͛i ND
Trên AB lɢy ÿiʀm V sao cho IV vuông góc v͛i ME.
Thɼ thì VS sɺ là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa H nên VS vuông góc v͛i IH (1)
Bây gi͝ÿʀ ý tiɼp :
Nên :
=>S thuôc trͥc ÿɰng phɉɇng cͧa (I,0) và (O).
Tɉɇng tͱ V cŸng thu͙c trͥc ÿɰng phɉɇng cͧa (I,0) và (O).
Do ÿó VS vuông góc v͛i OI (2)
Tͫ (1) và (2) sɺ dʂ có ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Bình luɪn:
+) Bài toán này có m͙t hʄ quɠÿɇn giɠn sau:
Bài toán 15.1: G͍i D,E,F là chân các ÿɉ͝ng cao cͧa tam giác ABC.Ĉɉ͝ng tròn n͙i tiɼp tam giác
DEF tiɼp xúc v͛i các cɞnh tɞi G,H,I.Chͩng minh rɮng hai tam giác ABC và GHI có chung ÿɉ͝ng
thɰng Euler.
+) Chúng ta cŸng có thʀ xét vɢn ÿɾ tɉɇng tͱ v͛i tͩ giác ,bɞn ÿ͍c có thʀ tͱ suy nghś xem sao b͟i
rɢt thú vʈ vì nó vɨn ÿúng!
Bài toán 16:Cho tam giác ABC không cân,các phân giác ngoài các góc A, B, C cɬt các cɞnh ÿ͑i
diʄn lɤn lɉͣt tɞi A',B',C'. Chͩng minh rɮng A',B',C' thɰng hàng và ÿɉ͝ng thɰng A'B'C'vuông góc v͛i
OI.
Giɠi:
Tiɼp ÿiʀm cͧa ÿɉ͝ng tròn (I) n͙i tiɼp tam giác trên BC,CA,AB lɤn lɉͣt là D,E,F.
G͍i M,N,P lɤn lɉͣt là trung ÿiʀm cͧa FE,FD,DE.
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I).
Ta thɢy AA' là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M nên A' thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa M
Mà A' thu͙c BC là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa D nên tͫÿʈnh lí 3 sɺ có ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A'là DM (1)
Tɉɇng tͱÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa B' ,C' lɤn lɉͣ
t là EN ,FP. (2)
Chú ý DM,EN,FP ÿ͓ng quy tɞi tr͍ng tâm G cͧa tam giác DEF (3)

Tͫ (1),(2),(3) và ÿʈnh lí 2,3 ta có A',B',C' thɰng hàng và ÿɉ͝ng thɰng A'B'C' vuông góc
v͛i IG (là ÿɉ͝ng thɰng Euler cͧa tam giác DEF. Kɼt hͣp ÿiɾu này v͛i kɼt quɠ bài toán 15 ta có
ÿiɾu cɤn chͩng minh
)
khi S chɞy trên d thì AB luôn ÿi qua m͙t ÿiʀm c͑ÿʈnh .
Giɠi:
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O).
G͍i I là cͱc cͧa d , vì d c͑ÿʈnh nên I c͑ÿʈnh.
S thu͙c d suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S sɺÿi qua cͱc cͧa d hay AB ÿi qua I c͑ÿʈnh
Bình luɪn: Ý tɉ͟ng là chuyʀn bài toán ÿi qua ÿiʀm c͑ÿʈnh thành bài toán qu͹ tích nh͝ÿʈnh lí 2
và bài toán 17 ÿã ÿɉͣc giɠi quyɼt thɪt g͍n nhɶ.!!!! Ta sɺ dùng ý tɉ͟ng ɢy trong
m͙t bài toán thú vʈ hɇn sau ÿây:
Bài toán 18: Trong mɴt phɰng cho ÿɉ͝ng tròn (O) c͑ÿʈnh bán kính R.Cho A,B là hai ÿiʀm c͑
ÿʈnh nɮm trên (O) sao cho ba ÿiʀm A,B,O không thɰng hàng .Xét m͙t ÿiʀm C nɮm trên ÿɉ͝ng
tròn(O),C không trùng v͛i A và B.Dͱng ÿɉ͝ng tròn ÿi qua A và tiɼp xúc v͛i ÿɉ͝ng thɰng BC
͟ C;dͱng ÿɉ͝ng tròn ÿi qua B và tiɼp xúc v͛i ÿɉ͝ng thɰng AC ͟ C.Hai ÿɉ͝ng tròn này cɬt
nhau tɞi ÿiʀm thͩ hai D khác C.
Chͩng minh rɮng:
1)
2)Ĉɉ͝ng thɰng CD luôn ÿi qua m͙t ÿ
iʀ
m c͑ÿʈnh ,khi ÿiʀm C di ÿ͙ng trên ÿɉ͝ng tròn (O) sao
cho C không trùng v͛i A và B.((O) kí hiʄu ÿɉ͝ng tròn tâm O)
(Trích bài thi HSG qu͑c gia Viʄt Nam bɠng A năm h͍c 2004-2005)
Giɠi:
1)Ta thɢy
suy ra
Tɉɇng tͱ
Suy ra là hình bình hành.
Nên ÿi qua trung ÿiʀm cͧa OC.

Mà ÿi qua trung ÿiʀm cͧa CD nên
Lɞi vì nên
Tͫÿó sɺ có
2) Chú ý rɮng
Suy ra A,D,O,B ÿ͓ng viên.
Ta thɢy OD,AB,tiɼp tuyɼn tɞi C cͧa (O) lɤn lɉͣt là các trͥc ÿɰng phɉɇng cͧa tͫng cɴp ÿɉ͝ng tròn
(ADOB) và (COD), (O) và (ADOB) , (O) và (COD)
Do ÿó 3 ÿɉ͝ng nói trên ÿ͓ng quy ͟ m͙t ÿiʀm S.
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O).
Chú ý ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S phɠi ÿi qua C và vuông góc v͛i OS nên CD chính là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa
S.
Vì S thu͙c AB c͑ÿʈnh nên CD sɺ
ÿi qua cͱc c
ͧa AB là m͙t ÿiʀm c͑ÿʈnh. (DPCM).
Bɞn ÿã thɢy sͱ hͯu dͥng cͧa ÿʈnh lí 3 trong dɞng toán này r͓i nhʆ ? Thɼ nhɉng khi
ÿɉ͝ng thɰng cɤn chͩng minh ÿi qua ÿiʀm c͑ÿʈnh lɞi ÿi qua tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và
ÿ͑i cͱc thì sao?? Ĉɉ͝ng thɰng ɢy rõ ràng là không có cͱc vɪy thì ta phɠi làm thɼ
nào????Biɼt trɉ͝ng hͣp này là sɺ gɴp phɠi nhɉng do th͝i gian gɢp rút nên mình chʆ tìm
ÿɉͣc bài toán khá
ÿɇn giɠn (nhɉng thʀ hiʄn ÿɉͣc ý tɉ͟ng ) nhɉ sau:
Bài toán 19 (Hoàng Qu͑c Khánh):Cho góc xOy c͑ÿʈnh và m͙t ÿiʀm A c͑ÿʈnh nɮm trên tia
Ox. Ĉɉ͝ng tròn (I) thây ÿ͕i nhɉng luôn tiɼp xúc v͛i v͛i hai tia Ox,Oy.G͍i tiɼp ÿiʀm cͧa (I) trên
Ox,Oy lɤn lɉͣt là B,C.Tͫ A ta kɸ tiɼp tuyɼn AD t͛i (I) (D là tiɼp ÿiʀm , D khác B).OI cɬt BD ͟
E.G͍i d là ÿɉ͝ng thɰng qua I và vuông góc v͛i CE. Chͩng minh rɮng khi (I) di ÿ͙ng (nhɉng th͏a
mãn ÿiɾu kiʄn bài toán) thì d luôn ÿi qua m͙t ÿ
iʀm c͑ÿʈnh.
Giɠi
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I).
D cɬt Oy ͟ F.
Ta thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa F là CE(qua E) suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa E sɺÿi qua F (ÿʈnh lí 3) (1)

Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A là BD(qua E) suy ra ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa E sɺÿi qua A (ÿʈnh lí 3) (2)
Tͫ (1),(2) và ÿʈnh lí 3 ta suy ra AF là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa E
Theo ÿʈnh lí 2 ta có AF vuông góc v͛i EI , mà chú ý EI là phân giác góc xOy nên dʂ có F c͑ÿʈnh
Tͫÿó có ÿiɾu cɤn chͩng minh.
IV/LIÊN QUAN ĈɻN BÀI TOÁN QU͸ TÍCH:
Phɉɇng pháp ͟ phɤn này hͯu ích v͛i nhͯng bài mà qu͹ tích cɤn tìm có
dɞng thɰng . Ngɉͣc lɞi v͛i phɤn trên, ta sɺ quy bài toán qu͹ tích vɾ bài
toán chͩng minh ÿɉ͝ng thɰng ÿi qua ÿiʀm c͑ÿʈnh!
Hy v͍ng bɞn sɺ nɬm ÿɉͣc tɉ tɉ͟ng binh pháp qua hai bài toán sau:
Bài toán 20:Cho ÿɉ͝ng tròn (O,R) và ÿiʀm A c͑ÿʈnh nɮm trong ÿɉ͝ng tròn.
Ĉiʀm B di ÿ͙ng trên ÿɉ͝ng tròn (O). Qua O vɺÿɉ͝ng thɰng vuông góc v͛i AB cɬt
tiɼp tuyɼn tɞi B cͧa ÿɉ͝ng tròn tɞi C. Tìm tɪp hͣp ÿiʀm C
(Ĉɾ kiʀm tra ch͍n ÿ͙i tuyʀn h͍c sinh gi͏i toán quɪn 3 ,TP.H͓ Chí Minh
2001-2002 )
Giɠi:
a,Phɤn thuân: Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O).
Ta thɢy ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa C là ÿɉ͝ng thɰng qua B vuông góc v͛i OC nên AB
chính là
ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa C.
G͍i d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A.Dʂ thɢy d c͑ÿʈnh .
Vì ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa C ÿi qua A nên C thu͙c d
Ĉɼn ÿây các bɞn hãy tͱ hɞn chɼ tɪp hͣp ÿiʀm lɞi r͓i tiɼn hành phɤn ÿɠo.
Bài toán 21:Trong mɴt phɰng cho hai ÿɉ͝ng tròn c͑ÿʈnh tiɼp xúc
nhau tɞi ÿiʀm M và bán kính ÿɉ͝ng tròn l͛n hɇn bán kính ÿɉ͝ng tròn
.Xét ÿiʀm A nɮm
trên ÿɉ͝ng tròn sao cho ba ÿiʀm không thɰng hàng .Tͫ A kɸ các
tiɼp tuyɼn AB và AC ÿɼn ÿɉ͝ng tròn (B,C là tiɼp ÿiʀm ).Các ÿɉ͝ng thɰng MB
và MC cɬt lɞi ÿɉ͝ng tròn tɉɇng ͩng tɞi E và F.G͍i D là giao ÿiʀm cͧa ÿɉ͝ng
thɰng EF và tiɼp tuyɼn tɞi A cͧ
a ÿɉ͝

ng tròn .Chͩng minh rɮng ÿiʀm D di
ÿ͙ng trên m͙t ÿɉ͝ng thɰng c͑ÿʈnh khi A di ÿ͙ng trên ÿɉ͝ng tròn sao cho ba
ÿiʀm không thɰng hàng
(HSG qu͑c gia Viʄt Nam bɠng A năm h͍c 2002-2003)
Giɠi:
Có hai trɉ͝ng hͣp là tiɼp xúc trong hoɴc ngoài v͛i nhau.͞ÿây sɺ giɠi khi
chúng tiɼp xúc ngoài, khi tiɼp xúc trong thì hoàn toàn tɉɇng tͱ.
AM cɬt lɞi ͟ G.
Tiɼp tuyɼn cͧa tɞi G,M cɬt nhau ͟ H.
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i
Ta thɢy :
Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa H là MG ÿi qua A nên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa A sɺÿi qua H,nói cách
khác B,C,H thɰng hàng.
Trong phép vʈ tͱ tâm M biɼn thì:
Suy ra: qua phép vʈ tͱ
ɢy.
Do ÿ
ó : D,M,H thɰng hàng.
Lɞi chú ý HM là tiɼp tuyɼn chung cͧa nên D luôn thu͙c m͙t ÿɉ͝ng c͑ÿʈnh là
tiɼp tuyɼn chung cͧa
V/M͘T S͐ BÀI TOÁN KHÁC
͞ÿây sɺ có bài toán khác nhͯng dɞng bài trên nhɉng cŸng có nhͯng bài toán dͱa trên
nhͯng dɞng bài ɢy.
Bài toán 22:Cho ABC là m͙t tam giác và O là tâm ÿɉ͝ng tròn ngoɞi tiɼp cͧa nó.Các ÿɉ͝ng thɰng
AB và AC cɬt lɞi ÿɉ͝ng tròn ngoɞi tiɼp tam giác BOC ͟ tɉɇng ͩng.G͍i D là giao ÿiʀm cͧa
BC và .Chͩng minh rɮng ÿɉ͝ng tròn tiɼp xúc v͛i AD tɞi A và có tâm nɮm trên trͱc
giao v͛i ÿɉ͝ng tròn ÿɉ͝ng kính OD (MOP 1997)
Giɠi :
G͍i (I) là ÿɉ͝ng tròn tiɼp xúc v͛i AD tɞi A và có tâm nɮm trên
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (I).

Ta thɢy:
(1)
Mà OA=OB (2)
Tͫ (1) và (2) suy ra : (3)
Tɉɇng tͱ : (4)
Tͫ (3) và (4) suy ra
Tͫÿây sɺ dʂ có O thuôc ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa D và theo ÿʈnh lí 1 sɺ có ÿiɾu phɠi chͩng minh.
Bài toán 23:Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp (O). AC cɬt BD ͟ I. G͍i M,N lɤn lɉͣt là giao
ÿiʀm thͩ hai cͧa các cɴp ÿɉ͝ng tròn : (AOB) và (COD) ;(BOC) và (AOD). Chͩng minh
rɮng O,I,M,N ÿ͓ng viên.
Giɠi:
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O).
Cách 1:
Ta thɢy AB,OM,CD lɤn lɉͣt là trͥc ÿɰng phɉɇng cͧa các cɴp ÿɉ͝ng tròn (AOB) và (O) ; (AOB) và
(COD) ; (COD) và (O) nên AB,CD,OM ÿ͓ng quy ͟ m͙t ÿiʀm mà ta g͍i là S.
SO cɬt (O) ͟ E,F.
Ta thɢy :
Chú ý rɮng O là trung ÿiʀm EF nên ta có (SMEF)=-1, do ÿó M thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S (1)
Mà I cŸng thu͙c ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S (2)
Tͫ (1) và (2) suy ra IM là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S, do ÿó (3)
Tɉɇng tͱ có (4)
Tͫ (3) và (4) suy ra ÿiɾu cɤn chͩ
ng minh.
Cách 2:
Xét phép nghʈch ÿɠo cͱc O phɉɇng tích :
Do ÿó :
Nên (*)
Tɉɇng tͱ (J là giao ÿiʀm cͧa AD và BC)(**)
G͍i I' là ɠnh cͧa I qua phép nghʈch ÿɠo ɢy.(***)
Vì SJ là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I nên theo ÿʈnh nghśa ta sɺ có I' thu͙c SJ, hay S,I',J thɰng hàng.(****)

Tͫ (*) ,(**),(***) và (****) ta có ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Bài toán 24 :Cho tͩ giác ABCD n͙i tiɼp (O).AB cɬt CD ͟ E, AD cɬt BC ͟ F, AC cɬt BD
͟ I, OI cɬt EF ͟ H. Chͩng minh rɮng
Giɠi:
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i (O)
EF là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa I nên khi AC cɬt FE ͟ J thì (JIAC)=-1 .
và OI cɬt EF ͟ H thì
Tͫ hai ÿiɾu ÿó suy ra HI là phân giác cͧa (1)
Tɉɇng tͱ thì HI là phân giác cͧa (2)
Tͫ (1) và (2) suy ra ÿiɾu cɤn chͩng minh.
Bài toán 25:G͍i L,N tɉɇng ͩng là trung ÿiʀm các ÿɉ͝ng chéo AC,BD cͧa tͩ giác n͙i tiɼp
ABCD.Giɠ sͭ BD là phân giác cͧa .Chͩng minh rɮng AC là phân giác cͧa
Trɉ͝ng hͣp AC và BD vuông góc v͛i nhau khá ÿɇn giɠn ,xin dành cho bɞn ÿ͍c,͟ÿây sɺ xét khi
chúng không vuông góc.
Xét cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O) ngoɞi tiɼp ABCD
AC và BD cɬt nhau ͟ P
G͍i d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P.
G͍i giao ÿiʀm cͧa các cɴp ÿɉ͝ng thɰng (LO,BD) và (NO,AC) lɤn lɉͣt là Q,R.
Do BD là phân giác cͧa và nên dʂ có (ACPR)=-1