Tài liệu Chuyên đề hình học 12_Ban cơ bản: Quan hệ vuông góc ppt

Chuyên đề hình học 12_Ban
cơ bản

Quan hệ
vuông góc
Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà Trang 1
QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC

I) Hai đường thẳng a và b vuông góc nhau:
1) Tích vô hướng của hai véc-tơ:

cos... baba =
(
ba,
)
2) Ứng dụng của tích vô hướng:
Xác định góc giữa hai vectơ: cos(
ba,
) =
ba
ba
.
.

3) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc nhau:
* Cách 1: áp dụng định nghĩa:
),( baba ⇔⊥
= 90
0
.
* Cách 2:
0. =⇔⊥ vuba
(
v,u
là các véc-tơ chỉ phương của a và b)
a
b
α


* * Cách 3: Hai đường thẳng a và b vuông góc nhau khi
đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng
chứa dường thẳng kia.
()
()
ba
b
a
⊥⇒
⎩
⎨
⎧
α⊂
α⊥

* * Cách 4: Định lý ba đường vuông góc
Cho a , b’ là hình chiếu của b trên
)(α⊂ )(α
.
a ⊥ b ⇔ a ⊥ b’



* Cách 5: Cho đường thằng a // (α). Nếu đường thẳng
b vuông góc với mp (α) thì nó cũng vuông
góc với đường thẳng a .
()
ba
)(b
//a
⊥⇒
⎩
⎨
⎧
α⊥
α



* * Cách 6: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông
góc với cạnh còn lại.
II) Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α):
* * Cách 1: Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng
a

b
α
b
b’
a
α
a
b
α
c
cắt nhau nằm trong mp (α) thì đường thẳng a
vuông góc với mp (α).
)(a
Icb
ca
ba
α⊥⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=∩
⊥
⊥

* *
Cách 2:
Cho hai mặt phẳng vuông góc (α) và (β). Khi đó,
bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này

và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc
Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
2

với mp còn lại.

()
()
() ()
()
α⊥⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
β∩α=⊥
β⊂
β⊥α
a
ba
a
)(
*
Cách 3:
Nếu hai mp cắt nhau cùng vuông góc với mp

thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với
mp thứ ba.

() ()
() ()
() ( )
()
α⊥⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
α⊥γ
α⊥β
=γ∩β
a
a
III) Chứng minh hai mặt phẳng (α) ⊥ (β):
*
Cách 1:
áp dụng định nghĩa:
(α) ⊥ (β) ⇔ góc giữa chúng bằng 90
0
.
* *
Cách 2:
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi
mặt phẳng này có chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng còn lại.

⇔ (α) ⊥ (β)
()
⎩
⎨
⎧
α⊥
β⊂
a
)(a


IV) GÓC:
1) Góc giữa hai đường thẳng:
a
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc a’
giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm
và lần lượt song song với a và b. b’


(a, b) = (a’, b’)
b
⇒
⎩
⎨
⎧
'b//b
'a//a
a
b
β

α
α
β
γ

a
a
β
α
b
b’
a
O
a
a’
α
Chú ý:
Để dựng góc giữa hai đường thẳng chỉ cần lấy điểm
O trên a từ đó kẻ đường thẳng b’ // b. Khi đó, góc
giữa a và b chính là góc giữa a và b’.

b // b’ ⇒ (a, b) = (a’, b’)

2) Góc giữa đường thẳng a và mp (
α
):
Đ/n:
Góc giữa đường thẳng a và mp (α) bằng góc giữa
đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên mp (α).

(a, (α)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (α).


3) Góc giữa hai mặt phẳng (
α
) và (
β
):
Các bước xác định góc:

Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
3

+ Xác định giao tuyến c của (α) và (
β
)
α
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng (α) và (
β
) đồng thời cùng vuông góc

a
β
b
c

với giao tuyến c
+ Xác định góc giữa a và b.
( góc giữa a và b là góc giữa (α) và (
β
) )


V) KHOẢNG CÁCH:
1) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a:
O
H

a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a

Khi đó: d(O, a) = OH

2) Khoảng cách từ điểm O đến mp (
α
):
O
H
α

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (α)

Khi đó: d(O, (α)) = OH

3) Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song:
Cho đường thẳng a song song với mp (α). Khoảng cách

O
H
α
a
giữa đường thẳng a song song với mp (α) bằng khoảng
cách từ một điểm bất kì trên a đến mp (α).

d(a, (α)) = d(O, (α)) = OH , ∀ O
∈
a

4) Khoảng cách giữa hai mp song song:
O
H
α
β
Cho hai mp song song (α) và (
β
). Khoảng cách
giữa (α) và (
β
) bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì trên mp này đến mp còn lại.

d((α), (
β
) ) = d(O, (α)) = OH ∀ O
∈

)(β

5) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

a
b
M
N
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng độ dài đoạn vuông góc chung của chúng.

d( a, b) = MN, với MN là đoạn vuông góc chung




* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt
phẳng song song chứa đường thẳng còn lại.
Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
4


M
a
N
α

b
d(a, b) = d(a, (α)), với (α) chứa b và song song a



* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.

α
β
b
a
M
N
d(a, b) = d((α), (
β
)) ,
với (α), (
β
) song song lần lượt chứa a, b



* * Một số dạng hình thường gặp:
S
A
B
C
D

S
A
B
C
S
A
B C
D








Hình chóp đáy tam giác Hình chóp đáy tứ giác Hình chóp đáy hình thang


A
B
C
S
S
A
B C
D

Hình chóp có đáy là hbh, ht, hcn, hv Hình chóp đáy tam giác có SA ⊥ đáy


S
A
B C
D
S
A
BC
D








Hình chóp đáy hình thang có SA ⊥ đáy Hình chóp đáy là hbh, ht, hcn, hv có SA ⊥ đáy


Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
5



B
S
A
H
C
I
S
A
C
B
H






D

Hình choùp ñeàu ñaùy tam giaùc Hình choùp ñeàu ñaùy töù giaùc











Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương

BÀI TẬP

1/
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy.
a)

CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b)

Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. CMR: B’D’ //
BD và AB’ ⊥ SB, AD’ ⊥ SD.
2/
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60
0
. Gọi O là giao điểm của
AC và BD, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO =

4
a3
. Gọi E là trung điểm BC, F
là trung điểm của BE.
a)

CMR: (SOF) ⊥ (SBC)
b)

Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC)
3/
Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (
A
DC) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. Tam giác
ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a.
a)

CMR: tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông
b)

Gọi I, K là trung điểm của AD và BC. CM: IK là đường vuông góc chung của AD và BC.
4/
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60
0
và SA = SB = SD =
2
3a

a)

Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC
b)

CMR: (SAC) ⊥ (ABCD)
c)

CMR: SB ⊥ BC
d)

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanα.
A B
B’
C
A’
C’
A
B
B’
C
D
A’
C’
D’
A
C
D
A’
C’
D’
B

B’
Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
6


CHƯƠNG I.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


I) Kiến thức cơ bản:
1)

Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = abc
(tích ba kích thước)

2)

Thể tích khối lập phương:
V = a
3

3) Thể tích khối lăng trụ:
V = B.h
Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4) Thể tích khối chóp:

V =
3
1
B.h
Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.

II) Bài tập:
A. Bài toán 1: Thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy
một góc 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ .
Giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ.
Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’)
Xét tam giác AA’H vuông tại H có:
Sin A’ =
'AA
AH

AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60⇒
0
=
2
3b

Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là:
A
A’

C
B
B’
C’
H
60
0
h =
2
3a

Diện tích tam giác A’B’C’: S
A’B’C’
=
4
a3
h.a
2
1
2
=

Thể tích ABC.A’B’C’: V =
3
1
.AH. S
A’B’C’
=
ba
8

3
2


BÀI TẬP
Bài 1.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= a, góc C bằng 60 ,
0
đường chéo BC
1
của mặt bên (CC
1
B
B
1
) hợp với mặt bên (ACC
1
A
1
) một góc 30 .
0
a. Tính độ dài đoạc AC
1

. b. Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: a. AC
1
= 3a, b. V = 6a
3
.
Bài 2.
Cho hình hộp đứng ABCD.A
1
B
B
1
C
1
D
1
, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo ACC
1
A
1
và
BĐ
1
B
B
1
là s
1
và s
2

. Biết góc BA
1
D là góc vuông. Tính thể tích khối hộp.
ĐS: V =
4
2
1
2
2
21
)ss(4
ss
−

Trường THPT Hà Huy Giáp

Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà
Trang
7

Bài 3.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A

1
lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh bên AA
1
tạo với mặt đáy
một góc 60 .
0
a. Tính thể tích lăng trụ. b. Chứng minh: BCC
1
B
B
1
là hình chữ nhật
c. Tính diện tích xung quanh của lăng trụ
ĐS: a. V =
4
3a
3
, c. S
xq
=
3
)213(3a
2
+

Bài 4.
Cho hình hộp ABCD.A
1
B

B
1
C
1
D
1
, đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 . Chân đường vuông
góc hạ từ B
0
1
xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
1
= a
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy b. Tính thể tích khối hộp
ĐS: a. 60
0
, b. V=
4
a3
3

Bài 5.
Cho lăng trụ đều ABCD.A
1
B
B
1
C
1
D

1
cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC
1
và đáy là 60 .
Tính thể tích của khối lăng trụ.
0
Bài 6.
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
B
1
C
1
D
1
có đường cao bằng h. Mp (A
1
BD) hợp với mặt bên
(ABB
1
B
A
1
) một góc α. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 7. (đề thi ĐH khối D-2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ =
a
2

. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.
ĐS: V =
3
a
2
2
, d(AM, B’C) =
7
7a

Bài 8.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
B
1
C
1
D
1
có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) một góc
α và góc BAC’ = β. Tính thể tích hình hộp.
Bai 9.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
B
1
C

1
, cạnh đáy a. Mặt phẳng (ABC
1
) hợp với mặt phẳng
(BCC
1
B
1
B
) một góc α. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC
1
.
a. CM: góc AJI bằng α. b. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 10.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
B
1
C
1
, cạnh đáy bằng a, đường chéo BC
1
của mặt bên
(BCC
1
B
1
B
) hợp với mặt bên (ABB

1
A
1
) một góc α.
a. Xác định góc α b. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 11.
Cho lăng tru đứng ABC.A
1
B
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA
1
và BC
1
là
30
0
và khoảng cách giữa chúng là a. Góc giữa hai mặt bên qua AA
1
là 60
0
. Tính thể tích khối
lăng trụ.
Bài 12.
Cho lăng trụ đều ABC.A
1
B

B
1
C
1
. Mặt phẳng (A
1
BC) cách A một khoảng
4
3a
và hợp với BC’
một góc α biết sin α =
10
15
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 13.
Cho lăng tru đứng ABC.A
1
B
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= b, góc C bằng α.
Đường chéo BC
1
tạo với mặt bên (ACC
1
A
1
) một góc β.

a. Tính thể tích khối lăng trụ
b. Tìm một điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ và tính khoảng cách ấy.
Bài 14.
Cho lăng trụ ABC.A
1
B
B
1
C
1
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
1
lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Góc BAA
1
bằng 45
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 15.
Cho lăng trụ xiên ABC.A
1
B
B
1
C
1
đáy là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên (ABB
1
A
1

) là hình
thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên (ACC
1
A
1
) hợp với đáy một
góc α. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 16.
Cho lăng trụ xiên ABC.A
1
B
B
1
C
1
đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = a, BC = 2a. Mặt bên