Một số bài toán số học trong các kì thi olympic toán học doc

TrongkthiOlympictoỏnQuctlnth49ctchctiTõyBanNhacúbitoỏn
sau(bitoỏn1)mtỏcgicanúlKestutisCesnavicius(Lithuania)(Litva).
Bitoỏn1:Chngminhrngtntivụssnguyờndngnsaocho
2
1n +
cúc
nguyờntlnhn 2 2n n +
Bitoỏnnylbitoỏnkhúnhtcangythithnht.Ligiicabitoỏn1cphỏt
trintligiicacỏcbitoỏnnginhnsauõy:
Bitoỏn2:Chngminhrngtntivụssnguyờndngnsaochon
2
+1khụnglc
can!.(thichnituyncaInụnờxiadthiToỏnQuctnm2009).
Ligiicabitoỏn2:
B:Tntivụssnguyờntdng4k+1(k ẻ N
*
)
Chngminh:GiAltphpgmttcỏcsnguyờntdng4k+1(k ẻN
*
),Khiú
A ạ rngvỡ5 ẻ A.GisAltphuhn.Gip
0
lphõntlnnhtcaA
ị
p
0
5.
Gisp
1
,p
2

p
n
lttccỏcsnguyờntnhhnp
0
.
t
2 2 2
0 1
4 1
n
a p p p = + khi?a ẻ N
*
,a>1.Gisqlcnguyờntcaa
ị
q ạ p
i
, " i ẻ {0,1,2,n}.Mtkhỏc(2p
0
p
1
p
n
)
2
+1 0(modq)
ị
1lschớnhphng(modq)vql.
Suyra
q
q

q
q
ị
-
ị = - ị =
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
-
2:
2
1
1)1(1
1
2
1
ị )4(mod1 qcúdng4k+1(k ẻ N
*
).Mtkhỏc
q>p
0
.iunymõuthunvicỏchchnp
0
.Vytntivụssnguyờntdng4k+1

(kẻ N
*
).
Chỳngtachuynsangvicgiibitoỏn2.Gisplsnguyờntdng4k+1(k ẻ N
*
)
ị 11)1(
1
2
1
- ị = - =
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
-p
p
lschớnhphng(modp)
ị
$n
p
ẻ {0,1,2.,p 1}saocho
2
p
n ị - )(mod1 p

2
p
n +1:pvn
p
!khụngchiahtchop đ
n
p
!khụngchiahtcho
2
p
n +1.Tacú:
2
p
n +1 p
ị
n
p
1 -p .Vỡtntivụssnguyờntp
dng4k+1(kẻ N
*
)nờntntivụssnguyờndngnsaochon
2
+1khụnglccan!
www.laisac.page.tl
M
M
M

T
T
T
S
S
S



B
B
B



I
I
I
T
T
T
O
O
O



N
N
N

S
S
S



H
H
H



C
C
C
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G
G
G

C
C
C



C
C
C
K
K
K
è
è
è
T
T
T
H
H
H
I
I
I
O
O
O
L
L
L

Y
Y
Y
M
M
M
P
P
P
I
I
I
C
C
C
T
T
T
O
O
O



N
N
N
TrnXuõnỏngNamnh
Bàitoán3: Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochoướcnguyêntốlớn
nhấtcủan

2
+1 lớnhơn2n
(TạpchíAnimathcủaPhápnăm 2006)
Lờigiảicủabàitoán3: Giảsửplàsốnguyêntốdạng4k+1(k Î N
*
)
Suyra
11)1(
1
2
1
- Þ = - =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-p
p
làsốchínhphương(modp)
Þ
$x Î {0,1,2,…,p1}saochox
2
º 1(modp).
Tacó:q
2

º (pq)
2
(modp)(q Î Z)
Þ
$q Î {0,1,2,…,
2
1 -p
}saochoq
2
º1(modp).
Thậtvậygiảsử
2
1 -p
<x<p
Þ
x ³
2
1 +p
.Đặtq=p –x,tacó:
q
2
=(p –x)
2
º x
2
º 1(modp)và0<q £
2
1 -p
.Tacó:q
2

+1M pvà
p ³2q+1>2q.Suyraướcnguyêntốlớnnhấtcủaq
2
+1lớnhơn2q.Vìcóvôsốsốnguyêntố
dạng4k+1(k Î N
*
)nêntồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochon
2
+1cóướcnguyêntốlớn
hơn2n.
Sauđâylàcáclờigiảicủabàitoán1
Lờigiảithứ nhấtcủabàitoán1:Xétsốnguyêntốpdạng4k+1(k Î N
*
)
Þ 11)1(
1
2
1
- Þ = - =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-p
p

làsốchínhphương(modp)
Þ
$x Î {0,1,2,…p 1}saochox
2
º 1(modp).
Vìx
2
º (px)
2
(modp)(x Î Z)
Þ
$x Î {0,1,2…,
2
1 -p
}saocho
x
2
º1(modp).
Þ
$
a
Î {0,1,2,…,
2
1 -p
}saocho
÷
ø
ö
ç
è

æ
-
-

a

2
1p
2
º1(modp)
Đặtm=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-

a

2
1p
Þ
m Î {0,1,2,…,
2
1 -p
}vàm
2

º1(modp)
Giảsửp>20.N?u0£
a
£ Þ
- +
4
314p
0<2
a
+1 £ Þ
- +
2
114p
(2
a
+1)
2
<p4Vìm
2
º1(modp)nên4m
2
º4(modp)
Mặtkhác4m
2
=(p–12
a
)
2
º (2
a

+1)
2
(modp)
Þ
(2
a
+1)
2
º4(modp)
Điềuđólàđiềuvôlývì0<(2
a
+1)
2
<p–4
Vậy
a
 > Þ
- +
4
314p
p>2m+ m2 .Vìm
2
+1M pnênm
2
³p1
Þ
m ³ 1 -p .Vì
tồntạivôsốsốnguyêntốpdạng4k+1(k Î N
*
)nêntồntạivôsốsốnguyêndươngnsaocho

ướcnguyêntốlớnnhấtcủan
2
+1lớnhơn 2 2n n + .
Lờigiảithứ 2củabàitoán1: Giảsửnlàsốnguyên,n ³24.Giảsửplà ướcnguyêntố
của(n!)
2
+1.Hiểnnhiênp>n.Giảsửx Î(0,
2
p
)làsốdưtrongphépchian!hoặc–n!chop.
Khiđ?0<x<p–x<p.Tac?x
2
+1chiahếtchop.ThậtvậytồntạimÎZsaochon!=mp+x
hoặc–n!=mp+x.Trongcảhaitrườnghợptađềucó(n!)
2
+1=(mp+x)
2
+1
Þ
x
2
+1=(n!)
2
+
1–m
2
p
2
–2mpx
Þ

x
2
+1Mp.Từđósuyraplàướccủap
2
 2px+4x
2
+4=(p– 2x)
2
+4
Þ
p £ (p– 2x)
2
+4
Þ
p ³ 2x+ 4 -p
Þ
p4 ³ 2x+ 4 -p 4 ³ 2x+ 20 –4>2x
Þ
p ³ 2x+ 4 -p >2x+ x2 Từđâysuyrađiềuphảichứngminh
Bàitoánsaulàbàitoántổngquátcủabàitoán1
Bàitoán4:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochon
2
+1cóước
nguyêntốlớnhơn2n+2 n
Bàitoán5:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyênn ³ 3,tồntạicặpsốnguyêndươnglẻ(x
n
,
y
n
)saocho

n
nn
yx 27
22
= +
(ĐềthiOlympicToáncủa Bungarinăm1996)
Lờigiải:Vớin=3,chọnx
3
=y
3
=1
Giảsửvớin ³3,tồntạicặpsốnguyêndươnglẻ(x
n
,y
n
)saocho
n
nn
yx 27
22
= + .Tachứng
minhrằngmỗicặp.
(X=
2
7
,
2
nn
nn
yx

Y
yx
-
=
+
),(X=
2
7
,
2
nn
nn
yx
Y
yx
+
=
-
)thoảmăn
122
27
+
= +
n
YX 
Thậtvậy
22
2
7
2

7
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
±
nnnn
yxyx m
=2(
22
7
nn
yx + )=2.2
n
=2
n+1
Vìx
n
,y
n
lẻnênx

n
=2k+1,y
n
=2l+1(k,l ÎZ) 1
2
+ + =
+
Þ lk
yx
nn
và lk
yx
nn
- =
-
2
.Điềuđóchứngtỏrằngmộttrongcácsố
2
,
2
nn
nn
yx
yx
-
+
làlẻ.Vìvậy
vớin+1tồntạicácsốtựnhiênlẻx
n+1
vày

n+1
thoảmăn
n
nn
yx 27
2
1
2
1
= +
+ +
+1
Bàitoán6:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyêndươngn,phươngtrìnhx
2
+15y
2
=4
n
có
ítnhấtnnghiệmtựnhiên(x,y)
(Đềthichọnhọcsinh giỏiToánQuốcgianămhọc2009–2010)
Lờigiải:Trướchếttachứngminhrằngvớimỗisốnguyênn ³2tồntạicặpsốnguyên
dươnglẻ(x
n
,y
n
)saochosaocho
n
nn
yx 415

22
= +
Thậtvậyvớin=2,chọnx
2
=1,y
2
=1
Giảsửvớin ³2tồntạicặpsốnguyêndươnglẻ(x
n
,y
n
) saochosaocho
n
nn
yx 415
22
= + .
Tachứngminhrằngmỗicặp
(X=
2
,
2
15
nn
nn
yx
Y
xy
+
=

-
),(X=
2
,
2
15
nn
nn
xy
Y
xy
-
=
+
)thoảmăn
122
415
+
= +
n
YX
Thậtvậy
22
2
15
2
15
÷
ø
ö

ç
è
æ
±
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
nnnn
xyxy m
=4(
22
15
nn
yx + )=4.4
n
=4
n+1
Vàx
n
,y
n
lẻnênx
n
=2k+1,y
n
=2l+1(k,l ÎZ) 1

2
+ + =
+
Þ lk
yx
nn
và kl
klxy
nn
- =
+ - +
=
-
2
)12()12(
2
.Điềuđóchứngtỏrằngmộttrongcácsố
2
,
2
nn
nn
xy
yx
-
+
làlẻ.Vìvậyvớin+1tồntạicácsốtựnhiênlẻx
n+1
vày
n+1

thoảmăn
12
1
2
1
415
+
+ +
= +
n
nn
yx
Trởlạibàitoán6:
Vớin=1, phương tŕnh
n
yx 415
22
= + có1nghiệmtựnhiênlà(x,y)=(2,0)
Vớin = 2, phương tŕnh
n
yx 415
22
= + có2nghiệmtựnhiênlà(x,y)=(4,0);(1,1)
Giảsửvớin ³ 2, phương tŕnh
n
yx 415
22
= + cónnghiệmtựnhiênlà(x
1
,y

1
),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n
)
khiđó(x,y)=(2x
k
,2y
k
)(1£ k £ n)làcácnghiệmtựnhiêncủaphươngtrình
n
yx 415
22
= +
+1
.
Theochứngminhtrênphươngtrình
n
yx 415
22
= +
+1
lạicó 1 nghiệmtựnhiênlẻ.Vậyphương
tŕnh
n

yx 415
22
= +
+1
cóítnhấtn+1nghiệmtựnhiên.Bàitoán6đăđượcgiảiquyết.
Bàitoán7:Tìmtấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)saocho
yx
yx
-
+
22
làsốnguyênvàlà
ướccủa1995.(ĐềthiOlympictoánBungarinăm1995)
Lờigiải: Trướchếttachứngminh
Bổđề:Chosốnguyêntốp=4q+3(q ÎN).Giảsửx,ylàcácsốnguyênsaochox
2
+y
2
chiahếtchop,Khiđóxvàychiahếtchop.ThậtvậynếuxMpthìyMp.
Giảsửxkhôngchiahếtp
Þ
ykhôngchiahếtchop
TheođịnhlýnhỏPhecmatacóx
p1
º1(modp)
Þ
x
4q+2
º1(modp).Tươngtựy
4q+2

º1
(modp).Tacóx
2
+y
2
Mp
Þ
x
2
º y
2
(modp)
Þ
(x
2
)
2q+1
º (y
2
)
2q+1
(modp)
Þ
x
4q+2
º y
4q+2
(modp)
Þ
1 º 1(modp)

Þ
p=2(vô
lí).Bổđềđã đượcchứngminh.
Ápdụngbổđềvàobàitoán7:Giảsửtồntạicácsốnguyêndươngx,ysaochox>y,
yx
yx
-
+
22
làsốnguyênvà
yx
yx
-
+
22
làướccủa1995.Đặtk=
yx
yx
-
+
22
thìx
2
+y
2
=k(x–y)vàklà
ướccủa1995=3.5.7.19.N?ukM3 th́k=3k
1
(k
1

ÎN
*
)(k
1
khôngchiahếtcho3)
Þ
x
2
+y
2
M3
Þ
xM3vàyM3
Þ
x=3x
1
,y=3y
1
(x
1
,y
1
ÎN
*
,x
1
>y
1
)
Þ

)(
111
2
1
2
1
yxkyx - = + .N?uk=1thì
x
2
+y
2
=x –y.Đólàđiềuvôlívìx
2
+y
2
³ x+y>x –y(vìx,y ³ 1)
Nếuk=5thìx
2
+y
2
=5(x –y)
Þ
(2x5)
2
+(2y+5)
2
=50
Þ
x=3,y=1hoặcx=2,y
=1

Nếuk=7,tươngtựnhưtrên,tồntạik
2
ÎN
*
saochok=7k
2
(k
2
khôngchiahếtcho7)x
=7x
2
,y=7y
2
(x
2
,y
2
ÎN
*
,x
2
>y
2
)và )(
222
2
2
2
2
yxkyx - = +

NếukM19thìtồntạik
3
ÎN
*
saochok=19k
3
(k
3
khôngchiahếtcho19),x=19x
3
,y=
19y
3
(x
3
,y
3
ÎN
*
,x
3
>y
3
)và )(
333
2
3
2
3
yxkyx - = +

Vậytấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)cầntìmcódạng(3c,c),(2c,c),(c,2c),(c,3c)
trongđóc Î{1,3,7,19,21,57,133,399}.
Bàitoán8:Tìmtấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)saochosố A=
yx
yx
-
+
22
làsố
nguyênvàlàướccủa2010.
(ĐềthiOlympicToánkhu vựcduyênhảiđồngbằngBắcBộnămhọc2009– 2010)
Lờigiải:Trêncơsởlờigiảicủabàitoán7tachỉcầntìmcácnghiệmnguyêndươngcủa
cácphươngtrình: )(
22
yxkyx - = + vớik Î{2,5, 10}. Phương tŕnhx
2
+y
2
=2(x y)khôngcó
nghiệmnguyêndương.Thậtvậygiảsửx,y ÎN
*
,x>yvàx
2
+y
2
=2(xy)
Þ
x
2
+y

2
³ 2x
+y
2
>2(x–y).Đólàđiềuvôlý.Phươngtrìnhx
2
+y
2
=5(xy)cócácnghiệmnguyêndương
là(x,y)=(3,1),(2,1).Phươngtrìnhx
2
+y
2
=10(xy)
Û
(x5)
2
+(y+5)
2
=50cócácnghiệm
nguyêndươnglà(x,y)=(6,2);(4,2).
Vậytấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)thoảmănđềbàilà(3c,c),(2c,c),(c,2c),(c,
3c),(6c,2c),(4c,2c),(2c,6c),(2c,4c)trongđó
c Î{1,3,6,7,201}
Cuốicùnglàmộtsốbàitoándànhđểluyệntập
Bàitoán9:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyêndươngn,phương tŕnh
7x
2
+y
2

=2
n+2
luôncónghiệmnguyêndương.
Bàitoán10:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyêndươngn,phươngtrìnhx
2
+15y
2
=4
n
cóđúngnnghiệmtựnhiên.
Bàitoán11:Chosốnguyêndươngn.GọiS
n
làtổngcácbìnhphươngcủacáchệsốcủađa
thứcf(x)=(1+x)
n
.
ChứngminhrằngS
2n
+1khôngchiahếtcho3
(Đềthichọnđộituyển ViệtNamdựthiOlympicToánQuốctếnăm2010)
Bàitoán12:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaocho
2
n
+2chiahếtchon.
Bàitoán13:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochotấtcảcác ước
nguyêntốcủan
2
+n+1khônglớnhơn n.
(ĐềthichọnđộituyểnUkrainadựthiOlympictoánquốctếnăm2007)
Bàitoán14:Vớimỗisốnguyêndươngn>1,kíhiệup(n)làướcnguyêntốlớnnhấtcủa

n.Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyênn>1saocho:
p(n)<p(n+1)<p(n+2).
Bàitoán15:Chocácsốnguyêna,bthoảmăna>b>0.Chứngminhrằngtồntạivôsốsố
nguyêndươngnsaochoa
n
+b
n
chiahếtchon.
Bàitoán16:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêntốpcótínhchấtsau:Tồntạivôsố
nguyêndươngnsaochop–1khôngchiahếtchonvàn!+1chiahếtchop.
(Đềthichọnđộituyển củaMônđôvadựthiOlympictoánQuốctếnăm 2007).
Bàitoán17:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaocho5
n2
– 1chiahết
chon.
(ĐềthiOlympictoáncủaBraxinnăm2008)