Phương pháp giải PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

BÀI 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
PP1. Lũy thừa hai vế
Bài 1 Giải phương trình
a.
2
x 3x 2 x 1− + = +
b.
2
3x 9x 1 x 2− + = −
c.
2
x 2x 3x 4− = −
d.
2 2
(x 3) x 4 x 9− − = −
e.
x 3 7 x 2x 8+ − − = −
f.
x 2 3 x 5 2x+ − − = −
g.
2 2
(x 3) x 3x 2 x 8x 15− − + = − +
h.
2 2
(x 4) 10 x x 2x 8+ − = + −
i.
2
x
3x 2 1 x
3x 2
− − = −

−
j.
2
x
4x 3 1 x
4x 3
− − = −
−
Bài 2 Giải phương trình
a.
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + = + +
b.
2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 x 5x 4− + + − + = − +
Bài 3 Giải phương trình
a.
3
3 3
x 5 x 6 2x 11+ + + = +
b.
3 3
3
x 1 x 1 5x+ + − =
c.
3 3
3
2x 1 x 1 3x 1− + − − +
= 0
Bài 4 Giải phương trình

a.
x x 1 x 4 x 9 0− + − + + + =
nghiệm x = 0
b.
x 1 x 16 x 4 x 9+ + + = + + +
nghiệm x = 0
c.
x 3 3x 1 2 x 2x 2+ + + = + +
PP2. Đặt ẩn phụ
Dạng 1: Đặt t =
f (x)
Bài 1 Giải phương trình
a.
2
(x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + = + +
b.
2 2
5x 10x 1 7 2x x+ + = − −
c.
2
(4 x)(6 x) x 2x 12− + = − −
d.
3
2
x(x 5) 2 x 5x 2 2+ = + − −
Bài 2 Tìm m để phương trình có nghiệm
a.
2
x 2x 4 (3 x)(1 x) m 2− + + − + = −
ĐS: –1 ≤ m ≤ 11

b.
2
2x 5x 4 (3 x)(1 2x) m 2− + + − + = −
ĐS:
41 56 2
m [ 1; ]
8
+
∈ −
Bài 3 Giải phương trình
a.
5 1
5 x 2x 4
2x
2 x
+ = + +
b.
3 1
3 x 2x 7
2x
2 x
+ = + −
Dạng 2: Đặt t =
A B+
Bài 4 Giải phương trình
a.
2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 2+ + + = + + + −
Nghiệm
25 6 17−

b.
2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + − + + − = −
c.
2
x 4 x 4 2x 12 2 x 16+ + − = − + −
d.
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − +
Bài 5 (B 2011) Giải phương trình:
2
3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x+ − − + − = −
(nghiệm x = 6/5)
Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm
a.
2
1 x 8 x x 7x 8 m+ + − = − + + +
6 2 9
m [ ;3]
2
−
∈
b.
3 x 6 x (3 x)(6 x) m+ + − − + − =
c.
2
3( 1 2x 1 x) m x 2 1 x 2x+ + − = + + + −
PP3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Bài 7 Giải phương trình
a.

2 2 2
x 3x x x 2 1 2 x 2+ − + = + +
(đặt
2
t x 2= +
)
b.
2 2
(x 1) x 2x 3 x 1+ − + = +
c.
2 2
x 1 2x. x 2x− = −
Nghiệm
x 1 2= ±
d.
2 2
3x x 48 (3x 10) x 15− + = − +
e.
2 2
2(x 1). x 2x 1 x 2x 1− + − = − −
f.
2 2
x 4x (x 2). x 2x 15 39+ = + − − +
g.
2 2
(1 4x) 4x 1 8x 2x 1− + = + +
h.
3 3
(4x 1) x 1 2x 2x 1− + = + +
i.

3 3
x 3x 2 (x 2) x 2x 1+ + = + + +
PP4. Chia để làm xuất hiện ẩn phụ
Bài 8 Giải phương trình
a.
2
(x 2) x x 4 2x− − + =
(bình phương, chia x² rồi đặt
4
t x
x
= +
)
b.
2 2
x 3x 2 2 x x 2 2 x+ − + − − =
(chia
x
)
c.
2
x 1 x 4x 1 3 x+ + − + =
(chia cho
x
và đặt
1
t x
x
= +
)

Bài 9 Giải phương trình
a.
2 3
2(x 2) 5 x 1+ = +
(bình phương, chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử)
b.
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1+ + − − − = +
Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2x 5x 2 5 (x x 20)(x 1)− + = − − +
2 2
2 2
2(x 4x 5) 3(x 4) 5 (x 4)(x 4x 5)
x 4x 5 x 4x 5
2 3 5
x 4 x 4
⇔ − − + + = + − −
− − − −
⇔ + =
+ +
PP5. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.
Bài 10 Giải phương trình
a.
2 3
2x 5x 1 7 x 1+ − = −
(Đặt
2
u x 1;v x x 1= − = + +
)

b.
2 2 4 2
x 3 x 1 x x 1+ − = − +
(Đặt a = x² và
2
b x 1= −
)
Bài 11. Giải phương trình:
2 2
x 2x 2x 1 3x 4x 1+ + − = + +
Đặt ĐK, bình phương 2 vế ta có
2 2 2 2
(x 2x)(2x 1) x 1 (x 2x)(2 x 1) (x 2x) (2x 1)+ − = + ⇔ + − = + − −
Đặt:
2
u x 2x
v 2x 1

= +


= −


khi đó ta có: uv = u² – v².
Do u, v cùng không âm nên
2
1 5 1 5
u v x 2x (2x 1)
2 2

+ +
= ⇔ + = −
2
2x 2(1 5)x ( 5 1) 0⇔ + − + + =
. (vô nghiệm)
Bài 12. Giải phương trình:
2 2
4x 5x 1 2 x x 1 9x 3+ + − − + = −
Đặt
2
2
4x 5x 1 a 0
2 x x 1 b 0

+ + = >



− + = >

ta có: a – b = a² – b²
Bài 13 Giải phương trình:
3 2 3
x 3x 2 (x 2) 6x 0− + + − =
Đặt
y x 2= +
được phương trình: x³ – 3x² + 2y³ – 6x = 0 <=> x³ + 2y³ – 3x(x + 2) = 0
<=> x³ – 3xy² + 2y³
x y
x 2y

=

⇔

= −

Bài tập tự luyện
a.
3 2 3
x 3x 2 (x 1) 3x 0− + + − =
b.
3 2
x (3x 4x 4) x 1 0+ − − + =
PP6. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Bài 14 Giải phương trình
3 2x 1 6 x 4 (2x 1)(x 4) 7 0+ − + + + + + =
Đặt
2 2
u 2x 1
2v u 7 (1)
v x 4

= +

⇔ − =

= +


Thay vào phương trình: 3u – 6v + uv + 7 = 0 (2)

Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v – u)(u + v – 3) = 0 <=> x = 0
Bài 15 Giải phương trình
a.
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0− + − − =
(A 2009) Nghiệm x = –2
b.
3
2 3x 2 3 6 5x 16 0− − − + =
c.
2 2
x 17 x x 17 x 9+ − + − =
d.
3 3
3 3
x. 35 x .(x 35 x ) 30− + − =
e.
2
1 1
2
x
2 x
+ =
−
Nghiệm
1 3
x 1;
2
− ±
=

f.
3
3
x 1 2 2x 1+ = −
Nghiệm
1 5
x 1;
2
− ±
=
g.
3
3
x 2 3 3x 2+ = −
PP7. Đặt ẩn phụ đặc biệt
Bài 16 Giải phương trình
a.
2
x 1 x 4x 5+ = + +
b.
2
4x 9
7x 7x
28
+
= +
(đặt
4x 9 1
y
28 2

+
= +
)
c.
2
x 2 x 6x 10+ = + +
(đặt
x 2 y 3+ = +
)
d.
2
2x 1 4x 12x 5+ = − +
(đặt
2x 1 2y 3+ = −
)
PP8. Phân tích thành nhân tử
Bài 1 Giải phương trình
a.
2
x 3 2x x 1 2x x 4x 3+ + + = + + +
b.
4x
x 3 4 x
x 3
+ + =
+
c.
2
2 x 3 9x x 4+ = − −
Bài 2 Giải phương trình

a.
2
x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6+ + = + + + −
b.
2
x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6+ + = + + + −
c.
2
x 2 x 1 (x 1) x x x 0− − − − + − =
d.
2
x 7x 4
4 x 0
x 2
+ +
− =
+
PP9. Thêm bớt, nhân liên hợp
Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x
o
hữu tỉ, khi đó phương
trình luôn viết được thành (x – x
o
)P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được.
Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị x
o
để trong căn là bình phương hoặc lập phương.
Bài 1 Giải phương trình
a. (B 2010)
2

3x 1 6 x 3x 14x 8 0+ − − + − − =
PT
3 1
(x 5)( 3x 1) 0
3x 1 4 6 x 1
⇔ − + + + =
+ + − +
. Nghiệm duy nhất x = 5
b.
3
2 3x 2 3 6 5x 16 0− − − + =
Nghiệm duy nhất
x 2= −
c.
2
3
10 2x 9x 27)4(2 4x 15x 33− − − = − −
Đặt điều kiện: x ≤ 5.
Phương trình đã cho tương đương
2
3
(4 9x 37) 8(4 10 2x) 4x 15x 81 0+ − + − − + − − =
<=>
2
3 3
4(27 9x) 8(6 2x)
(x 3)(4x 27) 0
4 10 2x
16 4 9x 37 ( 9x 37)
+ +

+ + + − =
+ −
− − + −
Ngoài nghiệm x = –3 thì phần còn lại là
2
3 3
36 16
4x 27 0
4 10 2x
16 4 9x 37 ( 9x 37)
+ + − =
+ −
− − + −
<=>
2
3
36 16
4x 27 0
4 10 2x
12 ( 9x 37 2)
+ + − =
+ −
+ − −
Vế trái ≤
36 16
4.5 27 0
12 4
+ + − =
. Đẳng thức xảy ra khi x = 5.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là

3
−
và 5
Bài 2 Giải phương trình
a.
2
x 1 4x 1 3x+ + = +
b.
2
x 1 9x 1 4x+ + = +
c.
2 2
x 12 5 3x x 5+ + = + +
Nghiệm duy nhất x = 2
d.
2 2
x 15 3x 2 x 8+ = − + +
e.
2 2 2 2
3x 5x 1 x 2 3x 3x 3 x 3x 4− + − − = − − − − +
Bài 3 Giải phương trình
a.
2 2
2x x 9 2x x 1 x 4+ + + − + = +
2 2
VT 0 (x 4) 0 2x x 9 2x x 1> ⇒ + > ⇒ + + ≠ − +
2 2
2
2 2
2x x 9 2x x 1 2

8
PT 2 2x x 9 x 6 x 0;
7
2x x 9 2x x 1 x 4

+ + − − + =

⇔ ⇔ + + = + ⇔ =


+ + + − + = +

b.
2 2
2x x 1 x x 1 3x+ + + − + =
Bài 4. Giải phương trình:
3
2 3
x 1 x x 2− + = −
Điều kiện: x ≥
3
2
Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, ta biến đổi
3
2 3
x 1 2 x 3 x 2 5− − + − = − −
<=>
2
3
2 2 2 3

3
x 3 (x 3)(x 3x 9)
(x 3)[1 ]
(x 1) 2 x 1 4 x 2 5
+ − + +
− + =
− + − + − +
Ta chứng minh:
2
3 3
2 2 2 2 2 3
3
x 3 x 3 x 3x 9
1 1 2
(x 1) 2 x 1 4 ( x 1 1) 3 x 2 5
+ + + +
+ = + < <
− + − + − + + − +
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 7 Giải phương trình
a.
2 2
x 3x 1 (x 3) x 1+ + = + +
b.
4 3 10 3x x 2− − = −
c.
2 (2 x)(5 x) x (2 x)(10 x)− − = + − −
d.
2 2
2x 16x 18 x 1 2x 4+ + + − = +

e.
2 2 2 2
2x 1 x 3x 2 2x 2x 3 x x 2− + − + = + + + − +
f.
2 2 2 2
3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4− + − − = − − − − +
Bài 8 Giải phương trình
a.
3
2
x 4 x 1 2x 3+ = − + −
b.
3
2 3
x 1 3x 2 3x 2− + − = −
c.
2
3
2x 11x 21 3 4x 4 0− + − − =
d.
3
2 3
x 1 x x 1− + = −
PP10. So sánh, đánh giá, bất đẳng thức
Bài 1 Giải phương trình
a.
2
x 2 4 x x 6x 11− + − = − +
(nghiệm x = 3)
b.

2
x 2 10 x x 12x 52− + − = − +
c.
2
x 2x 5 x 1 2− + + − =
(nghiệm x = 1)
d.
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
(nghiệm x = –1)
e.
2
6
2x 1 19 2x
x 10x 24
− + − =
− + −
Bài 2 Giải phương trình
a.
3 2 2
2 7x 11x 25x 12 x 6x 1− + − = + −
VT =
2
2 (7x 4)(x x 3)− − +
≤ VP (Côsi)
b.
3 2 2
2 5x 3x 3x 2 x 6x 1+ + − = + −
c.
2

2
1 1
2 x 2 4 (x )
x
x
− + − = − +
2
2
1 1
PT ( 2 x x) ( 2 ) 4
x
x
⇔ − + + − + ≤
Bài 4. Giải phương trình:
2
2
2
x 6x 15
x 6x 18
x 6x 11
− +
= − +
− +
(1)
(1) <=>
2
2
4
1 (x 3) 9
(x 3) 2

+ = − +
− +
Mà:
2
4 4
1 1 3
2
(x 3) 2
+ ≤ + =
− +
và
2
(x 3) 9 3− + ≥
.
Do đó ta có: (x – 3)² = 0
Bài 5 Giải phương trình
2 4 2 4
13 x x 9 x x 16− + + =
Bình phương 2 vế ta được:
2 2 2 2
x (13 1 x 9 1 x ) 256− + + =
.
Áp dụng bđt:
2 2 2 2 2 2 2
(13 1 x 9 1 x ) ( 13. 13 13x 3 3. 3 3x ) 40(16 10x )− + + = − + + ≤ −
VT ≤ 40x² (16 – 10x²) ≤ 40(16 – 10x²) = VP. Nghiệm
2
x
5
= ±

PP11. Sử dụng công cụ khảo sát và tính chất hàm số
Cơ sở phương pháp:
Để giải phương trình: f(x) = m ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến.
Xét hàm số f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà suy ra f(a) = f(b) <=> a = b.
Bài 1 Giải các phương trình.
a.
x x 5 x 7 x 16 14+ − + + + + =
(nghiệm x = 9)
b.
3
x 1 x 4x 5− = − − +
(Chuyển vế, nghiệm duy nhất x = 1)
c.
2
2x 1 x 3 4 x− + + = −
Bài 2 (CĐ 2012) Giải phương trình
3
4x x (x 1) 2x 1 0+ − + + =
Nhân 2 vế với 2 và biến đổi thành
3
(2x) 2x (2x 1) 2x 1 2x 1+ = + + + +
Xét hàm số f(t) = t³ + t, tính đạo hàm nhận xét dấu suy ra hàm số luôn đồng biến.
Từ phương trình có
1 5
f (2x) f( 2x 1) 2x 2x 1 x
4
+
= + ⇔ = + ⇔ =
Bài tập tự luyện
a.

2 2 2
2x(4x 1) (x 3x 1) x 3x+ = + + +
b.
3
4x x (x 2) 2x 3 0+ − + + =
Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm:
2 2
m x 2x 4 x 2x 4= + + + − +
Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm:
2
4 x mx m 2− = − +
Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm:
x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1+ + − − − − − = +
Bài 6 (A 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm:
4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = −
Gợi ý: cô lập tham số
4
x 1 x 1
m 2 3
x 1 x 1
− −
= −
+ +
Bài 7 (B 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm
2 2 4 2 2
m( 1 x 1 x 2) 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − −
Đặt ẩn phụ:
2 2

t 1 x 1 x= + − −
Bài 8 (B 2007) Chứng minh rằng với mọi
m 0
>
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2
x 2x 8 m(x 2)+ − = −
Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba.
BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản:
Dạng 1:
2
f (x) 0
f (x) g(x) g(x) 0
f (x) [g(x)]

≥

< ⇔ ≥


<

Dạng 2:
2
f (x) 0
g(x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) [g(x)]

 ≥



<


> ⇔

≥





>



Dạng 3:
A B C+ <
Bài 1 Giải bất phương trình
a.
2
x 2x 15 x 3− − ≤ −
ĐS: [5; 6] b.
2
x 6x 5 8 2x− + − ≥ −
ĐS: [3; 5]
c.

2
x 2x 8 x 3− − < −
d.
2
x 3x 10 x 2− − ≥ −
Bài 2 Giải bất phương trình
a.
2 2
(x 3) x 4 x 9− + ≤ −
b.
5x 1 x 1 2x 4− − − > −
(A 2005)
c.
7x 13 3x 9 5x 27− − − ≤ −
d.
x 1 2 x 2 5x 1+ + − ≤ +
(CĐ 2009)
e.
2
2(x 16)
7 x
x 3
x 3 x 3
−
−
+ − >
− −
Bài 3 Giải bất phương trình
a.
2

51 2x x
1
1 x
− −
<
−
b.
2
8 2x x
1
6 3x
+ −
≥
−
c.
2
1 1
2x 1
2x 3x 5
>
−
+ −
Bài 4 Giải bất phương trình:
2 2
x 4x 3 2x 3x 1 x 1− + − − + ≥ −
Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1 Giải bất phương trình
a.
2 2
5x 10x 1 7 2x x+ + > − −

b.
2 2
2x x 5x 6 10x 15+ − − > +
c.
2
(x 3)(8 x) x 11x 0− − + − <
Bài 2 Giải bất phương trình
a.
5 1
10 x 4x 8
x
x
+ < + +
b.
x x 1
2 3 0
x 1 x
+
− − >
+
Bài 3 (B 2012) Giải bất phương trình
2
x 1 x 4x 1 3 x+ + − + ≥
Chia 2 vế cho
x
và đặt
1
t x
x
= +

Bài 4 (Thi thử 2013) Giải BPT:
2 2
x x 2 3 x 5x 4x 6− − + ≤ − −
Điều kiện: x ≥ 2
Bình phương 2 vế và rút gọn ta được:
3 x(x 2)(x 1) 2x(x 2) 2(x 1)− + ≤ − − +
Chia 2 vế cho (x + 1) và đặt
x(x 2)
t
x 1
−
=
+
Bài 5 Giải bất phương trình
a.
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1+ + − − − ≤ +
Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2x 5x 2 5 (x x 20)(x 1)− + ≤ − − +
2 2
2(x 4x 5) 3(x 4) 5 (x 4)(x 4x 5)⇔ − − + + ≤ + − −
Chia cho (x + 4) rồi đặt ẩn phụ
b.
2 2
7x 25x 19 x 2x 35 7 x 2+ + − − − < +
Chuyển vế, bình phương ta được:
2 2
3(x 5x 14) 4(x 5) 7 (x 5x 14)(x 5)− − + + < − − +
Bài 6 Giải bất phương trình

3 2
x (3x 4x 4) x 1 0+ − − + ≤
ĐK x ≥ –1. Đặt
2
y 0
y x 1
y x 1
≥


= + ⇔

= +


Bpt <=> x³ + (3x² – 4y²)y ≤ 0
Xét hai trường hợp y = 0 và y > 0 (chia cho y³ khi y > 0)
Cách 2: Có thể biến đổi BPT về dạng tích
Bài tập tự luyện:
3 2 3
x 3x 2 (x 2) 6x 0− + + − ≤
Phương pháp nhân liên hợp.
Bài 1 Giải bất phương trình
a.
1 x 1 x x 0+ − − − ≥
b.
2
1 1 8x
1
2x

− −
<
Bài 2 Giải bất phương trình
a.
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0+ − − + − − <
. Nhẩm nghiệm vế trái x = 5
BPT
3 1
(x 5)( 3x 1) 0
3x 1 4 6 x 1
⇔ − + + + <
+ + − +
b.
3
2 3x 2 3 6 5x 16 0− − − + ≥
BPT
2
3 3
6 15
(x 2)[ + ] 0
6 5x 4
( 3x 2) 2 3x 2 4
⇔ + ≥
− +
− − − +
Phương pháp so sánh, đánh giá, bất đẳng thức
Bài 1 Giải bất phương trình
a.
2

x 2 4 x x 6x 11≥− + − − +
b.
2
x 2 10 x x 12x 52≥− + − − +
c.
2 2
x 2x 5 x 1 1 2x x− + + − ≤ + −
d.
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x≤+ + + + + − −
e.
2
6
2x 1 19 2x
x 10x 24
≥− + −
− + −
Bài 2 Giải bất phương trình
a.
3 2 2
2 7x 11x 25x 12 x 6x 1≥− + − + −
b.
2
3 2
x 6x 1
5x 3x 3x 2
2
≥
+ −
+ + −

Bài 5 (A 2010) Giải bất phương trình:
2
x x
1 2(x x 1)
−
− − +
≥ 1
Ta có
2
1 2(x x 1) 0− − + <
nên
2
BPT 2(x x 1) 1 x x⇔ − + ≤ − +
(1)
Mặt khác ta lại có:
2 2 2
2(x x 1) 2(1 x) 2( x) 1 x x− + = − + ≥ − +
(2)
Từ (1) và (2)
2
2(x x 1) 1 x x⇒ − + = − +
.
Dấu bằng khi
3 5
1 x x x
2
−
− = ⇔ =
(nhận)
Bài 6. (D 2014) Giải bất phương trình

(x 1) x 2 (x 6) x 7+ + + + +
≥ x² + 7x + 12