Chuyên đề bài tập hình học không gian năm 2015

BT HÌNH KHƠNG GIAN
1. Hai đường thẳng song song
a) Đònh nghóa:
a b P
a b
a b
, ( )

⊂
⇔

∩ =∅

P
b) Tính chất
•
( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ( )
( ) ( )
P Q R
P Q a a b c đồng qui
P R b a b c
Q R c

≠ ≠



∩ =
⇒



∩ =


∩ =


P P
•

( ) ( )
( ) ,( )
( )
P Q d
d a b
P a Q b
d a d b
a b

∩ =


⊃ ⊃ ⇒


≡ ≡




P P
P
•

,
a b
a b
a c b c

≠
⇒


P
P P
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa: d // (P)
⇔
d
∩
(P) =
∅
b) Tính chất
•

( ), ' ( )
( )
'
d P d P
d P

d d

⊄ ⊂
⇒


P
P
•

( )
( ) ,( ) ( )
d P
d a
Q d Q P a

⇒

⊃ ∩ =

P
P
•

( ) ( )
( ) ,( )
P Q d
d a
P a Q a


∩ =
⇒


P
P P
3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa:
(P) // (Q)
⇔
(P)
∩
(Q) =
∅
b) Tính chất
•

( ) ,
( ) ( )
( ), ( )
P a b
a b M P Q
a Q b Q

⊃

∩ = ⇒




P
P P

•

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R P Q
Q R

≠

⇒



P P
P
•

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Q R
P Q a a b
P R b



∩ = ⇒


∩ =

P
P
4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
•
Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song
trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)
•
Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
•
Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh
( )d P
P
, ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng
d
′
nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường
thẳng trong mặt phẳng kia.
1
CHƯƠNG 0

ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11
I. QUAN HỆ SONG SONG
BT HÌNH KHƠNG GIAN
1. Hai đường thẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: a
⊥
b
⇔

¶
( )
0
, 90a b =
b) Tính chất
• Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b. Khi đó
. 0a b u v
⊥ ⇔ =
r r
.
•

b c
a b
a c


⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: d
⊥
(P)
⇔
d
⊥
a,
∀
a
⊂
(P)
b) Tính chất
• Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng:
, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b

⊂ ∩ =
⇒ ⊥


⊥ ⊥

•
a b
P b
P a
( )
( )

⇒ ⊥

⊥

P
•
a b
a b
a P b P( ), ( )

≠
⇒

⊥ ⊥

P
•
P Q
a Q
a P
( ) ( )

( )
( )

⇒ ⊥

⊥

P
•
P Q
P Q
P a Q a
( ) ( )
( ) )
( ) ,( )

≠
⇒ (

⊥ ⊥

P
•
a P
b a
b P
( )
( )

⇒ ⊥


⊥

P
•
a P
a P
a b P b
( )
)
,( )

⊄
⇒ (

⊥ ⊥

P
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
đó.
• Đònh lí ba đường vuông góc
Cho
( ), ( )a P b P⊥ ⊂
, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: (P)
⊥
(Q)

⇔

·
( )
0
90P Q( ),( ) =
b) Tính chất
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
( )
( ) ( )
( )
P a
P Q
a Q

⊃
⇒ ⊥

⊥

•
( ) ( ),( ) ( )
( )
( ),
P Q P Q c
a Q
a P a c

⊥ ∩ =
⇒ ⊥


⊂ ⊥

•
( ) ( )
( ) ( )
, ( )
P Q
A P a P
a A a Q

⊥

∈ ⇒ ⊂


∋ ⊥

•
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R

∩ =

⊥ ⇒ ⊥



⊥

4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh
d a⊥
, ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
•
Chứng minh góc giữa a và d bằng 90
0
.
•
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.
•
Chứng minh
d b
⊥
mà
b a
P
.
•
Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
2
II. QUAN HỆ VNG GĨC
BT HÌNH KHƠNG GIAN
•
Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.
•

Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
•
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
•
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
•
Chứng minh d // a và a
⊥
(P).
•
Chứng minh d
⊂
(Q) với (Q)
⊥
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
•
Chứng minh d = (Q)
∩
(R) với (Q)
⊥
(P) và (R)
⊥
(P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
•
Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a
⊥

(Q).
•
Chứng minh
·
( )
0
( ),( ) 90P Q =
1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' ⇒
¶
( )
·
( )
, ', 'a b a b=
Chú ý: 0
0
≤
¶
( )
a b,
≤ 90
0
b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
• Nếu d ⊥ (P) thì
·
( )
,( )d P
= 90
0
.

• Nếu
( )d P⊥
thì
·
( )
,( )d P
=
·
( )
, 'd d
với d′ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
≤
·
( )
,( )d P
≤ 90
0
c) Góc giữa hai mặt phẳng
·
( )
¶
( )
( )
( ),( ) ,
( )
a P
P Q a b
b Q


⊥
⇒ =

⊥

• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng
( ),
( ),
a P a c
b Q b c

⊂ ⊥

⊂ ⊥

⇒
·
( )
¶
( )
( ),( ) ,P Q a b=
Chú ý:
·
( )
0 0
0 ( ),( ) 90P Q≤ ≤
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q),
ϕ =

·
( )
( ),( )P Q
. Khi đó: S
′
= S.cos
ϕ
2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ
điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất
kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
•
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
•
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song
song với đường thẳng thứ nhất.
•
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với
đường thẳng kia.
3
III. GĨC – KHOẢNG CÁCH
BT HÌNH KHÔNG GIAN
4
BT HÌNH KHƠNG GIAN
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.

•
2 2 2
AB AC BC+ =
•
2 2
AB BC BH AC BC CH. , .= =
•
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +

•
AB BC C BC B AC C AC B.sin .cos .tan .cot
= = = =

b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán
kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
• Đònh lí hàm số cosin:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C– . .cos ; .cos+ = + − = + −
• Đònh lí hàm số sin:

R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===

• Công thức độ dài trung tuyến:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m; ;
+ + +
= − = − = −
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
•
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1

.
2
1
===
•
CabBcaAbcS sin
2
1
sin.
2
1
sin
2
1
===
•
R
abc
S
4
=
•
prS =
•
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= − − −
• ∆ABC vuông tại A:
2S AB AC BC AH. .= =
• ∆ABC đều, cạnh a:
2

3
4
a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
×
cao =
·
AB AD sinBAD. .
e) Hình thoi:
·
1
2
S AB AD sinBAD AC BD. . .= =
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1
+=
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
S AC BD.=
5

IV. NHẮC LẠI MỘT SỐ CƠNG THỨC
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
BT HÌNH KHƠNG GIAN
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
V abc
=
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:
1
3
đáy
V S h.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ:
đáy
V S h.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức
•
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
•
Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của
chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và
khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C,
C' trên Oz, ta đều có:
OABC
OA B C
V
OA OB OC
V OA OB OC
' ' '
. .
' ' '
=
* Bổ sung
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng S xung quanh với diện tích các
đáy.
6
CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
BT HÌNH KHÔNG GIAN
1. – Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
Phương pháp:
*Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng α và β
*Tìm đường thẳng a ⊂ α và đường thẳng b ⊂ β sao cho a


b = I, thì I là điểm chung của α và β
1. Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.
b) Trên các đoạn AB và AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại
I. Hãy xét xem điểm I thuộc những mặt phẳng nào ?Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD).
2. Trong mp α cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Gọi c là một đường thẳng cắt α tại điểm I khác O.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và α
b) Gọi M là một điểm trên c khác I.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao
tuyến này luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c.
3. Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy hai điểm A, B thuộc mặt phẳng α nhưng không
thuộc d và một điểm O nằm ngoài α và β. Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt β tại A’ và B’. Giả sử đường
thẳng AB cắt d tại C.
a) Chứng minh rằng ba điểm O,A,B không thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng ba điểm A’,B’,C thẳng hàng và từ đó suy ra ba đường thẳng AB,A’B’ và d đồng qui.
4. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không // BC, MP
không //AD. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNP)

(ABC) b) (MNP)

(ABD) c) (MNP)

(BCD) d) (MNP)

(ACD)
5. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không //BC, trong tam
giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI)


(ABC) b) (MNI)

(BCD) c) (MNI)

(ABD) d) (MNI)

(ACD)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang. Tìm các giao tuyến sau:
a) (SAC)

(SBD) b) (SAB)

(SCD) c) (SAD)

(SBC)
7. Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M, N. Tìm các giao tuyến sau:
a) (BMN)

(ACD) b) (CMN)

(ABD) c) (DMN)

(ABC)
8. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J, K. Tìm
các giao tuyến sau:
a) (ABJ)

(ACD) b) (IJK)

(ACD) c) (IJK)


(ABD) d) (IJK)

(ABC)
9. Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau.
b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)

(JAD).
c) Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB; N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của 2 mp (IBC)

(DMN)
10. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là các
điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng OA, BO, OC. Giả sử A’B’

AB = D , B’C’

BC = E , C’A’

CA
= F. Chứng minh rằng 3 điểm D, E, F thẳng hàng
11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngoài đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD)
ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần lượt tại K và L. Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một
đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và CD lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc một mặt phẳng
b) Gọi O
1
= BN

DM; O

2
= BL

DK và J = LM

KN. Chứng minh rằng ba điểm A, J, O
1
thẳng hàng và ba
điểm C, J, O
2
cũng thẳng hàng
c) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H nằm trên đường thẳng AC.
12. Cho tứ diện ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB và ABC.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng
b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’. Chứng minh rằng :
c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
7
BT HÌNH KHÔNG GIAN
13. Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho ≠ . Một mặt phẳng (P) thay
đổi luôn luôn đi qua MN, cắt CD và BD lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định
b) Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF
c) Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE
14. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn thẳng
AB, AC, AD sao cho = = = .Gọi I = MN ∩ BC và J = MP ∩ BD.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng
b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và NI; H = MG ∩ BE ;K = GF ∩ mp(BCD). Chứng minh rằng
các điểm H, K, I, J thẳng hàng.
2. – Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α

Bước 1: Chọn một mặt phẳng β chứa a (β gọi là mặt phẳng phụ)
Bước 2: Tìm giao tuyến của α và β là đường thẳng d
Bước 3: Gọi M là giao điểm của a với d thì M là giao điểm của a với α
1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, K. Tìm các giao điểm sau:
a) CD

(MNK) b)AD

(MNK)
2. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BC lần lượt lấy các điểm M, N, P. Tìm các giao điểm sau:
a) MN

(ADP) b) BC

(DMN)
3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N. Tìm các giao điểm sau:
a) BC

(DMN) b) AC

(DMN) c) MN

(ACD)
4. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy 1 điểm O, tìm giao điểm của AM với các mp (SBC), (SCD)
5. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm P. Tìm các giao điểm sau:
a) MP

(ACD) b) AD

(MNP) c) BD


(MNP)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang. Trên cạnh SC lấy một điểm E.
a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB, CD và EF đồng qui
7. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N, K. Tìm các
giao tuyến sau:
a) CD

(ABK) b) MK

(BCD) c) CD

(MNK) d) AD

(MNK)
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M, N và B.
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)
b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mp (P)
c) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC)
d) Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA, DC với (P). Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC
a) Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD) b) Tính các tỉ số ; và
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC.
a) Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC) b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
11. Cho tứ diện ABCD. Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J. Tìm các giao điểm sau:
a) IJ


(SBC) b) IJ

(SAC)
12. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP =
2PD. Tìm giao điểm của:
a) CD với mặt phẳng (MNP) b) AD với mặt phẳng (MNP)
13. Cho tứ diện SABC. Gọi I và H là trung điểm của SA và AB. Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
8
BT HÌNH KHÔNG GIAN
14. Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy một điểm M
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng AB,CD,MN đồng qui
15. Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong 1 mặt phẳng
a) Xác định các giao tuyến sau: (AEC)

(BFD); (BCE)

(AFD)
b) Lấy 1 điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm AM

(BCE)
16. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD,ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC
b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD
c) Chứng minh rằng FK song song IJ
d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD.Tìm giao điểm của đường thẳng MN
với mặt phẳng (IJK)
17. Cho tứ diện SABC. Lấy các điểm A’, B’, C’lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SA’ = SA; SB’ =

SB; SC’ = SC
a) Tìm giao điểm E, F của các đường thẳng A’B’ và A’C’ lần lượt với mặt phẳng (ABC)
b) Gọi I và J lần lượt là các điểm đối xứng của A’ qua B’ và C’. Chứng minh rằng IJ = BC và BI = CJ
c) Chứng minh rằng BC là đường trung bình của tam giác AEF
18. *.Trong mặt phẳng α cho tam giác đều ABC. Gọi β là mặt phẳng cắt α theo giao tuyến BC. Trong mặt phẳng
β ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng một phía với α. Trên Bx và Cy ta lấy
B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’
a) Tìm giao điểm D của đường thẳng BC với mp (AB’C’) và tìm giao tuyến của mp (AB’C’) với mp α
b) Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M sao cho AM = AC’. Tìm giao điểm I của đường thẳng B’M với mặt phẳng α
và chứng minh I là trung điểm của AD
c) Chứng minh rằng nếu B’ và C’ theo thứ tự chạy trên Bx và Cy sao cho BB’ = 2CC’ thì mặt phẳng (AB’C’)
luôn luôn cắt α theo một giao tuyến cố định
d) Gọi E và F là trung điểm của AB và BC. Cạnh AC cắt DE tại G. Hãy tính tỉ số và CM: AD = 2AF
19. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. 1 mp (P) cắt các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’
a) Dựng giao điểm D’ của mặt phẳng (P) với cạnh SD
b) Gọi I là giao điểm của A’C’ với SO. Chứng minh rằng: + = 2
c) Chứng minh rằng: + = +
3. – Dựng thiết diện với hình chóp
Thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng α là phần chung của hình chóp với mặt phẳng α.
Phương pháp: để dựng thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng α ta lần lượt làm như sau:
Bước 1: Dựng giao tuyến của α với một mặt nào đó của hình chóp
Bước 2: Giới hạn đoạn giao tuyến là phần của giao tuyến nằm trong mặt đang xét của hình chóp
Tiếp tục hai bước trên với mặt khác của hình chóp cho đến khi các đoạn giao tuyến khép kín tạo thành một đa
giác, đa giác ấy là thiết diện
1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, CD, AD lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của ABCD với mặt
phẳng (MNP)
2. Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SD lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCM)
3. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm I. Dựng thiết diện
của hình chóp với mặt phẳng (MNI)
4. Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh SA, AB, BC lấy các điểm M, N, P. Dựng thiết diện của hình chóp với

mặt phẳng (MNP)
5. Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm M, N, P.
a) Tìm giao điểm MN

(ABCD) b) Tìm giao điểm NP

(ABCD)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
6. Cho tứ diện ABCD. Trong 3 tam giác ABC, ACD và BCD lần lượt lấy 3 điểm M, N, P.
a) Tìm giao điểm MN

(BCD) b) Dựng thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP)
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SB và SC.
9
BT HÌNH KHÔNG GIAN
a) Tìm giao tuyến (SAD)

(SBC) b) Tìm giao điểm SD

(AMN)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)
8. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD ta lấy điểm M.
a) Tìm giao tuyến (SBM)

(SAC) b) Tìm giao điểm của BM

(SAC)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM)
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh SB và SC

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm các cạnh CB và
CD, M là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MHK)
11. *. Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD = 2BC. Gọi N là trung điểm của SB, M nằm trên cạnh SA sao cho
AM = 2MS. Gọi α là mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC và AD tại P và Q
a) Chứng minh rằng 4 đường thẳng MN, AB, CD và PQ đồng qui tại một điểm I
b) Gọi J và K lần lượt là giao điểm của SC và SD với α. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng
c) Tìm α

(SAC) và α

(SBD)
d) Gọi R = MQ

NP. Chứng minh rằng điểm R chạy trên một đường thẳng cố định khi α thay đổi
12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là
điểm đối xứng với D qua B
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK)
b) Tính diện tích của thiết diện ấy
4. – Đường thẳng song song đường thẳng
Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung
Định lý 1: Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song với nhau: a //c & b//c ⇒ a // b
Chú ý: Khi hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta có thể sử dụng các định lý đã học để
chứng minh chúng song song với nhau:
* Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì // với nhau
* Dùng định lý Talet: Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì chắn trên hai cạnh kia những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt có chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song

song với hai đường thẳng ấy






β⊂α⊂
=β∩α
b//a
b,a
d
⇒ d // a ,b
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. CM: IJKL là hình bình hành
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng HK//AB
3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm trên các cạnh BC, SC, SD,
DA sao cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD. Chứng minh rằng PQ//SA
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA,
SB, SC và SD
a) Chứng minh rằng ME//AC, NF//BD
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và SO (O là giao điểm của AC và BD) đồng qui
c) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, E, F đồng phẳng
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác
SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF là hình thoi
c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD)
10
BT HÌNH KHÔNG GIAN
6. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đoạn AC và BF lần
lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1)

a) Giả sử k = 1/3 ;chứng minh rằng MN // DE b) Giả sử MN // DE hãy tính k
7. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, AD lấy 3 điểm M, N, P. Dựng giao tuyến (MNP)

(BCD) trong
các trường hợp sau: a) PM cắt CD b) PM //CD
8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SA và SC
a) Dựng các giao tuyến (SAB)

(SCD), (DMN)

(ABCD)
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (DMN)
9. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm AB, AD. Điểm M thay đổi trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của CD và (IJM)
b) Gọi H là giao điểm của IM và JN; K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp các điểm H; K khi M thay
đổi trên cạnh BC
10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. Điểm M thay đổi trên cạnh SA
a) Dựng giao điểm N của SD và mặt phẳng (BCM)
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCM)
c) Gọi I =BM

CN.Tìm tâp hợp điểm I khi M chạy trên SA
11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi H, K là trung điểm SA, SB
a) Chứng minh rằng HK//CD
b) Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MKH)
12. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, điểm M thay đổi trên cạnh SD
a) Dựng giao tuyến (SAD)

(SBC)
b) Dựng giao điểm N của SC và mặt phẳng (AB M); ABMN là hình gì? Có thể là hình bình hành không?

c) Gọi I là giao điểm của AN và BM. CM: khi M chạy trên cạnh SD thì I chạy trên 1 đường thẳng cố định
13. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABC. Dựng thiết diện của
ABCD với mặt phẳng (IJK)
14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM). CM: F là trung điểm của SD và ABMF là một hình thang.
c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N là trung điểm của SC và OB
a) Tìm giao điểm I của SD với mặt phẳng (AMN) b) Tính tỉ số
16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và
SAD. E là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng MN // BD b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
c) Gọi H và K lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) với các cạnh SB và SD. CM: LH // BD
11
BT HÌNH KHÔNG GIAN
5. – Đường thẳng song song mặt phẳng
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD
a) Chứng minh rằng BD//(AIJ)
b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Chứng minh rằng HK//(ABD)
2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. G là trọng tâm của tam giác SAB và E là điểm trên cạnh
AD sao cho DE = 2EA. Chứng minh rằng GE // (SCD)
3. Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng.
a) Gọi M, N là trung điểm của AD, BE. Chứng minh rằng MN//(CDE)
b) Trên các đoạn AC và BF lấy các điểm P, Q sao cho AM = kAC; BN = kBF (0 < k < 1). CM: MN // (CDEF)
4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hbh. Gọi M, N là trung điểm của AB và AD. Mp α chứa MN và //SA.
a) Dựng giao điểm của SC và α b) Dựng thiết diện của hình chóp với α
5. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M.Gọi α là mặt phẳng qua M và // 2 cạnh AC, BD. Dựng thiết
diện của tứ diện với α
6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hbh. M là 1 điểm thay đổi trên cạnh AB. Mp α qua M và // SA và AD
a) Dựng thiết diện của α với hình chóp. Chứng minh thiết diện là hình thang

b) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của α với (SCD) thì//SD
c) Tìm quĩ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện khi M thay đổi trên cạnh SD
7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi trên cạnh BC, mặt phẳng α
qua M //AB và SC
a) Dựng giao tuyến (SAD)

(SBC) b) Dựng thiết diện của hình chóp với α
c) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của α với (SAD) thì //SD
8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hbh. Gọi M, N là trung điểm SA, SB. Điểm P thay đổi trên cạnh BC
a) Chứng minh rằng CD // (MNP)
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Chứng minh rằng thiết diện là 1 hình thang.
c) Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện. Tìm quĩ tích điểm I
9. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi trên cạnh SA
a) Tìm các giao tuyến (SAD)

(SBC) ; (SAB)

(SCD) b) Dựng giao điểm N = SB

(CDM)
c) Gọi I = CM

DN; J = DM

CN. CM: khi M thay đổi trên cạnh SA thì I, J chạy trên 2 đ/thẳng cố định
10. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a và AB vuông góc CD. Lấy 1 điểm M trên cạnh AC, đặt AM = x
(0< x < a). Mặt phẳng α đi qua M và song song với AB và CD cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P, Q
a) CM: MNPQ là 1 hình chữ nhật b) Tính diện tích MNPQ theo a và x
c) Xác định x để diện tích MNPQ là lớn nhất
11. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD, tam giác BCD vuông tại C và góc BDC = 30

0
; M là 1 điểm thay đổi
trên cạnh BD; AB = BD = a; đặt BM = x. Mặt phẳng α qua M và song song với AB, CD
a) Dựng thiết diện của tứ diện với α b) Tính diện tích S của thiết diện
c) Xác định vị trí của M trên BD để S lớn nhất
12. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SB = b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy
một điểm M, đặt AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng α qua M, // AC và SB lần lượt cắt BC, SC, SA tại N, P, Q
a) MNPQ là hình gì?
b) Tính diện tích MNPQ. Xác định x để diện tích ấy lớn nhất
13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SAB là tam giác vuông tại A với SA = a.Gọi M là một
điểm thay đổi trên cạnh AD,đặt AM = x (0 < x < a ). Gọi α là mặt phẳng qua M và song song CD và SA
a) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng α, thiết diện là hình gì
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x
14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều ABCD đáy lớn AB = 2a, hai cạnh bên AD và BC cắt
nhau tại I. Tam giác SAB cân tại S và SI = 2a. Trên đoạn AI ta lấy một điểm M, đặt AM = x (0< x < 2a ). Mặt
phẳng α qua M song song SI và AB lần lượt cắt BI, SB, SA tại N, P, Q
a) Tính góc giữa SI và AB b) MNPQ là hình gì ?
c) Tính diện tích MNPQ theo a và x. Tìm x để diện tích ấy lớn nhất. Khi đó MNPQ là hình gì
d) Gọi K = MP

NQ. Tìm quĩ tích điểm K khi M chạy trên đoạn AI
12
BT HÌNH KHÔNG GIAN
15. *.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là trung điểm của AB và SC
a) Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (SAB) ∩ (SCD) b) Chứng minh rằng MN // (SAD)
c) Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua trọng tâm của tam giác SBD
d) Gọi P là trung điểm của SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
16. *.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của SA và SC
a) Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (BMN) ∩ (ABCD); (BMN) ∩ (SBD)
b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = SD

c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI //(SBC) và (IJN)//(SAD)
6. – Mặt phẳng song song mặt phẳng
1. Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong 2 mặt phẳng khác nhau.
a) Chứng minh rằng (ADF) // (BCE)
b) Gọi I, J, K là trung điểm của các cạnh AB, CD, EF. Chứng minh rằng (DIK) // (JBE)
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K, L là trọng tâm của các tamgiác ABC, ABD, ACD. CM: (HKL) // (BCD)
3. Cho 2 tam giác ABC và DEF nằm trên 2 mặt phẳng α, β song song với nhau
a) Dựng các giao tuyến α

(AEF); β

(BCD) b) Dựng giao tuyến (AEF)

(BCD)
4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. M là 1 điểm nằm trên cạnh AB, mặt phẳng α
qua M và α//(SBC). Dựng thiết diện của hình chóp với α. Thiết diện là hình gì?
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hbh. Điểm M thay đổi trên cạnh BC, mp α qua M và // mp (SAB)
a) Dựng thiết diện của hình chóp với α. Chứng minh thiết diện là hình thang
b) Chứng minh rằng CD // α c) Tìm quỹ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện
6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a; AB = 2a, tam giác SAB
vuông cân tạiA. Trên cạnh AD lấy điểm M. Đặt AM =x. Mặt phẳng α qua M và // mp (SAB)
a) Dựng thiết diện của hình chóp với α b) Tính diện tích và chu vi thiết diện theo a và x
7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’)
b) Tìm giao điểm I=B’D

(BA’C’); J = B’D

(ACD’). CM: 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần =
nhau

c) Gọi M, N là trung điểm của C’B’ và D’D. Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (BMN)
8. Trong mặt phẳng α cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về
cùng 1 phía với α. Một mặt phẳng β cắt 4 nửa đường thẳng ấy lần lượt tại A’, B’, C’, D’
a) CM: mp(AA’,BB’) // mp(CC’,DD’) b) CM: tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành
c) Chứng minh rằng AA’ + CC’ = BB’ + DD’
9. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’
a) Chứng minh rằng AI // A’I’ b) Tìm giao điểm IA’

(AB’C’)
c) Tìm giao tuyến của (AB’C’)

(BA’C’)
10. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’. CM:
a) (IKG) // (BB’C’C) b) (A’KG) // (AIB’)
11. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm A’B’
a) CM: CB’ // (AHC’) b) Tìm giao tuyến d = (AB’C’)

(A’BC) c) CM: d // (BB’C’C)
12. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và AC
a) Dựng thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNB’)
b) Gọi P là trung điểm B’C’. Dựng thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNP)
13. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là tâm của các mặt bên AA’C’C và
BB’D’D. Chứng minh rằng MN//(ABCD)
14. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a. Mặt bên SAB là 1 tam giác
vuông cân tại A. Trên cạnh AD ta lấy 1 điểm M, đặt AM = x. Mặt phẳng α qua M và //mặt phẳng (SAB) cắt
BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q (0 < x < 2a).
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông b) Tính diện tích MNPQ theo a và x
c) Gọi I = MQ

NP. Tìm tập hợp điểm I khi M chạy trên cạnh AD

13
BT HÌNH KHÔNG GIAN
15. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD
a) Xác định giao điểm K = BI

(SAC)
b) Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH//(SAD)
c) Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN)//(SBC)
d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (KHN)
16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm của SC, AB, AD
a) Tìm giao tuyến của 2 mp (SBC) và (SAD) b) Tìm giao điểm I của AM

(SBD)
c) Gọi J = BP

AC. CM: IJ // (SAB) d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
7a. – Hình chóp
1. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a. Tam giác ABC vuông tại B,góc C = 60
o
, BC = a.
a) CM: 4 mặt của hình chóp là tam giác vuông. Tính S
tp
b) Tính thể tích V
S.ABC
c) Từ A kẻ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC. CM: SC ⊥(AHK) và ∆AHK vuông d) Tính thể tích V
S.AHK
2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường cao SA = a, M là trung điểm của SB
a) CM: các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ADM). Tính diện tích thiết diện
c) Thiết diện chia hình chóp làm hai hình đa diện, tính thể tích các khối đa diện ấy

3. Cho hình chóp S.ABC có đáy và mặt bên SAB là các tam giác đều cạnh a. Chân đường cao SH của hình chóp
đối xứng với tâm O của đáy qua cạnh AB. a) CM: các mặt bên SAC và SBC là các tam giác vuông
b) Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABC c) Tính góc giữa các mặt bên và đáy
d) Tính thể tích V
S.ABC
và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)
4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD), SC = a. Cạnh AC và SC lần lượt tạo với
đáy các góc α = 60
o
, β = 45
o
a) Xác định các góc α, β b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD
5. Cho hình chóp S.ABC có (SAB)⊥(ABC), tam giác SAB đều và tam giác ABC vuông tại C, góc BAC = 30
o

a) Tính chiều cao hình chóp b) Tính thể tích hình chóp
6. Trên 3 nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một ta lần lượt lấy 3 điểm A, B, C sao cho OA
= OB = OC = a
a) CM: OABC là hình chóp đều b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp OABC
7. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B. AD = 2a, AB = BC = a; SA ⊥ (ABCD); cạnh
SC tạo với đáy (ABCD) một góc ϕ = 60
o

a) CM: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. Tính diện tích toàn phần của hình chóp
b) Tính thể tích S.ABCD c) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)
8. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Gọi I là
trung điểm AB
a) CM: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc giữa hai mp (SIC) và (ABC)
c) Gọi N là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC)
9. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC =

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
b) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c) Tính diện tích tam giác SBC
10. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a. SA = SB = SC =
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC) b) CM: hai mp (SBC) và (ABC) ⊥ nhau
c) Tính góc ϕ giữa hai mp (SAC) và (ABC) d) Tính diện tích tam giác (SAC)
11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60
o
, SA = SB = SD =
a) Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD)
b) CM: hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau
c) CM: hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
d) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ⇒ diện tích ∆SBD
14
BT HÌNH KHƠNG GIAN
7b. – Hình chóp
1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng α (45
0
< α < 90
0
). Tính thể tích hình chóp. HD: Tính h =
1
2
atan
α
⇒

V a
3
1

tan
6
= α

2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a
5
. Một mp
(P) đi qua AB và ⊥ với mp(SCD) lần lượt cắt SC, SD tại C′,ø D′. Tính thể tích của khối đa diện
ADD′.BCC′.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD
⇒

a
V
3
5 3
6
=
3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều = 1. Tính V hình chóp theo x và
y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)
⇒

xy
V x y
2 2
4
12
= − −
4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính V tứ diện theo a, b, c.

HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PQ, QR, RP. Chú ý:
V
APQR
= 4V
ABCD
=
1
6
AP AQ AR. .
⇒

V a b c b c a c a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
( )( )( )
12
= + − + − + −
5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).Gọi M và N lần lượt
là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SA SM SN SA
V SA SB SC

SB
. .
 
= = =
 ÷
 ÷
 

⇒

a
V
3
3 3
50
=
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7
3
cm. Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD.
7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy ⊥ với mp(ABCD) và ở về cùng một phía đối
với mp ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN = y. Tính V
ACMN
theo a, x, y.
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a
2

, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM. b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi M và N lần lượt
là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
12. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
và (SAB) ⊥
mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin
của góc giữa hai đường thẳng SM và DN. HD:
3
3 5
3 5
a
V ; cos
ϕ
= =
13. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mp ⊥ với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BP và tính
thể tích khối CMNP. HD:
3
3
96
a
V =
14. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. CM: MN ⊥ BD và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. HD:
2
4

a
d
=
15
BT HÌNH KHƠNG GIAN
15. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
·
·
0
90ABC BAD= =
, BC = BA = a, AD
= 2a. SA ⊥ (ABCD),
2aSA =
. Gọi H là hình chiếu ⊥ của A trên SB. CM: tam giác SCD vuông và tính
khoảng cách từ H đến (SCD). HD:
3
a
d
=
16. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD =
, SA = a và SA ⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. CM: (SAC) ⊥
(SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. HD:
3
2
36
a
V
=

17. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi
M, N lần lượt là hình chiếu ⊥ của A trên SB, SC. Tính V
A.BCMN
. HD:
3
3 3
50
a
V =
18. (Dự bò 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc
·
( )
0
60SBC ABC( ),( ) =
, ABC và SBC là các tam giác đều
cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC). HD:
3
13
a
d =
19. (Dự bò 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). AB = a,
2aSA =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu ⊥ của A trên SB, SD. CM: SC⊥(AHK) và tính thể tích của tứ
diện OAHK. HD:
3
2
27
a
V =
20. (Dự bò 2 B–07): Trong mp (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn

đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng ⊥ với (P) tại A lấy điểm S sao cho
·
( )
0
60(SAB) SBC,( ) =
. Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính thể tích tứ diện
SABC.
HD:
3
6
12
R
V =
21. (Dự bò 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA ⊥
với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
. Mp
(BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. HD:
3
10 3
27
V a=
22. (Dự bò 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0

60BAD =
, SA ⊥ (ABCD),
SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mp (P) đi qua AC' và // với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B',
D'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'. HD:
3
3
18
a
V =
23. (Dự bò 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mp (SBC) = b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
HD:
3
2 2
2
3
16
a b
V
a b
.=
−
24. (Dự bò 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB ⊥ (ABC). Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC
bằng 120
0
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
25. (Dự bò 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA ⊥ với
đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. CM: tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác
AMB theo a. HD:
2

2
2
AMB
S a
∆
=
16
BT HÌNH KHƠNG GIAN
7c. – Hình chóp
1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và
·
ASB
α
=
.
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp. b) CM: chiều cao của hình chóp =
2
1
2 2
a
cot
α
−
c) Tính thể tích khối chóp. HD: a) S
xq
=
2
2
a cot
α

c) V =
3 2
1
1
6 2
a cot
α
−
2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) ⊥ với đáy. Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A. Trung
tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc α và tạo với mp(SAD) góc β.
a) Xác đònh các góc α, β. HD:
·
·
SBA BSD;
α β
= =
b) CM: SB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
. c) Tính S toàn phần và V khối chóp.
HD: S
tp
=
2 2
2 2

2 2
1
2 2
2
a a sin
(sin sin )
cos sin
cos sin
β
α β
α β
α β
+ +
−
−
; V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−
3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và ⊥ với đáy.
Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC.
a) CM: SH ⊥ (ABCD). Tính thể V
SABCD
. b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.

HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK =
2 2
2 2
7 4 4
2
a a ax x
a x
− +
+
4. Trên đường thẳng vuông góc tại A với mp của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a. Gọi
B′, D′ là hình chiếu của A lên SB và SD. Mp (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp SAB′C′D′.
HD:
8
15
SAB C
SABC
V
V
′ ′
=

⇒
V
SAB
′
C
′
D
′

=
3
16
45
a
5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mp (P) cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A′,
B′, C′, D′. CM:
SA SC SB SD
SA SC SB SD
+ = +
′ ′ ′ ′
HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
6. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ⊥ BC. b) Tính V và S toàn phần của hình chóp SABC.
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
HD: b) V =
3
2
12
a
; S
tp
=
2
3a
.
7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh đáy bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp. HD: a) V =

3
6
6
a
b) Qua A dựng mp (P) ⊥ với SC. Tính S thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. HD: S =
2
3
3
a
8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là α.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo α và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp (MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h tan
tan
α
α
−
; V =
3
2
4
3 1
h

(tan )
α
−
9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 ≤ x ≤ a) và trên nửa
đường thẳng Ax ⊥ tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) CM: hai mp (SBA) và (SBC) vuông góc. b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính V
SABCM
. d) Với giả thiết x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trò lớn nhất của thể tích với SABCM.
e) I là trung điểm của SC. Tìm q tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x
c) V =
1
6
ay x a( )
+
d) V
max
=
3
1

3
24
a
17
BT HÌNH KHƠNG GIAN
10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
cạnh bên SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên SAB một góc β.
a) CM: SC
2
=
2
2 2
a
cos sin
α β
−
. b) Tính thể tích khối chóp. HD: V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA =2a và ⊥ với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).
12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = a.
Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.

13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a.
Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) và SD = a.
a) CM: ∆SBC vuông. Tính diện tích ∆SBC. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a.
Cạnh bên SD ⊥ (ABCD), SD
3a=
. Từ trung điểm E của DC dựng EK ⊥ SC (K ∈ SC). Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ⊥ (EBK).
15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết rằng AB = 2a, AD =
CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD. b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ
các đoạn thẳng AD
⊥
SB và AE
⊥
SC. Biết AB = a, BC = b, SA = c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE. b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mp (SAB).
18
BT HÌNH KHÔNG GIAN
7d. – Hình chóp
1. Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC thay đổi hay không nếu:
a/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC?
b/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy?
c/ Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với mặt phẳng (ABC)?
2. Hãy chia khối tứ diện thành 2 k.tứ diện sao cho tỷ số thể tích của 2 khối tứ diện này = 1 số k cho trước (k>0).
3. Gọi M nằm trong tứ diện đều ABCD. CM: Tổng các khoảng cách từ M đến 4 mặt của tứ diện là 1 số không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tính tổng đó = bao nhiêu nếu các cạnh của tứ diện đó = a.
4. Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S. Gọi V và
V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'. CM:

. .
' ' ' '
V SA SB SC
V SA SB SC
=
5. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AM, song
song với BD chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
6. Chứng minh nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' thì:
3
' ' ' 'A B C D
ABCD
V
k
V
=
7. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phẳng (CB'D')
chia khối tứ diện thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần đó.
8. Cho khối tứ diện ABCD. E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. 2 mp (ABF) và (CDF) chia khối
tứ diện thành bốn khối tứ diện.
a/ Kể tên 4 khối tứ diện đó? b/ Chứng tỏ 4 khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
c/ Chứng tỏ rằng nếu khối tứ diện ABCD là khối tứ diện đều thì 4 khối tứ diện nói trên bằng nhau?
9. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam giác vuông cân có: AB=BC=a. Gọi B' là trung
điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC? b/ CM: SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C')?
c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C'?
10. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh là a.
11. Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S. Gọi V và
V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'. Chứng minh rằng:
. .
' ' ' '

V SA SB SC
V SA SB SC
=

12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a. Trên đường thẳng qua C và ⊥ với mp (ABC) lấy điểm D sao
cho CD=a. Mp qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
13. Cho 2 đường thẳng chéo nhau d và d'. Độ dài đoạn thẳng AB=a trượt trên đường thẳng d, đoạn thẳng CD có
độ dài bằng b trượt trên đường thẳng d'. CM: thể tích khối tứ diện ABCD có thể tích ko đổi.
14. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA=a, OB=b và OC=c.
Tính đường cao OH của hình chóp?
15. *. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng
0
60
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC. b/ Tính thể tích khối chóp S.DBC.
16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a và CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một
góc
0
60
. Tính thể tích của khối chóp đó.
17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b và SA=c.
Lấy B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD. Mặt phẳng
(AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc
0
60
. Gọi M là
trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích
khối chóp S.AEMF?
19. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B', D' lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng

(AB'D') cắt SC tại C'. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD.
19
BT HÌNH KHÔNG GIAN
20. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AD và SC. CM:
mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
21. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm M của cạnh SC. Tính tỉ số
thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
22. Cho điểm M trên cạnh SA, N trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao cho:
1
; 2
2
SM SN
SA SB
= =
. Mp (P)
qua MN và // với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích hai khối đó?
23. Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi
, , ,
A B C D
h h h h
là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. CM:
1 1 1 1 1
A B C D
r h h h h
= + + +
24. Cho hình chóp tam giác S.ABC và M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song
song với SA, SB, SC lần lượt cắt các mặt (BCS), (CAS), (ABS) tại A', B', C'. CM:
a/
.
.

'
M BCS
S ABC
V
MA
V SA
=
b/
' ' 'MA MB MC
SA SB SC
+ +
không đỏi. Tìm tổng đó?
25. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại
K, L, M, N. Chứng minh rằng:
a/
. . . .S ABC S ACD S ABD S BCD
V V V V= = =
b/
SA SC SB SD
SK SM SL SN
+ = +
26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Một mặt phẳng
(P) qua đi qua A, vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'.
1. Chứng minh tứ giác AB'C'D' có hai góc đối diện là góc vuông?
2. Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A thì mặt phẳng
(AB'C'D') luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểm A, B, B', C, C', D, D' cùng cách đều một điểm
cố định một khoảng không đổi?
3. Giả sử góc giữa cạnh SC và mặt bên (SAB) bằng x. Tính tỉ số giữa thể tích hình chóp S.AB'C'D' và thể tích
của hình chóp S.ABCD theo x, biết rằng AB=BC.
27. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một góc

0
60
.
Hãy tính thể tích khối chóp đó?
28. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ABC, AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc
0
60
. Hãy tính thể tích khối chóp?
29. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các
đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết AB=a, BC=b, SA=c.
a/ Tính thể tích khối chóp S.ADE?
b/ Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)?
30. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số
không đổi?
31. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng. Biết rằng AC=h, AB=a,
CD=b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
0
60
. Tính thể tích tứ diện ABCD.
32. Cho tứ diện ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm của các cạnh tứ diện đều đó. Tính
tỉ số
( )
?
H
ABCD
V
V
20
BT HÌNH KHƠNG GIAN
8. – Hình khối hộp

1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D', biết rằng AA'B'D' là khối tứ diện đều cạnh a.
2. Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng 6 trung diểm của 6 cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' và AA'
nằm trên một mp và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
3. Tính thể tích khối bát diện đều cạnh là a.
4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính tỉ số V
1
của khối hộp đó và V
2
của khối tứ diện ACB'D'.
5. Cho lăng trụ và hình chóp có đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng?
6. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng
(CEF) chia khối hộp trên làm 2 khối đa diện. Tính tỉ số thể tích hai khối đó.
7. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh là a Gọi M là trung điểm A'B', N là trung điểm của BC.
a/ Tính thể tích khối tứ diện ADMN?
b/ Mặt phẳng (DNM) chia khối lập phương thành hai khối da diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H')
là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số :
( )
( )
'
V H
V H
=
?
8. Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật với AB=
3
, AD=
7
. 2 mặt bên (ABB'A') và
(ADD'A') lần lượt tạo với đáy những góc
0

45
và
0
60
. Tính V khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
9. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C'B' và C'D'.
a/ Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (AEF).
b/ Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF).
10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=2a, AA'=a. Lấy diểm M trên cạnh AD sao cho
AM=3MD.
a/ Tính thể tích khối chóp M.AB'C b/ Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C)?
11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=b, AA'=c . Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của
A'B' và B'C'. Tính tỉ số V của khối chóp D'.DMN với khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=b, AA'=c. Gọi E và F là các điểm thuộc các cạnh BB'
và DD' sao cho
1 1
', '
2 2
BE EB DF FD= =
. Mp (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' thành 2 khối đa
diện (H) và (H'). Gọi (H') là khối đa diện chứa đỉnh A'. Hãy tính V của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H').
13. (Dự bò 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' =
3
2
a
và
·
0
60BAD =
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. CM: AC' ⊥ (BDMN). Tính thể

tích khối chóp A.BDMN. HD:
3
3
16
a
V =
14. (Dự bò 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh = a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK
=
2
3
a
. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và // với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích
của hai khối đa diện đó. HD:
3 3
1 2
2
3 3
a a
V V;= =
15. Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo ACC′A′, BDD′B′ là S
1
, S
2
.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp. b) Biết
·
BA D
′
= 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD: a) S

xq
= 2
2 2
1 2
S S+
b) V =
1 2
2 2
4
2 1
2
2
S S
S S
.
−
16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, đường chéo AC′ = d hợp với đáy ABCD một góc α và hợp với
mặt bên BCC′B′ một góc β.
a) Chứng minh:
·
·
CAC và AC B
α β
′ ′
= =
.
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d
3
sinα.sinβ
cos( ).cos( )

α β α β
+ −
21
BT HÌNH KHƠNG GIAN
c) Tìm hệ thức giữa α, β để A′D′CB là hình vuông. Cho d không đổi, α và β thay đổi mà A′D′CB luôn là
hình vuông, đònh α, β để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
α
– sin
2
β
) = 1 ; V
max
=
3
2
32
d
khi
α
=
β
= 30
0
(dùng Côsi).
17. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,
µ
A
= 60

0
. Chân đường vuông góc hà từ
B′ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy. Cho BB′ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3
3
4
a
; S
xq
= a
2
15
.
18. Cho hình hộp xiên ABCD.A′B′C′D′, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
= 60
0
; A′A = A′B = A′D và
cạnh bên hợp với đáy góc α.
a) Xác đònh chân đường cao của hình hộp vẽ từ A′ và góc α. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC′A′, BDD′B′.
c) Đặt β =
·
( )

ABB A ABCD,
′ ′
. Tính α biết α + β =
4
π
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
b) S
BDD
′
B
′
=
2
3
3
a
sin
α
; S
ACC
′
A
′
= a
2
tan
α
c)
α

= arctan
17 3
4
−
9a. – Hình lăng trụ
1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = cạnh bên = a. Gọi I, J là trung điểm BC và BB’
a) CM: BC’ ⊥ (AIJ) b) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC)
c) Tính diện tích tam giác AIJ
2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 60
o
, A’A = A’B = A’D = a
a) Tính chiều cao lăng trụ b) CM: hai mặt chéo của lăng trụ ⊥ nhau
c) Tính góc ϕ giữa hai mp (A’BD) và (ABCD) d) Tính diện tích ∆A’BD và dt tồn phần của lăng trụ
3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) CM: hai mặt chéo vng góc nhau b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA’ và BD’
c) Tính góc ϕ giữa hai mp (D’AC) và (ABCD) d) Tính diện tích tam giác D’AC
4. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 60
o
. Gọi O, O’ là tâm của hai đáy,
OO’ = 2a
a) Tính diện tích các mặt chéo của lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần và thể tích của lăng trụ
5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D = 12. Cạnh đáy CD = 6; cạnh bên CC’ = 8
a) Tính diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp b) Tính góc giữa B’D và các mặt hình hộp
6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc A = 60
o
; D’O vng góc
(ABCD); cạnh bên tạo với đáy một góc ϕ = 60
o

a) Xác định góc ϕ và tính chiều cao, cạnh bên của hình hộp b) Chứng minh rằng BD’ ⊥ A’C’

c) Chứng minh rằng các mặt bên của hình hộp bằng nhau, suy ra S
tp
d) Tính thể tích hình hộp và thể tích tứ diện ACDC’
7. *. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên = a và hình chiếu của C’ trên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm của tam giác ABC.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy, chiều cao của lăng trụ
b) Chứng minh rằng các mặt bên AA’C’C và BB’C’C bằng nhau; mặt bên ABB’A’ là hình vng. Từ đó tính
diện tích tồn phần của lăng trụ c) Tính thể tích tứ diện OBCB’
8. *. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo AB’ của mặt bên tạo với đáy một góc ϕ =
60
o
. Gọi I là trung điểm BC
a) Tính diện tích tồn phần và thể tích lăng trụ b) Xác định hình chiếu của A trên BB’C’C
c)Tính góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C) d) Tính thể tích tứ diện BAIC’
9. *. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh bên AA’ = a và hình chiếu của B’ trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm I của AC
22
BT HÌNH KHÔNG GIAN
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích lăng trụ
c) Tính thể tích tứ diện AIBC’
10. Lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi tâm O; cạnh a góc A = 60
o
; B’O ⊥ (ABCD); cạnh bên = a
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy và thể tích của lăng trụ
b) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau c) Tính diện tích toàn phần lăng trụ
11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, góc BCA = 60
o
. BC’ tạo với mặt
phẳng (AA’C’C) một góc α = 45
o

a) Xác định α và tính chiều cao lăng trụ b) Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ
12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = a, đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một
góc α = 30
o

a) Xác định α và tính chiều cao lăng trụ b) Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ
13. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, điểm A’ cách đều A,B, C và AA’ tạo với đáy
một góc ϕ = 60
o

a) Chứng minh rằng mặt bên BB’C’C là một hình chữ nhật
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ c) Tính thể tích tứ diện ABB’C
9b. – Hình lăng trụ
1. Tính thể tích khối lăng trụ n giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
2. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A. AC=b,
0
60ACB∠ =
. Đường
thẳng BC' tạo với mặt phẳng (AAC'C) một góc bằng
0
30
.
a/ Tính độ dài đoạn thẳng AC' .
b/ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
3. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều ba điểm A, B, C.
Cạnh AA' tạo với đáy một góc bằng
0
60
.

a/ Tính thể tích khối lăng trụ? b/ Chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật?
c/ Tính tổng diện tích các mặt bên (gọi là diện tích xung quanh )?
4. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của AA'. Mặt phẳng đi qua M,B'C' chia
khối lăng trụ thành hai phần . Tính tỷ số thể tích hai phần đó?
5. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' = h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB',
CC' lần lượt tại A
1
, B
1
, C
1
. Biết BB
1
= b, AA
1
= a, CC
1
= c.
a/ Tính thể tích 2 phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P)?
b/ Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần đó bằng nhau?
6. Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm cạnh AB. Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành
hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó?
7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a.
a/ Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C?
b/ Mp đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC, BC tại E, F. Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE?
8. Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
1
C

1
D
1
có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A
1
D = 2 và độ
dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a/ Hạ AK vuông góc với A
1
D (K thuộc A
1
D). Chứng minh rằng AK=2
b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
9. Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là tam giác đều, mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy 1 góc
0
30
và tam
giác A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
10. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình bình hành và
0
45BAD∠ =
. Các đường chéo AC' và

DB' lần lượt tạo với đáy những góc
0
45
và
0
60
. Hãy tính thể tích khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó = 2.
11. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với mặt bên (ABB'A') có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh
CC' và mặt bên (ABB'A') bằng 7. Tính thể tích hình lăng trụ.
23
BT HÌNH KHƠNG GIAN
12. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vng cân với cạnh huyền AB=
2
. Cho biết mặt
phẳng (AA'B) vng góc với mặt phẳng (ABC),
AA'= 3, AA'B=∠
góc nhọn, góc giữa mặt phẳng (A'AC)
và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
13. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N và E theo thứ tự là trung
điểm của các cạnh BC, CC', và C'A'. Đường thẳng EN cắt đường thẳng AC tại F, đường thẳng MN cắt đường
thẳng B'C' tại L. Đường thẳng FM kéo dài cắt AB tại I, đường thẳng LE kéo dài cắt A'B' tại J.
a/ Chứng minh rằng các hình đa diện IBM.JB'L và A'E.AFI là những hình chóp cụt.
b/ Tính thể tích hình chóp F.AIJA'.
c/ Chứng minh rằng mặt phẳng (MNE) chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.
19. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 45
0
và S

∆
ABC
′
bằng 49
6
cm
2
.
Tính thể tích lăng trụ.
20. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của
khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’. HD:
3
1
2 4
a
V ; cos
ϕ
= =
21. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a
2
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2
đường thẳng AM, B′C. HD:
3
2 7
2 7
a a
V d;= =

22. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể
tích của khối tứ diện OO′AB. HD:
3
3
12
a
V =
23. (Dự bò 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
=
52a
và
·
0
120BAC =
. Gọi
M là trung điểm CC
1
. CM: MB ⊥ MA
1
và tính d (A, (A
1
BM). HD:

5
3
a
d =
24. (Dự bò 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA
1
=
2a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. CM: MN là đường ⊥ chung của AA
1
và BC
1
.
Tính thể tích của tứ diện MA
1
BC
1
.HD:
3
2

12
a
V
=
25. (Dự bò 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn
AA
1
. CM: BM ⊥ B
1
C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B
1
C. HD:
30
10
a
d =
26. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên BCC′B′ hợp với mặt
bên ABB′A′ một góc α.
a) Xác đònh góc α. HD:
·
C BI
′ ′
với I
′

là trung điểm của A
′
B
′
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
3 3
8
a sin
sin
α
α
.
27. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′, chiều cao h. Mp (A′BD) hợp với mặt bên ABB′A′ một góc α.
Tính V và S xung quanh của lăng trụ. HD: V =
3 2
1h tan
α
−
, S
xq
=
2 2
4 1h tan
α
−
.
28. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA′ đến mặt bên BCC′B′ bằng a,
mp(ABC′) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc α.

a) Dựng AH ⊥ BC, CK ⊥ AC′. CM: AH = a,
·
CAC
′
= α, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ. c) Cho a = b không đổi, còn α thay đổi. Đònh α để V lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
2 2 2
2
ab
b asin sin
α α
−
c)
α
= arctan
2
2
24
BT HÌNH KHƠNG GIAN
29. Cho lăng trụ đều ABCD.A′B′C′D′ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC′ và đáy là 60
0
. Tính thể tích
và diện tích xung quanh hình lăng trụ. HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a

2
6
30. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt bên kề nhau. Góc
giữa 2 đường chéo ấy là α. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ. HD: S
xq
= 4h
2
1 cos
cos
α
α
−
.
31. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A′B′C′, cạnh đáy bằng a. Mp (ABC′) hợp với mp(BCC′B′) một góc α. Gọi
I, J là hình chiếu của A lên BC và BC′.
a) Chứng minh
·
AJI
= α. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
4 3
a
tan
α
−
; S
xq

= 3a
2
2
3
3tan
α
−
.
32. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a, AA′ = A′B = A′C = b.
a) XĐ đường cao của lăng trụ vẽ từ A′. Chứng minh mặt bên BCC′B′ là hình chữ nhật.
b) Đònh b theo a để mặt bên ABB′A′ hợp với đáy góc 60
0
. HD: b = a
7
12
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trò b tìm được. HD: S
tp
=
2
7 3 21
6
a
( )+
33. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB′A′ là hình thoi
cạnh a, nằm trên mp ⊥ với đáy. Mặt bên ACC′A′ hợp với đáy góc nhò diện có số đo α (0 < α < 90
0
).
a) CM:
·
A AB

′
= α. b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác đònh thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi β là góc nhọn mà mp(BCC′B′) hợp với mặt phẳng đáy. Chứng minh: tanβ =
2
tanα.
HD: b) V =
1
2
a
3
sin
α
c) S
xq
= a
2
(1 + sin
α
+
2
1 sin
α
+
)
34. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A′ lên mp(ABC) trùng với tâm
đường tròn (ABC). Cho
·
BAA
′

= 45
0
.
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
HD: a) V =
2
2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).
35. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hình chiếu của
C′ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC′ là d và số đo nhò diện cạnh CC′ là 2ϕ.
a) Tính thể tích lăng trụ.
b) Gọi α là góc giữa 2 mp(ABB′A′) và (ABC) (0 < α < 90
0
). Tính ϕ biết α + ϕ = 90
0
.
HD: a) V =
3 3
2
2
3 1

d tan
tan
ϕ
ϕ
−
b) tan
α
=
2
1
3 1tan
ϕ
−
;
ϕ
= arctan
2
2
36. Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên ABBA′ là hình
thoi, mặt bên BCC′B′ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc α.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC′B′). Xác đònh góc α. b) Tính thể tích lăng trụ.
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
∆
ABC; vẽ KH
⊥
BB

′
.
·
AHK
=
α
. b) V =
3
3
2
a
cot
α
.
10. – Mặt cầu
1. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình chữ nhật và AB = a, SA = BC = 2a. CM: 5 điểm S,
A, B, C, D cùng nằm trên 1 mặt cầu. Tìm tâm, bán kính của mặt cầu đó
2. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). BE, BF là đường cao của tam giác ABC và SBC. Gọi H và H’ lần
lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC
a) CM: SH’, AH và BC đồng qui tại một điểm I b) CM: 5 điểm E, F, I, S, B ở trên một mặt cầu
25