Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 4 pdf

Chương 4

ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH

4.1- Khái niệm chung.
Các chương II và III đã trình bày mô tả toán học của hệ thống của hệ thống
điều khiển truyền động. Chương này sẽ sử dụng các tư liệu của các chương đã trình
bày trước đây để giải quyết nhiệm vụ đầu tiên khi phân tích hệ thống điều khiển tự
động là xác định tính ổn định của nó.
Thực ra việc nói một hệ th
ống ổn định là nói đến một số đại lượng nào đó
được điều khiển ổn định.
Một hệ thống thường biểu diễn bằng phương trình vi phân tổng quát:
n
n
d
t
)t(yd
+ a
n-1
1n
1n
d
t
)t(yd
−
−
+ + a
1
d

t
)t(dy
+ a
o
y(t) =
= b
m

m
m
d
t
)t(ud
+ b
m-1

1m
1m
d
t
)t(yd
−
−
+ + b
1
d
t
)t(du
+ b
o

u(t) (4-1)
Hoặc phương trình sai phân:
y(k+n) + a
n-1
y(k+n-1) + + a
1
y(k+1) + a
o
y(k) =
= b
m
u(k+n) + b
m-1
u(k+m-1) + + b
1
u(k+1) + b
o
u(k) (4-2)
Sẽ bao gồm hai quá trình: Quá trình xác lập và quá trình quá độ.
Đặc trưng bằng nghiệm:
y(t) = y
o
(t) + y
qđ
(t) (4-3)
Hoặc y(k) = y
o
(k) + y
qđ
(k) (4-4)

Trong đó: - y
o
là nghiệm riêng của (4-1) hoặc (4-2) đặc trưng cho quá trình
xác lập.
- y
qđ
là nghiệm tổng quát của (4-1) hoặc (4-2) khi không có vế phải
đặc trưng cho quá trình quá độ.
Quá trình xác lập là một quá trình ổn định vấn đề chỉ còn xét quá trình quá
độ y
qđ
.
4.2- Khái niệm ổn định và các định nghĩa chính.
Đối với hệ thống tuyến tính, ổn định của hệ thống có mối liên hệ tới ma trận
A của hệ thống. Có thể nói đại khái rằng ổn định của các hệ thống này là tính chất
của ma trận hệ thống A. Đối với hệ thống liên tục hay gián đoạn khi không có đầu
vào (đầu vào bằng không).

x
&
(t) = A. x(t) ; x(t
o
) = x
o
(4-5)
x(k+1) = A.x(k) ; x(k
o
) = x
o
(4-6)

Theo điều kiện biên nghiệm của (4-5) và (4-6):
x(t) = e
A (t-to)
x
o
; x(k) = A
k-ko
x
o
(4-7)
Để hệ thống ổn định đòi hỏi:

)t(x ≤ Const < ∞ ∀(t)
)k(x ≤ Const < ∞ ∀(k) (4-8)
Ở đây:
x =
21
n
1i
2
i
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑

=

(4-7) đặc trưng cho đáp ứng quá độ của hệ thống ở thời kỳ quá độ khi có đầu
vào.
Các định nghĩa sau về ổn định của hệ thống đóng vai trò quan trọng nghiên
cứu ổn định của hệ thống tuyến tính.
Định nghĩa 1:
Một hệ thống là ổn định nếu chuyển động của nó được giới
hạn, nói một cách khác nếu vectơ trạng thái bị giới hạn bởi hằng số.
Định nghĩa 2:
Một hệ thống là xu hướng ổn định nếu x(t)→0 khi t→ ∞.
* Đối với hệ thống tuyến tính bất biến. Ổn định của nó quan hệ chặt chẽ với
các trị riêng của hệ thống.
4.3- Trị riêng và tính ổn định của hệ thống.
4.3.1- Trị riêng và vectơ riêng.
Xét phương trình vectơ:
y = A x (4-9)
Với x, y là các vectơ cột, còn A là ma trận vuông. Theo quan hệ này ta có
vectơ y cùng hướng v
ới vectơ x. Nghĩa là quan hệ giữa x và y là quan hệ tuyến tính
với hệ số λ .
y = A . x = λ . x (4-10)
λ là một đại lượng vô hướng (hệ số tỷ lệ).
Đây chính là bài toán trị riêng (eigen values).
Các giá trị λ
i
để phương trình y = A.x có nghiệm x
i
≠ 0.
λ

i
trị riêng.
x
i
vectơ riêng.
A.x = λ . x
hay (A - λ . I) . x = 0
Phương trình này có nghiệm không tầm thường khi:
det (A - λ . I) = 0 (4-11)
(4-11) được gọi là phương trình đặc trưng.

Ví dụ:
Cho: A =
31
43

Tìm trị riêng của A và các vectơ riêng ta có:

3 4 x
1


x
1
1 3
×
x
2
=
λ ×

x
2

det 3 4 -
λ
1 0 = det
3-λ
4
1 3

0 1

1
3-λ
= (3 - λ)
2
- 4 = λ
2
- 6λ + 5 = 0
λ
1
= 1 ; λ
2
= 5
Véc tơ riêng ứng với trị riêng λ
1
= 1.

x
1

= - 2x
2
Vậy x
1
= 1 k
1
x
2 1
-1/2
4.3.2- Ổn định của hệ thống có các trị riêng phân biệt.
- Phương trình (4-5) của hệ thống cấp n có thể được viết dưới dạng các trị
riêng và vectơ riêng của hệ thống:
x(t) = C
1

t
1
e
λ
v
1
+ C
2

t
2
e
λ
v
2

+ + C
n

t
n
e
λ
v
n
(4-12)
Ở đây: C
i
, i = 1, 2, , n ; các hằng số;
λ
i
, i = 1, 2, , n ; các trị riêng của A;
v
i
, i = 1, 2, , v
n
; các vectơ riêng của ma trận A.
- Theo (4-12) thấy rằng toàn bộ các trị riêng là số thực phân biệt λ
i
< 0
∀
i
khi đó x(t) → 0 khi t → ∞ và hệ thống có xu hướng ổn định. Nếu λ
i
≤ 0 ∀
i

hệ
thống ổn định. Chỉ cần có một giá trị λ
i
dương hệ thống không ổn định.
- Đối với trường hợp các trị riêng có giá trị phức.
C
i

()
tj
ii
e
β±α
. v
i
= C
i
t
i
e
α
.
tj
i
e
β±
. v
i
(4-13)

Nên nhớ rằng:
ttj
i
e
β
= 1 nếu:
Re {λ
i
} = α
i
< 0 thì x(t) → 0 khi t → ∞ hệ thống có xu
hướng ổn định, nếu Re(λ
i
) = α
i
> 0 với một vài i thì (x(t) → ∞ hệ thống không ổn
định.

Re{λ
i
} ≤ 0 → hệ thống ổn định.
Định lý 4.1:
Hệ thống tuyến tính liên tục, tiền định có các trị riêng phân biệt là ở
trong vùng ổn định nếu Re {λ
i
} = α
i
< 0 ∀
i
. là ổn định nếu Re(λ

i
) = α
i
≤ 0 , ∀
i
và
không ổn định nếu có một trị riêng λ
i
nào đó để Re(λ
i
) = α
i
> 0.
+ Phân tích tương tự đối với hệ thống gián đoạn:
x(k+1) = Ax(k) ; x(k
o
) = x
o
(4-14)
Có nghiệm: x(k) = A
k.ko
x
n
, với k - k
o
≥ 0 (4-15)
Giới hạn:
a ≤ 1; nếu a < 1 khi đó x(k) → 0 khi k → ∞.
Vì hệ thống ở trong vùng ổn định, ngược lại nếu có một vài |λ
i

| > 1 hệ thống
không ổn định.
Định lý 4.2:
Đối với hệ thống gián đoạn tiền định có các trị riêng phân biệt
là ở trong vùng ổn định nếu |λ
i
| < 1 , ∀
i
.là ổn định nếu |λ
i
| ≤ 1, ∀
i
và không ổn định
nếu có một vài λ
i
mà |λ
j
| > 1.
4.3.3- Ổn định của hệ thống có các trị riêng lặp.
* Các cực lặp nằm bên trái mặt phẳng phức (nửa mặt phẳng phức trái) là
vùng ổn định. Đa thức đặc trưng của hệ thống mới n
1
cực lặp.
Δ(λ) = (λ + a)
n1
. Δ
1
(λ) , a > 0 , n > n
1
> 1

Hàm truyền của hệ thống trong lĩnh vực Laplace.
H(s) =
1
n
)aS(
1
+
. H
1
(s)
Sử dụng biến đổi ngược Laplace với S = -a.
L
-1

⎩
⎨
⎧
∑
−
=
1n
0i
1
1
n
in
)aS(
k
+
−

=
∑
−
=
1n
0i

)!i1n(
k
1
in
1
−−
−
t
n1-1-i
. e
-at

Đồng thời:
{
)etim
at
i1n
t
1
−
−−
∞→
l → 0 , ∀

i
= 0, 1, 2, , n
1
- 1.
+ Một cách tương tự nếu các cực lặp là số liên hợp phức ở mặt phẳng trái của
mặt phẳng phức.






Hình 4.1
Định lý 3:

Nửa mặt phẳng
vùng ổn định

I
m
(s)
R
e
(s)
Vùng
ổn định

R
e
(z)

I
m
(z)
1
1
-1
-1

Hệ thống tiền định tuyến tính có các trị riêng phân biệt hoặc lặp là thuộc
vùng ổn định, nếu toàn bộ các trị riêng của ma trận A ở nửa trái của mặt phẳng
phức. Không ổn định nếu có chỉ một trị riêng nằm trên nửa phải của mặt phức.
Các trị riêng trên trục ảo là ổn định. Ổn định của các trị riêng lặp trên trục ảo ở
giới hạn của ổn định.
Trong thực tế để đơn giản, người ta sử dụng các phương pháp gián tiếp để
đánh giá ổn định của hệ thống dựa trên các tiêu chuẩn ổn định.
Các tiêu chuẩn ổn định gồm hai loại:
1- Các tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương
trình đặc trưng để xét ổn định h
ệ thống tiêu chuẩn ổn định Routh - Hurwitz.
2- Tiêu chuẩn ổn định tần số thông qua đặc tính tần số của hệ thống để xét ổn
định. Tiêu chuẩn Mikhailôv và tiêu chuẩn Nyquyrtz.
* Khảo sát nghiệm của phương trình đặc trưng.
Hàm truyền của hệ kín dạng chính tắc.

G(s).H(s)1
G(s)
U(S)
Y(S)
+
=

(1)
)].[G(S).U(S
G(s).H(s)1
1
Y(S)
+
=⇒ (2)
Y(s) - hàm đáp ứng.
Hình 4.2
G(s).U(s) - hàm kích thích.

)s(H).s(G1
1
+
- hàm của hệ.
* Hàm kích thích chỉ ảnh hưởng tới đáp ứng ổn định của hệ mà không ảnh hưởng
tới dạng của đáp ứng quá độ vì thế có thể cho G(s) . U(s) = 0.
Hay: Y(s) . (1 + G(s) . H(s)) = 0 (3)
1 + G(s) . H(s)) = 0 (4)
(4) phương trình đặc trưng của hệ kín. (sử dụng phương trình này đánh giá
ổn định của hệ).
Ta đã biết: G(s). H(s) - hàm truyền mạch hở của hệ đó là một tỷ s
ố
giữa các đa thức của biến (S).
Gọi N(s) : đa thức tử số.
D(s) : đa thức mẫu số.
Ta có:
0
D(s)
N(s)D(s)

D(S)
N(S)
1G(S).H(S)1 =
+
=+=+ (5)
⇒ D(s) + N(s) = 0 (6)
G(s)

H(s)

U(s)

Y(s)


Phân tích phương trình (6) ra thừa số:
D(s) + N(s) = (S - r
1
) (S - r
2
) (S - r
n
) = 0
Trong đó: r
i
nghiệm của phương trình đặc trưng (i = 1, , n)
* Để hệ ổn định mọi nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực
âm.
Ví dụ:
Một hệ chính tắc có các hàm truyền sau:

G(s) =
)4S(S
3
+
; H(s) = 1
Xác định phương trình đặc trưng và đánh giá ổn định của hệ:
1 + G(s) . H(s) = 1 +
)4S(S
3
+
=
)4S(S
3S4S
2
+
++
= 0
Nghiệm của phương trình đặc trưng là -1 ; -3 ⇒ nghiệm quá độ chứa các
số mũ có hệ số âm → hệ ổn định.
4.4. Các tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwith.
4.4.1- Điều kiện cần để hệ thống điều khiển tự động ổn định.
Trước khi xét các tiêu chuẩn ổn định ta cần tìm dấu hiệu để phán đoán tính
ổ
n định của hệ thống.
“Điều kiện cần để hệ thống điều khiển tự động tuyến tính ổn định là các hệ
số của phương trình đặc trưng đều dương”.
Từ phương trình (6): D(s) + N(s) = 0.
Ta có thể viết: a
o
.S

n
+ a
1
S
n-1
+ + a
n-1
. S + a
n
= 0
(phương trình đặc trưng viết dưới dạng khai triển).
Ta có thể kiểm chứng lại điều kiện trên, nếu giả sử hệ thống ổn định: Như
thế nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ là:
S
1
= - α
1
; S
2
= -α
2
+ jβ
2
; S
3
= - α
3
- j β
3
; ; S

n
= -α
n

Trong đó: α
i
> 0 ( i = 1, 2, , n)
Giả sử phương trình có n nghiệm ta có thể viết:
a
o
(S - S
1
) (S - S
2
) ( S - S
3
) (S - S
n
) = 0
hay a
o
(S + α
1
) (S + α
2
- jβ
2
) (S + α
2
+ jβ

2
) (S + α
n
) = 0
a
o
(S + α
1
) [(S + α
2
)
2
+ β
2
2
] (S + α
n
) = 0
Vì các số hạng đều là dương nên ta có thể khải triển thành:
a’
o
S
n
+ a’
1
S
(n-1)
+ + a’
n-1
S + a’

n
= 0
Vì thế khi hệ thống ổn định bắt buộc các hệ số của phương trình đặc trưng
phải dương (điều kiện cần).
Ví dụ:
1) Hệ thống điều khiển có phương trình đặc trưng:

0,04.S
3
+ 0,4S
2
+ S + 50 = 0
Vì a
i
> 0 nên có thể ổn định.
2) S
4
+ 2S
3
- 0,5 S
2
+ 3S + 20 = 0 không ổn định.
Vì không thoả mãn điều kiện ổn định cần thiết.
4.4.2.Tiêu chuẩn Routh: (không chứng minh).
* Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định (tuyến tính) là tất cả các số hạng
trong cột thứ nhất cuả bảng Routh dương.
* Giả sử với phương trình đặc trưng bậc 5.
a
o
S

5
+ a
1
S
4
+ a
2
S
3
+ a
3
S
2
+ a
4
S + a
5
= 0
Bảng Routh được lập như sau:

⎩
⎨
⎧
1
o
a
a

3
2

a
a

5
4
a
a

7
6
a
a


Error! Not a valid link.
3
2
b
b

3
2
b
b


⎩
⎨
⎧
1

o
c
c

3
2
c
c
Error! Not a valid link.

⎩
⎨
⎧
1
o
d
d

→ hai hàng đầu được dùng các hệ số của phương trình đặc trưng xếp
theo chiều mũi tên.
→ các hàng sau có các số hạng tính theo biểu thức:

b
o
=
1
31
2o
a
aa

aa
−
=
1
3o21
a
aaaa −
; b
1
=
o
2o
31
b
bb
aa
−
=
o
213o
b
baab −

b
2
=
1
51
4o
a

aa
aa
−
=
1
5o41
a
aaaa −
; b
3
=
o
4o
51
b
bb
aa
−
=
o
415o
b
baab −

b
4
=
1
71
6o

a
aa
aa
−
=
1
7o61
a
aaaa −
; b
5
=
o
o
71
b
0b
aa
−

Nhận xét:

- Mỗi số hạng trong hàng thứ ba của bảng Routh là một thương số:

+ Tử số
: định thức cấp hai mang dấu âm với cột thứ nhất của nó cũng là cột
thứ nhất của hai hàng đứng sát trên hàng có số hạng đang tính. Còn cột thứ hai của
định thức chính là cột đứng sát bên phải số hạng đang tính của hai hàng trên.
+ Mẫu số
: Trong tất cả số hạng của một hàng có chung mẫu số chính là số

hạng đứng ở cột thứ nhất và hàng sát ngay trên hàng đang tính.
Ví dụ:
1) Cho phương trình đặc trưng của hệ thống:
S
4
+ 2S
3
+ 8S
2
+ 4S + 3 = 0
Lập bảng Routh:

1 8 3
2 4 0
6 3 0
3 0
3
Hệ thống ổn định vì tất cả các số hạng trong cột thứ nhất đều dương.
Ví dụ 2:
Cho phương trình đặc trưng của hệ thống:
S
5
+ S
4
+ 3 S
3
+ 4S
2
+ S + 2 = 0
Lập bảng Routh:

1 3 1
1 4 2
-1 -1
3 2
-
3
1

2
⇒ Hệ thống không ổn định vì các số hạng trong cột thứ nhất không cùng dấu
đại số.
Ví dụ 3:
Cho phương trình đặc trưng của hệ thống.
S
3
+ K.S
2
+ 2S + 3 = 0
Xác định K để hệ thống ổn định:
K > 0
Bảng Routh:
1 2
K 3
(2K-3)/k ⇒ 2K - 3 > 0

3


4.4.3- Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz.
Phát biểu:

Điều kiện cần và đủ để cho hệ thống tuyến tính ổn định là
các định thức Hurwitz dương.
* Cách lập định thức Hurwitz:
Các hệ số của phương trình đặc trưng: a
o
, a
1
, a
2
, , a
n

Δ
0
= a
0
; Δ
1
= a
1
; Δ
2
=
2o
31
aa
aa
tổng quát Δ
n
có n

cột
, n
hàng
.
Đường chéo chính của Δ
n
bắt đầu từ a
1
đến a
n
các số hạng trên cùng một cột
nằm trên đường chéo chính có chỉ số tăng dần, dưới đường chéo chính chỉ số giảm
dần. Các số hạng có chỉ số bé hơn 0 và cao hơn n đều ghi 0.
Ví dụ:
Phương trình đặc trưng bậc 3.
a
o
S
3
+ a
1
S
2
+ a
2
S + a
3
= 0
a
o

> 0 ; Δ
1
= a
1
> 0
Δ
2
=
2o
31
aa
aa
= a
1
a
2
- a
o
a
3
> 0
Δ
3
=
31
2o
31
aa0
0aa
0aa

= Δ
2
. a
3
> 0
Nhận xét:

1- Tiêu chuẩn Routh có thể áp dụng xét cho hệ thống bất kỳ.
2- Tiêu chuẩn Hurwitz có thể ứng dụng cho các hệ thống có phương
trình đặc trưng bậc thấp.
3- Cả tiêu chuẩn Routh và Hurwitz đều dùng để xét ổn định cho cả hệ
thống hở và kín.
4.5. Ứng dụng MatLab
Kiểm tra ổn định của hệ thống điều khiển bằng phần mềm MatLab
- Theo tiêu chuẩn Routh:
Tính định thức c
ấp 2,3 , để xác định các hệ số trong bảng Routh
>> det ( [a
0
a
2
]; [a
1
a
3
])
- Theo tiêu chuẩn Hurwitz:
Tính các định thức Hurwitz
3/2 < K

>> det ( [ a
1
a
3
a
5
]; [a
0
a
2
a
4
]; [0 a
1
a
3
])
Kết quả: Δ
3

- Theo tiêu chuẩn Nyquist:
>> Nyquist (sys)
Hoặc
>> Nyquist (sys,ω )
Trong đó:
>> sys = tf( num, den)
Hoặc: >> sys = zpk ([z], [p], k)