CHƯƠNG 3.2: Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m) M

3.1.3k Phổ tần số của hàm tự tương quan r
x
(m) :
Phổ tần số
)(
ω
j
x
eR
của hàm tự tương quan
)(mr
x
chính là hàm mật độ phổ năng lượng
)(
ω
x
S
của tín hiệu số
)(nx
.
Nếu :
)()]([
ω
j
enxFT X=

Thì :
[ ]
)().()()(
ωωω
jj

x
j
x
eemrFTe XXR
−
==

Hay :
[ ]
)()()()(
2
ω
ωω
x
j
x
j
x
SXR emrFTe ===
Đó chính là nội dung của định lý Wiener - Khintchine.
Chứng minh :
Trong biểu thức của hàm tương quan, khi thay
)()( nxny
=
nhận được hàm tự tương quan
)(mr
x
, vì thế có :
[ ]
)()()().()()(

2
ω
ωωωω
x
jjj
x
j
x
SXXXR eeemrFTe ====
−
Ví dụ 3.12 : Hãy tìm hàm phổ
)(
ω
j
x
eR
của tín hiệu số
)()( 2 nunx
n−
=
.
Giải :
ω
ωω
ω
cos
)(
.
)(
)(

25,1
1
5,01
1
5,01
1
−
=
−−
=
−
jj
j
x
ee
e
R
3.2 Phổ của tín hiệu số
3.2.1 Các đặc trưng phổ của tín hiệu số
Biến đổi Fourier của tín hiệu số x(n) là hàm phổ X(e
j
ω
) của nó :
)()(.)(.)()(
)(.
ωω
ωϕωωω
IR
jjnj
n

j
XXXX
jeeenxe
+===
−
∞
−∞=
∑
Từ đó xác định được :
- Phổ biên độ X(e
j
ω
)được tính theo [3.1-15] :

)()()(
22
ωω
ω
IR
j
XXX
e
+=
- Phổ pha
ϕ
(
ω
) = Arg[ X(e
j
ω

)] được tính theo [3.1-16] :
[ ]






==
)(
)(
)()(
ω
ω
ωϕ
ω
R
I
j
X
X
X
arctgeArg
- Năng lượng
x
E
được tính theo công thức Parseval [3.1-37] :
∫∫
−−
==

π
π
π
π
ω
ωωω
ππ
ddeE
x
j
x
SX )()(
2
1
2
1
2
- Mật độ phổ năng lượng
)(
ω
x
S
được tính theo [3.1-39] :
2
)()(
ω
ω
j
x
e

XS
=
131
Hàm phổ X(e
j
ω
), phổ biên độ X(e
j
ω
), phổ pha
ϕ
(
ω
), và hàm mật độ phổ năng lượng
)(
ω
x
S
là các đặc trưng phổ của
tín hiệu số x(n).
Ví dụ 3.13 : Cho tín hiệu số
)()( 22 −
−
= nunx
n
, hãy xác định các đặc trưng phổ của tín hiệu.
Giải :
)](.)]()(
222[22[
)2(2

−−
−−−−
==
nunue
nnj
FTFTX
ω
Theo [3.1-6] và tính chất trễ của biến đổi Fourier có :
)(
)]()(
5,01
1
222[
22
ω
ωω
j
jnj
e
enue
FTX
−
−−−
−
=−
=
Hàm phổ :
)sincos(
)(
)(

5,05,01
.25,0
5,014
22
ωω
ω
ω
ω
ω
j
e
e
e
e
j
j
j
j
X
+−
=
−
=
−
−
−
Hàm phổ biên độ :
ω
ωω
ω

cos
)sin()cos(
)(
25,1
25,0
5,05,01
25,0
22
−
−
=
+
=
j
e
X
Hàm phổ pha :






−
−−=
)cos(
sin
)(
5,01
5,0

2
ω
ω
ωωϕ
arctg
Hàm mật độ phổ năng lượng :
)cos(
)()(
25,1
0625,0
2
ω
ω
ω
−
==
j
x
e
XS
Về ý nghĩa vật lý, đồ thị của hàm phổ biên độ X(e
j
ω
) và hàm mật phổ năng lượng
)(
ω
x
S
chính là bức tranh cho
biết sự phân bố năng lượng của tín hiệu số x(n) trên trục tần số. Đồ thị phổ pha

ϕ
(
ω
) cho biết quan hệ về pha giữa các
thành phần tần số của phổ tín hiệu.
Phương pháp phân tích tín hiệu số x(n) dựa trên các đặc trưng phổ của nó được gọi là phương pháp tần số, hay
phương pháp phân tích phổ, nó thường được sử dụng để xử lý số tín hiệu âm thanh.
3.2.2 Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T)
3.2.2a Định lý lấy mẫu
Định lý lấy mẫu là cơ sở để rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm mất thông tin của nó, và vì thế có thể khôi
phục tín hiệu liên tục từ tín hiệu lấy mẫu.
Giáo trình lý thuyết mạch đã trình bầy và chứng minh định lý lẫy mẫu, do đó ở đây chỉ nhắc lại nội dung của định
lý.
Định lý lấy mẫu : Mọi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f
≤
f
c
đều hoàn toàn được xác định bởi các giá trị
tức thời rời rạc của nó tại các thời điểm cách đều nhau một khoảng thời gian
c
fT 21≤
(tương ứng
c
T
ωπ
≤
).
Định lý lấy mẫu nêu lên hai điều kiện bắt buộc phải được đảm bảo để việc lấy mẫu không làm mất thông tin của tín
hiệu liên tục :
1. Tín hiệu liên tục x(t) phải có phổ hữu hạn f

≤
f
c
2. Chu kỳ lấy mẫu T phải thỏa mãn điều kiện
c
fT 21≤
3.2.2b Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T)
Để thấy được bản chất vật lý của định lý lấy mẫu, chúng ta sẽ xác định quan hệ giữa hàm phổ
)(
ω
•
X
của tín hiệu
liên tục x(t) và hàm phổ X(e
j
ω
) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) tương ứng.
132
Xét tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < f
c
(hay
ω
<
ω
c
), quan hệ giữa x(t) và phổ của nó là cặp tích phân
Fourier :
Biến đổi Fourier thuận :
∫
∞

∞−
−
•
=
dtetx
tj
X
.
).()(
ω
ω
[3.2-1]
Biến đổi Fourier ngược :
∫
−
•
=
c
c
detx
tj
X
ω
ω
ω
ωω
π
.
).()(
2

1
[3.2-2]
Khi rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ lấy mẫu T, nhận được tín hiệu lấy mẫu x(n.T). Quan hệ giữa x(n.T)
và hàm phổ X(e
j
ω
) của nó là cặp biến đổi Fourier của tín hiệu số [3.1-23] và [3.1-24] , khi thay biến n bằng biến n.T :
Biến đổi Fourier thuận :
T
nj
n
j
enxe
TX
.
)()(
ωω
−
∞
−∞=
∑
=
[3.2-3]
Biến đổi Fourier ngược :
∫
−
=
T
T
deenx

T
njj
X
T
T
π
π
ω
ωω
π
.
).()(
2
[3.2-4]
Khi thực hiện rời rạc hóa tín kiệu liên tục x(t) theo định lý lấy mẫu thì
T
T
nt
txnx
=
= )().(
, nên có thể viết lại
[3.2-2] dưới dạng :
∫
−
•
=
c
c
denx

Tnj
XT
ω
ω
ω
ωω
π
.
).().(
2
1
[3.2-5]
Khi đó, giá trị của x(n.T) tại thời điểm n = k được xác định là :
∫∫
−
•
+
−
•
+==
=
T
T
T
T
dedenx
TT
nj
k
k

nj
k
k
T
XX
n
T
π
π
π
π
ωωωω
ωω
π
ππ
.
)12(
)12(
.
).().().(
2
2
1
2
1
Biểu thức trên nhận được do tính chất tuần hoàn của hàm mũ e
j
ω
nT
.

Khi cho k biến thiên từ -
∞
đến +
∞
nhận được :
∑
∞
−∞=
=
k
kTT
xnx )().(
Hay :
∑
∫
∞
−∞=
−
•
+=
k
nj
T
T
denx
T
k
T
XT
π

π
ωω
ω
π
π
.
).().(
2
2
1
[3.2-6]
Nhân và chia [3.2-6] cho chu kỳ lấy mẫu T, đồng thời đổi thứ tự của dấu tổng và dấu tích phân, nhận được biểu
thức :
∫
∑
−
∞
−∞=
•
+=
t
T
deTnx
Tnj
k
k
T
X
T
T

π
π
ωω
ω
π
π
.)().(
21
2
[3.2-7]
So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của [3.2-7] và [3.2-4] nhận được :
∑
∞
−∞=
•
+=
k
j
k
T
X
T
X e )()(
21
π
ω
ω
[3.2-8]
Biểu thức [3.2-8] cho thấy, hàm phổ X(e
j

ω
) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là hàm tuần hoàn của biến tần số góc
ω
với
chu kỳ
ω
T
= 2
π
/T

, và là tổng vô số các hàm phổ
)(
ω
•
X
của tín hiệu liên tục x(t).
133
Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T
≤

π
/
ω
c
, thì phổ X(e
j
ω
) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có chu kỳ
ω

T

≥
2
ω
c
. Khi đó, phổ X(e
j
ω
) là tổng của các phổ
)(
ω
•
X
hữu
hạn tách biệt nhau như trên các đồ thị hình 3.4 và hình 3.5, nên ứng với mỗi giá trị của k , phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T)
có dạng đúng với phổ của tín hiệu liên tục x(t) nhưng biên độ bị giảm T lần :
)()(
1
ω
ω
•
= X
T
X
j
e
. Vì thế, khi cho tín hiệu
lấy mẫu x(n.T) đi qua bộ lọc thông thấp để lấy thành phần phổ của X(e
j

ω
) ứng với k = 0, sẽ nhận được đúng phổ
)(
ω
•
X
, do
đó khôi phục được tín hiệu liên tục x(t).
Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn, nhưng chu kỳ lấy mẫu không thoả mãn điều kiện của định lý lấy
mẫu : T >
π
/
ω
c
, thì phổ X(e
j
ω
) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ có chu kỳ
ω
T
< 2
ω
c
. Khi đó phổ X(e
j
ω
) là tổng của các phổ
)(
ω
•

X
hữu hạn có các biên tần trùm lên nhau như trên hình 3.5. Sự trùm phổ làm cho X(e
j
ω
) bị méo dạng so với phổ
)(
ω
•
X
của tín hiệu liên tục x(t), vì thế không thể khôi phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).
Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ không hữu hạn như trên hình 3.6 , thì chắc chắn xẩy ra hiện tượng trùm
phổ, nên phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ không thể có dạng giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do đó không thể
khôi phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).
Như vậy, bản chất vật lý của việc rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) mà không làm mất thông tin trong nó là ở chỗ,
khi đảm bảo các điều kiện của định lý lấy mẫu thì tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có phổ X(e
j
ω
) tuần hoàn, và mỗi chu kỳ của phổ
X(e
j
ω
) hoàn toàn giống với phổ
)(
ω
•
X
của tín hiệu liên tục x(t), do đó thông tin của tín hiệu liên tục x(t) được bảo toàn
trong tín hiệu lấy mẫu x(n.T).
Như vậy, khi được rời rạc hóa theo đúng điều kiện của định lý lấy mẫu, thì độ rộng phổ của một chu kỳ phổ tín
hiệu số đúng bằng độ rộng phổ của tín hiệu liên tục. Do đó, để không gây méo tín hiệu số thì dải thông của hệ xử lý số

phải ≥ độ rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng.
Hình 3.2 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ
)(
ω
•
X
hữu hạn : |
ω
| <
ω
c
.
Hình 3.3 : Phổ X(e
j
ω
) của tín hiệu lấy mẫu, khi T =
π
/
ω
c
thì
ω
T
= 2
ω
c
.
134
)(
ω

•
X
ω
-
ω
c
ω
c
ω
X(e
j
ω
)
-
ω
c
ω
c
X(e
j
ω
)
Hình 3.4 : Phổ X(e
j
ω
) của tín hiệu lấy mẫu, khi T <
π
/
ω
c

thì
ω
T
> 2
ω
c
.
Hình 3.5 : Phổ X(e
j
ω
) của tín hiệu lấy mẫu, khi T >
π
/
ω
c
thì
ω
T
< 2
ω
c
.
Hình 3.6 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ
)(
ω
•
X
vô hạn.
135
ω

-
ω
c
ω
c
X(e
j
ω
)
ω
)(
ω
•
X
ω
ω
c
-
ω
c
X(e
j
ω
)