CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ docx

CHƯƠNG 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
§3.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM
Cho hàm số
:fD
và x là điểm trong của D, nghóa là có
lân cận
( , )V x x
của x chứa trong D. Nếu tỉ số
( ) ( )f s f x
sx

có giới hạn khi
sx
thì giá trò của giới hạn này được gọi là đạo
hàm của f tại x và được ký hiệu là
()fx
, nghóa là,

0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim .
hsx
f s f x f x h f x
fx
s x h

Ta cũng hay viết
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h f x f s f x
và

( ) ,x s x x h x
do đó
0
()
( ) lim .
x
fx
fx
x

Nếu đặt
()y f x
thì
()fx
còn được ký hiệu là
dy
dx
hoặc
x
Dy
.
Nếu hai giới hạn sau đây tồn tại

12
( ) ( ) ( ) ( )
lim và lim
sx sx
f s f x f s f x
kk
s x s x

thì hai giá trò k
1
và k
2
lần lượt được gọi là đạo hàm bên trái và đạo
hàm bên phải của f tại x. Dó nhiên rằng f có đạo hàm tại x khi và chỉ
khi f có đạo hàm hai bên tại x, đồng thời giá trò đạo hàm hai bên
bằng nhau.
Trường hợp mọi điểm thuộc D đều là điểm trong của D thì ta
nói D là tập hợp mở trong , và lúc đó nếu f có đạo hàm tại mọi
điểm x thuộc D thì ta có đạo hàm bậc nhất

:
( ),
fD
x f x

và khi hàm số
f
cũng có đạo hàm thì ta có đạo hàm bậc hai của f là

:
( ) ( ) ( ),
fD
x f x f x

lúc đó
()fx
cũng được viết là

2
2
dy
dx
hoặc
2
x
Dy
(nếu đặt
()y f x
).
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
2

Tổng quát, ta có đònh nghóa đạo hàm bậc n của f theo kiểu qui nạp
1
( 1) ( ) 1
1
( ) ( ) ( ) hoặc hoặc ( ).
nn
n n n n
x x x
nn
d y d d y
f x f x D y D D y
dx
dx dx

2. Ý NGHĨA ĐẠO HÀM & ĐỊNH NGHĨA SỰ KHẢ VI
Giả sử hàm số

:fD
có đạo hàm tại x.
a) Khái niệm tiếp tuyến
Gọi (C) là đồ thò của hàm số f, nghóa là
2
( ) ; ( )C x f x x D
. Xét các điểm thuộc (C) là
; ( )M x f x
và
; ( )M s f s
thì tỉ số
( ) ( )f s f x
sx
là hệ số góc cát tuyến MM’ của đường
cong (C), tức là giá trò tan của góc lượng giác hợp bởi tia Ox với tia
MM’:










Theo đònh nghóa đạo hàm, khi
sx
thì M’ tiến về M trên (C), hệ số
góc của cát tuyến MM’ tiến về một giá trò giới hạn k, cũng có nghóa

là cát tuyến MM’ di chuyển đến một vò trí giới hạn Mt mà ta gọi là
tiếp tuyến tại M của (C). Hệ số góc của tiếp tuyến chính là
( ).k f x

Giá trò
()k f x
cũng nói lên độ dốc của (C) tại M, hoặc độ biến
f(s)
f(x)
M’
M
t
x
s
x
O
y
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
3

thiên của hàm số f tại x. Do đó, tiếp tuyến Mt của (C) tại điểm
; ( )
MM
M x f x
có phương trình là

( ) : ( ) ( ).( )
M M M
Mt y f x f x x x
.

b) Khái niệm vận tốc tức thời
Trong cơ học, giả sử một động tử chuyển động thẳng trên trục
x’Ox sao cho tại thời điểm x, động tử ở vò trí M đònh bởi
( ).OM f x

Tại thời điểm x + h, động tử ở vò trí M’ đònh bởi
( ).OM f x h
Vậy
trong khoảng thời gian h, động tử di chuyển được quãng đường có độ
dài đại số là
( ) ( )MM f x h f x
và vận tốc trung bình của động
tử trong khoảng thời gian đó là
( ) ( )f x h f x
h
. Khi h tiến về 0, vận
tốc trung bình tiến về một giá trò giới hạn
()fx
mà ta gọi là vận tốc
tức thời của động tử tại thời điểm x.
c) Khái niệm khả vi và vi phân
Nếu ta đặt
( ) ( )
( ) ( )
f x h f x
h f x
h
thì ta có
( ) 0h
khi

0,h
đồng thời

( ) ( ) ( ). . ( )f x h f x f x h h h
(1)
Từ đẳng thức (1), ta có khái niệm khả vi sau đây
Đònh nghóa. Hàm số f được gọi là khả vi tại x, với x là điểm trong
của tập xác đònh D, có nghóa là tồn tại hàm số
: ( , )
và một
số thực k
x
thỏa hai điều sau:
(i)
( , ),h x h D

(ii)
0
lim ( ) 0
h
h
và
( , ), ( ) ( ) . . ( ).
x
h f x h f x k h h h

Dễ thấy rằng f khả vi tại x tương đương với f có đạo hàm tại
x. Hơn nữa, khi f khả vi tại x thì số k
x
trong (ii) cũng là

( ).fx

Đẳng thức (1) có thể được viết lại dưới dạng
( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( ),f s f x f x s x s x s x

Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
4

trong đó
( ) 0sx
khi
.sx
Nếu ký hiệu
,x s x
được gọi là
số gia của x, và ký hiệu
( ) ( ),y f s f x
được gọi là số gia của
()y f x
thì đẳng thức trên được viết lại như sau

( ). . ( ).y f x x x x

Khi số gia x “rất là nhỏ” thì ta thấy
( ). ,y f x x
và ý
nghóa của sự xấp xỉ này được ký hiệu bởi đẳng thức
()dy f x dx
, ký
hiệu dy được gọi là vi phân của hàm số

()y f x
tại x. Đẳng thức
()dy f x dx
cũng giải thích cho ý nghóa của ký hiệu
dy
dx
để chỉ đạo
hàm của
()y f x
tại điểm x, nói cách khác
0
lim ( ).
x
dy y
fx
dx x

Bài tập
1. Dùng đònh nghóa đạo hàm, chứng minh rằng
a) Nếu
2
( ) thì ( ) 2 ;f x x f x x

b) Nếu
32
( ) thì ( ) 3 ;f x x f x x

c) Nếu
1
( ) thì ( ) (với 0);

2
f x x f x x
x

d) Nếu
3
3
2
1
( ) thì ( ) (với 0).
3
f x x f x x
x

2. Sử dụng đònh nghóa đạo hàm và chấp nhận kết quả
0
sin
lim 1,
u
u
u
hãy chứng minh đạo hàm của sin là cos; đạo hàm
của cos là
sin
.
3. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 2 của hàm số f
đònh bởi
( ) 2 3.f x x

4. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 1 của hàm số f

đònh bởi
2
( ) 2 1 .f x x x x

Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
5

5. Khảo sát sự khả vi tại x = 0 của hàm số
:f
đònh bởi

1
sin khi 0,
()
0 khi 0.
xx
fx
x
x

6. Cho hàm số
:f
đònh bởi

2
1
sin khi 0,
()
0 khi 0.
xx

fx
x
x

Chứng minh f có đạo hàm tại x = 0 và tính
( ).fx

7. Cho hàm số
:f
đònh bởi

3
1
sin khi 0,
()
0 khi 0.
xx
fx
x
x

Chứng minh f có đạo hàm cấp hai tại x = 0.
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
6

§3.2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM
Việc chứng minh các mệnh đề sau đây dành cho sinh viên
như là bài tập.

Mệnh đề 3.2.1. Nếu hàm số f khả vi (có đạo hàm) tại x thì f liên tục
tại x.
Mệnh đề 3.2.2. Cho
,:f g D
là hai hàm số khả vi tại
.xD
Ta
có các hàm số
, ( )f g f
và f.g là các hàm khả vi tại x và
(i)
( ) ( ) ( ) ( ),f g x f x g x

(ii)
( ) ( ) ( ),f x f x

(iii)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).fg x f x g x f x g x

Hơn nữa, khi
( ) 0gx
thì hàm số
1
g
xác đònh trên một lân
cận của x và là hàm khả vi tại x với
2
1 ( )
( ) ,
()

gx
x
g
gx
hệ quả là

2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
()
f f x g x f x g x
x
g
gx

Mệnh đề 3.2.3 [Đạo hàm của hàm hợp]
Xét các hàm số
12
.
fg
DD
Nếu f khả vi tại
1
xD
và g
khả vi tại
2
()y f x D
thì hàm hợp
()g f g f

khả vi tại x và

( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ).g f x g y f x g f x f x

Mệnh đề 3.2.4 [Đạo hàm của hàm ngược] Cho
:fD
là một đơn
ánh. Nếu f khả vi tại
xD
và
( ) 0fx
thì hàm ngược
1
: ( )f f D
khả vi tại
( ) ( )y f x f D
và

1
1
11
( ) ( ) .
()
()
fy
fx
f f y

Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
7

2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản trong chương
trước và các mệnh đề ở mục trên, sinh viên có thể chứng minh kết
quả sau

f(x)
f ’(x)
1)
,
x
ex

x
e

2)
ln , 0xx

1
x

3)
, 0 và xx

1
x

4)
, với 0 1

x
aa

.ln
x
aa

5)
log , 0 1, 0
a
x a x

1
.lnxa

6)
sin , xx

cos x

7)
cos , xx

sin x

8)
tan , với ,
2
x x k k

2
2
1
1 tan
cos
x
x

9)
cot , với , x x k k

2
2
1
(1 cot )
sin
x
x

10)
arcsin , với 1 1xx

2
1
1 x

11)
arccos , với 1 1xx

2

1
1 x

12)
arctan , với xx

2
1
1 x

13)
arccot , với xx

2
1
1 x

Bài tập
1. Chứng minh các mệnh đề từ 3.2.1 đến 3.2.4.
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
8

2. Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản, hãy chứng minh
công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản.
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
9

§3.3. CÁC ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN
Sinh viên thực hành chứng minh các mệnh đề sau có sự
hướng dẫn trên lớp:

1. CÁC ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN
Đònh lý 3.3.1 [đònh lý Fermat]. Nếu
:fD
khả vi tại
xD
và
đạt cực trò đòa phương tại x, nghóa là giá trò f(x) hoặc là lớn nhất;
hoặc là nhỏ nhất trên một lân cận nào đó của x, thì
( ) 0.fx

Ghi chú. Bất kỳ một giá trò x thỏa
( ) 0fx
được gọi là điểm dừng
của hàm số f.
Đònh lý 3.3.2 [đònh lý Roll]. Cho hàm số
: [ , ]f a b
liên tục trên
[a, b] và khả vi trên (a, b) và
( ) ( )f a f b
thì tồn tại
( , )c a b
sao cho
( ) 0.fc

Đònh lý 3.3.3 [đònh lý Cauchy]. Cho hai hàm số liên tục
, : [ , ]f g a b
. Nếu f, g khả vi trên khoảng (a, b) thì tồn tại
( , )c a b
sao cho

( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ),g b g a f c f b f a g c

và khi
( ) ( ) và ( , ), ( ) 0g b g a x a b g x
thì đẳng thức trên được viết
thành dạng
( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( )
f b f a f c
g b g a g c

Đònh lý 3.3.4 [đònh lý Lagrange-Giá trò trung bình].
Cho hàm số liên tục
: [ , ] .f a b
Nếu f khả vi trên (a, b) thì
tồn tại
( , )c a b
sao cho
( ) ( ) ( ). ( ).f b f a b a f c

2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ đònh lý giá trò trung bình của Lagrange 3.3.4, ta có mệnh
đề sau như là một hệ quả trực tiếp
Mệnh đề 3.3.5. Cho hàm số khả vi
: ( , )f a b
với
,ab
. Khi đó
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung

10

(i) Nếu
( , ), ( ) 0x a b f x
, thì f là hàm số đồng biến.
(ii) Nếu
( , ), ( ) 0x a b f x
, thì f là hàm số nghòch biến.
(iii) Nếu
( , ), ( ) 0,x a b f x
thì f là hàm hằng.
Mệnh đề 3.3.5 ở trên kết hợp với đạo hàm bậc hai của f cũng
cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra f có đạt cực trò đòa phương tại một
điểm dừng hay không, cụ thể là
Mệnh đề 3.3.6. Cho
: ( , )f a b
có đạo hàm bậc hai trên (a, b).
(i) Nếu
( ) 0 và ( ) 0f x f x
thì f đạt cực đại đòa phương tại x.
(ii) Nếu
( ) 0 và ( ) 0f x f x
thì f đạt cực tiểu đòa phương tại x.
Chứng minh. Ta chứng minh (ii), phần (i) tương tự. Theo đònh nghóa
về tính khả vi tại x của hàm số
f
, ta có lân cận V của x sao cho

, ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( )t V f t f x f x t x t x t

với
lim ( ) 0.
tx
t
Với t thuộc lân cận V
1
của x đủ nhỏ (ý nói t đủ gần x)
thì
( ) ( ) 0,f x t
và

2
1
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.t V f t f x t x f x t t x

Mặt khác,
( ) 0fx
nên ta có hai điều sau

1
, nếu thì ( ) 0,t V t x f t


1
, nếu thì ( ) 0.t V t x f t

Từ hai điều trên và áp dụng đònh lý Lagrange cho hàm số f, với mọi
giá trò s thuộc V
1
, tồn tại một số t nằm giữa s và x sao cho

( ) ( ) ( )( ) 0,f s f x f t s x

nghóa là f đạt cực tiểu đòa phương tại x. Kết thúc chứng minh. 
Mệnh đề 3.3.5 và 3.3.6 là cơ sở cho việc khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thò của hàm số mà sinh viên đã làm quen ở trung học
phổ thông.
Bài tập
1. Cho
1
, ( , ).u v C a b
Giả sử rằng hàm số
u v uv
không triệt tiêu
trên (a, b). Chứng minh rằng giữa hai nghiệm x
1
< x
2
của phương
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
11

trình
( ) 0ux
(nếu có nghiệm), có ít nhất một nghiệm của
phương trình
( ) 0.vx

2. Chứng minh rằng nếu
01

1
0
12
n
n
aa
a
a
nn
thì phương
trình ẩn x:
1
0 1 1
0
nn
nn
a x a x a x a
có ít nhất một
nghiệm trong khoảng (0, 1).
3. Giả sử phương trình
1
0 1 1
0
nn
n
a x a x a x
có nghiệm
0
0.x
Chứng minh phương trình sau có nghiệm dương nhỏ hơn

x
0
:
12
0 1 1
( 1) 0.
nn
n
na x n a x a

4. Cho
*
( ) 1 (1 ), với , .
mn
f x x x m n
Chứng minh rằng
phương
( ) 0fx
có ít nhất một nghiệm
0
(0,1).x

5. Chứng minh rằng phương trình
0
n
x px q
có
a) tối đa hai nghiệm nếu n chẵn;
b) tối đa ba nghiệm nếu n lẻ.
6. Chứng minh các bất đẳng thức sau

a)
ln (với 0 )
a b a a b
ba
a b b
;
b)
11
( ) ( ) (với 0, 1);
n n n n
ny x y x y nx x y x y n

c)
15
1 4 (với 15);
8
x
xx

d)
1 1 1 (với 1, 0);
2
21
xx
x x x
x

e)
ln(1 ) (với 1, 0);
1

x
x x x x
x

f)
22
tan tan (với 0 );
2
cos cos
x y x y
x y y x
yy

e)
1
arctan (với 1);
42
x
xx

Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
12

g)
2
arctan (với 0);
1
x
x x x
x

h)
2 sin
1 (với 0 ).
2
x
x
x

7. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a)
§3.4. ĐỊNH LÝ TAYLOR VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ
Khi f có đạo hàm tới bậc n, thì do mệnh đề 3.3.1, các đạo hàm
bậc thấp hơn (với qui ước
(0)
ff
) cũng liên tục. Nếu f có đạo hàm
cấp n trên D và
()n
f
là hàm số liên tục trên D thì ta nói f thuộc lớp
C
n
trên D, ký hiệu là
( ).
n
f C D

1. ĐỊNH LÝ KHAI TRIỂN HÀM SỐ THÀNH ĐA THỨC
Đònh lý 3.4.1 [đònh lý Taylor với dư số Lagrange].

Cho
1
()
n
a
f C V
với V
a
là một lân cận của a. Khi đó, với mọi
x thuộc V
a
, ta có khai triển sau đây

()
0
()
( ) ( ) ( ),
!
k
n
k
n
k
fa
f x x a R x
k
(T)
trong đó
( 1)
1

()
( ) ( )
( 1)!
n
n
n
f
R x x a
n
và

là một giá trò nào đó nằm
giữa a và x.
Ghi chú.
a) Biểu thức R
n
(x) được gọi là dư số Lagrange trong công thức Taylor.
b) Công thức (T) được gọi là công thức khai triển Taylor của f đến
bậc n xung quanh điểm a.
c) Trường hợp a = 0 thì công thức (T) được gọi là công thức khai triển
Mac-Laurin của f đến bậc n.
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
13

Chứng minh. Đặt Q(x) là biểu thức sao cho

()
1
0
( ) ( )

( ) ( ) ( ) .
! ( 1)!
k
n
kn
k
f a Q x
f x x a x a
kn

Xét hàm số F đònh bởi

()
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
! ( 1)!
k
n
kn
k
f t Q x
F t f x x t x t
kn

thì rõ ràng
( ) ( ).F x F a
Sinh viên tự kiểm chứng rằng với mọi t
thuộc V

a
, ta có

( 1)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
!!
n
nn
f t Q x
F t x t x t
nn

Như vậy F thỏa giả thiết của đònh lý Roll, do đó tồn tại một giá trò


nằm giữa a và x sao cho
( ) 0,F
suy ra
( 1)
( ) ( )
n
Q x f
và ta kết
thúc chứng minh. 
2. XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC
Đònh lý 3.4.2 [Khai triển Taylor với dư số Peano].
Cho
1
()

n
a
f C V
với V
a
là một lân cận của a. Giả sử f có đạo
hàm đến bậc n tại điểm a. Khi đó, đa thức

()
0
()
( ) ( ) (với )
!
k
n
k
na
k
fa
P x x a x V
k
(T_P)
là một đa thức xấp xỉ tối hảo đến bậc n của f xung quanh điểm a,
theo nghóa
( ) ( )
lim 0.
()
n
n
xa

f x P x
xa

Ghi chú. Người ta dùng ký hiệu
o( )
n
xa
để chỉ cho bất kỳ hàm số
:
a
V
thỏa tính chất
()
lim 0
()
n
xa
x
xa
. Do đó, trong đònh lý trên,
ta có thể viết
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
14


()
0
()
( ) ( ) o( ) , với .
!

k
n
kn
a
k
fa
f x x a x a x V
k

Đại lượng
o( )
n
xa
được gọi là dư số Peano của khai triển Taylor.
Chứng minh. Trường hợp
1n
, theo đònh nghóa đạo hàm của f tại
điểm a thì
1
( ) ( )
( ) ( )
lim lim ( ) 0,
x a x a
f x P x
f x f a
fa
x a x a
nghóa là
đònh lý đúng khi
1n

.
Giả sử đònh lý đúng với giá trò
1n
. Theo phép qui nạp, ta
sẽ chứng minh đònh lý đúng với giá trò
1n
, nghóa là xét hàm số
bất kỳ
()
n
a
g C V
và g có đạo hàm cấp
1n
tại điểm a, ta chứng
minh
1
1
( ) ( )
lim 0
()
n
n
ta
g t Q t
ta
với
()
1
1

0
()
( ) ( )
!
k
n
k
n
k
ga
Q t t a
k
và
.
a
tV

Thật vậy, áp dụng đònh lý Lagrange cho hàm G đònh bởi
1
( ) ( ) ( )
n
G t g t Q t
, lưu ý là
( ) 0,Ga
ta có một giá trò x nằm giữa a
và t sao cho

1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( ),
n

g t Q t G t G a G x t a

suy ra

()
1
1
1
()
( ) ( ) ( ) ( ) .( )
( 1) !
k
n
k
n
k
ga
g t Q t g x x a t a
k
1
(1)
Mặt khác, hàm số
fg
thuộc lớp
1
()
n
a
CV
và f có đạo hàm

cấp n tại điểm a. Từ giả thiết qui nạp, “đònh lý đúng với n” áp dụng
cho hàm
fg
, ta có

( ) ( )
lim 0
()
n
n
xa
g x P x
xa
với
()
1
1
()
( ) ( )
( 1)!
k
n
k
n
k
ga
P x x a
k
1
(2)

Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
15

Từ (1) và (2) ta suy ra

()
1
1
1
1
()
( ) ( )
( ) ( )
( 1)!
lim lim
( ) ( )
( ) ( )
()
lim 0,
( ) ( )
k
n
k
n
k
nn
n
n
nn
t a t a

ta
ga
g x x a
g t Q t
k
t a t a
g x P x
xa
x a t a
1

lưu ý trong đẳng thức cuối cùng là do đònh lý kẹp và
()
1.
()
n
n
xa
ta

Vậy ta kết thúc chứng minh. 
Đònh lý 3.4.3 [tính duy nhất của xấp xỉ tối hảo].
Cho
1
()
n
a
f C V
với V
a

là một lân cận của a. Giả sử f có đạo
hàm đến bậc n tại điểm a. Khi đó, xấp xỉ tối hảo đến bậc n của f
xung quanh điểm a là duy nhất, có nghóa là nếu

0
( ) ( )
n
k
k
k
Q x a x a
(với
a
xV
)
là đa thức thỏa
( ) ( )
lim 0
()
n
xa
f x Q x
xa
thì
()
()
, 0, .
!
k
k

fa
a k n
k

Chứng minh. Theo đònh lý 3.4.3, ta có

()
0
()
( ) ( ) o( ) ,
!
k
n
kn
k
fa
f x x a x a
k

do đó
()
0
( ) ( ) ( ) 1
0 lim lim .
!
( ) ( )
k
n
k
n n k

k
x a x a
f x Q x f a
a
k
x a x a
Từ kết
quả này, sinh viên hãy tự suy ra
()
()
, 0, .
!
k
k
fa
a k n
k
