BÀI GIẢNG MÔN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

CHƯƠNG 1
TÍN HIỆU SỐ VÀ HỆ XỬ LÝ SỐ
Chương một trình bầy các khái niệm cơ bản về tín hiệu và
hệ xử lý tín hiệu nói chung, cũng như tín hiệu số và hệ xử lý số
nói riêng, các cách biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số, các
phương pháp phân tích hệ xử lý số theo hàm thời gian.
1.1. Khái niệm về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu
Để xác định đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực
xử lý tín hiệu số, trước hết cần nắm được các khái niệm và thuật
ngữ cơ bản về tín hiệu và các hệ xử lý tín hiệu.
1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu
1.1.1.1 Khái niệm về tín hiệu : Tín hiệu là một dạng vật chất có
một đại lượng vật lý được biến đổi theo quy luật của tin tức.
Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm
thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ, tín hiệu điện vv Mỗi
lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín hiệu nhất định.
Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường
sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức
có thể là điện áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha.
Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng,
tuy nhiên tất cả các loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ
lớn (giá trị), năng lượng và công suất, chính các tham số đó nói
lên bản chất vật chất của tín hiệu
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t),
hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X(
ω
).
1.1.1.2 Phân loại tín hiệu
Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta
phân loại tín hiệu như sau :
a. Tín hiệu liên tục x(t) là tín hiệu có biến thời gian t liên tục.

Tín hiệu liên tục xác định liên tục theo thời gian, với giá trị
hàm số có thể biến thiên liên tục hoặc được lượng tử hóa, và có
thể tồn tại các điểm gián đoạn loại một hoặc loại hai.
a. Giá trị liên tục. b. Giá trị lượng tử. c. Giá trị gián
đoạn.
Hình 1.1 : Đồ thị các tín hiệu liên tục.
Trên hình 1.1a là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị liên tục.
Trên hình 1.1b là đồ thị của tín hiệu liên tục có giá trị lượng tử
hóa từ tín hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.1c là đồ thị của tín hiệu
liên tục có giá trị gián đoạn loại một.
b. Tín hiệu rời rạc x(nT) là tín hiệu có biến thời gian gián
đoạn t = nT.
Tín hiệu rời rạc chỉ xác định ở những thời điểm gián đoạn t =
nT, không xác định trong các khoảng thời gian ở giữa hai điểm
gián đoạn.
Có thể biến đổi tín hiệu liên tục x(t) thành tín hiệu rời rạc
x(nT), quá trình đó được gọi là rời rạc hóa tín hiệu liên tục. Định
lý lấy mẫu là cơ sở để thực hiện rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà
không làm thay đổi thông tin mang trong nó. Quá trình rời rạc hóa
tín hiệu liên tục còn được gọi là quá trình lấy mẫu.
t
2
4
0
x(t)
t
x
1
(t)
x ( n )

n
Trên hình 1.2a là đồ thị của tín hiệu rời rạc có giá trị liên tục
(có thể nhận giá trị bất kỳ tại mỗi thời điểm rời rạc). Trên hình
1.2b là tín hiệu rời rạc có giá trị được lượng tử hóa từ tín hiệu trên
hình 1.2a

a. Giá trị liên tục. b. Giá trị được lượng tử
hóa. Hình 1.2 : Đồ thị các tín hiệu rời rạc.
c. Tín hiệu lượng tử là tín hiệu chỉ nhận các giá trị xác định
bằng số nguyên lần một giá trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử.
Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn
thành tín hiệu lượng tử được gọi là quá trình lượng tử hóa.
Trên hình 1.1b là tín hiệu liên tục được lượng tử hóa từ tín
hiệu trên hình 1.1a. Trên hình 1.2b là tín hiệu rời rạc được lượng
tử hóa từ tín hiệu trên hình 1.2a
d. Tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục
hoặc lượng tử.
Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu
Analog. Các tín hiệu liên tục trên hình 1.1a và 1.1b là tín hiệu
tương tự.
e. Tín hiệu xung là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một.
Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên
hình 1.1c là tín hiệu xung liên tục một cực tính, còn trên hình 1.2
là các tín hiệu xung rời rạc.
nT
x(nT)
x(nT)
nT
f. Tín hiệu số là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị
lượng tử của tín hiệu tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau.

Mỗi xung của tín hiệu số biểu thị một bít của từ mã, nó chỉ có
hai mức điện áp, mức thấp là giá trị logic “0” , mức cao là giá trị
logic “1”.
Số xung (số bít) của tín hiệu số là độ dài của từ mã. Tín hiệu
số có 8 bít được gọi là một byte, còn tín hiệu số có 16 bít bằng hai
byte được gọi là một từ (hoặc gọi theo tiếng Anh là word).
Nhiều tài liệu gọi tín hiệu số theo tiếng Anh là tín hiệu Digital.
Tín hiệu số thường được mã hóa theo mã nhị phân (Binary Code),
mã cơ số tám (Octal Code), mã cơ số mười sáu (Hexadecimal
Code), mã nhị thập phân (Binary Coded Decimal), mã ASCII
(American Standard Code for Information Interchange)
Giá trị mã của tín hiệu số được gọi là số liệu (Data), nó chính
là thông tin chứa đựng trong tín hiệu. Vậy số liệu là ánh xạ của tín
hiệu số, do đó các tác động lên số liệu cũng chính là tác động lên
tín hiệu.
Trên hình 1.3 là đồ thị của tín hiệu số 4 bít có giá trị mã nhị
phân tại thời điểm 0T là 0110 , tại 1T

là 0011 , tại 2T

là 1011 ,



Hình 1.3 : Đồ thị tín hiệu số bốn bit và mã nhị phân của nó.
Bít 3
0
0
1
1

0T 1T 2T
3T
4T 5T 6T
NT
NT
NT
NT
0
0
1
1
Bít 2
Bít 1
Bít 0
Như vậy, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, có giá trị lượng tử và
được mã hóa. Do đó có thể biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu
số, quá trình đó được gọi là số hóa tín hiệu liên tục. Quá trình số
hóa tín hiệu liên tục được thực hiện qua 3 bước là :
- Rời rạc hóa tín hiệu liên tục, hay còn gọi là lấy mẫu.
- Lượng tử hóa giá trị các mẫu.
- Mã hóa giá trị lượng tử của các mẫu.
a. Số hóa tín hiệu tương tự. b. Số hóa tín hiệu xung.
Hình 1.4 : Quá trình số hóa tín hiệu liên tục.
Trên hình 1.4 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và
tín hiệu xung thành tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự
sẽ gây ra sai số lượng tử (xem hình 1.4a), nhưng khi số hóa tín
t
n
nT
nT

nT
nT
nT
Bít 3
Bít 2
Bít 1
Bít 0
2
4
0
2
4
0
2
4
0
t
nT
nT
nT
nT
nT
nT
x(t)
x(nT)
x(nT)
Bít 3
Bít 2
Bít 1
Bít 0

2
4
0
2
4
0
2
4
0
x(t)
x(nT)
x(nT)
0
1
0
0
0
1
1
1
hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số về pha (xem hình
1.4b).
Cả ba bước của quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực
hiện trên bộ biến đổi tương tự số, viết tắt là ADC (Analog Digital
Converter).
Để biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, sử dụng bộ
biến đổi số tương tự, viết tắt là DAC (Digital Analog Converter).
Tín hiệu tương tự ở đầu ra của DAC có giá trị lượng tử như trên
hình 1.1b
1.1.2 Khái niệm và phân loại hệ xử lý tín hiệu

1.1.2.1. Khái niệm về xử lý tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu
1. Xử lý tín hiệu là thực hiện các tác động lên tín hiệu như
khuyếch đại, suy giảm, chọn lọc, biến đổi, khôi phục giá trị và
dạng của tín hiệu.
2. Hệ xử lý tín hiệu là các mạch điện, các thiết bị, các hệ
thống dùng để xử lý tín hiệu.
Vậy xử lý tín hiệu đồng nghĩa với gia công tín hiệu, và hệ
xử lý tín hiệu thực hiện các tác động lên tín hiệu theo một quy
luật nhất định.
Hệ xử lý tín hiệu có thể chỉ là một mạch điện đơn giản, cũng
có thể là những thiết bị hoặc hệ thống phức tạp.
Mỗi hệ xử lý tín hiệu cho dù là đơn giản hay phức tạp đều có
những đặc thù riêng phụ thuộc vào loại tín hiệu mà nó xử lý. Các
loại tín hiệu khác nhau cần có các hệ xử lý tín hiệu khác nhau. Vì
thế, việc phân tích và tổng hợp các hệ xử lý tín hiệu luôn gắn liền
với việc nghiên cứu và phân tích loại tín hiệu mà nó xử lý.
1.1.2.2. Phân loại các hệ xử lý tín hiệu
Các hệ xử lý tín hiệu được phân loại theo nhiều cách khác
nhau, ở đây trình bầy cách phân loại theo tín hiệu mà nó xử lý.
1. Hệ tương tự : (Analog System) Là các mạch, thiết bị và hệ
thống để xử lý tín hiệu tương tự.
Nhiều tài liệu gọi hệ tương tự theo tiếng Anh là hệ Analog.
2. Hệ xung : (Impulse System) Là các mạch, thiết bị và hệ
thống để xử lý tín hiệu xung.
Hệ xung còn có thể được gọi là hệ gián đoạn theo thời gian
(Discrete-Time System).
3. Hệ số : (Digital System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống
để xử lý tín hiệu số.
Các hệ số không có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý, chỉ thực
hiện xử lý tín hiệu số bằng mạch phần cứng, thường được gọi là

các mạch logic hoặc mạch số.
Các hệ số thực hiện xử lý tín hiệu số bằng phần mềm cần có
máy tính hoặc hệ thống vi xử lý. Về thực chất, việc xử lý tín hiệu
số bằng phần mềm là xử lý các dãy số liệu, tức là xử lý số. Vì thế,
có thể coi các chương trình chạy trên máy tính là các hệ xử lý số
liệu.
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, người ta thường sử dụng
thuật ngữ “ hệ xử lý tín hiệu số “ (Digital Signal Processing
System). hay ngắn gọn là ” hệ xử lý số “ (Digital Processing
System). Để ngắn gọn và bao hàm cả hệ xử lý tín hiệu số lẫn hệ
xử lý số liệu, trong sách này sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý số “.
4. Hệ xử lý số tín hiệu : (Digital Processing System of Signal)
Hệ xử lý số tín hiệu là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý cả
tín hiệu số lẫn tín hiệu tương tự bằng phương pháp số. Như vậy,
hệ xử lý số tín hiệu bao gồm cả hệ tương tự và hệ xử lý số.
Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu trên hình 1.5, trong đó
phần tương tự 1 để xử lý tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương tự sau
khi được số hóa bởi ADC trở thành tín hiệu số, và sẽ được xử lý
bởi phần xử lý số.
DAC thực hiện biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, và
nó được xử lý tiếp bằng phần tương tự 2. Như vậy, ADC và DAC
là các phần tử nối ghép giữa phần tương tự và phần số của các hệ
xử lý số tín hiệu. Trong nhiều trường hợp, tín hiệu tương tự sau
khi đã được xử lý số không cần biến đổi trở về dạng tương tự, hệ
xử lý số tín hiệu như vậy sẽ không có bộ biến đổi DAC và phần
tương tự 2.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu
số là các hệ xử lý số, cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu.
Hình 1.5 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu.
1.2. Dãy số

Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như
để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy
số và các phép toán trên chúng.
1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số
Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng
số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n)

Phần
tương tự 1
ADC
Phần
xử lý số
DAC
Phần
tương tự 2
chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định
ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số.
Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu
diễn bằng hàm số :
[ ]
[ ]



∉
∈
=
300
301
,

,
)(
nKhi
nKhi
nx
- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng
bảng số liệu ở bảng 1.1.
Bảng 1.1

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)
n
-∞
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
∞
x
(n)
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
- Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,
- Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu :
{ }
,0,0,1,1,1,1,0, )(
↑
=nx
Trong đó ký hiệu ↑ để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0.
1.2.2 Phân loại các dãy số
1.2.2.1. Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên
∗
Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật
và có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học.
∗

Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên
và không thể biểu diễn được bằng hàm số toán học.
1.2.2.2. Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn
∗
Dãy x
p
(n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu
thức :
)()( kNnxnx
pp
+=
[1.2-1]
31 2
1
40- 1
x ( n )
n
Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số
nguyên N được gọi là chu kỳ. Dãy tuần hoàn x
p
(n) còn các tham
số sau :
- Tần số lặp lại :
N
f
1
=
[1.2-2]
- Tần số góc :
N

f
π
πω
2
2 . ==
[1.2-3]
∗
Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu
hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1].
Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có
chu kỳ N = ∞.
1.2.2.3. Dãy hữu hạn và dãy vô hạn
∗
Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu
hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n)
N
.
∗
Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của
dãy vô hạn có thể là n ∈ (- ∞ , ∞) ; n ∈ (0 , ∞) ; hoặc n ∈ (-
∞ , 0).
1.2.2.4. Dãy một phía và dãy hai phía
∗
Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0 , ∞) hoặc n ∈ (- ∞ , 0).
∗
Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n ∈ (- ∞ , ∞).
Ví dụ 1.2 :
- Dãy
∑
−

=
−
=
1
0
1
2)(
N
k
k
nx
là dãy một phía hữu hạn có độ dài N .
- Dãy
∑
−=
−
=
N
Nk
k
nx 2)(
2
là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1.
- Dãy
∑
∞
=
−
=
0

3
2)(
k
k
nx
là dãy một phía vô hạn.
- Dãy
∑
∞
−∞=
−
=
k
k
nx 2)(
4
là dãy hai phía vô hạn.
1.2.2.5. Dãy chẵn và dãy lẻ
∗
Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị
đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.
∗
Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản
đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng.
1.2.2.6. Dãy thực và dãy phức
∗
Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn
tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực.
∗
Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n)

Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong
các phân loại trên.
Ví dụ 1.3 : - Dãy
nj
enx
)(
)(
ωα
+−
=
là dãy phức, hai phía, tuần
hoàn, vô hạn.
- Dãy x(n) = cos(
ω
.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn,
vô hạn.
- Dãy x(n) = sin(
ω
.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô
hạn.
31 2- 1 4 5- 2- 3- 4- 5- 6 0
. . . . .
0 , 60 , 6
6 7 8- 7- 8
. . . . .
1
x ( n )
n
Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4.
Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu

số.
1.2.3.1. Dãy xung đơn vị
δ
(n)
Dãy xung đơn vị
δ
(n) đối với hệ xử
lý số có vai trò tương đương như hàm
xung Dirăc
δ
(t) trong hệ tương tự,
nhưng dãy
δ
(n) đơn giản hơn. Dãy
xung đơn vị
δ
(n) có hàm số như sau :



≠
=
=
00
01
)(
nKhi
nKhi
n
δ

[1.2-4]


δ
(n)

Hình 1.9 : Đồ thị dãy
δ
(n)
Đồ thị dãy
δ
(n) trên hình 1.9. Dãy
δ
(n) chỉ có một mẫu tại
n = 0 với giá trị bằng 1, nên
δ
(n) là dãy hữu hạn có độ dài N = 1.
δ
(n - 5)
δ
(n + 5)
Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n) trên hình
1.7 là dãy xác định, hai phía, chẵn
và đối xứng, vô hạn, tuần hoàn với
chu kỳ N = 5.
- Dãy y(n) trên hình 1.8 là
dãy xác định, một phía, không tuần
hoàn, có độ dài hữu hạn N = 5.
1.2.3 Các dãy cơ bản

Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n)
0 , 6
- 1
0 , 8
3
0 , 4
1
0 62 5
0 , 2
- 2 1 4
y ( n )
n
21
1
- 1- 2 0
n
11 0- 54- 1 - 2
1
0 3 5 - 1- 3- 42
1
n n
Hình 1.10 : Đồ thị các dãy
δ
(n - 5) và
δ
(n + 5)
Mở rộng có dãy xung đơn vị
δ
(n - k) , với k là hằng số dương
hoặc âm :




≠
=
=−
knKhi
knKhi
kn
0
1
)(
δ
[1.2-5]
Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị
δ
(n - 5) và
δ
(n + 5)
1.2.3.2. Dãy bậc thang đơn vị u(n)
Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ
xử lý số có vai trò giống như hàm bậc
thang đơn vị 1(t) trong hệ tương tự. Dãy
bậc thang đơn vị u(n) có hàm số như sau :



≥
<
=

01
00
)(
nKhi
nKhi
nu
[1.2-6]
Dãy u(n) là dãy một phía, vô hạn, và
tuần hoàn với chu kỳ N = 1. Đồ thị của
dãy bậc thang đơn vị u(n) trên hình 1.11.
Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n)
Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số
dương hoặc âm:



≥
<
=−
knKhi
knKhi
knu
1
0
)(
[1.2-7]
Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2)
và u(n + 2).
u(n - 2) u(n + 2)

Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2)
3- 1 21
. . . .
. . . .
∞
0
1
u ( n )
n
0 1 2
1
- 1 43 5 0 1- 3
1
- 2 - 1
. . . .
∞ ∞
. . . .
. . . .
. . . .
n n
Vì dãy
δ
(n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k , nên
nếu lấy tổng của
δ
(n - k) với k chạy từ 0 đến
∞
, sẽ nhận được dãy
u(n).
Hơn nữa, trong khoảng (0 ≤ n < ∞) tại mọi k luôn có :

1)().()( =−= kkk nuu
δ
Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy
δ
(n) theo biểu thức :
∑∑
∞
=
∞
=
−=−=
00
)().()()(
kk
kkk nunnu
δδ
[1.2-8]
Dãy
δ
(n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
)()()( 1−−= nunun
δ
[1.2-9]
1.2.3.3. Dãy chữ nhật rect
N
(n)
Dãy chữ nhật rect
N
(n) có hàm số như sau :
[ ]

[ ]



∉
∈
=
−
−
)(,
)(,
)(
100
101
N
N
nKhi
nKhi
nrect
N
[1.2-10]
Dãy chữ nhật rect
N
(n) là dãy
một phía, có độ dài hữu hạn N và
xác định trong miền n
∈
[0 , (N-
1)], tuần hoàn với chu kỳ bằng 1.
Đồ thị của dãy chữ nhật rect

N
(n)
trên hình 1.13.
Mở rộng có dãy chữ nhật
rect
N
(n - k)

, với k là hằng số
dương hoặc âm :
rect
N
(n)

Hình 1.13 : Đồ thị dãy rect
N
(n)
[ ]
[ ]



−+∉
−+∈
=−
)(,
)(,
)(
10
11

kNk
kNk
k
nKhi
nKhi
nrect
N
[1.2-11]
Đồ thị của các dãy chữ nhật rect
4
(n - 2) và

rect
4
(n + 2) trên
hình 1.14
- 1
. . . .
1
. . . .
210 ( N - 1 )
n
rect
4
(n - 2) rect
4
(n + 2)
n n
Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect
4

(n - 2) và rect
4
(n + 2)
Có thể biểu diễn dãy rect
N
(n) qua dãy
δ
(n) theo biểu thức :
∑ ∑
−
=
−
=
−=−=
1
0
1
0
)().()()(
N N
NN
k k
kkk nrectnnrect
δδ
[1.2-12]
Dãy rect(n)
N
được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
)()()( Nnununrect
N

−−=
[1.2-13]
1.2.3.4. Dãy hàm sin và hàm cosin
Dãy hàm sin có dạng như sau :
( )
nnnx
N
0
sinsin)(
2
ω
π
=






=
với
N
π
ω
2
0
=
[1.2-14]
Dãy sin(
ω

0
.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên
tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(
ω
0
.n) ở hình
1.15.
Dãy hàm cosin có dạng như sau :
( )
nnnx
N
0
coscos)(
2
ω
π
=






=
với
N
π
ω
2
0

=
[1.2-15]
Dãy cos(
ω
0
.n) là dãy vô hạn, hai phía, chẵn và đối xứng, liên
tục, và tuần hoàn với chu kỳ N.
sin(
ω
0
.n) n
1 1
650 0- 2 - 13 32 - 3 241 1- 4- 1
- 0 , 9 5
- 0 , 5 9
321 1 04
0 , 5 9
- 1 0 - 5 5
0 , 9 5
Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin(
ω
0
.n) với N = 10
1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số
1.2.4.1. Phép dịch tuyến tính
Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n)
nếu :
)()( knxny −=
[1.2-16]
- Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n).

- Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n).
Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi
dạng của x(n), mà chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k
mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường được gọi vắn tắt là phép
dịch.
Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và
gọi là phép trễ. Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng.
Ví dụ 1.5 : Cho dãy
)()( nunx =
, hãy xác định các dãy :
a.
)()( 2
1
−= nxny
b.
)()( 2
2
+= nxny
Giải : a. Vì k = 2 > 0 nên dãy
)()()( 22
1
−=−= nunxny
là
dãy
)(nu
bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy
)()( 2
1
−= nuny
nhận được

bằng cách dịch phải đồ thị dãy
)()( nunx =
đi 2 mẫu theo trục tung.
b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy
)()()( 22
2
+=+= nunxny
là dãy
)(nu
được đẩy sớm 2 mẫu, đồ thị dãy
)()( 2
2
+= nuny
nhận được bằng
cách dịch trái đồ thị dãy
)()( nunx =
đi 2 mẫu theo trục tung.
Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 và
1.12.
1.2.4.2. Tổng đại số của các dãy
Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy x
i
(n) là dãy y(n) có giá
trị mỗi mẫu bằng tổng đại số tất cả các mẫu tương ứng của các
dãy thành phần.
Kí hiệu :
∑
=
=
M

i
i
nxny
1
)()(
[1.2-17]
Ví dụ 1.6 : Cho dãy
)()(
41
nrectnx =
và dãy
)()( 1
32
−= nrectnx
,
hãy xác định dãy
)()()(
21
nxnxny −=
Giải : Có
)()()()( 1
34
nnrectnrectny
δ
=−−=
Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định
y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16.
rect
4
(n)

rect
3
(n - 1)

y(n) =
δ
(n)
Hình 1.16 : Đồ thị xác định
rect
4
(n)

- rect
3
(n-1) =
δ
(n)
1.2.4.3. Phép nhân các dãy
Định nghĩa : Tích của M dãy x
i
(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi
mẫu bằng tích tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần.
0 3- 1 421
0 3- 1 421
0 3- 1 421
1
1
1
n

n
n
Kí hiệu :
∏
=
=
M
i
i
nxny
1
)()(
[1.2-18]

Ví dụ 1.7 : Cho dãy
)()(
1
nunx =
và dãy
)()( 2
52
+= nrectnx
,
hãy xác định dãy
)().()(
21
nxnxny =
.
Giải : Theo định nghĩa có :

)()().()(
35
2 nrectnrectnuny =+=

Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể giải ví dụ bằng bảng 1.2
dưới đây :
Bảng 1.2
n -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
1
(n) = u(n)
0 0 0 1 1 1 1 1
x
2
(n) = rect
5
(n + 2)
0 1 1 1 1 1 0 0
y(n) = x
1
(n).x
2
(n) = rect
3
(n)
0 0 0 1 1 1 0 0
Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy
u(n) là một dãy bằng chính nó trong miền n ≥ 0.
1.2.4.4. Phép nhân một dãy với hằng số
Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) có

giá trị mỗi mẫu bằng tích của a với các mẫu tương ứng của x(n).
Kí hiệu :
)(.)( nxany =
[1.2-19]
Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép
lấy tỷ lệ.
Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect
4
(n) , hãy biểu diễn dãy y(n) =
2.rect
4
(n) dưới dạng dãy số liệu.
Giải : Dãy rect
4
(n) có dạng dãy số liệu là
{ }
1,1,1,1)(
↑
=nx
Dãy y(n) = 2.rect
4
(n) có dạng dãy số liệu là
{ }
2,2,22,)(
↑
=ny
1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính
1.2.5.1. Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính
giữa hai dãy x
1

(n) và x
2
(n) là dãy y(n) được xác định và ký hiệu
theo biểu thức :
)(*)()().()(
2121
nxnxnxxny
k
kk =−=
∑
∞
−∞=
[1.2-20]
Tích chập tuyến tính thường được gọi vắn tắt là tích chập.
1.2.5.2. Các tính chất của tích chập
1. Tính giao hoán :
)(*)()(*)(
1221
nxnxnxnx =
[1.2-21]
Chứng minh : Theo công thức định nghĩa tích chập [1.2-20]
có :
∑
∞
−∞=
−=
k
kk nxxnxnx )().()(*)(
2121
Đổi biến cho biểu thức ở vế phải, đặt m = (n - k) ⇒ k = (n -

m).
Khi k → - ∞ thì m → ∞ và khi k
→
∞ thì m → - ∞ , nhận
được :
∑∑
−∞
∞=
∞
−∞=
−=−
mk
mxmnxnxx kk )().()().(
2121

Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải,
nhận được :
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−
kk
kkkk nxxnxx )().()().(
1221
Đây chính là biểu thức [1.2-21] :
)(*)()(*)(
1221
nxnxnxnx =

2. Tính kết hợp :
[ ]
)(*)](*)([)(*)(*)(
321321
nxnxnxnxnxnx =
[1.2-22]
Chứng minh : áp dụng tính giao hoán cho vế trái của [1.2-22] :

[ ]
== )(*)](*)([)(*)(*)(
132321
nxnxnxnxnxnx
=−






−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
)(.)(.)(
132
kkk nxnxx
k k
=−







−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
)(.)(.)(
312
kkk nxnxx
k k
)(*)](*)([
321
nxnxnx
Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22]
3. Tính phân phối :

[ ]
)(*)()(*)()()(*)(
3121321
nxnxnxnxnxnxnx +=+
[1.2-23]
Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích
chập [1.2-20] :
[ ]

∑
∞
−∞=
−+−=+
k
kkk nxnxxnxnxnx )]()().[()()(*)(
321321

[ ]
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−+−=+
kk
kkkk nxxnxxnxnxnx )().()().()()(*)(
2121321
Vậy :
[ ]
)(*)()(*)()()(*)(
3121321
nxnxnxnxnxnxnx +=+
Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-23].
1.2.5.3. Hệ quả : Mọi dãy x(n) đều bằng tích chập của chính
nó với hàm xung đơn vị
δ
(n) :
)(*)()().()( nnxnxnx
k

kk
δδ
∑
∞
−∞=
=−=
[1.2-24]
Hoặc:
)(*)()().()( nxnnxnx
k
kk
δδ
∑
∞
−∞=
=−=
[1.2-25]
Chứng minh: Luôn có
)().()( kkk nxx −=
δ
với mọi k ∈ (- ∞ , ∞).
Vì thế, khi lấy tổng các mẫu x(k) với k∈ (- ∞ , ∞), nhận được
[1.2-24] . Theo tính chất giao hoán của tích chập, từ [1.2-24] nhận
được [1.2-25].
1.3 Tín hiệu số
1.3.1. Biểu diễn và phân loại tín hiệu số
1.3.1.1. Biểu diễn tín hiệu số
Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n
là số nguyên, còn T là chu kỳ rời rạc. Để thuận tiện cho việc xây
dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số, người ta chuẩn hóa biến thời

gian rời rạc nT theo chu kỳ T, nghĩa là sử dụng biến n = (nT/T).
Khi đó, tín hiệu số x(nT) được biểu diễn thành dạng dãy số x(n),
do đó có thể sử dụng các biểu diễn của dãy số để biểu diễn tín
hiệu số, cũng như sử dụng các phép toán của dãy số để thực hiện
tính toán và xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số.
Giống như dãy số x(n), tín hiệu số có thể được biểu diễn dưới
các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị và dãy số liệu. Người ta
thường sử dụng biểu diễn tín hiệu số dưới dạng dãy số liệu có độ
dài hữu hạn để xử lý tín hiệu số bằng các chương trình phần mềm.
Các phép toán cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số là
cộng, nhân, nhân với hằng số, và phép trễ. Phép dịch sớm có thể
được sử dụng ở các hệ xử lý số bằng phần mềm trong thời gian
không thực.
1.3.1.2. Phân loại tín hiệu số
Có thể phân loại tín hiệu số theo dạng của dãy x(n), như đã
được trình bầy ở 1.2. Một số loại tín hiệu số thường gặp là:
- Tín hiệu số xác định và ngẫu nhiên.
- Tín hiệu số tuần hoàn và không tuần hoàn.
- Tín hiệu số hữu hạn và vô hạn.
- Tín hiệu số là dãy một phía.
- Tín hiệu số là dãy số thực.
- Tín hiệu số là dãy chẵn, và dãy lẻ.
- Tín hiệu số là dãy đối xứng, và dãy phản đối xứng.
Ngoài ra, theo giá trị năng lượng và công suất của tín hiệu số,
người ta còn phân biệt hai loại tín hiệu số sau:
- Tín hiệu số năng lượng là tín hiệu số có năng lượng hữu hạn.
- Tín hiệu số công suất là tín hiệu số có công suất hữu hạn.
1.3.2 Các tham số cơ bản của tín hiệu số
1.3.2.1. Độ dài của tín hiệu số là khoảng thời gian tồn tại của tín
hiệu tính bằng số mẫu.

Độ dài của tín hiệu số đặc trưng cho khoảng thời gian mà hệ
xử lý số phải xử lý tín hiệu. Tín hiệu số có độ dài hữu hạn hoặc vô
hạn được biểu diễn bằng dãy hữu hạn hoặc dãy vô hạn tương ứng.
Độ dài hữu hạn của tín hiệu số thường được ký hiệu là N (hoặc
một chữ cái khác).
Tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N được xác định
với đối số n ∈ [0 , (N - 1)] , và thường được ký hiệu là x(n)
N
.
Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn (2N + 1) được xác
định với đối số n ∈ [-N , N].
Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n)
N
mà không làm
thay đổi nó, bằng cách thêm vào x(n) các mẫu có giá trị bằng 0
khi n ≥ N.
1.3.2.2. Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất
cả các mẫu chia cho độ dài của tín hiệu.
Giá trị trung bình
)(nx
của tín hiệu số x(n) được tính như
sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑
−
=
=
1
0
)()(

1
N
n
nxnx
N
[1.3-1]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
∑
−=
+
=
N
Nn
nxnx
N
)(
)(
)(
12
1
[1.3-2]
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
∑
−
=
∞→
=
1
0
)()(

1
N
n
N
nxLimnx
N
[1.3-3]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑
−=
∞→
+
=
N
Nn
N
nxLimnx
N
)(
)(
)(
12
1
[1.3-4]
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị
trung bình hữu hạn, còn giá trị trung bình của các tín hiệu số vô
hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2.3. Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương
giá trị tất cả các mẫu của tín hiệu.
Năng lượng E

x
của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
∑
−
=
=
1
0
2
)(
N
n
x
nxE
[1.3-5]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
∑
−=
=
N
Nn
x
nxE
2
)(
[1.3-6]
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
∑
∞

=
=
0
2
)(
n
x
nxE
[1.3-7]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑
∞
−∞=
=
n
x
nxE
2
)(
[1.3-8]
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng
lượng hữu hạn và chúng là các tín hiệu năng lượng. Năng lượng
của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2.4. Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung
bình của năng lượng tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình bình
phương của tín hiệu).
Công suất trung bình P
x
của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:

∑
−
=
===
1
0
22
)()(
1
N
n
x
nxnx
NN
x
E
P
[1.3-9]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
∑
−=
=
+
=
+
=
N
Nn
x
x

nxnx
NN
E
P )()(
)()(
2
2
12
1
12
[1.3-10]
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
∑
−
=
∞→∞→
===
1
0
2
2
)()(
1
N
n
NN
x
nxnxLimLim
NN
x

E
P
[1.3-11]
- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∑
−=
∞→∞→
=
+
=
+
=
N
Nn
N
x
N
x
nxnxLimLim
NN
E
P )()(
)()(
2
2
12
1
12
[1.3-12]
Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có công

suất trung bình hữu hạn và chúng là các tín hiệu công suất. Công
suất trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc
vô hạn.
Như vậy, tín hiệu số hữu hạn có giá trị trung bình, năng lượng
và công suất hữu hạn, chúng là tín hiệu năng lượng và tín hiệu
công suất.
Ví dụ 1.9: Xác định các tham số cơ bản của các tín hiệu số sau:
a.
δ
(n) ; b. u(n) ; c. rect
N
(n) ; d.






= nnx
2
cos)(
π
với n ∈ [-4 , 4]
Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị
δ
(n):
- Tín hiệu số
δ
(n) có độ dài hữu hạn N = 1 .
- Giá trị trung bình theo [1.3-1]:

1)( =n
δ
- Năng lượng theo [1.3-5]:
11
0
0
==
∑
=n
E
δ
- Công suất trung bình theo [1.3-9]:
1
1
1
===
N
E
P
δ
δ
b. Các tham số cơ bản của tín hiệu bậc thang đơn vị u(n):
- Tín hiệu số u(n) có độ dài vô hạn
- Giá trị trung bình theo [1.3-3]:
1
1
1
0
)()( ===
∞→

−
=
∞→
∑
N
N
N
N
n
N
LimnuLimnu
N
- Năng lượng theo [1.3-7]:
∞
∑∑
∞
=
∞
=
===
0
2
0
2
1)(
nn
u
nuE
- Công suất trung bình theo [1.3-11]:
11

11
1
0
2
1
0
2
)( ====
∑∑
−
=
∞→∞→
−
=
∞→
NN
n
NN
n
N
u
N
N
NN
P
LimLimnuLim
Vậy u(n) là tín hiệu công suất, không phải tín hiệu năng lượng.
c. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung chữ nhật rect
N
(n):

- Tín hiệu số rect
N
(n) có độ dài hữu hạn N