Sách hướng dẫn học môn XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ (HVBCVT)

SÁCH HNG DN HC TP
X LÝ TÍN HIU S
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b








HÀ NI - 2006


=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG



HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

SÁCH HNG DN HC TP

X LÝ TÍN HIU S

Biên son : Ths. NG HOÀI BC
1
LI NÓI U
X lý tín hiu s (DSP: Digital Signal Processing) là môn hc đ cp đn các phép x lý
các dãy s đ có đc các thông tin cn thit nh phân tích, tng hp mã hoá, bin đi tín hiu
sang dng mi phù hp vi h thng. So vi x lý tín hiu tng t, x lý tin hiu s có nhiu u
đim nh :
-  chính xác cao, sao chép trung thc, tin cy.
- Tính bn vng: không chu nh hng nhiu ca nhit đ hay thi gian
- Linh hot và mm do: thay đi phn mm có th thay đi các tính nng phn cng.
- Thi gian thit k nhanh, các chip DSP ngày càng hoàn thin và có đ tích hp cao.
Trong môn hc X lý s tín hiu, nhng ni dung chính đc đ cp bao gm các khái
nim v tín hiu và h thng, các phép bin đi c bn dùng trong x lý tín hiu s nh bin đi z,
bin đi Fourier, bin đi FFT, các phng pháp tng hp b lc FIR, IIR và cu trúc b lc.
Tài liu này đc biên son phc v mc đích hng dn hc tp cho sinh viên i hc h
ào to t xa ngành in t Vin thông và Công ngh thông tin trong môn hc “ X lý tín hiu
s” vi ch trng ngn gn, nhiu ví d, d hiu. Ni dung tài liu da trên giáo trình “X lý tín
hiu và lc s” ca tác gi Nguyn Quc Trung và mt s tài liu khác chia thành 9 chng:
Chng I: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n.
Chng II: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min z.

Chng III: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min tn s ω.
Chng IV: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min tn s ri rc ω
k
.
Chng V: Tng hp b lc s có đáp ng xung có chiu dài hu hn FIR.
Chng VI: Tng hp b lc s có đáp ng xung có chiu dài vô hn IIR.
Chng VII: Bin đi Fourier nhanh - FFT.
Chng VIII: Cu trúc b lc s.
Chng IX: Lc s nhiu nhp.
 ln biên son đu tiên, chc tài liu còn mt s các s sót, mong ngi đc thông cm và
đóng góp các ý kin cho tác gi trong quá trình hc tp, trao đi.
Hà Ni, tháng 5 nm 2006
NHÓM BIÊN SON
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

3
CHNG I: BIU DIN TÍN HIU VÀ H THNG RI RC
TRONG MIN THI GIAN RI RC n
GII THIU
Trong chng này, chúng ta s đ cp đn các vn đ biu din tín hiu và h thng trong
min thi gian ri rc n, đây là min biu din tín hiu sau khi đã ly mu tín hiu.  nm đc
kin thc ca chng này, chúng ta s nhc li mt s ni dung chính sau.
a. Khái nim v tín hiu
V mt vt lý: tín hiu là dng biu din vt lý ca thông tin.
Ví d:
- Các tín hiu ta nghe thy là do âm thanh phát ra gây nên s nén dãn áp sut không khí đa
đn tai chúng ta.
- Ánh sáng ta nhìn đc là do sóng ánh sáng chuyn ti các thông tin v màu sc, hình khi
đn mt chúng ta.
V mt toán hc: tín hiu đc biu din bi hàm ca mt hoc nhiu bin s đc lp.

Ví d:
- Tín hiu âm thanh x(t) là hàm ca mt bin đc lp trong đó x là hàm t là bin.
- Tín hiu nh x(i,j) là hàm ca hai bin đc lp i và j.
Trong môn hc này chúng ta ch tp trung nghiên cu đi vi các tín hiu là hàm ca mt
bin đc lâp.
b. Phân loi tín hiu
Các tín hiu trên thc t đc phân loi nh sau:







Tín hiu tng t
Tín hiu ri rc
TÍN HIU
Tín hiu liên tc
Tín hiu lng
t
 hoá
Tín hiu ly mu Tín hiu s
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

4
- nh ngha tín hiu liên tc: Nu bin đc lp ca biu din toán hc ca mt tín hiu là
liên tc thì tín hiu đó gi là tín hiu liên tc.
Nhn xét
: Tín hiu liên tc là tín hiu liên tc theo bin, xét theo hàm hay biên đ ta có tín
hiu tng t và tín hiu lng t hoá.

+ nh ngha tín hiu tng t: Nu biên đ ca tín hiu liên tc là liên tc thì tín hiu đó
gi là tín hiu tng t.
Nhn xét:
Tín hiu tng t liên tc theo c bin và hàm.
+ nh ngha tín hiu lng t hoá: Nu biên đ ca tín hiu liên tc là ri rc thì tín
hiu đó gi là tín hiu lng t hoá.
Nhn xét:
Tín hiu lng t hoá liên tc theo bin và ri rc theo biên đ.
()
a
x
t
(
)
ds
x
nT
(
)
s
s
x
nT
()
q
x
t
s
nT
s

nT
s
T
2
s
T
3
s
T 4
s
T
5
s
T
6
s
T 7
s
T 8
s
T
s
T
2
s
T
3
s
T 4
s

T
5
s
T
6
s
T 7
s
T 8
s
T
s
T

Hình 1.1 Minh ho s phân loi tín hiu

- nh ngha tín hiu ri rc: Nu bin đc lp ca biu din toán hc ca mt tín hiu là
ri rc thì tín hiu đó gi là tín hiu ri rc.
Nhn xét:
Tín hiu liên tc là tín hiu liên tc theo bin, xét theo hàm ta có tín hiu ly mu
và tín hiu s.
+ nh ngha tín hiu ly mu: Nu biên đ ca tín hiu ri rc là liên tc và không b
lng t hoá thì tín hiu đó gi là tín hiu ly mu.
Nhn xét:
Tín hiu ly mu ri rc theo hàm, liên tc theo bin.
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

5
+ nh ngha tín hiu s: Nu biên đ ca tín hiu ri rc là ri rc thì tín hiu đó gi là
tín hiu s.

Nhn xét:
Tín hiu s ri rc theo c bin và theo c hàm.
Lu ý: Vic phân loi tín hiu s là c s đ phân loi h thng x lý, chng hn nh ta có
h thng ri rc hay h thng tng t đc phân loi tng ng vi loi tín hiu mà h thng đó
x lý là tín hiu ri rc hay tín hiu tng t.
Các tín hiu đc nghiên cu trong môn hc này, chúng ta ch đ cp đn tín hiu ri rc do
vy chúng ta cn quan tâm đn đnh lý ly mu ca Shannon.
nh lí ly mu: Nu mt tín hiu tng t
(
)
tx
a
có tn s cao nht là , đc
ly mu ti tc đ , thì
BF =
max
BFF
s
22
max
≡>
(
)
tx
a
có th đc phc hi mt cách chính xác t giá
tr các mu ca nó nh hàm ni suy.
Khi F
s
=F

max
= 2B ta gi F
s
lúc này là tn s ly mu Nyquist, Ký hiu là F
Nyquist
hay F
N
.


Sau khi đã nhc li các kin thc c bn v tín hiu nh trên, chúng ta s nghiên cu các
kin thc ca môn hc “X lý tín hiu s” bt đu vic biu din tín hiu và h thng ri rc trong
min n  chng I này.
Nhng ni dung kin thc đc đ cp trong chng I bao gm:
- Biu din tín hiu
- Các tín hiu c bn
- H thng tuyn tính bt bin.
- Phép chp (Convolution).
- Phng trình sai phân tuyn tính h s hng biu din h thng tuyn tính bt bin.
- Phép tng quan (Correlation).
NI DUNG
1.1. BIU DIN TÍN HIU RI RC
1.1.1. Các cách biu din tín hiu ri rc
Trc khi biu din ta có th chun hoá x(nT
s
) nh sau
1
() (
s
T

s
XnT xn
=
⎯⎯⎯→ )
tc là chun hóa T
s
=1.
a. Biu din theo toán hc
Biu thc toán hc
12
NnN
≤
≤

()
xn=

0 n≠



Ví d 1.1: Ta có th biu din tín hiu
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

6
n
10n4
x(n)
4
0n

⎧
−≤≤
⎪
=
⎨
⎪
≠
⎩

 đây ta thy:
x(0)=1; x(1)=3/4; x(2)=1/2; x(3)=1/4; x(4)=0.
b. Biu din bng đ th
Cách biu din này cho ta cách nhìn trc quan v mt tín hiu ri rc.
Ví d 1.2
Vi tín hiu nh  ví d 1.1, ta có th biu din bng đ th nh sau:

1
3/4
1/2
1/4
Hình 1.2 Biu din tín hiu bng đ th
c. Biu din bng dãy s
() ( ) () ( )
{
}
0
, 1 , , 1 , =− +

xn xn xn xn
Lu ý  đây, ta phi có mc đánh du

0

đ th hin thi đim gc.
Do cách biu din này, ta còn gi tín hiu ri rc là dãy
Ví d 1.3: Biu din bng dãy s tín hiu trong ví d 1.1 và 1.2:

()
0
311
1,,,
424
⎧⎫
=
⎨⎬
⎩⎭

xn

Ta thy, c ba ví d trên đu biu din mt tín hiu theo ba cách khác nhau.
1.1.2. Mt s dãy c bn (Tín hiu ri rc c bn)
a. Dãy xung đn v:
Trong min n, dãy xung đn v đc đnh ngha nh sau:
()
10
0
n
n
n
δ
=

⎧
=
⎨
≠
⎩
(1.1)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

7
1
-1 10
(
)
n
δ
n

Hình 1.3 Dãy xung đn v
(
)
n
δ

Ví d 1.4: Hãy biu din dãy
(
)
1n
δ
−

1
-1 20
(
)
1n
δ
−
n1 3




Hình 1.4 Dãy xung
(
)
1n
δ
−

b. Dãy nhy đn v
Trong min n, dãy nhy đn v đc đnh ngha nh sau:
()
10
0
n
un
n
≥
⎧

=
⎨
≠
⎩
(1.2)

Hình 1.5 Dãy nhy đn v u(n)
Ví d 1.5
Hãy biu din dãy
()
13
3
03
n
un
n
≥−
⎧
+=
⎨
<
−
⎩

Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

8

Hình 1.6 Dãy u(n+3)
c. Dãy ch nht:

Trong min n, dãy ch nht đc đnh ngha nh sau:
()
10 1
0 còn lai
N
nN
rect n
n
≤
≤−
⎧
=
⎨
⎩
(1.3)
(
)
N
rect n

Hình 1.7 Dãy ch nht rect
N
(n)

Ví d 1.6:
Hãy biu din dãy rect
3
(n-2)
()
3

10 22
2
0còn
n
rect n
n
lai
≤
−≤
⎧
−=
⎨
⎩

(
)
3
2rect n
−

Hình 1.8 Dãy ch nht rect
3
(n-2)
d. Dãy dc đn v:
Trong min n, dãy dc đn v đc đnh ngha nh sau:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

9
ai
()

0
0còn l
nn
rn
n
≥
⎧
=
⎨
⎩
(1.4)

Hình 1.9 Dãy dc đn v r(n)
Ví d 1.7
Hãy biu din dãy r(n-1).
()
(
)
110
1
0 còn lai
nn n
rn
n
⎧
1
−
−≥ ≥
−=
⎨

⎩


Hình 1.10 Dãy dc đn v r(n-1)
e. Dãy hàm m:
Trong min n, dãy hàm m đc đnh ngha nh sau:
()
0
0còn la
n
an
en
n
⎧
≥
=
⎨
⎩
i
(1.5)
Ví d 1.8: Hãy biu din e(n) vi 0 ≤ a ≤ 1.

Hình 1.11 Dãy hàm m e(n)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

10
1.1.3. Mt s đnh ngha
a. Dãy tun hoàn:
Ta nói rng mt dãy x(n) là tun hoàn vi chu k N nu tha mãn điu kin sau đây:
x(n) = x (n + N)= x (n + lN) l: s nguyên; N: chu k

Khi cn nhn mnh tính tun hoàn, ngi ta ký hiu du ~ phía trên. Ký hiu:
()
N
x
n

.
Ví d 1.9
Biu din dãy tun hoàn
(
)
x
n

vi N = 4.

Hình 1.12 Dãy tun hoàn
(
)
4
x
n


b. Dãy có chiu dài hu hn:
Mt dãy đc xác đnh vi s hu hn N mu ta gi là dãy có chiu dài hu hn vi N là
chiu dài ca dãy.
L: Toán t chiu dài
L[x(n)] = [0, 3] = 4

Hình 1.13 Dãy có chiu dài hu hn
c. Nng lng ca dãy:
Nng lng ca mt dãy x(n) đc đnh ngha nh sau:
()
2
x
n
Ex
∞
=−∞
=
∑
n
(1.6)
Ví d 1.10
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

11
Tìm nng lng ca 3 dãy
() ()
() ()
() ()
1
2
3
N
xn n
x
nrectn
xn un

δ
=
=
=

Gii:
()
1
2
1
x
n
En
δ
∞
=−∞
=
∑
=
Dãy có nng lng hu hn
()
2
2
xN
n
E rect n N
∞
=−∞
=
∑

=
Dãy có nng lng hu hn
()
3
2
x
n
Eun
∞
=−∞
=
∑
=∞
Dãy có nng lng vô hn (không tn ti thc t)
d. Công sut trung bình ca mt tín hiu
Công sut trung bình ca mt tín hiu
(
)
nx
đc đnh ngha nh sau:
()
∑
−=
∞→
+
=
N
Nn
N
nx

N
P
2
12
1
lim
(1.7)
Nu ta đnh ngha nng lng ca tín hiu
(
)
nx
trong mt khong hu hn NnN
≤
≤− là:

()
∑
−=
=
N
Nn
N
nxE
2

(1.8)
Thì có th biu din nng lng tín hiu
E
nh sau:
N

N
EE
∞→
≡ lim
(1.9)
và công sut trung bình ca tín hiu
(
)
nx
là
N
N
E
N
P
12
1
lim
+
≡
∞→
(1.10)
Nh vy, nu
E
là hu hn thì 0
=
P . Mt khác, nu
E
là vô hn thì công sut trung bình
P

có th là hu hn hoc vô hn. Nu
P
là hu hn (và không zero) thì tín hiu gi là tín hiu
công sut.

e. Tng ca 2 dãy:
Tng ca 2 dãy nhn đc bng cách cng tng đôi mt các giá tr mu đi vi cùng mt
tr s ca bin đc lp.
Ví d 1.11
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

12
Hãy thc hin
() ()
(
)
312
x
nxnxn=+

(
)
1
x
n
(
)
2
x
n

(
)
3
x
n

Hình 1.14 Tng ca hai dãy
f. Tích ca 2 dãy:
Tích ca 2 dãy nhn đc bng cách nhân tng đôi mt các giá tr mu đi vi cùng mt tr
s ca bin đc lp.
Ví d 1.12
Hãy thc hin
() ()
(
)
312
.
x
nxnxn=

Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

13
(
)
1
x
n
(
)

2
x
n
(
)
3
x
n

Hình 1.15 Tích ca hai dãy

g. Tích ca mt dãy vi hng s:
Tích ca mt dãy vi các hng s nhn đc bng cách nhân tt c các giá tr mu ca dãy
vi hng s đó.
Ví d 1.13
(
)
(
)
21
.
x
nxn
α
=
,
α
là hng s gi s cho bng 2 ta có:
(
)

1
x
n
(
)
2
x
n

Hình 1.16 Tích ca dãy vi hng s 2
h. Tr:
Ta nói rng dãy
()
2
x
n
là dãy lp li tr ca dãy
(
)
1
x
n
nu có quan h sau đây:
() ( )
210
x
nxnn=−
: nguyên
0
n

Ví d 1.14
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

14
Biu din tín hiu x(n) đc mô t nh sau:
() () () () ()
31 1
12
42 4
xn n n n n
δδ δ δ
=+ −+ −+ −3

Gii:
Ta biu din ln lt các thành phn trong mô t trên, sau đó thc hin phép cng nh minh
ha di đây đ xác đnh x(n).
(
)
n
δ
()
3
1
4
n
δ
−
()
1
2

2
n
δ
−
()
1
3
4
n
δ
−
()
104
4
0
n
n
xn
n
⎧
−≤≤
⎪
=
⎨
⎪
≠
⎩

Hình 1.17 Minh ho x(n) trong ví d 1.14
T ví d 1.14, ta thy rng: Mt dãy x(n) bt k đu có th biu din di dng sau đây:

() () ( )
.
k
x
nxkn
δ
∞
=−∞
=
∑
k−
(1.11)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

15
Trong đó ta chú ý x(k) là giá tr x(n) ti thi đim n = k, do vy v mt bn cht x(k) và x(n)
khác nhau (n là bin thi gian ri rc, k là ch s), nhng v mt th hin x(n) và x(k) là nh nhau.
1.2. CÁC H THNG TUYN TÍNH BT BIN
1.2.1. Các h thng tuyn tính
a. Mt s khái nim

Kích thích và đáp ng:
+ Dãy vào ca h thng đc gi là kích thích
+ Dãy ra đc gi là đáp ng ca h thng ng vi kích thích đang kho sát.
Toán t T:
+ Mt h thng tuyn tính đc trng bi toán t T làm nhim v bin đi dãy vào
thành dãy ra.

(
)

(
)
Txn
y
n
⎡⎤
=
⎣⎦
(1.12)

(
)
(
)
T
x
ny⎯⎯→ n

b. H thng tuyn tính:
i vi các h thng tuyn tính toán t T phi tuân theo nguyên lý xp chng, tc là phi
tuân theo quan h sau đây:

()
(
)
(
)
(
)
12 1 2

. .Taxn bx n aTxn bTx n
⎡⎤⎡⎤⎡
+= +
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎦


(
)
(
)
12
ay n by n=+
(1.13)
c. áp ng xung ca h thng tuyn tính:
Trong (1.11) ta có biu din ca tín hiu đu vào
() () ( )
.
k
x
nxkn
δ
∞
=−∞
k
=
−
∑

Thc hin bin đi theo toán t T ta xác đnh y(n)
() () () ( ) () ( )

kk
yn T xn T xk n k xk T n k
δδ
∞∞
=−∞ =−∞
⎡⎤
⎡⎤ ⎡
== −= −
⎢⎥
⎣⎦ ⎣
⎣⎦
∑∑
⎤
⎦

() () ()
.
k
k
yn xk h n
∞
=−∞
=
∑
(1.14)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

16
()
(
)
k
hn T nk
δ
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
đc gi là đáp ng xung. (1.15)
áp ng xung đc trng hoàn toàn cho h thng thay cho toán t T.
()
k
hn
1.2.2. Các h thng tuyn tính bt bin
a. nh ngha:
Nu ta có y(n) là đáp ng vi kích thích x(n) thì h thng đc gi là bt bin nu y(n - k)
là đáp ng ng vi kích thích x(n - k).
b. Phép chp:
(
)
n
δ
(
)
nk
δ

−
(
)
(
)(
yn T n hn
δ
⎡⎤
==
⎣⎦
)
(
)
(
)
Tnhhnk
δ
⎡⎤
−
=−
⎣⎦

() () ( )
.
k
yn xk hn k
∞
=−∞
=
−

∑
(1.16)
(
)
(
)
(
)
*yn xn hn=
(1.17)
 đây h(n) đc gi là đáp ng xung ca h thng tuyn tính bt bin (TTBB)
Du hoa th (*) ký hiu phép chp.
(
)
hn

Nh vy, đáp ng ra ca h thng tuyn tính bt bin (TTBB) s bng dãy vào chp vi đáp
ng xung.
Phng pháp tính phép chp
V nguyên tc chúng ta phi tính y(n) = x(n) * h(n) theo cách tìm tng giá tr y(n) ng vi
tng giá tr n c th t n = - ∞ đn n = ∞.
() () ( )
.
k
yn xk hn k
∞
=−∞
=−
∑
(n: -∞ → ∞)

n = 0 ⇒
() () ( )
0.0
k
yxkh
∞
=−∞
k
=
−
∑

n = 1 ⇒
() ( ) ( )
1.
k
yxkh
∞
=−∞
1k
=
−
∑

n=2 C thay vào nh vy v nguyên tc ta phi tính đn giá tr n = ∞.
i vi các giá tr n < 0 ta cng phi tính ln lt
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

17
1k

n = -1 ⇒
() ()( )
1.
k
yxkh
∞
=−∞
−
=−
∑
−

n = -2 và phi tính đn giá tr n = - ∞
Tp hp các giá tr tìm đc ta có kt qu phép chp y(n) cn tìm.
 d dàng trong vic tính toán ngi ta đa ra nhiu phng pháp tính phép châp trong đó
có phng pháp đ th nh sau:
Các bc tính phép chp bng đ th:
Bc 1: i bin n thành bin k, x(n) -> x(k), h(n) -> h(k), c đnh h(k)
Bc 2: Quay h(k) đi xng qua trc tung đ thu đc h(-k), tc h(0-k) ng vi n=0.
Bc 3: Dch chuyn h(-k) theo tng giáa tr n, nu n>0 dch chuyn v bên phi, nu n<0
dch chuyn v phía trái ta thu đc h(n-k).
Bc 4 Thc hin phép nhân x(k).h(n-k) theo tng mu đi vi tt c các giá tr ca k.
Bc 5 Cng các giá tr thu đc ta có mt giá tr ca y(n), tng hp các kt qu ta có dãy
y(n) cn tìm.
Lu ý: ta có th c đnh h(k) ri ly đi xng x(k) qua trc tung ri tin hành các bc nh
trên, kt qu s không thay đi do phép chp có tính cht giao hoán.
Các bc trên s đc minh ho  ví d 1.15
Ví d 1.15
Cho mt HTTTBB có:
()

(
)
()
5
10
4
0 còn lai
xn rect n
n
n
hn
n
=
⎧
−≤
⎪
=
⎨
⎪
⎩
4≤

Hãy tìm đáp ng ra ca h thng y(n)?
Gii:
Ta thc hin theo phng pháp tính phép chp bng đ th:
+ i bin n thành bin k
+ Gi nguyên x(k), ly đi xng h(k) thành h(-k)
+ Dch h(-k) sang trái (n<0) hoc sang phi (n>0) theo tng mu, sau đó tính tng giá tr
ca y(n) ng vi tng n c th nh đ th sau.
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

18
(
)
(
)
5
x
k rect k=

Hình 1.18 Minh ho tính phép chp bng đ th trong ví d 1.15
Tip tc tính nh trên ta đc các giá tr:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

19
y(3) = 2,5 y(5) = 1,5 y(7) = 0,25 y(-1) = 0 … y(-
∞
) = 0
y(4) = 2,5 y(6) = 0,75 y(8) = 0 … y(
∞
) = 0
Da vào kt qu tính toán, ta v đc đáp ng ra ca h thng:
Hình 1.19 Kt qu phép chp trong ví d 1.15
c. Các tính cht ca phép chp:
- Tính giao hoán:
() () () () () ()( )
**
k
yn xn hn hn xn hkxn k
∞

=−∞
===
∑
−
(1.18)
Ý ngha:

Trong mt h thng, ta có th hoán v đu vào x(n) và đáp ng xung h(n) cho nhau thì đáp
ng ra y(n) không thay đi.
- Tính kt hp:
(
)()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1 2
** **
y
nxnhnhn xnhnhn
⎡⎤⎡⎤
==
⎣⎦⎣⎦
(1.19)

Ý ngha:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

20
(
)
(
)
12
*hn hn
(
)
1
hn
(
)
2
hn
(
)
(
)
1
*
x
nhn

Nu ta có hai h thng ghép ni tip vi nhau thì đáp ng xung ca h thng tng quát s là
chp ca đáp ng xung ca các h thng thành phn.
- Tính phân phi (chp và cng):

() () ()
(
)
(
)
(
)
(
)()
12 1 2
***
y
n xn hn hn xnhn xnhn
⎡⎤⎡⎤⎡
=+= +
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎦
(1.20)
Ý ngha:
(
)
(
)
12
hn hn+
(
)
1
hn

(
)
2
hn
(
)
(
)
1
*
x
nhn
(
)
(
)
2
*
x
nhn

Nu ta có hai h thng ghép song song vi nhau thì đáp ng xung ca h thng tng quát s
là tng đáp ng xung ca các h thng thành phn.
1.2.3. H thng tuyn tính bt bin và nhân qu
nh ngha: Mt h thng tuyn tính bt bin đc gi là nhân qu nu đáp ng ra ca nó 
thi đim bt k n = n
0
hoàn toàn đc lp vi kích thích ca nó  các thi đim tng lai, n > n
0
.

nh lý: áp ng xung ca h thng tuyn tính bt bin và nhân qu phi bng 0 vi n < 0
(h(n) = 0 vi mi n <0).
- Mt dãy x(n) đc gi là nhân qu nu x(n) = 0 vi n < 0.
Xét phép chp đ xác đnh đáp ng ra y(n) vi tín hiu và h thng TTBB nhân qu.

- Nu x(n) nhân qu:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

21
−
() () ( )
0
.
k
yn xk hn k
∞
=
=
∑
x(k) ≠ 0 khi k ≥ 0
- Nu h(n) nhân qu: h(n) ≠ 0 khi n ≥ 0:
Vì h(n – k) ≠ 0 ; (n – k) ≥ 0 ⇒
() () ( )
0
.
k
yn xk hn k
∞
=
=

−
∑

1.2.4. H thng tuyn tính bt bin và n đnh
nh ngha: Mt h thng tuyn tính bt bin gi là n đnh nu ng vi dãy vào b chn ta
cng có dãy ra b chn (biên đ b hn ch
≠
±∞
).
(
)
(
)
xn yn
<
∞→ <∞
(1.21)
H thng này còn đc gi là h thng BIBO (Bounded Input Bounde Output)
nh lý v h thng n đnh:
Mt h thng tuyn tính bt bin đc gi là n đnh nu và ch nu đáp ng xung h(n) ca
nó tho mãn điu kin sau đây:
()
n
Shn
∞
=−∞
=
<∞
∑
(1.22)

(Tng giá tr tuyt đi ca mi giá tr đáp ng xung)
Ví d 1.17
Xét s n đnh ca các h thng có đáp ng xung sau:
() ()
1
hn un=

()
2
0
00
n
an
hn
n
⎧
≥
=
⎨
<
⎩

Gii:

()
12
0
1
nn
Shn

∞∞
=−∞ =
==
∑∑
=∞
→ H thng không n đnh

()
23
0
n
nn
Shn
∞∞
=−∞ =
==
∑∑
a
=
1
1 a
−
nu a < 1 → H thng n đnh
=
1
1
1
n
a
a

+
−
−
= ∞ nu a ≥ 1 → H thng không n đnh
1.3. PHNG TRÌNH SAI PHÂN TUYN TÍNH H S HNG
1.3.1. Phng trình sai phân tuyn tính h s bin đi
V mt tín hiu, mt h thng tuyn tính (HTTT) s đc mô t bi mt phng trình sai
phân tuyn tính có dng:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

22
() ( ) ()( )
00
NM
kr
kr
anynk bnxnr
==
−
=
∑∑
−
(1.23)

() () () ( ) ()( )
00
10
NM
kr
kr

anyn anynk bnxnr
==
+
−= −
∑∑

()
(
)
()
()
(
)
()
(
01
00
MN
rk
rk
bn an
yn xn r yn k
an an
==
=−−
∑∑
)
−
)
(1.24)

() () ()
k
k
yn xkh n
∞
=−∞
=
∑
()
k
an
, h s phng trình đc trng hoàn toàn cho h thng tuyn tính, thay cho
đáp ng xung.
()
r
bn
1.3.2. Phng trình sai phân tuyn tính h s hng
Mt HTTT bt bin v mt toán hc đc mô t bi mt phng trình sai phân tuyn tính
h s hng dng tng quát sau đây:
() (
00
NM
kr
kr
aynk bxnr
==
−
=
∑∑

−
(1.25)
k
a
, h s hng.
r
b
N: Bc ca phng trình

() () ()
01
00
MN
k
r
rk
ab
yn xn r yn k
aa
==
=
−− −
∑∑

0
a
= 1, thì
() ( ) ( )
01
MN

rk
rk
yn bxn r ayn k
==
=−−
∑∑
−
−
(1.26)
r
b
, đc trng cho h thng, thay cho đáp ng xung.
k
a
áp ng ra y(n) đc xác đnh bi phng trình sai phân (PTSP) nh trên tng đng vi
đáp ng ra đc xác đnh theo phép chp:
() () () ()( )
*
k
yn xn hn xkhn k
∞
=−∞
==
∑
(1.27)
đáp ng xung h(n) đc trng cho h thng.
Lu ý:
Nu đu vào là xung đn v
(
)

n
δ
thì đu ra ta có đáp ng xung h(n).
(
)
hn
(
)
(
)
x
nn
δ
=
(
)
(
)
yn hn=

Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

23
Có hai phng pháp gii phng trình sai phân đ xác đnh đáp ng ra y(n), đáp ng xung
h(n):
- Phng pháp th
- Phng pháp tìm nghim tng quát: gii phng trình tìm nghim thun nht, nghim
riêng ri xác đnh nghim tng quát.
Vic gii phng trình sai phân theo phng pháp th s đc mô t trong ví d 1.18.
Ví d 1.18

Cho phng trình sai phân tuyn tính h s hng sau:
y(n) = Ay(n-1) + x(n)
Hãy tìm đáp ng xung h(n) ca phng trình sai phân đã mô t vi điu kin: y(-1) = 0.
Gii:
N = 1, a
0
= 1: Phng trình bc 1.
a
1
= -A, M = 0, b
0
= 1, cho
(
)
(
)
(
)
(
)
x
nnynh
δ
=⇒≡n

() ( ) ()
1hn Ahn n
δ
=−+

Tìm h(n) vi h thng nhân qu. Thay vào:
n = 0:
(
)
(
)
(
)
0100hAh
δ
=−+ =+1
h(0) = 1 (Do h(-1)=y(-1)=0)
n = 1:
() ( )
(
)
101.1hAh A
δ
=+=0+
h(1) = A
n = 2:
() ()
(
)
212.hAh AA
δ
=+=0+
h(2) = A
2
n = 3:

(
)
(
)
(
)
2
323.hAh AA
δ
=+=0+
h(2) = A
3

C th tip tc ta có:
()
0
0
n
An
hn
n
⎧
≥
=
⎨
≠
⎩

Phng pháp tìm nghim tng quát ca phng trình sai phân
Nghim tng quát ca phng trình sai phân s bng tng nghim tng quát ca phng

trình thun nht y
0
(n) và nghim riêng ca phng trình y
p
(n):
y(n) = y
0
(n) + y
p
(n) (1.28)
Tìm y
0
(n):
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

24
=
a
n
Phng trình thun nht là phng trình sai phân mà đu vào x(n) = 0, theo (1.25) nó s có
dng: (1.29)
()
0
0
N
k
k
ayn k
=
−=

∑
Ta thng tìm nghim di dng hàm m y
0
(n) = α
n
, thay vào ta có:
12 1
01 2 1
12
01 2 1
0
( ) 0
nn n N N
NN
nN N N N
NN
aa a a a
aa a a a
αα α α α
ααα α α
−− −
−
−−−
−
++ ++ +=
⇒+++++
(1.30)
Nghim = 0 tc α =0 là nghim tm thng ta không xét đn, t (1.30) ta có phng
trình đc trng
nN

α
−
12
01 2 1

NN N
NN
aa a a
αα α α
−−
−
++ +++
= 0 (1.31)
Phng trình này s có n nghim, nu các nghim này là nghim đn ta có s có dng
nghim ca phng trình thun nht nh sau:
0112233 11
1
( )
N
nnn n n
NN NN kk
k
yn A A A A A A
α
αα α α α
−−
=
=+ +++ + =
∑
(1.32)

Các h s A
1
và A
2
đc xác đnh nh các điu kin đu.
Tìm y
p
(n):
ây chính là nghim phng trình sai phân khi đu vào x(n) ≠ 0, Nó s có dng ca phng
trình sai phân nh mô t (1.25) :
() (
00
NM
kr
kr
aynk bxnr
==
−= −
∑∑
)

 đây ta thng chn y
p
(n) ging dng đu vào x(n):
- Nu dng đu vào
() ( )
n
k
xn
β

βα
=≠
ta đt
() .
n
p
yn B
β
=

- Nu dng đu vào
()
n
xn
β
=
mà β trùng vi dng nghim α
k
ca phng trình đc trng
ta phi đt
()
n
p
yn Bn
β
=

Sau đó ta xác đnh B bn cách thay y
p
(n) vào phng trình (1.25)

Xác đnh nghim tng quát y(n):
n đây ta s có:
y(n) = y
0
(n) + y
p
(n) =
1
1
.(
( )
N
nn
kk k
k
N
nn
kk k
k
AB
ABn
)
α
ββα
α
ββ
=
=
⎧
+≠

⎪
⎪
⎨
⎪
+=
⎪
⎩
∑
∑
α
(1.33)
Các h s A
1
và A
2
s đc xác đnh nh các điu kin đu.
Ta s tìm hiu c th cách gii phwong trình sai phân tìm nghim tng quát thông qua ví d
1.19 nh sau.