Chuyên đề tích phân luyện thi đại học

Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=
∫

xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos

1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫
α

α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin

1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax

++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
Cudu +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫
uCu

u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos
1

2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= Þ = = a = Þ = = b
.
Bước 3.
b
/
a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
xlnx
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t lnx dt
x
= Þ =
2
x e t 1, x e t 2= Þ = = Þ =
2
2
1
1
dt
I ln t ln2

t
Þ = = =
ò
.
Vậy
I ln2=
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cosx
I dx
(sin x cosx)
p
=
+
ò
.
1
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sin x cosx) (tanx 1) cos x
p p
= =
+ +

ò ò
. Đặt
t tanx 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân

1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t tanu= L
ĐS:
I 3 2

3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/
( )dx u t dt=
.

Bước 2. Đổi cận:
, x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
.
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ò
.
Giải
Đặt

x sint, t ; dx costdt
2 2
p p
é ù
= Î - Þ =
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= Þ = = Þ =
6 6
2
0 0
cost cost
I dt dt
cost
1 sin t
p p
Þ = =
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p

p
p p
= = = - =
ò
.
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.
2
Hướng dẫn:
Đặt
x 2sint=
ĐS:
I = p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx

I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tant, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= Î - Þ = +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =
4 4
2
2
0 0

tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
p p
+ p
Þ = = =
+
ò ò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
3 1 3 1

2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 tant+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-
ò
.
ĐS:

I
2
p
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
ĐS:
I
12
p
=
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos xsin xdx

p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cosx=
ĐS:
2
I
15
=
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sin x=
ĐS:
8
I
15
=

.
3
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx cos2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò

2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32

p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cosx sin x 1
p
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
=
.
ĐS:
I ln2=
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
:

2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sinx 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= p - Þ = -
x 0 t , x t 0= Þ = p = p Þ =
( )
0
0
( t)dt

t
I dt
sin( t) 1 sint 1 sint 1
p
p
p -
p
Þ = - = -
p - + + +
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= p - Þ =
+ +
ò ò
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos

2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p p
æ ö
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç

æ ö
è ø
p p p
÷
ç
= = - = p
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0

xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ = -
4
x 0 t , x t 0
2 2
p p

= ị = = ị =
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
ị = -
p p
- + -
ũ
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ũ

(1).
Mt khỏc
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ũ
(2). T (1) v (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tng quỏt:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx ,n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = ẻ
+ +
ũ ũ

Z
.
Vớ d 17. Tớnh tớch phõn
6
2
0
sin x
I dx
sinx 3cosx
p
=
+
ũ
v
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3cosx
p
=
+
ũ
.
Gii
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6

0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3cosx
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + ị =

1
I J ln3
4
+ =
(2).
T (1) v (2)
3 1 3 1 1 3
I ln3 , J ln3
16 4 16 4
- -
= + = -

.
Vớ d 18. Tớnh tớch phõn
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ũ
.
Gii
t
2
x tant dx (1 tan t)dt= ị = +
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= ị = = ị =
(
)
4 4
2
2
0 0
ln(1 tant)
I 1 tan t dt ln(1 tant)dt
1 tan t

p p
+
ị = + = +
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - ị = -
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= ị = = ị =
0
4
0
4
I ln(1 tant)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
ị = + = - + -
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tanu 2
ln 1 du ln du
1 tanu 1 tanu
p p
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
5
( )
4 4

0 0
ln2du ln 1 tanu du ln2 I
4
p p
p
= - + = -
ò ò
.
Vậy
I ln2
8
p
=
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
4
x
4
cosx
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt

x t= -
ĐS:
2
I
2
=
.
Tổng quát:
Với
a > 0
,
0a >
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn
[ ]
; - a a
thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ò ò
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên

¡
và thỏa
f( x) 2f(x) cosx- + =
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ò
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ò
,
x t dx dt= - Þ = -
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - Þ = = Þ = -

[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
Þ = - = Þ = + = - +
ò ò
2 2
0
2
cosxdx 2 cosxdx 2
p p
p
-
= = =
ò ò
.
Vậy
2
I
3
=
.
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)

lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
-
=
ò
.
ii/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ò ò
.
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
6
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
,
n!!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!

. ,
n!! 2
p p
ỡ
-
ù
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
-
p
ù
ù
ù
ù
ợ
ũ ũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =
6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Vớ d 21.

2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ũ
.
II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s
u(x), v(x)
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
( ) ( )
/ / / /
/ /

uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + ị = +
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udvị = + ị = +
ũ ũ ũ
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vduị = + ị = -
ũ ũ ũ ũ
.
Cụng thc:
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ũ ũ
(1).
Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ũ ũ
(2).

2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.
c bit:
i/ Nu gp
b b b
ax
a a a
P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx
ũ ũ ũ
vi P(x) l a thc thỡ t

u P(x)=
.
ii/ Nu gp
b
a
P(x)lnxdx
ũ
thỡ t
u ln x=
.
Cỏch 2.
7
Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=
ò ò
và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x

u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1Þ = - = - =

ò ò
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I xlnxdx=
ò
.
Giải
Đặt
2
dx
du
u lnx
x
dv xdx
x
v
2
ì
ï
=
ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í

ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
xlnxdx lnx xdx
2 2 4
+
Þ = - =
ò ò
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2
x
0
I e sinxdx
p
=
ò
.
Giải

Đặt
x x
u sinx
du cosxdx
dv e dx v e
=
=
ì
ì
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î
î
2 2
x x x
2
2
0
0 0
I e sinxdx e sinx e cosxdx e J
p p
p
p
Þ = = - = -
ò ò

.
Đặt
x
x
u cosx
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cosxdx e cosx e sinxdx 1 I
p p

p
Þ = = + = - +
ò ò
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
p
p
+
Þ = - - + Þ =
.
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t x=
2
0
I 2 t costdt 2

p
Þ = = = p -
ò
L L
.
8
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
ĐS:
(sin1 cos1)e 1
I
2
- +
=
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x

a

1
x

2
x

b
f(x)

+

0

-

0

+
Bước 2. Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
2

2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1

59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
Vậy
59
I
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
2
2
0
I 5 4cos x 4sin xdx
p
= - -
ò
.
ĐS:
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân

[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
( )
2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
9
( )

2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
- - -
= - - = - -
ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.

Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x
– 0 +  +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-
= - + - + =
.
Vậy
I 0=
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
{ }
b
a

I max f(x), g(x) dx=
ò
và
{ }
b
a
J min f(x), g(x) dx=
ò
, ta thực hiện các
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)= -
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0>
thì
{ }
max f(x), g(x) f(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }

min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
Đặt
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
( )
( )
( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + - + + =

ò ò ò
.
Vậy
80
I
3
=
.
Ví dụ 13. Tính tích phân
{ }
2
x
0
I min 3 , 4 x dx= -
ò
.
Giải
Đặt
( )
x x
h(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + -
.
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 +
( )
1 2
2
1
x 2

x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln3 2 ln3 2
æ ö
÷
ç
= + - = + - = +
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
.
10
Vậy
2 5
I
ln3 2
= +
.
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh
b

a
f(x)dx 0³
ò
(hoặc
b
a
f(x)dx 0£
ò
) ta chứng minh
f(x) 0³
(hoặc
f(x) 0£
) với
[ ]
x a; b" Î
.
Ví dụ 14. Chứng minh
1
3
6
0
1 x dx 0- ³
ò
.
Giải
Với
[ ]
1
3 3
6 6 6

0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" Î £ Þ - ³ Þ - ³
ò
.
2. Dạng 2
Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx³
ò ò
ta chứng minh
f(x) g(x)³
với
[ ]
x a; b" Î
.
Ví dụ 15. Chứng minh
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
Giải
Với
11 10

x 0; : 0 sinx 1 0 sin x sin x
2
p
é ù
" Î £ £ Þ £ £
ê ú
ë û
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
Þ + ³ + > Þ £
+ +
.
Vậy
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
3. Dạng 3
Để chứng minh
b
a

A f(x)dx B£ £
ò
ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được
m f(x) M£ £
.
Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - £ £ - =
ò
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5£ + £
ò
.
Giải
Với
[ ]
2 2
x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5" Î £ + £ Þ £ + £
.
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5£ + £

ò
.
Ví dụ 17. Chứng minh
3
4
2
4
dx
4 2
3 2sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.
Giải
11
Vi
2
3 2 1
x ; : sinx 1 sin x 1
4 4 2 2
p p
ộ ự
" ẻ Ê Ê ị Ê Ê
ờ ỳ
ở ỷ
2

2
1 1
1 3 2sin x 2 1
2
3 2sin x
ị Ê - Ê ị Ê Ê
-
( ) ( )
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2sin x
p
p
p p p p
ị - Ê Ê -
-
ũ
.
Vy
3
4
2
4
dx
4 2

3 2sin x
p
p
p p
Ê Ê
-
ũ
.
Vớ d 18. Chng minh
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3
p
p
Ê Ê
ũ
.
Gii
Xột hm s
cotx
f(x) , x ;
x 4 3
ộ ự
p p
ờ ỳ
= ẻ
ờ ỳ
ở ỷ

ta cú
2
/
2
x
cotx
sin x
f (x) 0 x ;
4 3
x
-
-
ộ ự
p p
ờ ỳ
= < " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
( ) ( )
Q (x) f x ;
3 4 4 3
p p p p
ộ ự
ị Ê Ê " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
3 cotx 4
x ;
x 4 3
ộ ự

p p
ờ ỳ
ị Ê Ê " ẻ
ờ ỳ
p p
ở ỷ
3
4
3 cotx 4
dx
3 4 x 3 4
p
p
ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ị - Ê Ê -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
p p
ũ
.
Vy
3
4

3 cotx 1
dx
12 x 3
p
p
Ê Ê
ũ
.
4. Dng 4 (tham kho)
chng minh
b
a
A f(x)dx BÊ Ê
ũ
(m dng 3 khụng lm c) ta thc hin
Bc 1. Tỡm hm s g(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
ỡ
Ê " ẻ
ù
ù
ù
ù

ị Ê
ớ
ù
=
ù
ù
ù
ợ
ũ
ũ
.
Bc 2. Tỡm hm s h(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
ỡ
Ê " ẻ
ù
ù
ù
ù
ị Ê
ớ
ù
=

ù
ù
ù
ợ
ũ
ũ
.
Vớ d 19. Chng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
Ê Ê
-
ũ
.
12
Giải
Với
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
é ù
" Î £ £ £
ê ú

ê ú
ë û
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2
1 x 1 x
Þ £ - £ - £ Þ £ £
- -
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
Þ £ £
- -
ò ò ò
.
Đặt
x sint dx costdt= Þ =
2
x 0 t 0, x t
2 4
p
= Þ = = Þ =
2
2 4

2
0 0
dx costdt
cost 4
1 x
p
p
Þ = =
-
ò ò
.
Vậy
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Ví dụ 20. Chứng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2

x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
Giải
Với
[ ]
2
x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1" Î - £ + - £ -
2
x x x
3 1 2 1
x 2 1
Þ £ £
- -
+ -
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1
x 2 1
Þ £ £
- -
+ -
ò ò ò
.
Vậy

1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y f(x), x a, x b= = =
và trục hoành là
b
a
S f(x) dx=
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx

ò
.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y lnx, x 1, x e= = =
và Ox.
Giải
Do
[ ]
lnx 0 x 1; e³ " Î
nên
( )
e e
e
1
1 1
S ln x dx lnxdx x ln x 1 1= = = - =
ò ò
.
Vậy
S 1=
(đvdt).
13
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = =
và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0 1 3
y – 0 + 0

( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + + + - + + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
8
S
3
=
(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng

2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x), x a, x b= = = =
là
b
a
S f(x) g(x) dx= -
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx-
ò
.
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x)= =
là
S f(x) g(x) dx
b
a
= -
ò
. Trong đó
, a b

là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
phương trình
f(x) g(x)=

( )
a b£ a < b £
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)=
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn
[ ]
; a b
.
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-
ò
.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
,
x 0, x 2= =
.

Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= Û = Ú = Ú =
(loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + - + - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç

è ø è ø
.
14
Vy
5
S
2
=
(vdt).
Vớ d 4. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
.
Gii
t
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =
.
Bng xột du
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 0
( ) ( )
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + -
ũ ũ
2 3
4 2 4 2

3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - - - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
1
S
2
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu trong on
[ ]
; a b
phng trỡnh
f(x) g(x)=
khụng cũn nghim no na thỡ ta cú th dựng cụng
thc
[ ]

f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- = -
ũ ũ
.
Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
3
y x , y 4x= =
.
Gii
Ta cú
3
x 4x x 2 x 0 x 2= = - = =
( ) ( )
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
-
ị = - + -
ũ ũ
0 2
4 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
-

ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
S 8=
(vdt).
Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4 x 3= - +
v trc honh.
Gii
Ta cú
2 2
x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = - + = =
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
= = =
ộ ộ ộ
ờ ờ ờ

ờ ờ ờ
= = =
ở ở ở

3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-
ị = - + = - +
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + + - +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ

ờ ỳ
= - + + - + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.
Vy
16
S
3
=
(vdt).
Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3= - +
v
y x 3= +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2
x 4x 3 x 3- + = +
15
2
2
x 3 0

x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ộ ờ
- + = +

ớ
ờ ờ
=
ù
ù
ở
ờ
ù
- + = - -
ờ
ù
ợ ở
.
Bng xột du
x 0 1 3 5

2
x 4x 3- +
+ 0 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dxị = - + - + - + -
ũ ũ ũ
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + + - + - =
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Vy
109
S
6

=
(vdt).
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
ù
ù
ù
ộ
- = +

=
ớ ớ
ờ
=ù ù
ù ù
ợ
ờ
ù
- = - -
ờ
ù
ợ ở
( ) ( )
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
-
ị = - - + = - - +
ũ ũ
Bng xột du
x 0 1 3
2
x 1-
0 +
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dxị = - - - + - -

ũ ũ
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + - - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
73
S
3
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh (tuy nhiờn thi H thỡ khụng cú).
B. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY
1. Trng hp 1.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]

y f(x) 0 x a;b= " ẻ
,
y 0=
,
x a=
v
x b (a b)= <
quay quanh trc Ox l
b
2
a
V f (x)dx= p
ũ
.
Vớ d 9. Tớnh th tớch hỡnh cu do hỡnh trũn
2 2 2
(C) : x y R+ =
quay quanh Ox.
Gii
Honh giao im ca (C) v Ox l
2 2
x R x R= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x+ = = -
16
( ) ( )
R R
2 2 2 2

R 0
V R x dx 2 R x dx
-
ị = p - = p -
ũ ũ
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
ổ ử
p
ữ
ỗ
= p - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
3
4 R
V
3
p
=

(vtt).
2. Trng hp 2.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
x g(y) 0 y c;d= " ẻ
,
x 0=
,
y c=
v
y d (c d)= <
quay quanh trc Oy l
d
2
c
V g (y)dy= p
ũ
.
Vớ d 10. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
+ =
quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im ca (E) v Oy l
2
2

y
1 y b
b
= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
+ = = -
b b
2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ị = p - = p -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ

ố ứ ố ứ
ũ ũ
R
2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
3
3b
ổ ử
p
ữ
ỗ
= p - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
2
4 a b
V
3
p
=
(vtt).

3. Trng hp 3.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x)= =
,
x a=
v
[ ]
x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b )= < " ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= p -
ũ
.
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
y x=
,
2
y x=
quay quanh
Ox.
Gii
Honh giao im
4
x 0
x 0
x 1
x x

=
ỡ
ộ
ù
ù
ờ

ớ
ờ
=ù
=
ù
ở
ợ
.
( )
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dxị = p - = p -
ũ ũ
( )
1
5 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
p

= p - =
.
Vy
3
V
10
p
=
(vtt).
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x f(y), x g(y)= =
,
y c=
v
[ ]
y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d )= < " ẻ
quay quanh trc Oy l
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= p -
ũ
.
17
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
x y 5= - +
,
x 3 y= -

quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm
2
y 1
y 5 3 y
y 2
= -
é
ê
- + = - Û
ê
=
ë
.
( )
( )
2
2
2
2
1
V y 5 3 y dy
-
Þ = p - + - -
ò
( )
2
4 2
1

y 11y 6y 16 dy
-
= p - + +
ò
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
-
æ ö
p
÷
ç
= p - + + =
÷
ç
÷
ç
÷
è ø
.
Vậy
153
V
5
p
=

(đvtt).
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1. Tính I=
( )
1
10
0
1−
∫
x dx
Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
1 2 10
10 10 10
1 1 1
1
2 3 11
= − + − +
S C C C
2. Tính:
( )
1
19
0
1I x x dx= −
∫
. Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 20 21
S C C C C C= + − + −−
.
3. Chứng minh rằng:
1
1 2
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=
sin cos
sin cos
x x
x x
+
−
, biết rằng
ln2
4
F

π
 
 ÷
 
− =
2. Tính các tích phân sau:
A=
2
1
2 5-7
e
x x
dx
x
+
∫
B=
2
2
-2
-1x dx
∫
C=
2
0
2 ln 2
x
dx
∫
3. Tính các tích phân sau:

A=
3
3 cos
0
sin
x
e xdx
π
∫
B=
4
1
ln
e
x
dx
x
∫
C
*
=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
∫
D

*
=
2
1
1 -1
x
dx
x
+
∫
4. Tính các tích phân sau:
I=
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
J=
4
2
6
sin cot
dx
x x
π
π
∫
K=

10
1
lg xdx
∫
L=
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
M=
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
xdx
x x
π
+
∫
N=
2
2
1
- 9

dx
x
∫
C=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
x
dx
x
π
+
∫
5. Tính các tích phân sau:
A=
1
2
0
4 -
dx
x
∫
B=
3
2
3
3
dx

x
+
∫
C=
4
2
0
16-
dx
x
∫
18
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e
dx
e
+
∫
E=
3
2
2
2
1

dx
x −
∫
6. Tính các tích phân sau:
A=
2
1
ln
e
x
dx
x
∫
B
*
=
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
C
*
=
2

2
1
ln x
dx
x
∫
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
E=
2
4
3
1
3 2x x
dx
x
−
∫
1
2
*
4
1

1
1
x
F dx
x
−
−
=
+
∫
7. Tính:
A=
4
2
0
cos xdx
π
∫
B=
2
3
0
cos xdx
π
∫
C=
1
0
x
xe dx

∫
D=
4
1
x
e
dx
x
∫
E=
2
1
lnx xdx
∫
F=
1
ln 1
e
x
dx
x
+
∫
G=
2
2
0
1 2x x dx+
∫
H=

4
0
1 2x xdx+
∫
I=
2
1
1
x
dx
x +
∫
J=
1
2
0
1
x
dx
x+
∫
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 ln x
x
+
b. y=2
x
; y=3−x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=

3
π
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x
3
−2x
2
+4x−3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
2
=x
3
và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
A) Trục Ox.
B) Trục Oy.
−Hết−
19