Xử lý tín hiệu số - Chương 4 ppsx

BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

55
chơng 4
phép biến đổi Fourier rời rạc


Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc, X(f), về mặt lý thuyết cho ta những công
thức giải tích gọn v đẹp. Nó đợc sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các tín hiệu viết đợc
dới dạng giải tích. Tuy nhiên nó có một số hạn chế khi áp dụng trong thực tế khi chạy
chơng trìng máy tính. Cụ thể l:
1. Độ di tín hiệu số( số mẫu tín hiệu đem phân tích) l vô cùng. Trong khi độ di
tín hiệu trong thực tế bao giờ cũng l hữu hạn.
2. Biến độc lập f ( tần số) của X(f) l một biến liên tục, trong khi đó việc xử lý tín
hiệu trên máy tính bao giờ cũng phải đợc rời rạc hoá, số hoá.
Do tầm quan trọng to lớn của phép biến đổi Fourier nên ngời ta đã tìm cách khắc
phục các hạn chế trên bằng cách đa nó về dạng thích hợp. Đó l phép biến đổi Fourier rời
rạc của tín hiệu có độ di hữu hạn v có trục tần số cũng đợc rời rạc hoá, thờng đợc
gọi một cách ngắn gọn l phép biến đổi Fourier rời rạc, đợc viết tắt trong tiếng Anh l
DFT, l một thuật ngữ đợc dùng phổ biến. Cần phân biệt với tên gọi phép biến đổi
Fourier của tín hiệu rời rạc m ta đã nghiên cứu ở chơng 3. Ngoi ý nghĩa về mặt lý
thuyết, DFT còn đóng vai trò rất quan trọng trong thực tế xử lý tín hiệu số do tồn tại cách
tính DFT rất hiệu quả, tốc độ nhanh FFT.

I. Lấy mẫu trong miền tần số - biến đổi Fourier rời rạc
Trớc khi nghiên cứu DFT, ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổi Fourier đối với dãy
tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hon v từ đó có thể thiết lập đợc quan hệ giữa
biến đổi Fourier đã đợc lấy mẫu với DFT.

I.1. Lấy mẫu trong miền tần số v khôi phục tín hiệu rời rạc theo thời gian
Xét biến đổi Fourier X(e
j

) hay X() của một tín hiệu không tuần hon rời rạc theo
thời gian x(n):


=

=
n
nj
e)n(x)(X



Giả sử tín hiệu X() đợc lấy mẫu tuần hon v khoảng cách lấy mẫu l . Vì
X() l tuần hon với chu kỳ 2, do vậy chỉ cần xét đến các mẫu đợc lấy trong miền tần
số cơ bản: 0 2 v số lợng mẫu đợc lấy trong khoảng ny l N, thì khoảng cách
lấy mẫu l = 2/N, (hình 4.1).







Hình 4.1. Lấy mẫu tần số của biến đổi Fourier
Xét giá trị của X() tại = 2k/N ta đợc:

X(

)
2 k
X(k )
-
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

56



=

=
n
N
kn2
j
e)n(x)k
N
2
(X


, với k nguyên, k =[0 N-1] (4.1.1)
Nếu chia tổng (4.1.1) thnh một số lợng vô hạn các tổng, trong đó mỗi tổng chứa N phần
tử thì ta đợc:

=
+
=


=


=


=

=++
+++=
l
1NlN
lNn
N
kn2
j
1N2
Nn
N
kn2
j

1N
0n
N
kn2
j
1
Nn
N
kn2
j
e)n(x e)n(x
e)n(xe)n(x )k
N
2
(X




Thực hiện việc đổi biến n = n - lN v đổi thứ tự lấy tổng ta đợc:

N
kn2
j
1N
0nl
e)lNn(x)k
N
2
(X

=

=







=
(4.1.2)
Chú ý trong biểu thức trên, đã sử dụng tính chất:

N
kn2
j
kl2j
N
kn2
j
N
)lNn(k2
j
ee.ee

==

Ta thấy tín hiệu:


=
=
l
p
)lNn(x)n(x (4.1.3)
nhận đợc do sự xếp chồng của vô số tín hiệu x(n) đặt lệch nhau một chu kỳ N.
Nh vậy, x
p
(n) l tín hiệu tuần hon với chu kỳ cơ bản l N, nên có thể khai triển
qua chuỗi Fourier nh sau:



=
=
1N
0k
N
kn2
j

kp
ec)n(x

,với n nguyên: [0 N-1] (4.1.4)
với các hệ số:


=

=
1N
0n
N
kn2
j
pk
e)n(x
N
1
c

,với k nguyên: [0 N-1]
(4.1.5)
Từ (4.1.2), (4.1.3) v (4.1.5) ta có:

)k
N
2
(X
N

1
c
k

=
(4.1.6)



=
=
1N
0k
N
kn2
j
p
e)k
N
2
(X
N
1
)n(x


(4.1.7)
Quan hệ (4.1.6) chính l công thức cho phép khôi phục lại tín hiệu tuần hon x
p
(n)

từ các mẫu của phổ X(). Tuy nhiên quan hệ ny không thể đảm bảo đợc rằng x(n) hoặc
X() có thể khôi phục từ các mẫu hay không. Để đảm bảo điều ny, cần phải khảo sát
quan hệ giữa x(n) v x
p
(n).
Vì x
p
(n) l tín hiệu nhận đợc do sự xếp chồng của các tín hiệu x(n) đặt lệch nhau
một chu kỳ N. Vì vậy x(n) có thể đợc khôi phục từ x
p
(n) nếu không có sự trùm thời
gian giữa các thnh phần của x
p
(n). Điều ny đòi hỏi x(n) phải có độ di hữu hạn L v
phải nhỏ hơn chu kỳ N của x
p
(n). Hình 4.2 mô tả hai trờng hợp của tín hiệu x
p
(n) ứng với
các trờng hợp N > L v N < L.




BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

57

Hình 4.2. Dãy không tuần hon x(n) v dãy mở rộng x
p
(n).

Không lm mất tính tổng quát, ta có thể xem x(n) l một dãy có độ di hữu hạn với
các giá trị bằng không ngoi khoảng [0 L-1].
Nh vậy ta có:
x(n) = x
p
(n), 0 n N-1
Cuối cùng, phổ của tín hiệu không tuần hon rời rạc theo thời gian có độ di hữu
hạn L có thể khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của nó tại các tần số
k
= 2k/N
nếu N L:

=
0
1Nn0)n(x
)n(x
p
(4.1.8)



=

=
1N
0k
N
kn2
j
e)k
N
2
(X
N
1
)n(x

, với: 0 n N-1 (4.1.9)
v:






=






=


=


=

=


=

1N
0k

n)
N
k2
(j
1N
0k
1N
0n
nj
1N
0k
N
kn2
j
e
N
1
)k
N
2
(Xee)k
N
2
(X
N
1
)(X

(4.1.10)
Tổng của các phần tử trong dấu ngoặc vuông của (4.1.10) biểu diễn công thức nội
suy đợc dịch bởi 2k/N theo tần số. Đặt:
2
)1N(
j
2
j
2
N
j
2
j
2
j
2
N
j
2
N
j
j
Nj
1N
0k
nj
e

2
sinN
2
N
sin
e
e
ee
ee
N
1
e1
e1
N
1
e
N
1
)(p









=

=


=


==












(4.1.11)

)
N
k2
(p)k
N
2
(X)(X
1N
0k

=


=
, N L (4.1.12)
Nh vậy X() có thể đợc xác định thông qua các mẫu
)k
N
2
(X

của nó qua công
thức nội suy (4.1.11) v (4.1.12).

x
(n)
n
L
x
p
(n)
n
L N
N>L
x
p

(n)
n
LN0-N
N< L
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

58
II. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hon
II.1. Các định nghĩa
a. Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc.
Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hon x
p
(n) có chu kỳ N đợc định nghĩa
nh sau:



=

=
1N
0n
kn
N
2
j
pp
e)n(x)k(X

(4.1.13)
Đặt:
N
2
j
N
eW


= thì ta có:
kn
N
2
j
kn
N
eW


= v
kn
N
2
j
kn
N
eW

=

(4.1.14)



=
=
1N
0n
kn
Npp
W)n(x)k(X
(4.1.15)
Đây chính l biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc.
Ví dụ:

Cho dãy tuần hon x
p
(n) với chu kỳ N = 10, nh sau:






=
9n50
4n01
)n(x
p

Tìm X
p
(k).
Giải:

Dạng của x
p
(n) đợc biểu diễn nh sau:







Hình 4.3. Đồ thị tín hiệu tuần hon chu kỳ N=10.

áp dụng biểu thức (4.1.15) ta có:
k
10
k
10
sin
k
2
k
2
sin
e5e

k
10
sin
k
2
sin
e1
e1
eW)n(x)k(X
4k
10
j4k
10
j
k
10
2
j
5k
10
2
j
4
0n
kn
10
2
j
9
0n

kn
10pp












=

=
==


===


Đặt:

k
10
k
10
sin

k
2
k
2
sin
5)k(A
p



=
ta có:
[]
)k(j
p
)k(Xargj
pp
4k
10
j
p
e)k(Xe)k(X)k(Ae)k(X
p


===


ở đây:
[

]
)k(Xarg)k(
p
=



)k(A)k(X
pp
=
[
]
{
}
)k(ASgn1
2
k
5
2
)k(
p
+=




b. Định nghĩa biến đổi Fourier ngợc.
1
x
p

(n)
n104 5-6 -5
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

59
Biến đổi Fourier ngợc đợc định nghĩa nh sau:



=
=
1N
0k
k
N
2
j
pp
e)k(X
N
1
)n(x

(4.1.16)
hoặc:

=

=
1N
0k
kn
Npp
W)k(X
N
1
)n(x (4.1.17)

II.2. Các tính chất của Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hon có
chu kỳ n

a. Tính chất tuyến tính.
DFT l một biến đổi tuyến tính, tức l nếu có hai dãy x
1p
(n) v x
2p
(n) l các dãy
tuần hon có cùng chu kỳ N v x
3p
(n) l tổ hợp tuyến tính của hai dãy trên:
x
3p
(n) = a.x
1p
(n) + b.x
2p

(n)
thì ta có:
DFT[x
3p
(n)] = X
3p
(k) = a.X
1p
(k) + b.X
2p
(k) (4.1.18)
trong đó: DFT[x
1p
(n)] = X
1p
(k) v DFT[x
2p
(n)] = X
2p
(k)
b. Tính chất trễ.
Nếu x
p
(n) l dãy tuần hon có cùng chu kỳ N với DFT[x
p
(n)] = X
p
(k), v dãy x
p
(n +

n
0
) l dãy trễ của x
p
(n) cũng l dãy tuần hon chu kỳ N thì:
DFT[x
p
(n+n
0
)] =
)k(XW
p
kn
N
0


(4.1.19)
c. Tính đối xứng
Nếu x
p
(n) l dãy tuần hon có cùng chu kỳ N với DFT[x
p
(n)] = X
p
(k) thì:
DFT[x*
p
(n)] = X*
p

(-k)
(4.1.20)
Chứng minh:

[]
)k(XW)n(x
W)n(xW)n(x)n(xDFT
p
*
1N
0n
kn
Np
*
*
1N
0n
kn
N
*
p
1N
0n
kn
N
*
p
*
p
=

=
















==



=

=

=

Tơng tự ta cũng có:
DFT[x*
p
(-n)] = X*
p
(k)
(4.1.21)
Chứng minh:

[]


=
=
1N
0n
kn
N
*
p
*
p
W)n(x)n(xDFT
đổi biến m = - n ta đợc:

[]

=

=
)1N(
0m
km
N
*
p
*
p
W)m(x)n(xDFT

do tính tuần hon chu kỳ N của x
p
(n) v
km
N
W

nên ta có:
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

60

[]

)k(XW)m(x)n(xDFT
*
p
*
1N
0m
km
Np
*
p
=






=


=

V:

[]
{}
[
]
)k(X)k(X
2

1
)n(xReDFT
*
ppp
+=
(4.1.22)

[]
{}
[
]
)k(X)k(X
j2
1
)n(xImDFT
*
ppp
=
(4.1.23)
Chứng minh:
x
p
(n) = Re[x
p
(n)] + j .Im[x
p
(n)]
x*
p
(n) = Re[x

p
(n)] - j .Im[x
p
(n)]

[][]
)n(x)n(x
2
1
)n(xRe
*
ppp
+=


[]
{}
[
]
[
]
)k(X)k(X
2
1
W)n(x)n(x
2
1
)n(xReDFT
*
pp

kn
N
1N
0n
*
ppp
+=+=


=

v:

[][]
)n(x)n(x
j2
1
)n(xIm
*
ppp
=

[]
{}
[
]
[
]
)k(X)k(X
j2

1
W)n(x)n(x
j2
1
)n(xImDFT
*
pp
kn
N
1N
0n
*
ppp
==


=

d. Tích chập tuần hon
Công thức tích chập đợc trình by trong chơng 1:



=
==
m
21213
)mn(x)m(x)n(x*)n(x)n(x
đợc gọi l tích chập tuyến tính. Đối với tích chập ny các dãy l bất kỳ. Tuy nhiên ở tích
chập tuần hon, chiều di các dãy tuần hon l vô cùng nhng có các chu kỳ lặp lại giống

nhau, vì thế tổng chỉ lấy trong một chu kỳ. V ta có định nghĩa tích chập tuần hon nh
sau:
Tích chập tuần hon của hai dãy tuần hon x
1p
(n) v x
2p
(n) l có cùng chu kỳ N l
dãy x
3p
(n) cũng tuần hon với chu kỳ N:

()


=
==
1N
0m
p2p1p2
N
p1p3
)mn(x)m(x)n(x*)n(x)n(x (4.1.24)
Xét tích chập tuần hon trong miền k:
X
3p
(k) = X
1p
(k). X
2p
(k) (4.1.25)

Chứng minh:



=

=

=

=
=






=
1N
0n
kn
Np2
1N
0m
p1
kn
N
1N
0n

1N
0m
p2p1p3
W)mn(x)m(xW)mn(x)m(x)k(X
đổi biến: l = n - m, n = l + m v vì x
2p
(n) l dãy tuần hon có chu kỳ N, nên ta có:

)k(X)k(XW)l(xW)m(xW)l(x)m(x)k(X
p2p1
1N
0l
kl
Np2
1N
0m
km
Np1
1Nm
ml
)ml(k
Np2
1N
0m
p1p3
===


=

=
+
=
+

=

e.Tích của hai dãy
Nếu ta coi tích của hai dãy tuần hon x
1p
(n) v x
2p
(n) có cùng chu kỳ N l dãy x
3p
(n)
cũng tuần hon với chu kỳ N:
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

61
x
3p
(n) = x
1p
(n).x
2p
(n)
thì ta có:

()


=
==
1N
0m
p2p1p2
N
p1p3
)mk(X)m(X
N
1
)n(X*)n(X)k(X (4.1.26)
Nh vậy, tích đại số trong miền n thì tơng ứng với tích chập trong miền k.
f. Tơng quan tuần hon.
Nếu ta có hai dãy tuần hon x
1p
(n) v x
2p
(n) với cùng chu kỳ N thì hm tơng quan
chéo của chúng sẽ đợc tính toán trên một chu kỳ theo biểu thức sau:



=
=
1N
0m
p2p1xx

)nm(x)m(x)n(r
p2p1
(4.1.27)
Nh vậy, hm tơng quan chéo của hai dãy cũng l một dãy tuần hon với chu kỳ N.
Xét trong miền k:

)k(X).k(X)k(R
ppxx
p2p1

=
(4.1.28)

III. Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hon có chiều di hữu
hạn
III.1. Các định nghĩa
Nh đã đề cập đến trong phần lấy mẫu trong miền tần số, một dãy x(n) không tuần
hon v có chiều di hữu hạn N, ta ký hiệu l x(n)
N
sẽ nhận đợc bằng cách trích ra một
chu kỳ N của dãy tuần hon x
p
(n) có chu kỳ N:




><

=

1Nn,0n0
1Nn0)n(x
)n(x
p
N

Để nhận đợc dãy x(n)
N
ta có thể sử dụng một dãy chữ nhật:




><

=
1Nn,0n0
1Nn01
)n(rect
N

v thực hiện tích:
x(n)
N
= x
p
(n).rect
N
(n)
Trong miền k, đối với dãy X(k) có thể đợc xác định nh sau:

><

=
1Nn,0n0
1Nn0)k(X
)k(X
p

v: X(k) = X
p
(k).rect
N
(k)
Hơn nữa, biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hon có chu kỳ N chỉ tính trong
một chu kỳ rồi kết quả đó đợc tuần hon hoá từ - đến + với chu kỳ N để lm định
nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy có chiều di hữu hạn N nhng không đợc
thực hiện tuần hon hoá m chỉ lấy từ 0 đến N-1.
Nh vậy, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) đối với các dãy không tuần hon có chiều
di hữu hạn N đợc định nghĩa nh sau:
a. Biến đổi Fourier thuận:

><

=


=
1Nn,0n0
1Nk0W)n(x
)k(X
1N
0n
kn
N
(4.3.1)
b. Biến đổi Fourier ngợc:
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

62






><

=

=

1Nk,0k0
1Nk0W)k(X
N
1
)n(x
1N
0k
kn
N
(4.3.2)
ở đây ta gọi X(k) l phổ rời rạc của tín hiệu x(n), nếu biểu diễn dới dạng modun v
argument ta có:

)k(j
e)k(X)k(X

=

(k) = arg[X(k)]
(4.3.3)
trong đó: X(k) gọi l phổ rời rạc biên độ v (k) gọi l phổ rời rạc pha.
Ví dụ 1:

Tìm DFT của dãy có chiều di hữu hạn x(n) sau:
x(n) = (n)
Giải:
Trớc hết ta chọn chiều di của dãy, giả sử l N. Vậy dãy x(n) có dạng:

(a) (b)
Hình 4.4. a- Biểu diễn của dãy x(n), b- Biểu diễn của phổ rời rạc biên độ

Khi đó X(k) đợc tính nh sau:




><

==


=
1Nk,0k0
1Nk01
W)n()k(X
1N
0n
kn
N

Vậy phổ biên độ rời rạc v phổ pha rời rạc l:




><

=
1Nk,0k0
1Nk01
)k(X

(k) = 0.
Dạng của X(k) đợc biểu diễn trên hình 4.4b.
Ví dụ 2:

Tìm DFT của dãy có chiều di hữu hạn x(n) sau, với a < 1:





=
0
1Nn0a
)n(x
n

Giải:

Theo định nghĩa DFT ta có:







=


=
0
1Nk0Wa
)k(X
1N
0n
kn
N
n

()
()
k
N
N
k
N
1N
0n

n
k
N
aW1
aW1
aW)k(X


==


=

Vì:
1eeWeW
k2j
kN
N
2
j
kN
N
kn
N
2
j
kn
N
====

X(k)

k
N-1 21
0
-1
x
(n)
n
N-1
2 1
0
-1
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

63

()
()
)(j
N
k
N

2
jk
N
2
j
k
N
2
j
N
k
N
2
j
N
k
N
N
e)k(X
k
N
2
cos.a2a1
k
N
2
sin.jak
N
2
cos.a1a1

ae1ae1
ae1a1
ae1
a1
aW1
a1
)k(X






=
+







=

=


=


=

Vậy:
[]
{}
[]
{}
()
ak
N
2
cos.a21
ak
N
2
cos.a21
a1)k(XIm)k(XRe)k(X
2
N
22
+






+
=+=

[]
[]











=












==
k
N

2
cos.a1
k
N
2
sin.a
arctg
k
N
2
cos.a1
k
N
2
sin.a
arctg
)k(XIm
)k(XRe
arctg)(







III.2. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy chiều di hữu
hạn
Trong phần I, cho thấy DFT chính l tập hợp N mẫu {X( 2k/N)} của biến đổi
Fourier X() của dãy {x(n)} với độ di hữu hạn L N. Việc lấy mẫu của X() đợc thực

hiện tại N tần số cách đều nhau v thông qua N mẫu. V ta đã có đợc DFT, IDFT của
dãy x(n). Trong phần ny ta sẽ xét một số tính chất quan trọng của DFT. Ngoại trừ một số
tính chất riêng, về cơ bản các tính chất ny cũng giống các tính chất của biến đổi Fourier.
Các tính chất của DFT có một vai trò rất quan trọng khi giải quyết các bi toán trong thực
tế.

a. Tính chất tuyến tính
DFT l một biến đổi tuyến tính, tức l nếu ta có hai dãy chiều di hữu hạn x
1
(n) v
x
2
(n) v dãy x
3
(n) l tổ hợp tuyến tính của hai dãy ny, thì:
X
3
(k) = a.X
1
(k) + b.X
2
(k) (4.3.4)
Chú ý: nếu chiều di của dãy x
1
(n) v x
2
(n) khác nhau thì ta phải chọn chiều di của dãy
x
3
(n) nh sau:

L[x
3
(n)] = N
3
= max[N
1
, N
2
]
v tất cả các DFT[x
1
(n)], DFT[x
2
(n)] v DFT[x
3
(n)] đều phải tính trên N
3
mẫu.
b. Trễ vòng
Trớc hết ta xét hai ví dụ sau nhằm so sánh trễ tuyến tính v trễ tuần hon:

Ví dụ 1.
Cho dãy x(n) sau:

=
0
4n0
4
n
1
)n(x
.
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

64
Tìm trễ tuyến tính x(n-2) v x(n+2)

Giải:
Ta giải bằng phơng pháp đồ thị nh hình sau:








Ví dụ 2.
Cho dãy x
p
(n) tuần hon với chu kỳ N = 4 sau:

=
0
4n0
4
n
1
)n(x
p

Tìm trễ tuần hon x
p
(n-2) v x
p
(n+2) sau đó lấy ra một chu kỳ của các dãy ny.
Giải:
Ta giải bằng phơng pháp đồ thị nh hình sau:

n
x
(n)
0
1
2 1 3 4
x
(n+2)
n
0

1
21 -1 -2-3
0,5
x
p
(n)
n 0
1
21 3 4
x
p
(n-2)
n 0
1
21 3 4
x
p
(n+2)
n 0
1
21 3 4
x
(n-2)
N
n 0
1
21 3 4
x
(n+2)
N

n 0
1
21 3 4
n
x
(n-2)
0
1
2
1
3 4
5 6
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

65


ở đây ta dùng các ký hiệu:
x(n n
0
): Trễ tuyến tính
x
p
(n n
0
): Trễ tuần hon chu kỳ N
x(n n
0

)
N
: Trễ vòng với chiều di N
Qua hai ví dụ trên ta thấy:
Nếu trích ra một chu kỳ (từ 0 đến N-1) của trễ tuần hon chu kỳ N thì ta sẽ đợc
trễ vòng x(n n
0
)
N
, so sánh với trễ tuyến tính x(n n
0
) thì ta thấy rằng nếu các mẫu của
trễ tuyến tính vợt ra ngoi khoảng [0, N-1] thì nó sẽ vòng vo bên trong khoảng đó để sao
cho dãy có chiều di hữu hạn x(n)
N
xác định trong khoảng [0, N-1] thì trễ vòng của nó x(n
n
0
)
N
xác định trong khoảng [0, N-1] chứ không đợc vợt ra ngoi khoảng đó.
Vậy trễ vòng tơng ứng với việc hoán vị vòng các mẫu của dãy x(n)
N
trong khoảng
[0, N-1] v đợc biểu diễn nh sau:
x(n) = x(n)
N
= x
p
(n).rect

N
(n)
x(n n
0
)
N
= x
p
(n n
0
)rect
N
(n) (4.3.5)
Bản chất của trễ vòng có thể đợc minh hoạ nh sau:

x(n)

x(n)
4
n 0
1
21 3-1
n
0
1
-1
x
(n-2)
n
0
1
-1
x

(n-2)
4
=x(n)
x
(1)
x
(2)
x
(3)
x
(0)
0
1
2
x
(2)
x
(3)
x
(0)
0
2
3
x
(1)
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

66

Để xác định trễ vòng trong miền k, do tính đối ngẫu nên trong miền k trễ vòng
cũng có bản chất tơng tự nh trong miền n, tức l:
X(k) = X
p
(k).rect
N
(k)
X(k - n
0
)
N
= X
p
(k - n
0
).rect
N
(k)
(4.3.6)
v:

[]
)k(XW)nn(xDFT
0
kn
NN0
=
(4.3.7)
trong đó: DFT[x(n)] = X(k)

Chứng minh:

Ta có:
[
]
)k(XW)nn(xDFT
p
kn
NN0p
0
=

Nếu cả hai vế ta đều lấy ra một chu kỳ [0, N-1]:
x(n - n
0
)
N
= x
p
(n - n
0
).rect
N
(n)
X(k) = X
p
(k ).rect
N
(k)
Vậy ta có:

[]
)k(XW)nn(xDFT
0
kn
NN0
=


c. Tính đối xứng
Tính đối xứng của DFT có thể nhận đợc bằng cách áp dụng phơng pháp đã đợc
sử dụng đối với biến đổi Fourier. Trong trờng hợp tổng quát, dãy x(n) có chiều di hữu
hạn N v DFT của nó đều có giá trị phức. Khi đó, các dãy ny có thể đợc biểu diễn dới
dạng:
x(n) = Re[x(n)] +j .Im[x(n)]
v X(k) = Re[X(k)] +j .Im[X(k)]
X
*
(k) = X(-k) = Re[X(k)] -j .Im[X(k)]
Từ các biến đổi Fourier thuận v nghịch (DFT, IDFT) ta có:

[] [] []


=

+=
1N
0n
N
kn2
sin)n(xIm
N
kn2
cos)n(xRe)k(XRe

(4.3.8)

[] [] []


=






=
1N
0n
N
kn2
cos)n(xIm
N
kn2

sin)n(xRe)k(XIm

(4.3.9)
v

[] [] []


=






=
1N
0k
N
kn2
sin)k(XIm
N
kn2
cos)k(XRe
N
1
)n(xRe

(4.3.10)

[] [] []


=






+=
1N
0k
N
kn2
cos)k(XIm
N
kn2
sin)k(XRe
N
1
)n(xIm

(4.3.11)

Dãy có giá trị thực:
Nếu x(n) l dãy thực thì ta có:
X(N- k) = X
*
(k) = X(-k)

(4.3.12)
X(N- k)=X(k) v arg[X(N-k)] = - arg[X(k)]
v x(n) còn đợc xác định theo (4.3.10), l một dạng khác của IDFT.

Tín hiệu chẵn v thực:
Nếu x(n) l dãy chẵn v thực, thì ta có:
x(n) = x(- n) = x(N-n) (4.3.13)
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

67
Từ hệ thức (4.3.10) ta có Im[X(k)] = 0 v do vậy DFT trở thnh:



=
=
1N
0n
N
kn2
cos)n(x)k(X

(4.3.14)
l một dãy chẵn. Do Im[X(k)] = 0 nên IDFT trở thnh:



=

=
1N
0k
N
kn2
cos)k(X
N
1
)n(x

(4.3.15)

Tín hiệu lẻ v thực:
Nếu x(n) l dãy lẻ v thực, thì ta có:
x(n) = -x(- n) = -x(N-n)
(4.3.16)
Từ hệ thức (4.3.10) ta có Re[X(k)] = 0 v do vậy DFT trở thnh:



=
=
1N
0n
N
kn2
sin)n(xj)k(X

(4.3.17)
l một dãy lẻ, phức thuần tuý. V do đó, IDFT trở thnh:

[]


=

=
==
1N
0k
1N
0k
N
kn2
sin)k(X
N
1
j
N
kn2
sin)k(XIm
N
1
)n(x

(4.3.18)


Dãy phức thuần tuý:

[] []


=
=
1N
0n
N
kn2
sin)n(xIm)k(XRe

(4.3.19)

[] []


=
=
1N
0n
N
kn2
cos)n(xIm)k(XIm

(4.3.20)
Nếu Im[x(n)] l lẻ thì Im[X(k)] = 0 v do vậy X(k) l thực thuần tuý. Nếu Im[x(n)]
l chẵn thì Re[X(k)] = 0 v do vậy X(k) l phức thuần tuý.
d. Tích chập vòng.
Giả sử x
1

(n) v x
2
(n) l hai dãy có độ di hữu hạn N với các DFT tơng ứng l:



=

=
1N
0n
N
k
n2j
11
e)n(x)k(X

v


=

=
1N
0n
N
k
n2j
22
e)n(x)k(X

Gọi X
3
(k) l tích của hai DFT trên: X
3
(k) = X
1
(k). X
2
(k); L DFT của x
3
(n). Ta sẽ tìm
quan hệ giữa x
3
(n) với x
1
(n) v x
2
(n).
Biến đổi Fourier ngợc của X
3
(k) l:

[]

=












=
==




=


=

=

=

=

=


=

=
1N
0k
N/k)lnm(2j
1N
0l
2
1N
0n
1
1N
0k
N/mk2j
1N
0l
N
k
l2j
2
1N
0n
N/nk2j
1

1N
0k
N/mk2j
21
1N
0k
N/mk2j
33
e)l(x)n(x
N
1
ee)l(xe)n(x
N
1
e)k(X).k(X
N
1
e)k(X
N
1
)m(x





(4.3.21)
Trong đó, tổng biểu diễn bởi biểu thức trong ngoặc vuông của (4.3.21) có giá trị:

(

)
(
)



=+=
=


=

Other0
nmpNnmlN
e
N
1N
0k
N/k)lnm(2j


Thay vo (4.3.21) ta đợc:
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

68

()
1N ,2,1,0m)nm(x)n(x)m(x

N
2
1N
0n
13
==


=
(4.3.22)
Biểu thức (4.3.22) có dạng của một tích chập. Tuy vậy, đây không phải l một tích
chập biểu diễn quan hệ giữa đáp ứng v kích thích của hệ thống tuyến tính bất biến.
Trong tích chập ny, có chứa chỉ số (m-n)
N
đặc trng cho tính dịch vòng, vì vậy công thức
(4.3.22) đợc gọi l tích chập vòng. Nh vậy tích các DFT của hai dãy sẽ tơng đơng với
tích chập vòng của hai dãy trong miền biến số độc lập tự nhiên n.
Ví dụ
: Tích tích chập vòng của hai dãy sau:






=

1212)n(x
1
v

=

4321)n(x
2

Giải:

Để tính tích chập vòng của hai dãy, ta sẽ tiến hnh qua hai phơng pháp sau:
PP1: Sử dụng các phép biến đổi DFT v IDFT.
Ta có:

=

=+++==
3
0n
2/k3jkj2/kj4/nk2j
11
)3,2,1,0k(,ee.2e2e)n(x)k(X


X
1
(0) = 6; X

1
(1) = 0; X
1
(2) = 2; X
1
(3) = 0.

=

=+++==
3
0n
2/k3jkj2/kj4/nk2j
22
)3,2,1,0k(,e.4e.3e.21e)n(x)k(X


X
2
(0) = 10; X
2
(1) =-2 + j .2; X
2
(2) = -2; X
2
(3) = -2 - j .2.
X
3
(0) = 60; X
3

(1) = 0; X
3
(2) = - 4; X
3
(3) = 0.
theo định nghĩa biến đổi Fourier ngợc ta có:


=

===
3
0k
nj4/nk2j
33
)3,2,1,0n(),e460(
4
1
e)k(X
4
1
)n(x


x
3
(0) = 14; x
3
(1) = 16; x
3

(2) = 14; x
3
(3) = 16.
PP2: Mô tả các mẫu của từng dãy thông qua các điểm trên hai vòng tròn khác nhau.
Cách mô tả ny nh thể hiện trên hình 4.5a, chiều dơng đợc quy ớc l ngợc chiều kim
đồng hồ.
+. Với m = 0, ta có:

=
=
3
0n
4213
))n((x)n(x)0(x
Hình 4.5b mô tả vị trí các mẫu của dãy biến số đảo x((-n))
4
trên đờng tròn. Các vị
trí ny nhận đợc bằng cách vẽ các điểm mẫu theo chiều âm; v ta nhận đợc: x
3
(0) = 14.
+. Với m = 1, ta có:

=
=
3
0n
4213
))n1((x)n(x)0(x
Dãy x
2

((1-n))
4
nhận đợc bằng cách quay các điểm của x
2
((-n))
N
đi một đơn vị thời
gian theo chiều dơng, hình 4.5c mô tả vị trí các mẫu của dãy biến số đảo x
2
((1-n))
4
trên
đờng tròn, v nhận đợc: x
3
(1) = 16.
Tơng tự, (các hình 4.5d v e) ta cũng xác định đợc các giá trị các mẫu còn lại:
x
3
(2) = 14 v x
3
(3) = 16.



BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

69

Hình 4.5. Tích chập vòng của hai dãy.

IV. Hiệu ứng hạn chế độ di tín hiệu để phân tích Fourier

Ta đã biết rằng một tín hiệu có độ di hữu hạn N có thể đợc biểu diễn một cách
đầy đủ thông qua phép biến đổi Fourier rời rạc DFT. Tuy vậy, khi các tín hiệu có độ di
quá lớn hoặc vô hạn thì việc xác định biến đổi Fourier rời rạc của nó l không thể thực
hiện đợc. Trong trờng hợp ny, ta cần lấy một đoạn thích hợp nhất của tín hiệu với một
độ di cho phép để thực hiện biến đổi DFT. Khi đó rõ rng rằng phơng pháp DFT chỉ cho
x
2
(0) =1
x
1
(2) =2
x
1
(3) =1
x
1
(0) =2
x
1
(1) =1

x
2
(1) =2
x
2
(2) =3
X
2
(3) =4
x
2
(n)
x
1
(n)
2
x
2
(2) =3
x
2
(1) =2
x
2
(0) =1
x
2
(3) =4
4
6

2
x
1
(n)x
2
((-n))
4

x
2
((-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo
4
x
2
(3) =4
x
2
(2) =3
x
2
(1) =2
x2(0) =1
1
8
3
x

1
(n)x
2
((1-n))
4

x
2
((1-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo quay 1 đơn vị
3
x
2
(0) =1
x
2
(3) =4
x
2
(2) =3
x
2(1) =2
4
1
8
x
1

(n)x
2
((2-n))
4

x
2
((2-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo quay 2 đơn vị
4
x
2
(1) =2
x
2
(0) =1
x
2
(3) =4
x
2
(2) =3
6
2
2
x
1

(n)x
2
((3-n))
4

x
2
((3-n))
4

Dãy tích
Dãy biến đảo quay 3 đơn vị
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

70
ra một kết quả xấp xỉ của tín hiệu. ở đây, ta xem xét vấn đề hạn chế độ di của tín hiệu v
các hiệu ứng phát sinh do việc sử dụng phơng pháp DFT đối với dãy đã đợc hạn chế về
độ di.
Nếu tín hiệu cần phân tích l tín hiệu tơng tự thì trớc tiên tín hiệu ny cần đợc
chuyển qua bộ lọc để loại bỏ các nhiễu (hoặc các thnh phần của tần số không cần thiết)
v sau đó đợc lấy mẫu với tần số F
s
2B, với B l độ rộng của dải thông. Nh vậy tần số

cao nhất của hi thnh phần có chứa tín hiệu khi lấy mẫu l F
s
/2. Để có thể hạn chế độ
di của tín hiệu đã đợc lấy mẫu, giả sử chỉ xét tín hiệu trong một khoảng thời gian hữu
hạn T
0
= NT, trong đó N l số lợng mẫu v T l khoảng thời gian giữa hai lần lấy mẫu
(chu kỳ lấy mẫu). Khoảng thời gian lấy mẫu ny về nguyên tắc sẽ hạn chế độ phân giải về
tần số; nghĩa l nó sẽ hạn chế khả năng phân biệt đối với các thnh phần tần số m
khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1/ T
0
= 1/NT trong miền tần số.
Giả sử rằng {x(n)} l tín hiệu cần phân tích. Có thể thấy việc giới hạn độ di của
dãy {x(n)} với N mẫu trong khoảng n
0
n n
0
+ N-1 , sẽ tơng đơng với việc nhân tín
hiệu ny với một hm cửa sổ với độ di N (để đơn giản, từ đây ta coi n
0
= 0, khi đó các kết
quả với n
0
<> 0 sẽ nhận đợc bằng cách áp dụng tính chất trễ v dịch chuyển. V khi đó
khoảng xác định của N mẫu sẽ l: 0


n

N-1). Nghĩa l:

Trong đó





==
n0
1Nn0)n(x
)n(w)n(x)n(x
N

Việc nhân tín hiệu với hm cửa sổ theo thời gian tơng đơng với việc lấy tích chập
phổ của tín hiệu x(n) với phổ của cửa sổ:

)e(W*)e(X'd)e(W)e(X
2
1
)e(X
jj)'(j'jj
N






==

trong đó: X
N
(e
j

), X(e
j

) v W(e
j

) l các biến đổi Fourier tơng ứng của x
N

Với tín hiệu x
N
(n), chúng ta có thể áp dụng DFT vì nó có chiều di hữu hạn. Các hệ
số X
N
(e
j

) của DFT lúc ny sẽ biểu diễn gần đúng cho các mẫu của X(e
j

). Để đánh giá mức
độ xấp xỷ, chúng ta phải đánh giá tích chập trên đây, theo từng kiểu cửa sổ quan sát.
Vấn đề thứ hai l số lợng mẫu N đợc chọn nh thế no v vị trí cửa sổ đặt ở đâu

(tức l tìm n
0
), cũng nh mức độ ảnh hởng của hm cửa sổ đã chọn.
Để chọn vị trí cửa sổ, ta phải cần biết cụ thể thêm về tín hiệu cần phân tích. Nói
chung, nguyên tắc chọn vị trí cửa sổ (chọn n
0
) sao cho cửa sổ bao trùm lên phần quan
trọng của tín hiệu v bỏ qua những đoạn tín hiệu có biên độ nhỏ không đáng kể.
Ví dụ tín hiệu có dạng:
x(n) = a
|n|

với a<1
thì các mẫu có biên độ lớn tập trung ở gốc toạ độ. Bởi vậy cửa sổ cần đặt xung quanh gốc
toạ độ.

a. Hm cửa sổ chữ nhật
Hm cửa sổ chữ nhật đợc biểu diễn nh sau:






==
n0
1Nn01
)n(ctRe)n(w
NR

Trong miền tần số, ta có:
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

71

2
1N
j
j
R
e
2
sin
2
N
sin
)e(W


=






b. Cửa sổ tam giác
Trong miền n, cửa sổ tam giác đợc định nghĩa nh sau:

=
n0
1Nn
2
1N
1N
n2
1
2
1N
n0
1N

n2
)n(w
T

Trong miền tần số, ta có:

2
sin
2
2
1N
sin
e
1N
2
)e(W
2
1N
j
j
T

=



c. Cửa sổ Hanning v Hamming
Trong miền n, cửa sổ Hanning v Hamming đợc định nghĩa nh sau:










=
n0
1Nn0
1N
n2
cos)1(
)n(w

H



- Nếu = 0,5 ta có cửa sổ Hanning nh sau:









=
n0
1Nn0
1N
n2
cos5,05,0
)n(w
Han


- Nếu = 0,54 ta có cửa sổ Hamming nh sau:

=
n0
1Nn0
1N
n2
cos46,054,0
)n(w
Ham



V trong miền tần số, ta có:

+







+

+

+=


1N2
sin
1N
N
2
N
sin
2
1
1N2
sin
1N
N
2
N
sin
2
1
2
sin
2
N
sin

e)e(W
2
1N
j
j
H















Bởi vì thông qua DFT ta có thể biểu diễn một dãy với độ di hữu hạn trong miền
tần số qua các tần số rời rạc, do đó DFT có thể đợc sử dụng nh một công cụ tính toán
trong việc phân tích các hệ thống tuyến tính v đặc biệt cho các bộ lọc tuyến tính. Tuy
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

72
nhiên không thể tính Chúng ta đã biết rằng, khi một hệ thống với đáp ứng tần số H()

đợc kích thích bởi tính hiệu đầu vo có phổ l y()=X()H(). Dãy đầu ra y(n) đợc xác
định từ phổ của nó thông qua biến đổi ngợc Fourier. Tuy vậy, khi tính toán ,có thể thấy
vấn đề nảy sinh khi sử dụng các phơng pháp trong miền tần số l cả X(), H() v Y()
đều l các hm liên tục của biến , vì vậy không thể sử dụng máy tính số để xử lý bởi ví
máy tính chỉ có thể lu trữ v thực hiện các việc tính toán trên các giá trị rời rạc của tần
số .
Có thể thấy DFT rất thích hợp với việc tính toán trên máy tính số v có thể đợc sử
dụng để thực hiện việc lọc tuyến tính trong miền tần số .Mặc dù chúng ta đa ra các thủ
tục tính toán trong miền thời gian nh tích chập, tuy nhiên trong miền tần số các phơng
pháp dựa trên DFT lại tỏ ra hiệu quả hơn nhiều so với phơng pháp tích chập trong miền
thời gian do tồn tại một loạt thuật toán mới hiệu quả hơn. Các thuật toán ny đợc gọi l
biến đổi nhanh Fourier(FFT) v sẽ đợc trình by trong chơng 5.

IV.1 Sử dụng DFT trong lọc tuyến tính
Mặc dù tích của hai DFT sẽ tơng đơng với tổng chập vòng của hai dãy tơng ứng
đợc biểu diễn trong miền thời gian, nhng có thể thấy công thức của tích chập vòng lại
không dùng đ
ợc trong trơng hợp cần xác định đầu ra của bộ lọc tuyến tính khi đầu vo
chịu sự tác động của tín hiệu. Trong trờng hợp ny cần phải tìm một phơng pháp no đó
trong miền tần số tơng đơng với tổng chập tuyến tính.
Giả sử x(n) l dãy có độ di hữu hạn Lv đợc tác động lên bộ lọc tuyến tính với độ
di M. Không lm mất tính tổng quát ta có thể giả sử :
x(n)=0 n<0 v nL
h(n)=0 n0 v nM
ở đây h(n) l đáp ứng xung của bộ lọc FIR có thể đợc xác định thông qua tổng
chập của x(n) v h(n):



=

=
1M
0k
)kn(x)k(h)n(y

Bởi vì x(n) v h(n) l các dãy với dộ di hữu hạn do vậy tổng chập của chúng cũng
có độ di hữu hạn. Cụ thể độ di l L + M-1.
Trong miền tần số, công thức tơng đơng với tích chập sẽ l :
Y()=X()H()
Nếu dãy y(n) đợc biểu diễn một cách duy nhất trong miền tần số bằng cách lấy
phổ Y(n) tại các tần số rời rạc phân biệt nhau thì số lợng các mẫu ny phải bằng hoặc
lớn hơn L + M-1. Nh vậy để có thể biểu diễn y(n) một cách duy nhất trong miền tần số
thì cần phảI sử dụng DFT với độ di NM+L-1.
Sau khi lấy mẫu, ta có:
Y(k)Y()=2k/N, k=0,1,,,N-1
Xk)H)=2k/N, k=0,1,,,N-1
V Y(k)=X(k)H(k), k=0,1,,,N-1 (4.3.3)
Trong công thức (4.3.3) thì X(k) v Y(k) l các DFT - N điểm của các dãy tơng ứng
x(n) v y(n) có độ di hữu hạn nhỏ hơn N do vậy ta chỉ cần thêm các mẫu không vo các
dãy để tăng độ di của chúng lên N .Việc tăng độ di của các dãy sẽ không ảnh hởng đến
phổ liên tục X() v H
) của chúng bởi vì các dãy ny l các dãy tuần hon. Tuy vậy, bằng
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

73
cách ny (sử dụng DFT-N điểm) số lợng mẫu dùng để biểu diễn các dãy trong miền tần
số đã vợt quá số lợng nhỏ nhất (L hoặc M).
Bởi vì DFT với độ di M+L-1 điểm của dãy đầu ra y(n) trong miền tần số suy ra

rằng có thể xác định đợc {y(n)} thông qua IDFT sau khi đã xác định tính của các DFT
N điểm X(k) v H(k). Nh vậy giống nh điều đã khẳng định trong phần 4.2.2 có thể kết
luận rằng tổng chập vòng N điểm của x(n) v h(n) sẽ tơng đơng với tổng chập tuyến tính
của hai dãy ny. Nói một cách khác,bằng cách tăng độ di của hai dãy x(n) v h(n) lên N
điểm thông qua việc đa thêm các không v tính tổng chập vòng trên các dãy mới ta sẽ
nhận đợc kết quả giống với trờng hợp sử dụng tổng chập tuyến tính. Từ đây suy ra với
các mẫu không đợc thêm vo thì DFT có thể đợc sử dụng để thực hiện việc lọc tuyến
tính.
Ví dụ 4.3.1: Sử dụng IDFT v DFT hãy xác định đáp ứng của bộ lọc tuyến tính.
H(n) = {1,2,3}
Khi tín hiệu vo l:
X(n) = {1,2,2,1 }
Giải: dãy đầu vo có độ di L=4 v đáp ứng xung có độ di M=3. Tổng cập tuyến
tính của hai dãy ny sẽ cho kết quả với độ di l N=6. Suy ra rằng, độ di của các DFT cần
sử dụng ít nhất phảI bằng 6.
ở đây, để đơn giản ta sẽ sử dụng các DFT 8 điểm. DFT 8 điểm của x(n) sẽ l:
X(k)=
=

=

7
0
8/2
)(
n
knj
enx

1 + 2E

- j

k/4
+ 2e
j

k/2
+2e
j3

k/4
, k=0,1,7
Từ đây suy ra:
X(0) =6 X(1)=
2
22 +
- j








+
2
234

X(2) = - 1-j X(3) =

2
22
- j









2
234

X(4) = 0 X(5) =
2
22
- j









2
234

X(6) = - 1+j X(7) =
2
22 +
+j








+
2
234

DFT 8 điểm của h(n) l:
H(k)=
=

=

7
0
8/2
)(
n
knj
enh

1 + 2E
- j

k/4
+ 3e
j

k/2

Suy ra:
H(0) = 6 H(1) = +
2 -j ( 3+ 2 )
H(2) = -2-j2 H(3) =1-
2 +j ( 3 - 2 )
H(4) = 2 H(5) =1-
2 -j ( 3 - 2 )
H(6) =-2 + j2 H(7) = 1+
2 +j ( 3+ 2 )
Tích của 2 DFT vừa tính trên sẽ cho Y(k) v do vậy:
Y(0) = 36 Y(1) = - 14.07 - 17.48 Y(2) = j4
Y(3) = 0.07 +j0.515 Y(4) = 0 Y(5) = 0.07 - j.0515
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

74
Y(6) = -j4 Y(7) = - 14.07 + j17.48
Cuối cùng IDFT - 8 điểm:
Y(n) =

=
7
0
8/2
)(
n
knj
ekY

, n= 0,1,7
sẽ cho kết quả l: y(n) = {1,4,9.11,8,3,0,0}
Do dãy y(n) chỉ có sáu phần tử nên các giá trị đầu sẽ bị loại bỏ. Hai phần tử ny có
giá trị bằng không bởi vì ta đã sử dụng độ di của các DFT l 8 điểm v quá mức cần thiết
2 điểm.
Mặc dầu tích của hai DFT tơng ứng với tổng chập vòng trong miền thời gian, tuy
nhiên ta cũng thấy rằng việc đa thêm vo các dãy x(n) v h(n) với một số lợng đủ các
mẫu có giá trị không đã lm cho tổng chập vòng có cùng kết quả với tổng chập tuyến tính.
Trong trờng hợp lọc Fỉ của ví dụ 4.3.1 thì tổng chập vòng 6 điểm của các dãy:
h(n) = {1,2,3,0,0,0,} (4.3.4)
x(n) = {1,2,2,1,0,0,} (4.3.5)
sẽ cho dãy đầu ra:
y(n) = {1,4,9.11,8,3} (4.3.6)
giống với dãy nhân đợc bằng tổng chập tuyến tính.
Một điều rất quan trọng cần lu ý l khi độ di của các DFT nhỏ hơn L + M - 1 thì
kết quả nhân đợc sẽ có sự sai lệch so với kết quả đúng.
Ví dụ dới đây sẽ đề cập đến vấn đề ny:
Ví dụ 4.3.2: Hãy xác định dãy y(n) bằng cách sử dụng các FT - 4 điểm đối với ví dụ
4.3.1
Giải: DFT -4 điểm của h(n) l:

H(k) =

=

3
0
4/2
)(
n
kj
enh


H(k) = 1+ 2e
- j

k
/2 + 3e
- j

k
, k= 0,1,2,3
Suy ra:
H(0) =6 H(1) = -2 j2 H(2) = 2 H(3) = -2 + j2
DFT-4 điểm của x(n) l:
X(k) = 1+ 2e
- j

k/2
+ 2e

- j

k
+ 3e
- j

k/2
, k= 0,1,2,3
Từ đây suy ra:
Y(n) = {9,7,9,11}
Kết quả ny cũng giống với kết quả nhận đợc nếu ta sử dụng tổng chập vòng 4
điểm của h(n) v h(n).
Nếu so sánh kết quả của y(n) nhận đợc từ DFT-4 điểm với dãy y(n) nhận đợc
bằng cách sửdụng DFT-8 điểm ( thực chất chỉ cần 6 điểm) thì ta sẽ thấy các kết quả ny có
sự sai lệch nh đã đề cập trong phần 4.2.2. Cụ thể có thể tìm thấy quan hệ sau:
y(0) = y(0) + y(4) =9
y(5) = y(1) + y(5) =7
Trong 4 giá trị tìm đợc của y(n) thì chỉ hai giá trị đầu l sai lệch so với các giá trị
tơng ứng của y(n).
Nh vậy có thể thấy nếu x(n) l dẫy hữu hạn với độ dI L, h(n) l dãy hữu hạn có
độ dI M (giả sử L>M) thì khi sử dụng các DFT v IDFT sẽ có M-1 giá trị đầu bị sai lệch
so với giá trị đúng v cần phảI loại bỏ. Đây l một kết luận rất quan trọng còn đợc sử
dụng về sau.
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

75
IV.2. Lọc các dãy số có độ di dữ liệu lớn
Trong thực tế, thông thờng bi toán lọc tuyến tính của tín hiệu thờng có dữ liệu

đầu vo x(n) với độ di rất lớn. Điều ny lại cng đúng đối với một vi ứng dụng xử lý tín
hiệu trong thời gian thực có liên quan đến việc theo dõi v phân tích tín hiệu. Khi tín hiệu
có độ di quá lớn thì rõ rng việc sử dụng máy tính trong quá trình xử lý theo phơng
pháp DFT cũng gặp phải một số khó khăn:
Việc xử lý có thể đòi hỏi một dung lợng bộ nhứ rất lớn trong khi bộ nhớ của máy
tính l có hạn.
- Thời gian tính toán quá lớn vợt hẳn thời gian cho phép.
Để có đợc một số mẫu đầu tiên thì phải đợi cho đến khi kết thúc tất cả quán trình
tính toán.
Để khắc phục các nhợc điểm ny, tín hiệu đâù vo có độ di lớn cần phải đợc
phân thnh các đoạn khác nhau với độ di nhất định trớc khi thực hiện việc xử lý. Bởi vì
bộ lọc l tuyến tính do vậy việc xử lý các dãy tín hiệu ny có thể đợc tiến hnh ở mỗi thời
điểm khác nhau thông qua DFT. Các tín hiệu đầu ra ny sau đó đợc kết hợp với nhau để
có thể nhận đợc đầu ra tơng đơng với trờng hợp bộ lọc đợc tác động bởi một tín hiệu
đầu vo duy nhất.
Dựa vo việc phân tín hiệu đầu vo thnh các đoạn có kích th
ớc vừa phảI, có hai
phơng pháp DFT hay đợc sử dụng đối với bộ lọc FIR tuyến tính với tín hiệu vo có độ
di quá lớn. Phơng pháp thứ nhất đợc gọi l phơng pháp đặt kề nhau, phơng pháp
thứ hai đợc gọi l phơng pháp xếp chồng. Trong cả hai phơng pháp ta sẽ giả sử bộ lọc
FIR có độ di l M, dãy đầu vo đợc chia thnh các dãy con với độ di mỗi dãy l L. ở đây
không lm mất tính tổng quát, giả sử rằng L>>M.

IV.2.1. Phơng pháp đặt kề nhau
Theo phơng pháp ny, độ di của mỗi đoạn dữ liệu đầu vo sẽ l N = L+ M 1, độ
di của DFT v IDFT đợc sử dụng sẽ l N. Nh vậy độ di của các đoạn dữ liệu đầu vo
đã đợc tăng từ L lên L+ M -1. Trong trờng hợp ny, có thể xem x(n) nh l tổng của các
dãy thnh phần đặt kề nhau M-1 điểm v mỗi dãy chứa M-1 điểm cuối cùng của dãy trớc
v L điểm dữ liệu mới. Riêng dãy đầu tiên sẽ đợc bổ sung thêm M-1 mẫu không đầu tiên.
Nh vậy, các dãy dữ liệu thnh phần của x(n)sẽ l:

x
1
(n) = {0, 0, , 0, x(0), x(1), , x(L-1)} (4.3.7)
x
2
(n) = {x(L - M + 1), , x(L-1), x(L), , x(2L-1)} (4.3.8)
x
3
(n) = {x(2L-M + 1), , x(2L-1), x(2L), , x(3L-1)} (4.3.9)
v v.v
DFT - N điểm sẽ đợc tính đối với mỗi dãy thnh phần. Độ di đáp ứng xung của
bộ lọc FIR cũng đợc tăng thêm L-1 mẫu không v DFT N điểm của dãy sẽ đợc tính v
lu trữ lại. Tích của hai DFt N điểm {H(k)} v {X
m (k)} đối với mỗi dãy dữ liệu sẽ cho
kết quả:
Y
m
(k) = H(k ) X
m
(k), k= 0,1, ,N-1 (4.3.10)
IDFT - N điểm sẽ cho kết quả:
y
m
(n) = y
m
(0) y
m
(1) y
m
(M-1) y

m
(M), y
m
(N-1) (4 .3.11)
Bởi vì DFT v IDFT đợc sử dụng ở đây chỉ có độ di của chuỗi đầu vo cho nên
theo kết luận trong 4.3.1, M-1 điểm đầu tiên của dãy kết quả ny sẽ bị loại bỏ. L điểm cuối
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

76
cùng của dãy Y
m
(n) sẽ hon ton trùng với các giá trị tơng ứng đợc tính theo tổng
chập tuyến tính, nghĩa l:
y
m
(n) = y
m
(n), n = M,M+1, , N-1 (4.3.12)
Việc phân đoạn dữ liệu đầu vo v sắp xếp các khối dữ liệu đầu ra tơng ứng với
chúng để nhân đợc dãy dữ liệu đầu ra kết quả đợc mô tả trên hình 4.10.

IV.2.2. Phơng pháp cộng xếp chồng
Theo phơng pháp ny, kchs thớc của mỗi dãy thnh phần l L điểm v độ di
của Dft v IDFt l N = L+M-1. Đối với mỗi dãy thnh phần ny ta đa thêm M-1 mẫu
không v tính DFT N điểm. Nh vậy các dãy thnh phần đợc biểu diễn nh sau:
x
1
(n) = {x(0), x(1), , x(L-1), 0,0, ,0} (4.3.13)

x
2
(n) = {x(L), x(L+1), , x(2L-1), 0,0, ,0} (4.3.14)
x
3
(n) = {x(2L), , x(3L-1), 0,0, ,0} (4.3.15)
v v.v Hai DFT N điểm đợc nhân với nhau để nhận đợc:
Y
m
(k) = H(k) X
m
(k), k = 0,1, ,N-1 (4.3.16)

DFTl phơng pháp gián tiếp để tính đầu ra của bộ lọc tuyến tính v cho đến thời
điểm ny có thể thấy phơng pháp tơng đối phức tạp do một loạt các thao tác cần phải
đợc thực hiện nh dãy đầu vo cần phải đợc chuyển đổi sang miền tần số thông qua
DFt, nhân kết quả nhận đợc với DFt của bộ lọc FIR v sau đó để nhận đợc kết quả cuối
cùng lại phải thực hiện biến đổi ngợc IDFT sang miền thời gian. Mặc dù vậy phơng
pháp ny lại cho phép sử dụng một thuật toán rất hiệu quả (biến đổi nhanh Fourier). So
với việc xử lý trực tiếp bộ lọc FIR trong miền thời gian, các thuật toán biến đổi nhanh chỉ
đòi hỏi rất ít các phép toán để có thể nhân đợc dãy đầu ra v dây chuyền chính l nguyên
nhân chủ yếu dẫn đến việc sử dụng rộng rãi phơng pháp DFt trên thực tế. Các thuật
toán biến đổi nhanh Fourier sẽ đợc giới thiệu trong chơng VI
4.4. Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT
Ta đã biết rằng một tín hiệu có độ di hữu hạn N có thể đợc biểu diễn một cách
đầy đủ thông qua phép biến đổi Fourier rời rạc DFt. Tuy vậy, khi các tín hiệu có độ di
quá lớn hoặc vô hạn thì việc xác định biến đổi Fourier rời rạc của nó l không thể thực
hiện đợc. Trong trờng hợp ny, ta cần lấy một đoạn thích hợp nhất của tín hiệu với một
độ di cho phép để thực hiện biến đổi DFT. Khi đó rõ rng rằng phơng pháp DFt chỉ cho
ra một kết quả xấp xỉ của tín hiệu. ậ đây, ta xem xét vấn đề hạn chế độ di của tín hiệu v

các hiệu ứng nải sinh do việc sử dụng phơng pháp DFT đối với dãy đã đợc hạn chế về độ
di.
Nếu tín hiệu cần phân tích l tín hiệu t
ơng tự thì trớc tiên tín hiêu ny cần đợc
chuyền qua bộ lọc để loại bỏ các nhiễu (hoặc các thnh phần của tần số không cần thiết)
v sau đó đợc lấy mẫu với tần số F
s
2B, với B l độ rộng của dải thông. Nh vậy tần số
cao nhất của hai thnh phần có chứa tín hiệu khi lấy mẫu l F
s
/2. Để có thể hạn chế độ
di của tín hiệu đã đợc lấy mẫu, giả xử chỉ xét tín hiệu trong một khoảng thời gian hữu
hạn T
0
= LT, trong đó L l lợng mẫu v T l khoảng thời gian gữa hai lần lấy mẫu ( chu
kỳ lấy mẫu). Khoảng thời gian lấy mẫu ny về nguyên tắc sẽ hạn chế độ phân giải về tần
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

77
số; nghĩa l nó sẽ hạn chế khả năng phân biệt đối với các thnh phần tần số m khoảng
cách giữa chúng nhỏ hơn 1/T
0
= 1/LT trong miền tần số.
Giả sử rằng {x(n)} l tín hiệu cần phân tích. Có thể thấy việc giới hạn độ di của
dãy {x(n)} với L mẫu trong khoảng 0 nL-1 sẽ tơng đơng với việc nhân tín hiệu ny
với một hm cửa sổ hình chữ nhật (gọi tắt l hm cửa sổ) với độ di L. Nghĩa l:
X(n) = x(n)

(n)
Trong đó







=
n0
1Ln01
)n(

Hãy xét một trờng hợp đơn giản khi dãy x(n ) l dãy tín hiệu hình sin:
X(n)=

IV. Tích chập nhanh (tích chập phân đoạn)
a. Tổng quan
BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên
Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số
Ngô Nh Khoa - Photocopyable

78
Để ứng dụng DFT vo việc tính tích chập không tuần hon, tức tích chập tuyến
tính, trớc hết cần phân biệt hai trờng hợp:
Trờng hợp thứ nhất khi các dãy chập với nhau có chiều di gần bằng nhau v
ngắn.
Trờng hợp thứ hai l khi các dãy chập với nhau v có chiều di khác xa nhau.
Trờng hợp thứ nhất chính l trờng hợp đã đợc nghiên cứu ở phần trên. Nhng

trong thực tế, ta thờng gặp trờng hợp thứ hai. Việc tính toán DFT của dãy có chiều di
quá lớn sẽ bị hạn chế bởi vấn đề dung lợng bộ nhớ của máy tính điện tử v thời gian tính
toán không đảm bảo. Hơn nữa, để có đợc mẫu đầu tiên của kết quả ta phải đợi đến khi
kết thúc quá trình tính toán.
Để giải quyết các vấn đề trên, chúng ta phải chia quá trình tính toán ra thnh
nhiều giai đoạn. Có hai phơng pháp gồm các nội dung chính:
- Chia dãy thnh nhiều dãy con.
- Chập từng dãy con một
- Tổ hợp các kết quả thnh phần.
Giả sử dãy x(n) có chiều di N, dãy h(n) có chiều di M v N >> M. Khi đó châph
của x(n) v h(n) l y(n) sẽ có chiều di N+ M - 1. Nếu N rất lớn thì ta không thể dùng DFT
để tính trực tiếp tích chập ny đợc. Vì thế, nếu muốn dùng DFT ta phải phân dãy x(n) ra
lm nhiều đoạn nhỏ.

b. Phơng pháp 1: Cộng xếp chồng
Giả sử ta cần tính tích chập tuyến tính
y(n) = x(n)*h(n)
L[x(n)] = N, L[h(n)] = M v N >> M.
Dãy x(n) đợc coij l
tổng của các dãy thnh phần x
i
(n), m L[x
i
(n)] = N
1
. Tức l:


=
i

i
)n(x)n(x (4.4.1)
với




+
=
n0
N)1i(niN)n(x
)n(x
11
i

Mặt khác ta có:



===






===

=

=

=
i
i
i
i
im
i
mi
i
m
)n(y)n(x*)n(h)mn(x)m(h
)mn(x)m(h)mn(x)m(h)n(x*)n(h)n(y
(4.4.2)
khi đó, y
i
(n) = h(n)*x
i
(n) gọi l tích chập phân đoạn, đây l tích chập tuyến tính, nếu dùng
DFT thì mỗi tích chập phân đoạn ny ta phải tính DFT với chiều di N
1
+M-1. Tức l ta
phải tính tích chập vòng với chiều di 2(N
1
+M-1):