XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ (Chương 4+5) potx

Page: 1
Faculty Of Computer Engineering
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Khoa KTMT
Page: 2
Faculty Of Computer Engineering
Chương 4 Tín hiệu và hệ thống LTI trong miền tần số
Nội dung chính:
•
Giới thiệu miền tần số
•
Biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc
•
Hệ LTI trong miền tần số
Page: 3
Faculty Of Computer Engineering
Giới thiệu miền tần số

Xét một ví dụ về lăng kính khi cho ánh sáng trắng đi qua (có
thể coi là tín hiệu trên miền thời gian) ta sẽ thu được các vạch
phổ tương ứng với các thành phần tần số của ánh sáng: đỏ, da
cam, vàng
Nhận xét: cùng một sự vật hiên
tượng nếu quan sát ở những vị trí,
góc độ khác nhau ta sẽ thu được các
thông tin khác nhau về sự vật hiện
tượng đó.
Page: 4
Faculty Of Computer Engineering
Phép biến đổi Fourier với tín hiệu rời rạc


Cho tín hiệu rời rạc x(n), phép biến đổi Fourier của x(n) được
định nghĩa như sau:

Như vậy phép biến đổi Fourier đã chuyển tín hiệu x(n) từ miền
thời gian sang miền tần số ω (hay tần số f = ω/2π). Chúng ta sẽ
dùng ký hiệu sau để mô tả phép biến đổi Fourier của tín hiệu
x(n)
( ) ( )
j j n
n
X e x n e
ω ω
+∞
−
=−∞
=
∑
( ( )) ( )
( ) ( )
j
FT
j
FT x n X e
x n X e
ω
ω
=
→
Page: 5
Faculty Of Computer Engineering

Các phương pháp biểu diễn X(e
jω
)

Biểu diễn dưới dạng phần thực và phần ảo
Bởi vì X(e
jω
) là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó
trong miền tần số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu
thức dưới đây:
: là phần thực của X(ejω)
: là phần ảo của X(ejω)
j j
m
( ) [X(e )]+jI [X(e )]
j
e
X e R
ω ω ω
=
j
[X(e )]
e
R
ω
j
[X(e )]
m
I
ω

Page: 6
Faculty Of Computer Engineering
Các phương pháp biểu diễn X(e
jω
)

Biểu diễn dưới dạng biên độ và pha
X(e
jω
) làm một hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn nó
dưới dạng module và argument như sau:
|X(e
jω
)|: được gọi là phổ biên độ của x(n)
arg(X(e
jω
)): được gọi là phổ pha của x(n)
Ta có quan hệ sau:
arg[ ( )]
( ) | ( ) |
j
j j j X e
X e X e e
ω
ω ω
=
2 2
m
m
| ( ) | [ ( )]+I [ ( )]

I [ ( )]
arg[ ( )]=arctg
[ ( )]
j j j
e
j
j
j
e
X e R X e X e
X e
X e
R X e
ω ω ω
ω
ω
ω
=
Page: 7
Faculty Of Computer Engineering
Phổ biên độ và phổ pha
=
jarg[X(f)]
X(f) X(f)e
|X(f)|: Phổ biên độ, arg[X(f)]: Phổ pha
h(n)
H(e
jω
)
F

F
-1
đáp ứng xung
đáp ứng tần số
x(n)
X(e
jω
)
F
F
-1
tín hiệu
phổ
Page: 8
Faculty Of Computer Engineering
Sự tồn tại của phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier hội tụ khi và chỉ khi x(n) thoả mãn điều
kiện:

Từ đó suy ra

Nói cách khác phép biến đổi Fourier luôn hội tụ với các tín hiệu
có năng lượng hữu hạn.
| ( ) |
n
x n
+∞
=−∞
< ∞

∑
2
| ( ) |
x
n
E x n
+∞
=−∞
= < ∞
∑
Page: 9
Faculty Of Computer Engineering
Phép biến đổi Fourier ngược

Định lý:

Mặt khác ta xét công thức biến đổi Fourier

Áp dụng định lý nêu trên vào đẳng thức cuối cùng
ta có được:

Đây chính là công thức biến đổi Fourier ngược, cho
phép chuyển tín hiệu từ miền tần số về miền thời
gian
2 0
0 0
j k
k
e d
k

π
ω
π
π
ω
−
=

=

≠

∫
( ) ( )
j j n
n
X e x n e
ω ω
+∞
−
=−∞
=
∑
( )
1 1
( ) ( )
2 2
j k j j k n
n
e X e d x n e d

π
π
ω ω ω
π
π
ω ω
π π
∞
−
−
=−∞
−
=
∑
∫ ∫
1
( ) ( )
2
j k j
x k e X e d
π
ω ω
π
ω
π
−
=
∫
Page: 10
Faculty Of Computer Engineering

Tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier
•
Tính tuyến tính
→
ω ω
+ +
j j
F
1 1
2 2
ax (n) bx (n) aX (e ) bX (e )
•
Tính tuần hoàn
X(e
jω
) tuần hoàn chu kỳ 2π
X(f) tuần hoàn chu kỳ là 1
•
Biến đổi Fourier của tín hiệu trễ
→
→
ω
−
j
F
F
0
x(n) X(e )
x(n n ) ?
Page: 11

Faculty Of Computer Engineering
Tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier
 
 
 
 
 
∞
− ω
=−∞
− = −
∑
j n
0 0
n
F x(n n ) x(n n )e
Đặt n-n
0
= m
0
0
0
j n
j n
j (m n )
m
j m
m
j
e

e
F x(m) x(m)e
x(m)e
X(e )
 
 
 
 
 
− ω
− ω
∞
− ω +
=−∞
∞
− ω
=−∞
ω
=
=
=
∑
∑
Nhận xét
Tín hiệu trễ có phổ biên độ không thay đổi
còn phổ pha dịch đi 1 lượng ωn
0
Page: 12
Faculty Of Computer Engineering
Tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier

• Nếu x(n) thực:
Đáp ứng biên độ là hàm chẵn theo ω
|X(e
j
ω
)|=|X(e
-j
ω
)|
Đáp ứng pha là hàm lẻ theo ω
arg[X(e
j
ω
)]=-arg[X(e
-j
ω
)]
c = a.b -> |c| = |a|.|b|
arg[c] = arg[a] + arg[b]
d = a/b -> |d| = |a|/|b|, arg[d] = arg[a] – arg[b]
Page: 13
Faculty Of Computer Engineering
Quan hệ giữa biến đổi Fourier với biến đổi Z
Quan sát công thức biến đổi Z trong chương số
2 và công thức biến đổi Fourier ta thấy ngay
rằng:
X(e
jω
) = X(z) khi z = e
jω

hay khi điểm phức z di chuyển trên đường tròn
đơn vị thuộc mặt phẳng phức.
Page: 14
Faculty Of Computer Engineering
h(n)
H(e
jω
)
H(z)
F
F
-1
Z
Z
-1
z=e
jω
Page: 15
Faculty Of Computer Engineering
Hệ LTI Trong Miền Tần Số
•
Chúng ta đã biết rằng đáp ứng xung h(n) là
một tham số đặc trưng cho hệ xử lý tín hiệu
tuyến tính bất biến
•
Mặt khác h(n) chính là tín hiệu ra khi tín hiệu
vào hệ là δ(n) hay: h(n) = T(δ(n))
•
Để xét biểu diễn tần số của hệ tuyến tính bất

biến, tác động của hệ có dạng:
ω
=
j n
x(n) e
−∞< <∞n
Hệ có đáp ứng xung h(n)
Page: 16
Faculty Of Computer Engineering
Đáp ứng của hệ:
∞ ∞
ω −
=−∞ =−∞
∞
ω − ω ω
=−∞
= − =
= =
∑ ∑
∑
j (n k)
k k
j n j k j
k
y(n) h(k)x(n k) h(k) e
e h(k)e x(n). H(e )
∞
ω − ω
=−∞
=

∑
j j k
k
H(e ) h(k)e
H(e
jω
) cho biết sự truyền đạt của hệ đối với mỗi
tần số ω nên H(e
jω
) là đáp ứng tần số của hệ.
Đáp ứng tần số của hệ LTL
Page: 17
Faculty Of Computer Engineering
H(e
jω
) là hàm phức nên có thể được biểu diễn
theo phần thực, phần ảo:
H(e
jω
)= H
R
(e
jω
) +jH
I
(e
jω
)
hoặc theo biên độ-pha:
|H

(e
jω
)|: đáp ứng biên độ
arg[H (e
jω
)]: đáp ứng pha
H(e
jω
)= |H

(e
jω
)|
j
jarg[H(e )]
e
ω
Đáp ứng tần số của hệ LTI
Page: 18
Faculty Of Computer Engineering
Xác định đáp ứng tần số của hệ.
∞ ∞
ω − ω − ω
= =
= =
∑ ∑
j j n j
n n
n 0 n 0

H(e ) a e (ae )
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
ω
− ω
=
−
j
j
1
H(e )
1 ae
0
1
2
3
4
5
6
0
π
2π
ω
|H(e
jω
)|
Đáp ứng tần số của hệ LTI
Ví dụ :Hệ TTBB có đáp ứng xung h(n)=a
n
u(n), |a|<1
Page: 19

Faculty Of Computer Engineering
Hệ LTI Trong Miền Tần Số
Page: 20
Faculty Of Computer Engineering
Đáp ứng tần số của hệ biểu diễn bằng PT-
SP-TT-HSH
= =
− = −
∑ ∑
N M
k k
k 0 k 0
a y(n k) b x(n k)
Lấy biến đổi Fourier cả 2 vế:


N M
j n j n
k k
n n
k 0 k 0
N M
j n j n
k k
n n
k 0 k 0
N M
j j k j j k
k k
k 0 k 0

M
j k
k
j
j
k 0
j N
j k
k
k 0
a y(n k) e b x(n k) e
a y(n k) e b x(n k) e
Y(e ) a e X(e ) b e
b e
Y(e )
H(e )
X(e )
a e
∞ ∞
− ω − ω
=−∞ =−∞
= =
∞ ∞
− ω − ω
=−∞ =−∞
= =
ω − ω ω − ω
= =
− ω
ω

ω
=
ω
− ω
=
− = −
− = −
=
= =
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
Đáp ứng tần số xác định bởi các hệ số của PT-SP
Page: 21
Faculty Of Computer Engineering
Hệ LTI và Bộ Lọc
Page: 22
Faculty Of Computer Engineering
Hệ LTI và Bộ Lọc
•
Bộ lọc thông thấp lý tưởng
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được
định nghĩa như sau:
Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông
thấp lý tưởng
j
1
| ( ) |

0 | | 0
c c
c
H e
ω
ω ω ω
ω ω
− < <

=

> >

1
0
ω
c
-ω
c
|H(e
jω
)|
ω
Page: 23
Faculty Of Computer Engineering
Hệ LTI và Bộ Lọc
Ví dụ: Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng xung cho bởi
Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta có thể tính được đáp ứng
xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng như sau:
j

1
| ( ) |
0 | | 0
c c
c
H e
ω
ω ω ω
ω ω
− < <

=

> >

1
( ) ( )
2
1
2 2
2 sin( ) sin( )
2
j j n
j n
j n
h n H e e d
e
e d
jn
j n n

jn n
π
ω ω
π
π
ω
ω
π
ω
π
π
ω
π
π π
π π
π π
−
−
=
= =
−
= =
∫
∫
Page: 24
Faculty Of Computer Engineering
Hệ LTI và Bộ Lọc
•
Bộ lọc thông cao lý tưởng
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được

định nghĩa như sau:
Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông
cao lý tưởng
j
0
| ( ) |
1 | | 0
c c
c
H e
ω
ω ω ω
ω ω
− < <

=

> >

-π
-ω
c
πω
c
ω
1
|H(e
jω
)|
Page: 25

Faculty Of Computer Engineering
Hệ LTI và Bộ Lọc
•
Bộ lọc thông dải lý tưởng
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được
định nghĩa như sau:
Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông
dải lý tưởng
1 2
j
2 1
1 | |
| ( ) |
0 | | ,| |
c c
c c
H e
ω
ω ω ω
ω ω ω ω
< <

=

> <

-π
-ω
c1
πω

c1
ω
1
|H(e
jω
)|
ω
c2
-ω
c2