Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 1 Part 1 pdf

Contents
Anti-Copyright xxiv
Preface xxv
0.1 Advice to Teachers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv
0.2 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv
0.3 Warnings and Disclaimers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
0.4 Suggested Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii
0.5 About the Title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii
I Algebra 1
1 Sets and Functions 2
1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Single Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Inverses and Multi-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Transforming Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
i
2 Vectors 22
2.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 The Kronecker Delta and Einstein Summation Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 The Dot and Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Sets of Vectors in n Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II Calculus 47
3 Differential Calculus 48
3.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.1 Application: Using Taylor’s Theorem to Approximate Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.2 Application: Finite Difference Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.8.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.8.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.8.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
ii
3.8.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.11 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.12 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4 Integral Calculus 116
4.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3 The Fundamental Theorem of Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4.1 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.6.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.6.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.6.3 The Fundamental Theorem of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.9 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.10 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Vector Calculus 154
5.1 Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2 Gradient, Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
iii
5.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.6 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.7 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
III Functions of a Complex Variable 179
6 Complex Numbers 180
6.1 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2 The Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.3 Polar Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4 Arithmetic and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5 Integer Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.6 Rational Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7 Functions of a Complex Variable 239
7.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.2 The Point at Infinity and the Stereographic Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.3 A Gentle Introduction to Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.4 Cartesian and Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.5 Graphing Functions of a Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.6 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.7 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.8 Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.9 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
iv
7.11 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.12 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8 Analytic Functions 360
8.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
8.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.4.1 Categorization of Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.5 Application: Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
8.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9 Analytic Continuation 437
9.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
9.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
9.3 Analytic Functions Defined in Terms of Real Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
9.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

9.3.2 Analytic Functions Defined in Terms of Their Real or Imaginary Parts . . . . . . . . . . . . . . 450
9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
9.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
9.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
10 Contour Integration and the Cauchy-Goursat Theorem 462
10.1 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
10.2 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
10.2.1 Maximum Modulus Integral Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
10.3 The Cauchy-Goursat Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
v
10.4 Contour Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
10.5 Morera’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
10.6 Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
10.7 Fundamental Theorem of Calculus via Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
10.7.1 Line Integrals and Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
10.7.2 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
10.8 Fundamental Theorem of Calculus via Complex Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
10.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
10.10Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
10.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
11 Cauchy’s Integral Formula 493
11.1 Cauchy’s Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
11.2 The Argument Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
11.3 Rouche’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
11.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
11.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
12 Series and Convergence 525
12.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
12.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

12.1.2 Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
12.1.3 Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
12.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
12.2.1 Tests for Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
12.2.2 Uniform Convergence and Continuous Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
12.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
12.4 Integration and Differentiation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
12.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
vi
12.5.1 Newton’s Binomial Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
12.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
12.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
12.7.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
12.7.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
12.7.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
12.7.4 Integration and Differentiation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
12.7.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
12.7.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
12.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
12.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
13 The Residue Theorem 626
13.1 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
13.2 Cauchy Principal Value for Real Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
13.2.1 The Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
13.3 Cauchy Principal Value for Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
13.4 Integrals on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
13.5 Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
13.6 Fourier Cosine and Sine Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
13.7 Contour Integration and Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
13.8 Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

13.8.1 Wedge Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
13.8.2 Box Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
13.9 Definite Integrals Involving Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
13.10In finite Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
13.11Exe rcises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
13.12Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
13.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
vii
IV Ordinary Differential Equations 772
14 First Order Differential Equations 773
14.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
14.2 Example Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
14.2.1 Growth and Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
14.3 One Parameter Families of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
14.4 Integrable Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
14.4.1 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
14.4.2 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
14.4.3 Homogeneous Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786
14.5 The First Order, Linear Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
14.5.1 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
14.5.2 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
14.5.3 Variation of Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
14.6 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796
14.6.1 Piecewise Continuous Coefficients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
14.7 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
14.8 Equations in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
14.8.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
14.8.2 Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
14.8.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
14.8.4 The Point at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

14.9 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
14.10Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819
14.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
14.12Qu iz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843
14.13Qu iz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
viii
15 First Order Linear Systems of Differential Equations 846
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846
15.2 Using Eigenvalues and Eigenvectors to find Homogeneous Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847
15.3 Matrices and Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
15.4 Using the Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860
15.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865
15.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870
15.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
16 Theory of Linear Ordinary Differential Equations 900
16.1 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
16.2 Nature of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
16.3 Transformation to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
16.4 The Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
16.4.1 Derivative of a Determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
16.4.2 The Wronskian of a Set of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
16.4.3 The Wronskian of the Solutions to a Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
16.5 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
16.6 The Fundamental Set of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
16.7 Adjoint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
16.8 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919
16.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920
16.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922
16.11Qu iz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928
16.12Qu iz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929

17 Techniques for Linear Differential Equations 930
17.1 Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930
17.1.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
17.1.2 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
ix
17.1.3 Higher Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
17.2 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940
17.2.1 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
17.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
17.4 Equations Without Explicit Dependence on y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
17.5 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
17.6 *Reduction of Order and the Adjoint Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948
17.7 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
17.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
17.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
18 Techniques for Nonlinear Differential Equations 984
18.1 Bernoulli Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
18.2 Riccati Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
18.3 Exchanging the Dependent and Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990
18.4 Autonomous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
18.5 *Equidimensional-in-x Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
18.6 *Equidimensional-in-y Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
18.7 *Scale-Invariant Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
18.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
18.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
18.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006
19 Transformations and Canonical Forms 1018
19.1 The Constant Coefficient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018
19.2 Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
19.2.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021

19.2.2 Higher Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022
19.3 Transformations of the Independent Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
19.3.1 Transformation to the form u” + a(x) u = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
x
19.3.2 Transformation to a Constant Coefficient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025
19.4 Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
19.4.1 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
19.4.2 Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029
19.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032
19.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034
19.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
20 The Dirac Delta Function 1041
20.1 Derivative of the Heaviside Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
20.2 The Delta Function as a Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
20.3 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
20.4 Non-Rectangular Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
20.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048
20.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
20.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052
21 Inhomogeneous Differential Equations 1059
21.1 Particular Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
21.2 Method of Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
21.3 Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
21.3.1 Second Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
21.3.2 Higher Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068
21.4 Piecewise Continuous Coefficients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
21.5 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074
21.5.1 Eliminating Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074
21.5.2 Separating Inhomogeneous Equations and Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . 1076
21.5.3 Existence of Solutions of Problems with Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . 1077

21.6 Green Functions for First Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
21.7 Green Functions for Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082
xi
21.7.1 Green Functions for Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
21.7.2 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095
21.7.3 Problems with Unmixed Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
21.7.4 Problems with Mixed Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100
21.8 Green Functions for Higher Order Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104
21.9 Fredholm Alternative Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109
21.10Exe rcises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117
21.11Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123
21.12Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126
21.13Qu iz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164
21.14Qu iz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165
22 Difference Equations 1166
22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166
22.2 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168
22.3 Homogeneous First Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169
22.4 Inhomogeneous First Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171
22.5 Homogeneous Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174
22.6 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177
22.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179
22.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1180
22.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181
23 Series Solutions of Differential Equations 1184
23.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184
23.1.1 Taylor Series Expansion for a Second Order Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 1188
23.2 Regular Singular Points of Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198
23.2.1 Indicial Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201
23.2.2 The Case: Double Root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203

23.2.3 The Case: Roots Differ by an Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206
xii
23.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216
23.4 The Point at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216
23.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219
23.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224
23.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225
23.8 Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248
23.9 Quiz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249
24 Asymptotic Expansions 1251
24.1 Asymptotic Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251
24.2 Leading Order Behavior of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255
24.3 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263
24.4 Asymptotic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270
24.5 Asymptotic Expansions of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272
24.5.1 The Parabolic Cylinder Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272
25 Hilbert Spaces 1278
25.1 Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278
25.2 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280
25.3 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281
25.4 Linear Independence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283
25.5 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283
25.6 Gramm-Schmidt Orthogonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284
25.7 Orthonormal Function Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287
25.8 Sets Of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288
25.9 Least Squares Fit to a Function and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294
25.10Closure Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297
25.11Lin ear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302
25.12Exe rcises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303
25.13Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304

xiii
25.14Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305
26 Self Adjoint Linear Operators 1307
26.1 Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307
26.2 Self-Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308
26.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311
26.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312
26.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313
27 Self-Adjoint Boundary Value Problems 1314
27.1 Summary of Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314
27.2 Formally Self-Ad joint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315
27.3 Self-Adjoint Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318
27.4 Self-Adjoint Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318
27.5 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323
27.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326
27.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
27.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328
28 Fourier Series 1330
28.1 An Eigenvalue Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330
28.2 Fourier Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333
28.3 Least Squares Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337
28.4 Fourier Series for Functions Defined on Arbitrary Ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341
28.5 Fourier Cosine Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344
28.6 Fourier Sine Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345
28.7 Complex Fourier Series and Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346
28.8 Behavior of Fourier Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349
28.9 Gibb’s Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358
28.10In tegrating and Differentiating Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358
xiv
28.11Exe rcises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363

28.12Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371
28.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373
29 Regular Sturm-Liouville Problems 1420
29.1 Derivation of the Sturm-Liouville Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1420
29.2 Properties of Regular Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422
29.3 Solving Differential Equations With Eigenfunction Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433
29.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439
29.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443
29.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445
30 Integrals and Convergence 1470
30.1 Uniform Convergence of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1470
30.2 The Riemann-Lebesgue Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471
30.3 Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472
30.3.1 Integrals on an Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472
30.3.2 Singular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473
31 The Laplace Transform 1475
31.1 The Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475
31.2 The Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477
31.2.1
ˆ
f(s) with Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1480
31.2.2
ˆ
f(s) with Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484
31.2.3 Asymptotic Behavior of
ˆ
f(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488
31.3 Properties of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489
31.4 Constant Coefficient Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492
31.5 Systems of Constant Coefficient Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495

31.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497
31.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504
xv
31.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507
32 The Fourier Transform 1539
32.1 Derivation from a Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539
32.2 The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1541
32.2.1 A Word of Caution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544
32.3 Evaluating Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545
32.3.1 Integrals that Converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545
32.3.2 Cauchy Principal Value and Integrals that are Not Absolutely Convergent. . . . . . . . . . . . . 1548
32.3.3 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1550
32.4 Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552
32.4.1 Closure Relation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552
32.4.2 Fourier Transform of a Derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553
32.4.3 Fourier Convolution Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554
32.4.4 Parseval’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557
32.4.5 Shift Property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559
32.4.6 Fourier Transform of x f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559
32.5 Solving Differential Equations with the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1560
32.6 The Fourier Cosine and Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562
32.6.1 The Fourier Cosine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562
32.6.2 The Fourier Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563
32.7 Properties of the Fourier Cosine and Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564
32.7.1 Transforms of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564
32.7.2 Convolution Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566
32.7.3 Cosine and Sine Transform in Terms of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568
32.8 Solving Differential Equations with the Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . 1569
32.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1571
32.10Hi nts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578

32.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581
xvi
33 The Gamma Function 1605
33.1 Euler’s Formul a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605
33.2 Hankel’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607
33.3 Gauss’ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609
33.4 Weierstrass’ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611
33.5 Stirling’s Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613
33.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618
33.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619
33.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1620
34 Bessel Functions 1622
34.1 Bessel’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622
34.2 Frobeneius Series Solution about z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623
34.2.1 Behavior at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626
34.3 Bessel Functions of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628
34.3.1 The Bessel Function Satisfies Bessel’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629
34.3.2 Series Expansion of the Bessel Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1630
34.3.3 Bessel Functions of Non-Integer Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633
34.3.4 Recursion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636
34.3.5 Bessel Functions of Half-Integer Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639
34.4 Neumann Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1640
34.5 Bessel Functions of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644
34.6 Hankel Fu nctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646
34.7 The Modified Bessel Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646
34.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1650
34.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655
34.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657
xvii
V Partial Differential Equations 1680

35 Transforming Equations 1681
35.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682
35.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683
35.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684
36 Classification of Partial Differential Equations 1685
36.1 Classification of Second Order Quasi-Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685
36.1.1 Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686
36.1.2 Parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691
36.1.3 Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692
36.2 Equilibrium Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694
36.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696
36.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697
36.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698
37 Separation of Variables 1704
37.1 Eigensolutions of Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704
37.2 Homogeneous Equations with Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704
37.3 Time-Independent Sources and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706
37.4 Inhomogeneous Equations with Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709
37.5 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710
37.6 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713
37.7 General Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716
37.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718
37.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734
37.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739
xviii
38 Finite Transforms 1821
38.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825
38.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826
38.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827
39 The Diffusion Equation 1831

39.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832
39.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834
39.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835
40 Laplace’s Equation 1841
40.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841
40.2 Fundamental Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841
40.2.1 Two Dimensional Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842
40.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843
40.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846
40.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847
41 Waves 1859
41.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1860
41.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866
41.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868
42 Similarity Methods 1888
42.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892
42.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893
42.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894
43 Method of Characteristics 1897
43.1 First Order Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897
43.2 First Order Quasi-Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898
xix
43.3 The Method of Characteristics and the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1900
43.4 The Wave Equation for an Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1901
43.5 The Wave Equation for a Semi-Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902
43.6 The Wave Equation for a Finite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904
43.7 Envelopes of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905
43.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908
43.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910
43.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911

44 Transform Methods 1918
44.1 Fourier Transform for Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918
44.2 The Fourier Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1920
44.3 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1920
44.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922
44.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926
44.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928
45 Green Functions 1950
45.1 Inhomogeneous Equations and Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950
45.2 Homogeneous Equations and Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951
45.3 Eigenfunction Expansions for Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953
45.4 The Method of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958
45.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1960
45.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971
45.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974
46 Conformal Mapping 2034
46.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035
46.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038
46.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039
xx
47 Non-Cartesian Coordinates 2051
47.1 Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2051
47.2 Laplace’s Equation in a Disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052
47.3 Laplace’s Equation in an Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055
VI Calculus of Variations 2059
48 Calculus of Variations 2060
48.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2061
48.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075
48.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079
VII Nonlinear Differential Equations 2166

49 Nonlinear Ordinary Differential Equations 2167
49.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168
49.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173
49.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174
50 Nonlinear Partial Differential Equations 2196
50.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197
50.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2200
50.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2201
VIII Appendices 2220
A Greek Letters 2221
xxi
B Notation 2223
C Formulas from Complex Variables 2225
D Table of Derivatives 2228
E Table of Integrals 2232
F Definite Integrals 2236
G Table of Sums 2238
H Table of Taylor Series 2241
I Continuous Transforms 2244
I.1 Properties of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244
I.2 Table of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247
I.3 Table of Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2250
I.4 Table of Fourier Transforms in n Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253
I.5 Table of Fourier Cosine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254
I.6 Table of Fourier Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255
J Table of Wronskians 2257
K Sturm-Liouville Eigenvalue Problems 2259
L Green Functions for Ordinary Differential Equations 2261
M Trigonometric Identities 2264
M.1 Circular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2264

M.2 Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266
xxii
N Bessel Functions 2269
N.1 Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269
O Formulas from Linear Algebra 2270
P Vector Analysis 2271
Q Partial Fractions 2273
R Finite Math 2276
S Physics 2277
T Probability 2278
T.1 Independent Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278
T.2 Playing the Odds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279
U Economics 2280
V Glossary 2281
W whoami 2283
xxiii
Anti-Copyright
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