Báo cáo khoa học: "Các mô hình cơ học của vật liệu đàn hồi - nhớt - dẻo và giải pháp tính toán kết cấu áo đ-ờng có xét đến đặc tính của vật liệu bê tông asphalt" pot

Các mô hình cơ học của vật liệu đn hồi - nhớt - dẻo
v giải pháp tính toán kết cấu áo đờng có xét đến
đặc tính của vật liệu bê tông asphalt

ThS. trần thị kim đăng
Bộ môn Đờng bộ
Khoa Công trình - Trờng Đại học GTVT

Tóm tắt: Bi báo đề cập đến vấn đề thông số mô đun đn hồi tính toán của vật liệu bê
tông asphalt để đa vo tính toán kết cấu áo đờng với giả thiết hệ kết cấu nền mặt đờng l
hệ nhiều lớp đn hồi. Bằng việc phân tích các mô hình cơ học mô phỏng đặc tính cơ bản của
vật liệu bê tông asphalt, tác giả muốn đa ra hớng cho giải pháp tính toán kết cấu áo đờng
mềm có xét đến đặc tính đn hồi - nhớt, dẻo của vật liệu.
Summary: The issue mentioned herein is parameter of resilient modulus of asphalt
concrete to calculate flexible pavement in assumption of elastic multi - layers system. There are
some mechanical models to simulate basic characteristics such as visco, elastic and plastic of
asphalt concrete. The solution of considering basic characteristics of asphalt concrete in
calculating flexible pavement is shown by analyzing these models.
i. Các mô hình cơ học thể hiện đặc tính
biến dạng của vật liệu đn hồi - nhớt - dẻo
Đặc tính biến dạng của bitum và của bê
tông asphalt sử dụng chất dính kết là bitum
thể hiện tính chất phức tạp của vật liệu: đàn
hồi - nhớt - dẻo. Với loại vật liệu này, ngời ta
có thể sử dụng nhiều mô hình cơ học khác
nhau phù hợp với điều kiện chịu tải trọng thực
tế khác nhau.
Hình 1. Các mô hình cơ học của vật liệu
đn hồi, nhớt, chảy dẻo
ở điều kiện nhiệt độ thấp có thể dùng mô

hình Maxvel thể hiện đặc điểm vật liệu
đàn hồi - nhớt. Mô hình gồm một lò xo đàn hồi
lý tởng ghép nối tiếp với piston chất lỏng
nhớt lý tởng. Biến dạng đàn hồi phát sinh
phát sinh ở lò xo ngay khi có lực tác dụng vào
hệ mô hình và biến dạng nhớt phát sinh tại
piston và biến dạng này phát triển liên tục
trong suốt thời gian tác dụng của lực. Nh
vậy, tại mỗi thời điểm, biến dạng tổng là tổng
biến dạng đàn hồi của lò xo và biến dạng
không hồi phục của piston chất lỏng nhớt.
Mô hình
đàn hồi

Mô hình
dẻo
Mô hình
Maxwell
Mô hình
Kelvin
Mô hình Burgers
Mô hình tổng hợp
)
T
t
1(
E
t
E
0000

+

=


+

=

với
000
E/T

=
là thời gian nghỉ.
Để mô phỏng cả đặc tính đàn hồi chậm
của bitum, Kelvin đa ra mô hình gồm một lò
xo đàn hồi lý tởng ghép song song với một
piston chất lỏng nhớt lý tởng. Với mô hình
này trị số biến dạng tơng đối của hai yếu tố
đều bằng nhau và ứng suất tổng bằng tổng
hai ứng suất nh sau:

t
E
11


+=

nếu ứng suất tác dụng là không đổi, ta có:



=


0
t
0
11
dt
E
d

và

=
11
T
1
exp1
E

với là thời gian trễ
111
E/T =
Để thể hiện tính chất thực của bitum cũng
nh của bê tông asphalt sử dụng làm mặt
đờng, Buger đề nghị mô hình bao gồm mô
hình Maxvel ghép nối tiếp với mô hình Kelvin.
Biến dạng tổng theo mô hình này là tổng biến
dạng của mô hình Maxvel với biến dạng theo
mô hình Kelvin:

+








+

=
1100
T
1
exp1
ET
t
1
E

Trong công thức, biến dạng tổng gồm 3
thành phần: biến dạng đàn hồi tức thời, biến
dạng dẻo, và biến dạng đàn hồi chậm. Các
thành phần biến dạng thể hiện trong đờng

cong biến dạng theo thời gian nh sau:
Hình 2. Các thnh phần biến dạng
theo mô hình Buger
ii. Mô đun phức của vật liệu bê tông
asphalt với đặc tính vật liệu
Mô đun phức đợc định nghĩa là tổng
cờng độ chống lại biến dạng của vật liệu có
tính đàn hồi - nhớt - dẻo khi chịu ứng suất tác
dụng xung lặp. Mô đun phức gồm hai thành
phần: thành phần đàn hồi và thành phần
chảy. Các thông số đại diện là mô đun tổng
và góc pha. Hai thông số này thể hiện rất rõ
tính chất của vật liệu ở các điều kiện nhiệt độ
và gia tải khác nhau. Các giá trị khác nhau
của mô đun tổng hợp và của góc pha cho thấy
tính chất của bitum sẽ thiên về đàn hồi hay
chảy dẻo theo tơng quan giữa thành phần
đàn hồi và thành phần dẻo.
E"
Thành phần chảy
E*

T/p đàn hồi
E'
E"
T/p chảy
E*

T/p đàn hồi
E'

Hình 3. Các thnh phần của mô đun tổng hợp
của hai vật liệu có cùng giá trị mô đun
phức, nhng có tính chất khác nhau
Mô đun đàn hồi phức đợc thể hiện nh
sau:
Thành phần biến
dạng tức thời
Thành phần biến dạng
theo thời gian
Thành phần
biến dạng phát
triển chậm
E*= E' + i E"
E*=
E* cos + i E* sin
với E*: mô đun phức
E* : mô đun động, đợc tính theo ứng
suất và biến dạng cực đại
0
0
*
E


=

= trễ pha giữa biến dạng và ứng suất
360x
t
t

p
i
=

t
i
= thời gian trễ giữa chu kỳ biến dạng và
ứng suất
t
p
; thời gian của chu kỳ ứng suất
i: hệ số thành phần chảy
với vật liệu đàn hồi thuần tuý, = 0; với
vật liệu chảy thuần tuý (chất lỏng),
= 90
0

Hình 4. Thí nghiệm môđun đn hồi động
iii. Giải pháp tính toán kết cấu mặt
đờng mềm có xét đến tính chất
đn hồi - nhớt, dẻo của vật liệu
Vật liệu có tính chất đàn hồi - nhớt - dẻo
có cả đặc tính đàn hồi của một vật rắn và biểu
hiện chảy - dẻo của chất lỏng. Do thành phần
chảy - dẻo, vật liệu có biến dạng phụ thuộc
thời gian. Thời gian càng dài thì biến dạng
càng lớn. Về mặt nguyên tắc, có thể áp dụng
chuyển đổi Laplace với biến chuyển đổi p để
loại bỏ biến số thời gian, nh vậy đa bài toán
về bài toán đàn hồi với những thông số phụ

thuộc thời gian thể hiện tính chất chảy - dẻo.
Sau khi giải ra kết quả, lại sử dụng phép
nghịch đảo Laplace cho bài toán đàn hồi để
đa biến số chuyển đổi p về biến phụ thuộc
thời gian cho các lời giải của bài toán đàn hồi -
dẻo.
Để dễ dàng áp dụng chuyển đổi Laplace,
các mô hình cơ học đề cập ở phần trên có thể
đợc thể hiện bằng các toán tử. Đặt
t
D


=
.
Đối với lò xo đàn hồi: hay
= E


=E
Đối với pitton:
t

=
hay
D=



Trong mô hình Maxwell với lò xo và pitton

nối tiếp, biến dạng tổng bằng tổng biến dạng

DE
00


+

=


1DT
DTE
)D/(1E/1
1
0
00
00
+
=
+
=




0
sin t

,

0
trong đó:
000
E/T

=


0
Trong mô hình Kelvin với một lò xo nối
song song với một pitton, ứng suất tổng bằng
tổng hai ứng suất:

0
sin(t-)
t


+

=

DE
1
hay
)1DT(EDE
1111

+=+=



Đối với mô hình tổng hợp với một mô hình
Maxwell mắc nối tiếp với n mô hình Kelvin,
chúng ta có:

+
+
+
=


n
1
1100
0
)1DT(E
1
DTE
1DT
1

Nh vậy, ứng với một mô hình nhất định
đều có thể biểu diễn mô đun đàn hồi - dẻo
của vật liệu đợc mô phỏng bằng mô hình đó
bằng các thông số tơng ứng của vật liệu đàn
hồi lý tởng và chất lỏng lý tởng.
Chuyển đổi Laplace đợc định nghĩa nh

sau:
[]



=
0
pt
dte)t(F)t(FL

trong đó F(t) là hàm số theo thời gian và p là
biến chuyển đổi. Sau khi tích phân và đa vào
các giới hạn của t, F sẽ thành hàm số của
biến chuyển đổi p.
Nếu tác dụng tải trọng phân bố q là hằng
số không phụ thuộc vào thời gian, chuyển đổi
Laplace của q là:
p
q
Ie
p
q
dtqe)q(Lq
0
0
ptpt
====

với p là biến chuyển đổi và dấu gạch trên
ký hiệu là chuyển đổi Laplace .
Chuyển đổi Laplace của e
-t/T
cũng đợc
xác định bằng:

[]
dtedtee)e(L
00
tT/)1Tp(ptT/tT/t


+
==


()
[]
1Tp
T
Ie
1Tp
T
0
tT/1Tp
+
=

+
=
+

Phơng trình biểu diễn các mô hình của
vật liệu đàn chảy thể hiện quan hệ giữa ứng
suất - chuyển vị của vật liệu đàn dẻo dới
dạng phơng trình vi phân (
/t) với cấp càng
cao nếu mô hình càng phức tạp.
Để loại bỏ biến t, các chuyển đổi Laplace
đợc áp dụng cho ứng suất hay chuyển vị ở
mỗi vế của phơng trình. Ví dụ nh ta lấy đạo
hàm bậc nhất d
/dt, ví dụ:

==

=




dedte
dt
d
)
dt
d
(L

00
ptpt





=
0
pt
0
pt
)e(dIe
nếu ta có
= 0 tại t = 0 thì số hạng thứ nhất
= 0 hay ta có:



==







0
pt
pdtep

dt
d
L

Nh vậy có thể thấy chuyển đổi Laplace
của
/t hay của D là việc thay thế D bằng
p và
bằng

.
Với đạo hàm bậc 2, ta có
=







=

=

0
pt
pt
0
2
2
2
2
dt
d
dedte
dt
d
dt
d
L


)e(d
dt
d
e
dt

d
pt
0
o
pt







=

Nếu
dtd
= 0 tại t = 0, số hạng đầu tiên
= 0 hay:
=

=

2pt
0
2
2
pdte
dt
d
p
dt
d
L

Nh vậy, chuyển đổi Laplace của đạo
hàm bậc 2 thay D
2
bằng p
2
. Có thể làm tơng
tự với các đạo hàm bậc cao hơn bằng cách
thay D
n
bằng p
n
. Bằng cách này ta có thể xác
định đợc chuyển đổi Laplace của mô đun
Young của vật liệu đàn chảy sẽ là:
)p(fE =

=

Khi tính toán bằng máy tính thì có thể áp
dụng tính trực tiếp theo phơng trình:
()

=
+
+
+
=
n
1i
ii00
0
1pTE
1
pTE
1pT
1
E

Riêng đối với chuyển vị và độ võng, có
thể xác định chuyển đổi Laplace của chúng,
sau đó chuyển đổi biến p trong phơng trình
xác định chuyển vị hay độ võng về biến thời
gian nh một ví dụ đơn giản sau:
Bán không gian đồng nhất, đàn hồi -

chảy có mô đun đàn - chảy đợc mô phỏng
bằng mô hình Kelvin và hệ số Poisson xem
nh không thay đổi theo thời gian là
. Để tính
độ võng trên bề mặt bán không gian tại tâm
của tải trọng phân bố q trên đờng tròn bán
kính a, ta có công thức theo lời giải bài toán
Boussinesq là:
(
)
E
qa12
w
2
0

=

Chuyển đổi Laplace của độ võng có thể
đợc tính tơng ứng với chuyển đổi Laplace
của tải trọng và mô đun Young nh sau:
(
)
E
aq12
w
2
0

=

với mô hình Kelvin, ta có:
)1DT(EE
11
+
=
do đó
)1pT(EE
11
+=

nh vậy, sẽ có:
(
)
(
)








+


=
+

=
1pT
T
p
1
E
aq12
)1pT(pE
aq12
w
1
1
1
2
11
2
0

Chuyển biến chuyển p thành biến t bằng

cách thay
1p1 =
và
1
T/t
1
1
e
1pT
T

=
+
ta có kết
quả độ võng là:
(
)
















=
11
0
T
t
exp1
E

aq12
w
2

Bằng cách tơng tự cũng có thể giải đợc
độ võng với các mô hình khác nhau của vật
liệu đàn - chảy.
Cách giải đợc trình bày nh trên đây là
hoàn toàn về nguyên tắc. Để có thể thực hiện
theo cách này thì vấn đề cơ bản là phải xác
định đợc thông số đàn hồi (E) và thông số
nhớt (T) của các thành phần của vật liệu. Các
thông số này của vật liệu nh bitum hay bê
tông asphalt thì đơng nhiên lại phụ thuộc
điều kiện làm việc của vật liệu, mà trong điều
kiện đó, vật liệu sẽ cơ bản thể hiện thiên về
tính chất nào (hình 3).
iv. Kết luận
Khi giải bài toán kết cấu áo đờng có sử
dụng vật liệu bê tông asphalt, sử dụng mô
hình hệ nhiều lớp đàn hồi, có thể xem xét đến
đặc tính của vật liệu bằng cách đơn giản là xét
các yếu tố ảnh hởng đến thông số mô đun
đàn hồi tính toán, là nhiệt độ và thời gian tác
dụng của tải trọng. Thông số mô đun đàn hồi
tính toán của vật liệu bê tông asphalt để đa
vào bài toán giải hệ nhiều lớp đàn hồi, theo
hớng này, đợc xác định bằng một mô hình
thí nghiệm hợp lý trong điều kiện nhiệt độ hay
tải trọng nhất định, đại diện cho điều kiện làm

việc thực tế của vật liệu.
Tài liệu tham khảo
[1]. Yang H.Huang. University of Kentucky.
Pavement Analysis and Design - Pentice - Hall
Inc, 1993.
[2]. Freddy L.Roberts, Prithvi S.Kandhal, E.Ray
Brown. National Center for Asphalt
Technology, Dah Yinn Lee - Iowa State
University and Thomas W.Kenedy - University
of Texas - Hot mix Asphalt Materials, Mixture
Design, and Construction - NAPA Education
Foundation Lanham, Maryland, 1996