Báo cáo khoa học: "Tính kết cấu khung phẳng và nền làm việc đồng thời với mô hình nền phi tuyến vật liệu bằng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn" pdf

Tính kết cấu khung phẳng v nền lm việc
đồng thời với mô hình nền phi tuyến vật liệu
bằng phơng pháp phần tử hữu hạn




vũ văn thành - Bộ môn Sức bền VL - ĐH GTVT
Trần ngọc linh - Bộ môn TĐH Thiết kế CĐ - ĐH GTVT
Trần trung dũng - Bộ môn Địa kỹ thuật - ĐH GTVT
Tóm tắt: Trong tính toán thiết kế kết cấu nh cao tầng, hiện nay các đơn vị thiết kế thờng
tính toán kế cấu phần trên tách biệt với kết cấu móng. Nh vậy, cha phản ánh đúng sơ đồ lm
việc thực tế của công trình. Nguyên nhân l do môi trờng nền vốn rất phức tạp, hơn nữa các
chơng trình tính toán kết cấu hiện đang đợc nhiều đơn vị sử dụng nh SAP2000, STADD,
không giải quyết mô hình lm việc của đất nền. Bi báo ny nghiên cứu về mô hình tính toán
kết cấu khung phẳng v nền lm việc đồng thời với mô hình đất nền phi tuyến từ đó áp dụng lý
thuyết để viết chơng trình tính bằng phơng pháp phần tử hữu hạn cho các dạng kết cấu ny,
phân tích kết quả tính v đa ra những khuyến nghị cho các đơn vị thiết kế.
Summary: In the design of height building, designers often calculate the frame and the
foundation struture separately. This doesn reflect the true working model of the structure. This
article introduces an approach of calculating model of this problem using a nonlinear model of
material. The authors introduce also a computer program to test and estimate the theory.
I. Đặt vấn đề
Kết cấu khung đợc sử dụng phổ biến trong các công trình xây dựng. Đặc biệt trong công
trình xây dựng dân dụng ở nớc ta hiện nay, kết cấu đợc sử dụng chủ yếu là kết cấu khung bê
tông cốt thép đặt trên móng băng, bè hoặc móng cọc.
Trớc đây, trên thế giới nói chung và ở nớc ta nói riêng, khi mà MTĐT cha phát triển phổ
biến thì trong việc tính toán kết cấu ngời ta thờng đa vào rộng rãi các giả thiết nhằm đơn
giản hoá cho việc tính toán. Ví dụ, giả thiết về liên kết của kết cấu khung BTCT với móng là
ngàm cứng (thực tế có thể là liên kết đàn hồi), các giả thiết về mô hình nền (nền là môi trờng
đàn hồi tuyến tính, phản lực thẳng đứng của nền lên dầm tỷ lệ bậc nhất với độ lún của nền, ).

Khi tính toán kết cấu khung và móng ngời ta thờng bỏ qua các trình tự đặt tải thực tế nhằm
mục đích đơn giản hoá (giảm khối lợng) tính toán. Việc tính toán kết cấu nh trên tất nhiên đã
không phản ánh sát tình hình làm việc thực tế của kết cấu loại này. Hiện nay, với sự phát triển
của phơng pháp và công cụ tính toán, ngời ta cố gắng và có điều kiện hạn chế các giả thiết
trong tính toán kết cấu để tìm lời giải chính xác hơn. Trong bài viết này, các tác giả sẽ trình bày
một phơng pháp tính toán kết cấu trên nền với mô hình nền phi tuyến vật liệu. Nội dung chủ
yếu bao gồm:
Các mô hình nền và khả năng ứng dụng nó để lập chơng trình tính.
Phơng pháp phần tử hữu hạn để tính khung và nền làm việc đồng thời.
Phơng pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán về phi tuyến vật liệu và xây dựng chơng
trình tính cho bài toán này.

Cuối cùng là tính toán các ví dụ cụ thể, đánh giá kết quả và rút ra một số các kết luận.
q(x)

II. Mô hình nền phi tuyến vật liệu
Trớc đây do công cụ tính toán cha phát triển
nên việc tính toán nền móng gặp rất nhiều khó khăn,
ngời ta thờng đa vào rất nhiều các giả thiết nhằm
đơn giản hoá việc tính toán. Một trong những giả thiết
ảnh hởng nhiều đến kết quả tính toán nền và móng
nhiều nhất là giả thiết về mô hình nền.
Với các mô hình đã trình bày ở trên, các hệ
số hoặc các đặc trng cơ học của nền luôn là hằng
số trong quá trình biến dạng. Với quan điểm này thì
quan hệ giữa tải trọng và biến dạng là bậc nhất (tuyến tính). Ví dụ, mô hình nền của Winkler
phản lực của nền lên đáy móng và độ lún của nền đợc xác định theo phơng trình q(x) = c.v(x)
có đồ thị đợc biểu diễn theo hình (1). Hệ số nền c chính là hệ số góc của đờng quan hệ giữa
q(x) và v(x).
v(x)

Hình 1.






q(x) = f(v)
P
x
Hinh 2.
Chúng ta đều biết đất là môi trờng rất không đồng nhất và không đàn hồi hoàn toàn (có
biết dạng d). Mối quan hệ giữa tải trọng và biến dạng của nền là phi tuyến. Ví dụ, với sơ đồ
chịu lực của một dầm nh trên hình (2), hàm số quan hệ giữa phản lực của nền lên dầm q(x) và
độ lún v(x) của nền là một hàm phi tuyến f(v), xem đồ thị biểu diễn trên hình (3). Do hàm f(v)
thờng là hàm khá phức tạp và khó xác định và nếu có xác định đợc thì cũng khó sử dụng
trong tính toán, nên để có thể sử dụng đợc trong kỹ thuật, ngời ta thờng thay đờng cong f(v)
thành đờng gẫy khúc nh hình (4) hoặc (5). Đồ thị trên hình (6) là đồ thị của mô hình nền tuyến
tính đã đợc sử dụng nhiều. Rõ ràng, so sánh với đờng chuẩn theo lý thuyết (đờng nét đứt) thì
mô hình nền tuyến tính là ít chính xác nhất. Mức độ chính xác của mô hình nền giảm dần từ hình
(4) đến (6).
Mối quan hệ giữa các phản lực (yếu tố lực) với biến dạng hoặc chuyển vị của các mô hình
nền khác cũng tơng tự nh mối quan hệ giữa q(x) và v(x) vừa trình bày.
Khối lợng của bài toán tính kết cấu theo mô hình phi tuyến hình học hay phi tuyến vật liệu
là rất lớn, khi không có công cụ tính toán mạnh thì không thể thực hiện đợc. Nhng với sự phát
triển của MTĐT và phơng pháp tính thì việc giải bài toán phi tuyến nói chung và bài toán phi
tuyến vật liệu nói riêng là có thể thực hiện đợc.

v(x)
q(x)

Hình 3.
f(v)
v(x)
q(x)

Hình 4.
v(x)
q(x)

Hình 5.
v(x)
q(x)

Hình 6.

III. Mô hình các phần tử hữu hạn v ma trận độ cứng của nó
Trong bài toán này, chúng tôi sử dụng phơng pháp hệ số nền, do đó có 3 loại phần tử hữu
hạn đợc sử dụng đó là: phần tử thanh thẳng có 2 điểm nút, phần tử dầm trên nền đàn hồi phi
tuyến và phần tử cọc trong nền đàn hồi phi tuyến.
3.1. Phần tử hữu hạn thanh thẳng có 2 điểm nút
Thanh có hai nút 1 và 2, có độ cứng chống uốn EJ và độ cứng chống kéo EF (hình 7). Véc
tơ chuyển vị nút và véc tơ lực nút có dạng:

{}
;

=
2
2
2
1
1
1
e
v
u
v
u
{}

=
2
2
2
1
1
1
e
M
Q
N
M

Q
N
F
N
1

y

z

Q
1

M
1

1

M
2

N
2
Q
2
x
a

Hình 7.

2



[]

=
a
EJ4
a
EJ6
0
a
EJ2

a
EJ6
0
a
EJ6
a
EJ12
0
a
EJ6
a
EJ12
0
00
a
EF
00
a
EF
a
EJ2
a
EJ6
0
a
EJ4
a
EJ6
0
a

EJ6
a
EJ12
0
a
EJ6
a
EJ12
0
00
a
EF
00
a
EF
K
22
223
22
2323
e
(1)
3.2. Phần tử hữu hạn dầm trên nền đàn hồi phi tuyến
Cờng độ phản lực q
x
của nền tại mỗi điểm đợc xác định theo công thức:
q
x
= c.v
x

,

(2)
trong đó: v
x
là độ lún của nền trong phạm vi gia tải; c là hệ số nền đàn hồi phi tuyến, giá trị của
nó tuỳ thuộc vào giá trị của độ lún v
x
và có thứ nguyên là [lực]/[chiều dài]
3
.
Nh đã nói ở trên, để có thể sử dụng đợc mô hình nền phi tuyến, ngời ta thờng thay
đờng cong quan hệ giữa tải trọng, phản lực và chuyển vị thành đờng gãy khúc có nhiều đoạn
tuyến tính. Với phơng pháp này, ta chỉ cần xác định ma trận độ cứng của phần tử hữu hạn
đang làm việc trong một giai đoạn tuyến tính nào đó mà việc này ta dễ dàng thực hiện đợc
bằng nhiều cách, hệ số c sẽ đợc xác định tuỳ thuộc vào trạng thái làm việc của phần tử đó.
Một phần tử hữu hạn đang làm việc trong giai đoạn tuyến tính có hệ nền c, bằng phơng
pháp cực tiểu thế năng ta xác định đợc ma trận độ cứng của phần tử này nh sau:
[]
[
]
[
]
n
e
d
ee
KKK +=
- Ma trận độ cứng phần tử dầm
[

]
d
e
K tính theo (1):
- Ma trận độ cứng của phần tử nền:

[]
(3)

=
580740
810630
000000
760520
430210
000000
K
n
e

Chú thích các ký hiệu
;bca
210
11
.2;cab
25
13
.1
2

;bca
420
13
.4;cab
70
9
.3

2

;bca
420
12
.6;bca
105
1
.5
23

;bca
210
11
.8;bca
140
1
.7
23

3.3. Phần tử hữu hạn cọc trong nền đàn hồi phi tuyến
Khi cọc chịu tải trọng ngang, cọc bị uốn cong đi và có chuyển vị ngang. Do đó sẽ phát sinh
phản lực có chiều ngợc với chiều chuyển vị từ nền vào cọc. Trong trờng hợp này, ta vẫn sử
dụng mô hình nền có nhiều đoạn tuyến tính nh mô hình của dầm trên nền đàn hồi phi tuyến ở
trên.
Khi cọc phải chịu tải trọng dọc trục, cọc sẽ có chuyển vị theo phựơng dọc trục, giữa nền và
cọc sẽ phát sinh lực ma sát dọc trục. Theo mô hình của Smith phản lực này quan hệ với chuyển
vị dọc trục theo công thức sau:
p(x) = c
ou

.u(x), [2] (4)
trong đó: p(x) là phản lực phân bố dọc trục do chuyển vị u(x) gây ra; c
ou
= S.c
u
, với S là chu vi
của cọc, c
u
là hệ số quan hệ giữa phản lực phân bố dọc trục p(x) với chuyển vị dọc trục u(x),
c
u
cũng là hệ số của nền đàn hồi phi tuyến.
Phản lực đầu cọc sẽ đợc xử lý bằng điều kiện biên, thay nền bằng một lò xo đàn hồi phí
tuyến.
Cũng giống nh phần tử dầm trên nền đàn hồi, ta xác định đợc ma trận độ cứng của phần
tử cọc trong nền nh sau:
[] []
[
]
n
e
c
ee
KKK += , trong đó,
- Ma trận độ cứng phần tử dầm
[
]
c
e
K tính theo (1).

- Ma trận độ cứng của phần tử nền.


[]
(5)

=
580740
810630
00k00k
760520
430210
00k00k
K
4,41,4
4,11,1
n
e
Các ký hiệu từ 1 đến 8 đợc xác định theo (3), các ký hiệu còn lại có giá trị nh sau:


6
Sc
KK;
3
Sc
KK
au
1,44,1
au
4,41,1
==== .

IV. Tính kết cấu lm việc đồng thời với nền với mô hình nền phi tuyến
Để giải bài toán phi tuyến này, ta có quy ớc sau:
- Trong một giai đoạn làm việc, hệ số nền trong mỗi phần tử hữu hạn thanh làm việc đồng
thời với nền chỉ có một giá trị. Giá trị hệ số nền này đợc xác định từ chuyển vị lớn nhất của
phần tử.
- Chỉ có một hệ số về tải trọng, nói cách khác các tải trọng chỉ biến đổi theo một thông số.
- Phơng pháp giải bài toán này là đa bài toán phi tuyến về thành tổ hợp các bài toán
tuyến tính và dùng phơng pháp tính lặp để giải. Các bớc tính toán cơ bản gồm:
Mặt đất
Cọc trớc khi
chịu tải trọng
x
vcq
1
P
Q
M
=
Phản lực
của đất

Cọc bị biến dạng
ới tác dụng
của tải trọng
d
y
x
P
Q
M
y

x
Mặt đất
Phản lực
đầu cọc
xc
ucp
0
=

Lực ma sát
của nền
Hình 8.
v(x)
q
(x)

Hình 10.
q(x)=c
11

v(x)
q(x)=c
12
v(x)
q(x)=c
13
v(x)
q(x)=cons
t

u(x)
p
(x)

Hình 9.
p(x)=c
u1
v(x)
p(x)=c
u2
v(x)
p(x)=c
u3
v(x)
p(x)=cons
t

- Bớc 1: Tính toán kết cấu với tải trọng tính toán và hệ số nền của các phần tử đợc lấy
tơng ứng với đoạn tuyến tính đầu tiên.
-

Bớc 2: Kiểm tra chuyển vị lớn nhất của tất
cả các phần tử và so sánh với chuyển vị lớn nhất
có thể có của giai đoạn tuyến tính hiện tại đang
tính. Tính tỷ số giữa giữa chuyển vị lớn nhất
của giai đoạn tuyến tính đang tính với chuyển vị
lớn nhất của phần tử (hình 11). Nếu tỷ số
này lớn hơn 1 thì phần tử đó vẫn làm việc trong
giai đoạn tuyến tính thứ i, ngợc lại tỷ số đó mà
nhỏ hơn 1 thì phần tử đó đã làm việc sang giai
đoạn kế tiếp.
maxi
v
maxe
v
-
Bớc 3: So sánh tất cả các tỷ số tính đợc
ở bớc 2, chọn ra tỷ số nhỏ nhất và tỷ số này
cũng chính là tỷ số giữa số gia tải trọng so với tải
trọng còn lại. Tải trọng của bớc tính kế tiếp bằng tải trọng của bớc này trừ đi số gia của tải
trọng vừa tính đợc. Ghi lại kết quả (nội lực của các phần tử, chuyển vị nút) của bớc tính này
với tải trọng bằng số gia vừa tính đợc.
v(x)
q(x)

Hình 11.
V
1max
V
2max
V

3max
-
Bớc 4: Tiếp tục tính bớc kế tiếp với tải trọng còn lại, những phần tử có chuyển vị lớn
nhất do bớc tải trọng vừa tính gây ra lớn hơn chuyển vị thì lấy hệ số nền của giai đoạn kế
tiếp để tính. Nếu giai đoạn kế tiếp này là giai đoạn chảy dẻo thì lấy hệ số nền bằng 0. Việc tính
toán kết thúc khi tải trọng còn lại sau các bớc tính bằng 0 hoặc không có tỷ số nào ở bớc hai
nhỏ hơn 1.
maxi
v
-
Bớc 5: Cộng các giá trị nội lực phần tử và chuyển vị nút kết cấu của các bớc gia tải.
Tổng nội lực phần tử và chuyển vị nút thu đợc chính là kết quả tính toán kết cấu.
Chú ý: nếu tất cả các phần tử hữu hạn móng mà đều làm việc ở giai đoạn chảy dẻo thì nền
không đủ khả năng chịu lực. Chơng trình dừng tính khi kết cấu biến hình.
Để khắc phục vấn đề chuyển vị của các điểm trong kết cấu chênh nhau nhiều, chơng
trình sẽ tự chia các phần tử kết cấu móng ra thành nhiều phần tử nhỏ.
V. Ví dụ tính toán, phân tích kết quả v khuyến nghị
5.1. Ví dụ: Tính toán kết cấu nhà 12 tầng
Tính theo các sơ đồ tuyến tính và phi tuyến vật liệu.
5.2. Một số nhận xét khi so sánh các kết quả tính theo mô hình nền một đoạn tuyến
và nhiều đoạn tuyến tính (phi tuyến)
Trong các ví dụ trên thì:
Kết quả nội lực và chuyển vị của kết cấu tính theo hai kiểu sơ đồ tính có sự chênh lệch
nhau.

Chuyển vị của kết cấu theo sơ đồ nền phi tuyến tăng với giá trị từ 1ữ2%. Điều này đúng vì
thực chất ta đã tính nền làm việc theo sơ đồ đàn dẻo. Chuyển vị tăng đều trên các cấu kiện của
kết cấu.
Giá trị nội lực của kết cấu tính đợc theo sơ đồ nền phi tuyến có phần tử tăng và có phần
tử giảm so với sơ đồ nền tuyến tính từ 2 ữ10%, phụ thuộc vào ảnh hởng chuyển vị của nền.

Khuyến nghị
Nên tính toán hệ khung cùng làm việc với nền và sử dụng mô hình nền phi tuyến mới phản
ánh đợc mối tơng tác giữa kết cấu và môi trờng.
Do khuôn khổ của bài báo nên trong bài báo mới chỉ giải quyết đợc hệ khung phẳng. Sau
này có thể đi sâu hơn giải bài toán hệ khung không gian cùng làm việc với nền phi tuyến.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Lựu. Phơng pháp phần tử hữu hạn, Giáo trình cao học trờng đại học Giao thông Vận
tải Hà Nội.
[2] Vũ Đình Lai. Sức bền vật liệu. Giáo trình đại học trờng Đại học GTVT.
[3] Vũ Văn Thnh. Tính mạng dầm trên nền đàn hồi hai hệ số bằng phơng pháp phần tử hữu hạn. Luận
văn thạc sĩ kỹ thuật.
[4] Trần Ngọc Linh, Tính toán móng cọc bằng phơng pháp phần tử hữu hạn. Đề tài nghiên cứu khoa học
sinh viên năm 2000 Ă