THIẾT KẾ TỐI ƯU TIẾT DIỆN TRONG KẾT CẤU DÀN THÉP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHI TUYẾN potx

THIẾT KẾ TỐI ƯU TIẾT DIỆN TRONG KẾT CẤU DÀN THÉP BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN QUI
HOẠCH PHI TUYẾN


ThS
.
NGUYỄN HỮU THỊNH

Công ty Công nghệ mới - COTEC

1. Đặt vấn đề
Việc đi tìm phương án thiết kế tối ưu theo mục tiêu đề ra và thỏa mãn các điều kiện ràng
buộc liên quan đến độ bền vững của công trình là cần thiết trong lĩnh vực xây dựng.
Bài toán thiết kế tối ưu kết cấu thép dạng dàn với hàm mục tiêu là trọng lượng bản thân
tòan bộ các thanh dàn. Các biến thiết kế là các diện tích tiết diện các thanh dàn. Các điều
kiện ràng buộc cần thỏa mãn bao gồm: ràng buộc về điều kiện bền, ràng buộc về điều kiện
ổn định Euler, ràng buộc về điều kiện chuyển vị, ràng buộc về điều kiện kiến trúc, ràng buộc
về điều kiện độ mảnh giới hạn và các điều kiện ràng buộc khác trong quá trình thiết lập bài
toán tối ưu.
2.
Bài toán quy hoạch phi tuyến giải quyết theo phương pháp dựa trên chuỗi các chương
trình tuyến tính
Bài toán quy hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming - NLP)
Phát biểu bài toán:
Tìm X =

X
1
X
2

,….,X
n

={X
*
}
T
= {X
1
*
, X
2
*
, …, X
n
*
} sao cho:
cực tiểu hóa hàm Z = f(X)
chịu các ràng buộc: g
j
(X)

0 j = 1, …, m
h
j
(X) = 0 j = 1, …, k

L U
i i i
X X X

 

với 1 trong các hàm f(X), g
j
(X), h
k
(X) là hàm phi tuyến.

Nguyên tắc giải quyết bài toán: Một cách gần đúng, ta tuyến tính hóa các hàm phi tuyến
thông qua việc khai triển chuỗi Taylor bậc nhất hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc chung
quang điểm X
0
, trên cơ sở đó, bài toán qui họach phi tuyến được phát biểu lại một cách gần
đúng:
Cực tiểu hoá : f(X) = f(X
0
) +

f(X
0
)

X
Chịu các ràng buộc :
g
j
(X)

g
j

(X
0
) +

g
j
(X
0
)

X
h
k
(X)

h
k
(X
0
) +

h
k
(X
0
)

X



g
j
(X
0
)

X

0, j = 1, , m (Feasible direction).


h
k
(X
0
)

X

0, k = 1, , l (Feasible direction)

U
iii
L
i
XXXX  δ
i = 1, , n (move limits)
Trong đó :

X = X – X

0

Việc giải quyết bài toán qui họach phi tuyến dựa trên chuỗi các chương trình tuyến tính
được thực hiện: chọn điểm xuất phát X
0
nằm trong không gian thiết kế, đưa bài toán tối ưu
về dạng qui hoạch tuyến tính bằng cách tuyến tính hóa quanh điểm X
0
hàm mục tiêu và các
hàm ràng buộc phi tuyến thông qua khai triển Taylor bậc nhất, tìm nghiệm tối ưu của bài
toán dạng qui hoạch tuyến tính mới được thiết lập, lặp lại quá trình như trên (vòng lặp) trong
đó nghiệm tối ưu có được từ vòng lặp kế trước chính là cơ sở để chọn điểm xuất phát cho
vòng lặp tiếp theo, việc thực hiện vòng lặp liên tục cho đến khi kết quả được hội tụ thỏa
đáng.
3. Quy hoạch tuyến tính và thuật toán đơn tính
Xét quy hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn:

n
j j
j 1
min c x




n
ij j i
j 1
a x b




, i = 1, …, m
x
j


0, j = 1, …, n
Việc đầu tiên là đưa biến bù vào và đặt tên mục tiêu là z:
Min
n
j j
j 1
z c x





n
i i ij j
j 1
w b a x

 

, i = 1,…, m


Các hệ phương trình ở trên mà ta sẽ lập ở mỗi bước lặp gọi là các từ vựng (dictionary).

Trừ z ra, các biến nằm ở vế trái các phương trình (tức là biến “phụ thuộc”) ở mỗi bước lặp
gọi là biến cơ sở ở bước đó (basic variable). Các biến ở vế phải, tức là biến “độc lập”, được
gọi là biến không cơ sở (nonbasic variable)
.
Nghiệm nhận được khi cho các biến không cơ
sở giá trị 0 được gọi là nghiệm cơ sở (basic solution). Vậy mỗi từ vựng xác định một nghiệm
cơ sở tương ứng.
Ở đây khi tiến hành thuật toán đơn hình, biến ban đầu và biến bù được xử lý như nhau,
không phân biệt. Do đó ta ký hiệu lại thành một bộ biến x:
(x
1
, …, x
n
, W
1
, …, W
m
) = (x
1
, …, x
n
, x
n+1
, …, x
n+m
).
Khi đó bài toán trở thành:
min
n
j j

j 1
z c x





n
n i i ij j
j 1
x b a x


 

, i = 1, …, m
Các hệ phương trình trên được gọi là từ vựng xuất phát. Nội dung của thuật toán đơn
hình là chuyển từ một từ vựng sang một từ vựng khác với giá trị mục tiêu tốt hơn. Mỗi từ
vựng có m biến cơ sở và n biến không cơ sở. Ta ký hiệu B là tập các chỉ số tương ứng với
các biến cơ sở và N là tập các chỉ số tương ứng với các biến không cơ sở khi đó: N = {1,
…, n} và B = {n + 1, …, n + m}, nhưng chúng sẽ thay đổi sau mỗi bước. Ở mỗi bước, từ
vựng đều có dạng:

n
j
j
j N
z z c x

 




n
i ij
i j
j N
x b a x

 

, i

B.
Ở đây dấu gạch trên ký tự để chỉ rằng đại lượng này thay đổi qua các bước.
Ở mỗi bước lặp, đúng một biến từ không cơ sở trở thành biến cơ sở, được gọi là biến
vào (entering variable), và đúng một biến cơ sở trở thành biến không cơ sở, gọi là biến ra
(leaving variable). Biến vào được chọn trong các biến có hệ số mục tiêu (tức hệ số trong
hàm mục tiêu) âm để làm giảm hàm mục tiêu. Nếu không có hệ số mục tiêu âm thì nghiệm
nhận được ở bước lặp đó là tối ưu. Nếu có nhiều hệ số mục tiêu âm ta được phép lựa chọn.
Bây giờ ta chọn một cách tự nhiên (quy tắc thường dùng) là chọn biến có hệ số (âm) nhỏ
nhất để hi vọng làm giảm hàm mục tiêu nhiều nhất. Khi đó ta vẫn còn độ tự do khi có nhiều
hệ số bằng nhau.
Biến ra được chọn để đảm bảo tính không âm của các biến. Giả sử biến vào đã chọn là
x
k
, tức là giá trị của nó trở thành dương. Khi đó các biến đang là cơ sở sẽ bị thay đổi và
bằng:
X
i

=
i ik
k
b a x ,i B
 

x
k
được phép lớn đến mức mọi x
1


0, i

B. Tức là:

ik
i
k
1 a
x
b

, i

B,
hoặc tương đương:

1
ik

k
i B
i
a
x max
b


 

 
 

Ở đây ta quy ước
0
0
0

và ta sẽ xét sau trường hợp có số
i
b 0

và trường hợp không có
tỉ số
ik
i
a
b
nào dương. Vậy quy tắc chọn biến ra là chọn biến có chỉ số l


B mà
l
lk
b
a
=
ik
i B
i
a
max
b

 
 
 
.
Sau khi chọn biến vào và biến ra, việc chuyển từ vựng sang từ vựng mới là nhờ các
phép toán hàng. Toàn bộ việc làm này gọi là phép xoay (pivot). Vì có thể có nhiều biến vào
và biến ra có thể lấy đều đảm bảo giảm hàm mục tiêu và các biến vẫn không âm, để tránh
sự không xác định đó ta sử dụng quy tắc xoay (pivot rule).
Thực tế, có quy hoạch tuyến tính mà hàm mục tiêu có thể dẫn đến -

trong miền chấp
nhận được. Trường hợp này sẽ không có nghiệm tối ưu. Ở đây, ta xét trường hợp không có
tỉ số
ik
i
a
b

, i

B, nào dương. Tỉ số này gặp phải khi tìm biến ra sau khi đã xác định biến x
k
là
biến vào, tức là tăng từ 0 lên một số dương. Khi đó các biến cơ sở là:

i ik
i k
x b a x ,i B
  


i
b
và a
ik
là cùng dấu (vì
ik
i
a
0
b

) và là không âm. Do đó mọi biến cơ sở x
i
không thể từ
không âm trở thành âm. Vậy biến vào có thể lấy giá trị lớn tùy ý để hàm mục tiêu tiến tới -

.

Lúc này ta nói là hàm mục tiêu không giới hạn nội, hoặc bài toán không giới hạn nội.
4. Thiết lập bài toán thiết kế tối ưu cho kết cấu dàn thép tiết diện ống

Các thông số hình học kết cấu

nemax: số lượng các thanh trong kết cấu dàn thép tiết diện ống;
njoint : số lượng các nút trong kết cấu dàn thép;
R
i
, r
i
(i=1: nemax) lần lượt là bán kính trong và bán kính ngoài tiết diện của thanh thứ i;
X
i
: diện tích tiết diện ngang của thanh dàn thứ i;
Cường độ tính toán chịu kéo, nén của thép: R, mô đun đàn hồi: E, mô đun chịu cắt của
vật liệu:G.
Chọn hình dáng tiết diện ngang thanh dàn:
Chọn hình dáng tiết diện ngang thanh dàn dạng tiết diện của thép ống.
Để cho việc tự động hóa thiết kế tối ưu được dễ dàng hơn, ta gắn:

max)ne:i(Rr
ii
1γ 

Với

là hằng số cho trước.
Lúc này ta có:
- Diện tích tiết diện thanh thứ i :

)(
X
R
)(R)rR(X
i
i
iiii
2
2222
γ1π
γ1ππ




- Mô men quán tính tiết diện thanh thứ i:

)(R
)rR(III
i
iiiyixi
44
44
γ1π
4
1
π
4
1




- Bán kính quán tính tiết diện thanh thứ i:

2
22
44
γ1
2
1
γ1π
γ1π




i
i
i
i
i
iyixi
R
)(R
)(R
X
I
iii

Xác định các biến thiết kế và hàm mục tiêu:
Xác định các biến thiết kế:
Biến thiết kế tối ưu là các giá trị tương ứng của các diện tích tiết diện thanh dàn,

max)ne:i}(X{}X{
i
1


.
Xác định hàm mục tiêu:
Ở đây, ta chọn hàm mục tiêu là giá trị nhỏ nhất của trọng lượng kết cấu vì

là không đổi
cho trước, nên hàm mục tiêu thu gọn sẽ là:




maxne
i
ii
)XLmin(ZMin
1

Nhận xét: hàm mục tiêu thu gọn



maxne

i
ii
)XLmin(ZMin
1
là hàm tuyến tính theo các biến thiết kế
X
i
.
Các ràng buộc cho bài toán thiết kế tối ưu:
Ràng buộc về ứng suất được viết tổng quát dưới dạng đại số:
Để mang tính tổng quát về mặt đại số ta có thể viết ràng buộc ứng suất dưới dạng:








maxne:i
cp_valueR][})X({})X({g
cp_valueR][})X({})X({g
ilviiii
ilviiii
1
γσσ
γσσ
22
11
Với

})X({
ii
σ
là ứng suất của thanh thứ i phụ thuộc
vào các biến thiết kế X
i
. Ta thấy
})X({g
ii
1
,
})X({g
ii
2
là các hàm phi tuyến theo các biến thiết kế X
i
.

Ràng buộc về ổn định theo công thức Euler:
- Ứng suất trong thanh dàn thứ i :
})X({
ii
σ

- Ứng suất tới hạn theo công thức Euler:
2
0
22
2
0

2
ππ
σ
i
i
ii
i
i
th
i
L
iE
XL
EI
})X({ 

- Điều kiện kiện ổn định Euler áp dụng cho thanh chịu nén, về mặt đại số ta có thể viết:
















max)ne:i(
,cp_value
X
)(L
)(E
})X({})X({g
i
i
oi
iiii
1
0
γ14
γ1π
σ
3
22
2
3

Nhận xét:
})X({g
ii
3
là hàm phi tuyến theo các biến thiết kế X
i
, vì
})X({

ii
σ
hàm phi tuyến theo các biến
thiết kế X
i
.
Ràng buộc về điều kiện để áp dụng công thức Euler:
- Gọi
i
λ
là độ mảnh của thanh thứ i.
- Gọi
0
λ
là độ mảnh tới hạn.
- Công thức Euler chỉ đúng với thanh có vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là ứng
suất trong thanh phải không lớn hơn giới hạn tỷ lệ:




















maxne:i
,cp_value
)(E
)(RL
X})X({g
R
E
i
L
R
E
})X({
i
oi
iii
i
oi
i
tl
i
ii
1
γ1π
γ14

λ
π
λ
σ
λ
π
σ
4
2
22
4
0
2
2

Ràng buộc về điều kiện chuyển vị:

Các thành phần chuyển vị tại nút j là :


nojnt:j
,})X({u}),X({u}),X({u})X({u
i
Z
ji
Y
ji
X
jij
1



- Gọi


Z
cp
Y
cp
X
cpcp
u,u,uu 
là giới hạn cho phép của các thành phần chuyển vị theo các phương x,
y, z của trục tọa độ kết cấu.
Điều kiện chuyển vị :






















nojnt:j
cp_valueu})X({u})X({g
cp_valueu})X({ug
cp_valueu})X({u})X({g
cp_valueu})X({u})X({g
cp_valueu})X({u})X({g
cp_valueu})X({u})X({g
i
z
cpi
Z
jij
i
z
cpi
Z
jj
i
y
cpi
Y
jij
i
y

cpi
Y
jij
i
X
cpi
X
jij
i
X
cpi
X
jij
1
1010
99
88
77
66
55

Nhận xét:
})X({g
ii
5
,
})X({g
ii
6
,

})X({g
ii
7
,
})X({g
ii
8
,
})X({g
ii
9
,
})X({g
ii
10
là hàm phi tuyến theo các biến thiết kế X
i
.
Ràng buộc về độ mảnh giới hạn trong các thanh dàn:
- Gọi
max

là độ mảnh giới hạn trong các thanh dàn.
- Gọi
})X({
ii
λ
là độ mảnh của thanh thứ i.
Điều kiện:
























.maxne:i
,cp_value
)(
)(L
X})X({g
)(
X)(
L

i
L
})X({
i
max
oi
iii
max
i
oi
i
oi
maxii
1
γ1λ
γ1π4
λ
γ1π
γ1
2
1
λλ
11
22
22
11
2
2

Điều kiện giới hạn dịch chuyển (movelimit) trong phương pháp giải quyết bài toán qui

hoạch phi tuyến dựa trên chuỗi các chương trình tuyến tính:
Điều kiện về movelimit chính là điều kiện giới hạn khoảng dịch chuyển của giá trị kết quả
biến thiết kế với giá trị biến thiết kế ban đầu trong một vòng lặp i nào đó :

12 0 U 12
i i i i i i
13 0 L 13
i i i i i i
g ({X}) X X X value_cp
(i 1:nemax)
g ({X}) X X X value_cp
   


   


Xác định các hệ số
}c{},b{},a{
ijji
của chuỗi các hàm mục tiêu, ràng buộc từ việc tuyến tính
hóa các hàm ràng buộc quanh điểm
}X{X
o
i

0
theo khai triển Taylor :
- Khai triển Taylor:

)XX()X(')g(}){X (g}){X (g
iii
k
ji
k
ji
k
j
000



- Ở đây, ta có tổng số biến thiết kế là
max
ne
, tổng số ràng buộc bất đẳng thức
nojntne 6max7

, nên tổng số biến thêm vào là
nojntne 6max7

, do đó tổng số biến sau khi
đưa về chuỗi các chương trình tuyến tính:
nojntne 6max8


- Các hệ số
}c{},b{},a{
ijji
được tính theo các công thức sau:























FunctionObjectZ
:k,nojntmaxne:j
nojntmaxne:i
)X(Zc
cp_valueX)X('g)X(gb
)X('ga
i
'

i
nojntmaxne
i
k
jii
k
ji
k
jj
i
k
jji
131671
681
0
67
1
000
0

5. Áp dụng số chương trình TĐH thiết kế tối ưu dàn thép

Trên cơ sở lý thuyết đã đề cập ở trên với việc sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab và
Hình 1
.
Sơ đ
ồ d
àn không gian 27
thanh

phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu tác giả đã lập chương trình tự động hóa
thiết kế tối ưu kết cấu dàn thép “MAINPROGRAMME.M”, sau đây là ví dụ áp dụng số :
Ví dụ:

Dàn không gian 27 thanh (hình 1).
Dữ liệu bài toán:
-
Bài toán dàn không gian có nemax = 27 thanh, nojnt =12 nút chịu tải trọng tập trung P1=3000kg,
P2=5000kg.
-
Tổng số biến thiết kế : 27
-
Tổng số ràng buộc : 7nemax + 6nojnt = 261.
- Cường độ tính toán chịu kéo, nén của thép:
2
2100 cm/daNR 

.
- Mô đun đàn hồi :
26
102 cm/daNxE 

- Mô đun chịu cắt của vật liệu:

26
1021 cm/daNx.G 
.
Kết quả thiết kế tối ưu từ chương trình trên hình 2.

Kết quả tối ưu
Thứ tự
Phần
tử
Diện tích
tiết diện
(cm
2
)
Bán kính
ngòai
(cm)
Bán kính
trong
(cm)
Giá trị hàm
mục tiêu
(Object_value)

Tỷ số bán

kính
(rad_scale)

1 4.272 2.676 2.408 0.9
2 4.272 2.676 2.408 0.9
3 9.005 3.885 3.497 0.9
4 8.544 3.784 3.406 0.9
5 12.815 4.635 4.172 0.9
6 8.544 3.784 3.406 0.9
7 4.272 2.676 2.408 0.9
8 4.272 2.676 2.408 0.9
9 6.244 3.235 2.912 0.9
10 8.544 3.784 3.406
7.4034X10
4

0.9
Hình 2. Kết quả thiết kế tối ưu

11 12.815 4.635 4.172 0.9
12 8.544 3.784 3.406 0.9
13 4.272 2.676 2.408 0.9
14 4.272 2.676 2.408 0.9
15 4.272 2.676 2.408 0.9
16 8.544 3.784 3.406 0.9
17 12.815 4.635 4.172 0.9
18 8.544 3.784 3.406 0.9
19 4.272 2.676 2.408 0.9
20 8.544 3.784 3.406 0.9
21 4.937 2.877 2.589 0.9

22 4.272 2.676 2.408 0.9
23 8.544 3.784 3.406 0.9
24 4.272 2.676 2.408 0.9
25 4.272 2.676 2.408 0.9
26 8.544 3.784 3.406 0.9
27 4.272 2.676 2.408 0.9

Kết quả nội lực, chuyển vị, phản lực gối tựa ứng với kết quả của bài tóan tối ưu :
DISPLACEMENTS
Joint X Y Z XX YY ZZ
1 0.000e+000 0.000e+000 0.000e+000 5.241e-004 -6.290e-004 -1.526e-003
2 0.000e+000 0.000e+000 0.000e+000 5.425e-004 -1.032e-003 -3.344e-004
3 0.000e+000 0.000e+000 0.000e+000 1.492e-003 -4.452e-004 -1.349e-003
4 6.168e-001 1.756e-001 1.756e-001 7.163e-004 -1.373e-003 -2.010e-003
5 1.756e-001 -1.219e-015 1.756e-001 6.386e-004 -1.443e-003 -1.247e-003
6 4.648e-001 -2.165e-001 4.648e-001 1.818e-003 -8.280e-004 -1.918e-003
7 1.449e+000 1.756e-001 3.511e-001 6.031e-004 -2.899e-003 -2.191e-003
8 5.677e-001 -1.667e-015 3.511e-001 6.348e-004 -2.718e-003 -1.860e-003
9 1.449e+000 -4.087e-001 1.233e+000 1.504e-003 -2.907e-003 -2.574e-003
10 2.034e+000 1.756e-001 5.267e-001 5.676e-004 -2.936e-003 -1.955e-003
11 1.152e+000 -1.655e-015 5.267e-001 5.561e-004 -3.007e-003 -1.953e-003
12 2.034e+000 -4.087e-001 1.408e+000 3.285e-004 -2.961e-003 -1.791e-003
FORCES
Member x y z xx yy zz
1
1 -5.000e+003 1.704e-017 2.071e-018 6.612e-016 -2.610e-017 3.272e-015
4 5.000e+003 -1.704e-017 -2.071e-018 -6.612e-016 -5.952e-016 1.839e-015
2
2 3.473e-011 -1.215e-017 3.129e-019 3.651e-016 9.533e-017 -4.728e-016
5 -3.473e-011 1.215e-017 -3.129e-019 -3.651e-016 -1.892e-016 -3.173e-015

26
11 0.000e+000 -1.413e-018 1.339e-018 1.732e-016 -3.322e-016 -2.515e-016
12 0.000e+000 1.413e-018 -1.339e-018 -1.732e-016 -2.360e-016 -3.479e-016
27
10 0.000e+000 4.410e-018 5.871e-019 2.123e-016 -5.154e-017 4.182e-016
12 0.000e+000 -4.410e-018 -5.871e-019 -2.123e-016 -1.246e-016 9.049e-016
REACTIONS
Joint X Y Z XX YY ZZ
1 -5.000e+003 -1.000e+004 9.396e-018 0.000e+000 4.930e-031 -1.578e-030
2 1.883e-017 5.474e-011 -2.001e-011 1.972e-031 -5.916e-031 -7.889e-031
3 1.819e-012 1.300e+004 -1.819e-012 -7.889e-031 3.944e-031 -2.761e-030
Nhận xét:
Kết quả tối ưu của bài toán đạt được ứng với các ràng buộc thứ 63, 75, 109, 110, 112,
113, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 130, 131, 131,
132, 133, 134, 135, 199, 201 đạt active. Điều này có nghĩa là: Điều kiện ổn định Euler phần
tử số 9, 21 (tương ứng với số thứ tự ràng buộc :63, 75) đạt dấu “=”
Điều kiện độ mảnh giới hạn của phần tử số 1,2,4,5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27 (tương ứng với số thứ tự ràng buộc 109, 110, 112, 113, 114, 115,
116, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 130, 131, 131, 132, 133, 134, 135)
đạt dấu “=”.
Điều kiện chuyển vị theo phương X tại các nút số 10, 12 (tương ứng với số thứ tự ràng buộc:
199, 201)

đạt dấu “=”.
6. Kết luận
Với việc sử dụng chương trình tự động hóa thiết kế tối ưu “MAINPROGRAMME.M” được xây
dựng trên ngôn ngữ lập trình Matlab giúp cho ta tìm được kích thước tiết diện hình ống ứng với giá trị
hàm mục tiêu (trọng lượng dàn) là nhỏ nhất một cách gần đúng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. CHU QUỐC THẮNG. Phương pháp PTHH. NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 1997.
2. PHAN QUỐC KHÁNH, TRẦN HUỆ NƯƠNG.Quy hoạch tuyến tính. NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000.
3. HOWARD B.WILSON, LOUIS H.TURCOTTE. Advanced mathematics and mechanics application using
Mathlab second. CRC press LLC, 1997.
4. DAN M.FRANGOPOL, FRANKLIN Y. CHENG. Advances in structural optimization. ASCE
American Society of Civil Engineers, 1996.
5. GARRET N. VANDERPLAATS. Nummerical optimization technique for engineering design.
McGraw-Hill, 1984.
6. A.J.MORRIS. Foundation of structural optimization: A unifield approach. John Wiley & Sons,
1982.
7. EDWARD J.HAUG;JASBIR S.ARORA - “Applied optimal design (Structural systems)” - John Wiley &
Sons, 1979.
8. URI KIRSCH. Optimum structural design (Concepts, Methods and Applications). McGraw-Hill,
1981.
9.
“MATLAB (High - Performance Numeric Computation and Visualization Software)” - The Math
Works INC.