Báo cáo khoa học: "Tính kết cấu khung phẳng và nền làm việc đồng thời có kể đến trình tự đặt tải bằng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn" docx

Tính kết cấu khung phẳng v nền lm việc đồng thời
có kể đến trình tự đặt tải bằng phơng pháp phần tử hữu hạn


vũ văn thành
Trần ngọc linh

Bộ môn TĐH TK Cầu Đờng - ĐH GTVT
Tóm tắt: Hiện nay nhu cầu về nh ở của ngời dân thnh thị đang rất cao. ở H Nội, có
nhiều công trình xây dựng nh cao tầng đang đợc triển khai ở nhiều nơi, tuy vậy vẫn cha đáp
ứng đợc nhu cầu thực tế. Nhng trong tính toán thiết kế, hầu hết việc tính toán kết cấu đều
đợc tính toán với sơ đồ một giai đoạn, có nghĩa l không kể đến các diễn biến của quá trình thi
công. Bi báo ny nghiên cứu về mô hình tính toán kết cấu theo các giai đoạn thi công, từ đó
áp dụng lý thuyết để viết chơng trình tính bằng phơng pháp phần tử hữu hạn cho các kết cấu
ny, phân tích kết quả tính v đa ra những khuyến nghị cho các đơn vị thiết kế.
Summary: In the design of height buildings, designers often calculate the frame and the
foundation struture separately. This doesn reflect the true working model of the structure. This
article introduces an approach of calculating model of this problem using finite element method.
The authors introduce also a computer program to test and estimate the theory.
I. Đặt vấn đề
Kết cấu khung đợc sử dụng phổ biến trong các công trình xây dựng, giao thông và thuỷ
lợi. Đặc biệt, trong công trình xây dựng dân dụng ở nớc ta hiện nay, kết cấu khung bê tông cốt
thép thi công tại chỗ đã và đang đợc sử dụng phổ biến. Móng của những công trình này thờng
là móng băng, móng bè hoặc móng cọc. Việc tính toán kết cấu khung và móng làm việc đồng
thời và tính toán theo đúng trình tự đặt tải sẽ phản ánh sát tình hình chịu lực thực tế của kết cấu
hơn so với cách tính toán thông thờng là tính khung và móng riêng biệt và không kể đến trình
tự đặt tải. Trong bài viết này các tác giả giới thiệu phơng pháp PTHH là phơng pháp mạnh
cho phân tích kết cấu để áp dụng cho bài toán này. Sau cùng là một số ví dụ đợc tính toán
bằng một phần mềm do các tác giả xây dựng.
II. Mô hình các phần tử hữu hạn v ma trận độ cứng của nó
Có 2 mô hình để tính kết cấu trên nền đàn hồi. Mô hình thứ nhất là mô hình sử dụng

phơng pháp hệ số nền. Trong phơng pháp này, ngời ta thiết lập mối quan hệ giữa tải trọng
tác dụng, phản lực giữa nền với kết cấu và chuyển vị của nền thông qua một số hệ số nào đó.
Các hệ số này đợc gọi là hệ số nền và chúng đợc xác định trực tiếp bằng thí nghiệm tại hiện
trờng hoặc gián tiếp bằng lý thuyết. Mô hình một hệ số nền của Winkler và mô hình hai hệ số
nền của Pasternak là đợc sử dụng phổ biến nhất. Mô hình thứ hai là mô hình coi môi trờng
nền và kết cấu là một hệ kết cấu thống nhất, biên của hệ kết cấu này xác định bằng cách coi
những điểm trong nền có chuyển vị rất nhỏ so với kích thớc của kết cấu là những điểm có

chuyển vị bằng không (liên kết cứng). Bài báo này trình bày phơng pháp tính kết cấu theo mô
thứ nhất. Còn mô hình thứ hai sẽ đợc trình bày trong một bài báo khác.
Với mô hình kết cấu đã chọn nh trên, kết cấu sẽ đợc chia thành các loại phần tử hữu hạn
sau:
2.1. Phần tử hữu hạn thanh 2 điểm nút
Đối với phần tử thanh liên kết hai đầu ngàm, có độ cứng chống kéo nén EF và độ cứng
chống uốn EJ, các thành phần lực nút đợc thể hiện trên hình 1, có véc tơ chuyển vị nút
{}
và
véc tơ lực nút
{}
, từ phơng trình
e

e
F
[
]
{
}
{
}

ee
e
FK
=

, ta dễ dàng xác định đợc ma trận độ cứng
phần tử quen thuộc nh công thức (1).

{}
;
{}

=
2
2
2
1
1
1
e
v
u
v
u

=
2
2
2
1
1
1
e
M
Q
N
M

Q
N
F
N
1
y

x

Q
1
M
1
1

M2

N
2
Q
2
z
a
Hình 1.

2
Đối với những phần tử hữu hạn thanh có liên
kết ở hai đầu khác nhau ta cũng xác định ma trận độ cứng theo cách trên.

[]

=
a
EJ4
a
EJ6
0
a
EJ2
a
EJ6
0
a
EJ6

a
EJ12
0
a
EJ6
a
EJ12
0
00
a
EF
00
a
EF
a
EJ2
a
EJ6
0
a
EJ4
a
EJ6
0
a
EJ6
a
EJ12
0
a

EJ6
a
EJ12
0
00
a
EF
00
a
EF
K
22
223
22
2323
e
(1)
2.2. Phần tử hữu hạn dầm 2 điểm nút trên nền đàn hồi một hệ số của Winkler
Để tìm lời giải chính xác (trùng với lời giải của phơng pháp giải tích), ta sử dụng phơng
pháp thông số ban đầu của môn Sức bền vật liệu để xác định ma trận độ cứng
[
]
e
K .
Từ hệ phơng trình cơ bản của phơng pháp phần tử hữu hạn
[
]
{
}{}
ee

e
FK
=

, ta đi xác định
các số hạng k
ij
trong
[
]
e
K của phần tử hai đầu ngàm (hình 2) bằng cách lần lợt cho ngàm 1 và

ngàm 2 các chuyển vị đơn vị u = 1, v = 1 và = 1 lần lợt có 36 thành phần phản lực tại hai
ngàm 1 và 2 chính là 36 thành phần trong ma trận độ cứng
[
]
e
K cần tìm ở trên. Ma trận độ cứng
phần tử:
[]

=
66656362
56555352
4441
36353332
26252322
1411
e
kk0kk0
kk0kk0
00k00k
kk0kk0
kk0kk0

00k00k
K
. (2)
(
)
2
mlmlml
mlmlmlml
x
3
3
122
CDB
DC4BA
EJ
dz
0vd
Qk

+
===
,

()
2
x
mlml
2
ml
mlml

2
ml
x
2
2
132
mEJ
DBC
CAD4
EJ
dz
0vd
Mk

+
=== ,

()
1ml1ml
ml
x
3
3
252
QAMmD4
m
kB
EJ
dz
lvd

Qk +===
,

()
1
ml
1ml
2
ml
x
2
2
262
Q
m
B
MA
m
kC
EJ
dz
lvd
Mk ++===
,
()
2
x
mlml
2
ml

mlmlmlml
x
3
3
123
mEJ
DBC
DB4AC
EJ
dz
0vd
Qk


=== ,

()
mEJ
DBC
DACB
EJ
dz
0vd
Mk
x
mlml
2
ml
mlmlmlml
x

2
2
133

+
===
,

()
1ml1ml
2
ml
x
3
3
253
QAMmD4
m
kC
EJ
dz
lvd
Qk +===
,

()
1
ml
1ml
3

ml
x
2
2
263
Q
m
B
MA
m
kD
EJ
dz
lvd
Mk ++===
,
Nếu bỏ qua ma sát giữa nền và thanh thì ta dễ dàng tìm đợc:

l
EF
kk,
l
EF
kk
14414411
==== .
trong đó: mzcosmzchA
mz

=

,

()
mzsh.mzcosmzch.mzsin
2
1
B
mz
+= ,

mzsin.mzsh
2
1
C
mz
= ,

()
mzsh.mzcosmzch.mzsin
4
1
D
mz
= .
2.3. Phần tử hữu hạn cọc trong nền đàn hồi
Khi cọc chịu uốn, ta vẫn dùng mô hình nền của Winkler, nếu lấy trục z trùng với trục phần
tử cọc thì ta có phơng trình p(z) = k.v(z). Khi cọc có chuyển vị dọc trục, giữa nền và cọc sẽ phát
sinh lực ma sát dọc trục. Coi nền nh hệ lò xo và sử dụng phơng trình:
q(z) = k
0u

,u(z), (3)
trong đó: q(z) là lực ma sát dọc trục do chuyển vị dọc trục u(z) gây ra
k
ou
= S.k
u
, với S là chu vi cọc, k
u
là hệ số quan hệ giữa phản lực dọc trục của nền
lên cọc và chuyển vị dọc trục cọc.
Vậy ta có phơng trình vi phân sau:

(
)
()
(
)
EF
zq
zu
EF
k
dz
zud
ou
2
2
=
, (6)
()

zq

là tải trọng phân bố dọc trục. Thờng thì trong nền
(
)
zq

= 0.
Đặt
EF
k
ou
= , nghiệm thuần nhất của phơng trình (6) có dạng:
u(z) = C
1
e

z
+ C
2
e
-

z
, (7)
trong đó: C
1
, C
2
là hai hằng số cha biết.

Với u
1
= 1, ta có điều kiện sau:
Tại z = 0, u(0) = 1, tại z =
l , u(l) = 0, ta tìm đợc:

lsh2
e
C,
lsh2
e
C
l
2
l
1

=

=

.
Vậy
()

+

=




l
l
l
l
e
lsh2
e
e
lsh2
e
zu
. (8)
Từ (8), ta tìm đợc:

(
)
EF
lsh
lch
EF

dz
0du
Nk
111


===
,

(
)
EF
lsh
EF
dz
ldu
Nk
214


===
.
Do tính đối xứng của ma trận độ cứng phần tử, nên ta có: k
44
= k
11
, k
41
= k
14

Các số hạng còn lại của
[
]
e
K đợc xác định nh ở mục 2.

Với 3 mô hình phần tử hữu hạn trình bày ở trên, việc dời tải trọng đặt trong phần tử về tải
trọng nút
cũng có thể thực hiện bằng phơng pháp của môn Sức bền vật liệu để có đợc kết
quả trùng với phơng pháp giải tích, phơng pháp đợc coi là phơng pháp chính xác.
III. Hệ phơng trình cơ bản, các điều kiện biên v xác định nội lực phần tử
Sau khi thực hiện phép biến đổi toạ độ, sắp xếp ma trận độ cứng phần tử vào ma trận độ
cứng của kết cấu và thành lập véc tơ tải kết cấu ta sẽ lập đợc hệ phơng trình cơ bản
[
]
{} {}
'F''K =
. Xử lý điều kiện biên bằng cách cộng vào hệ số k
ii
tơng ứng với bậc tự do thứ i của
ma trận độ cứng với giá trị độ cứng của liên kết. Giải hệ phơng trình
[
]
{} {}
'F''K =
ta đợc
chuyển vị nút của liên kết trong hệ toạ độ chung. Ta xác định chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ
độ địa phơng từ chuyển vị nút phần tử trong hệ toạ độ chung theo công thức:

{}

[
]
{
}
e
e
e
'TF

=
Xác định véc tơ nội lực nút của phần tử theo công thức:

[
]
[
]
[
]
{
}
e
eee
'TKF

=
Nếu có nội lực phần tử thì:

{}
[]
[

]
{
}
{
}
g
ee
ee
e
F'TKF += ,
trong đó:
[]
là nội lực nút của phần tử do tải trọng trong phần tử gây ra;
g
e
F

[
]
e
T là ma trận biến đổi toạ độ của phần tử thanh thẳng 2 điểm nút.
Để xác định nội lực và chuyển vị của mặt cắt bất kỳ trong phần tử, ta dùng phơng pháp
thông số ban đâù của môn SBVL. Có đợc các kết quả trên, ta có thể vẽ đợc các biểu đồ nội
lực và chuyển vị các kết cấu.
IV. Tính kết cấu có kể đến trình tự đặt tải
Ta quan sát ví dụ sau: Một ngôi nhà
có kết cấu khung bê tông nh trên hình
2a. Ngời ta xây dựng dần theo trình tự
Móng T
1

T
2
T
3
T
4
.
Hình 2a.

Thời gian cách giữa các bộ phận là
21 ngày. Nh vậy khung đợc hình thành
qua 6 giai đoạn. Nếu tổ hợp tải trọng lâu
dài là trọng lợng bản thân thì sơ đồ tính
thực tế gồm 4 sơ đồ (Hình b, c, d, e)
sau:
Nh vậy, trọng lợng bản thân của
các tầng thi công trớc sẽ không ảnh
hởng đến kết cấu của tầng thi công

sau. Kết quả cuối cùng là tổng kết quả của các trờng hợp tính. Còn nếu ta đi tính một lần cho
sơ đồ cuối cùng (hình 2a) thì sẽ không phản ánh đợc quá trình đặt tải thực tế.
Để giải quyết bài toán này, có thể làm theo các bớc sau:
Bớc 1 Mô tả số liệu cho sơ đồ kết cấu hoàn thiện cuối cùng nh các bài toán tính kết
cấu không kể đến trình tự đặt tải bình thờng khác.
Bớc 2 - Phân chia các bài toán theo đúng trình tự đặt tải (trình tự thi công).
Bớc 3 - Tính toán nội lực từng sơ đồ tính và cộng các kết quả này lại ở các phần tử tơng
ứng.
Các tác giả đã xây dựng chơng trình tính để giải quyết bài toán trên. Chơng trình có
nhiều tính năng tiện lợi cho ngời dùng mô tả kết cấu, tính toán và biểu diễn kết quả.
Hình 2b

Hình 2
c
Hình 2d
Hình 2
e
V. Ví dụ tính toán, phân tích kết quả v kết luận
Ví dụ về tính kết cấu nhà khung 11 tầng, kết quả tính ở bảng dới. Chạy chơng trình tính
theo 3 sơ đồ: sơ đồ 1 tính theo một giai đoạn thi công với móng cứng (hiện nay các đơn vị thiết
kế thờng sử dụng sơ đồ này), sơ đồ 2 tính theo nhiều giai đoạn thi công với móng cứng, sơ đồ
3 tính theo nhiều giai đoạn thi công với kết cấu móng và nền làm việc đồng thời.
Nhận xét kết quả Trong ví dụ này thì
Các thanh đứng (cột):

Lực dọc tính theo Sđ1 nhỏ hơn Sđ2 và Sđ3. Đối với thanh dới cùng (11, 22, 33) thì giá trị
nội lực chênh lệch giữa các sơ đồ là (18, 22, 18 %). Giá trị sai số tăng dần từ thanh trên xuống
thanh dới.
Phần tử 14, 15 (ở giữa) thì nội lực tăng, giảm không đáng kể.
Có một số thanh mô men đổi dấu.

Các thanh ngang (dầm):
Các thanh phía trên thì: Sđ1 > Sđ2 và Sđ3. Thanh trên cùng (54,55) có nội lực chênh lệch
giữa các sơ đồ là 16.13, 20.90 % đối với mô men và 4.44, 5.75 % đối với lực cắt)
Các thanh phía dới: Sđ1 < Sđ2 và Sđ3. (thanh số 34,35)
Các thanh ở giữa có giá trị nội lực chênh lệch nhỏ.
Giá trị tuyệt đối các giá trị nội lực chênh lệch của các thanh phía trên lớn hơn các thanh
phía dới về mô men và lực cắt (do thanh phía dới có lực dọc lớn hơn).

Đối với một số thanh, giá trị chênh lệch này rất lớn (hàng nghìn %), nhng thực ra giá trị
nội lực tuyệt đối lại rất nhỏ nên giá trị chênh lệch về nội lực giữa các sơ đồ tính là không có ý
nghĩa gì.
Sơ đồ

Biểu đồ mô
men (M
)
Biểu đồ lực dọc
(N)
Biểu đồ lực
cắt (Q)


Kết cấu

















Sơ đồ

Kết cấu
Biểu đồ lực
dọc (N)
Biểu đồ mô men
(M)
Biểu đồ lực
cắt (Q)


Giá trị chênh lệch nội lực giữa giữa sơ đồ tính 1 v sơ đồ tính 2 nhỏ hơn giữa sơ đồ
tính 1 v sơ đồ tính 3
Ta có thể giải thích các kết quả trên nh sau: cấu kiện đợc thi công trớc thì tham gia
nhiều sơ đồ tính hơn cấu kiện thi công sau nó, do vậy nó phải chịu tải trọng tổng cộng nhiều hơn
so với khi chỉ tính theo một giai đoạn thi công (sơ đồ tính 1) nên thờng có nội lực lớn hơn.
Những cấu kiện thi công sau cùng sẽ có giá trị nội lực nhỏ hơn so với tính theo sơ đồ một giai
đoạn thi công. Các cấu kiện đợc thi công ở giữa thời gian thi công hai nhóm cấu kiện (thi công
đầu tiên và cuối cùng) nội lực tính đợc từ các sơ đồ tính chênh lệch không đáng kể.
Nhận xét về sơ đồ tính
- Sơ đồ tính 2 phản ánh sự làm việc thực tế của kết cấu đúng hơn sơ đồ tính 1.
- Sơ đồ tính 3 phản ánh sự làm việc thực tế của kết cấu đúng hơn sơ đồ tính 1 và 2.

Kết luận
Việc tính toán kết cấu khung phẳng và nền làm việc đồng thời theo mô hình nhiều giai đoạn
thi công phản ánh đúng thực tế và cho kết quả chính xác hơn so với cách tính một giai đoạn thi
công mà hiện nay các đơn vị thiết kế thờng tính. Sự chênh lệch về kết quả tính nội lực giữa hai
mô hình này là đáng kể thậm chí kết quả có thể trái dấu. Qua kết quả nghiên cứu trên, các tác
giả của bài báo này khuyến nghị nên dùng mô hình tính toán này trong thiết kế.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Lựu, Phơng pháp phần tử hữu hạn, Giáo trình cao học trờng Đại học Giao thông Vận
tải Hà Nội.

[2] Vũ Văn Thnh. Tính mạng dầm trên nền đàn hồi hai hệ số bằng phơng pháp phần tử hữu hạn, Luận
văn thạc sĩ kỹ thuật.
[3] Trần Ngọc Linh, Tính toán móng cọc bằng phơng pháp phần tử hữu hạn, Đề tài nghiên cứu khoa học
sinh viên năm 2000.
[4] Trần Ngọc Linh. Tính toán khung phẳng bằng phơng pháp phần tử hữu hạn, Đề tài nghiên cứu khoa
học sinh viên năm 2000
Ă

ảnh hởng của vận tốc
(Tiếp trang 63)
[6] Hong H. Xác định hệ số động lực của hoạt tải trong tính toán công trình cầu. Chuyên đề NCS, 1998.
[7] Hong H, Vũ Đình Hiền. Một số vấn đề về phơng pháp tính hệ số động lực (1 + ) trong thiết kế các
công trình cầu dầm giản đơn BTCT trên đờng ôtô theo tiêu chuẩn mới 22TCN-272-01. Tạp chí GTVT,
10/2002.
[8]. Nguyen van Khang, Hoang Ha, Vu van Khiem, Do Xuan Tho. On the transverse vibration of beam-
bridges under the action some moving bodies. In IUTAM Symposium on Recent development in Non-
linear Oscillations of Mechanical Systems, pp 187-195, Klwer, Dordrecht - 2000.
[9]. Glen V. Berg. Vibration of Structures and Machines. Springer - Verlag, New York. USA - 1993Ă